整式的乘法·错题解析
例1 计算：
(1)a3·a3； (2)a3·a4； (3)x5·x5；
(4)x5＋x5； (5)y· y13； (6)m2· m＋m3· m．
错解(1)a3·a3=2a3； (2)a3·a4=a12；
(3)x5·x5=x25； (4)x5＋x5=2x10；
(5)y·y13=y13；
(6)m2·m＋m3·m=m3＋m4=m7．
诊断 (1)，(4)两小题的解答错把同底数幂的乘法运算与同底同指数幂的加法运算相混淆；
(2)，(3)两小题错把幂之间的运算符号用到指数运算中，即把同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算法则误认为“底数不变，指数相乘”；
(5)小题错把第一个幂中y的指数1误认为是零；
(6)小题错把同底数幂相加误认为是同底数幂相乘．
正确解答 (1)a3·a3=a6； (2)a3·a4=a7；
(3)x5·x5=x10； (4)x5＋x5=2x5；
(5)y· y13=y14；
(6)m2· m＋m3· m=m3＋m4．
说明在学习同底数幂的乘法时，应注意不要把幂的乘法运算与整式加法运算相混淆．幂的乘法只要求同底就可以用性质计算，这就是“底数不变，指数相加”；幂的加法则不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，这就是说，它们是同类项时才能进行加法计算，这时是幂不变，系数相加．
例2 下列各等式：
(1)(－a)2·(－a)3＝(－a)(－a)(－a)(－a)(－a)＝－a5；
(2)(－a2)·(－a)3＝(－a· a)·(－a)(－a)(－a)=－a5；
(3)(－a)2·(－a3)=(－a)(－a)·(－a·a·a)=－a5；
(4)(－a2)·(－a3)=(－a·a)·(－a·a·a)=－a5．
其中错误的有[ ]
A．0个 B．1个；C．2个 D．3个
错解根据乘方的意义选D．
诊断 (1)式与乘方的意义相符，所以是正确的．
(2)式第一步与乘方的意义相符，但因有偶数个负数相乘，积为正号(a本身的正负不予考虑)，故结果是错误的．
(3)式的第一步与乘方的意义相符，因有奇数个负数相乘，积为负，故结果是对的．
(4)式相当于两个负数相乘，其积的符号为正，故结果是错误的．
正确解答根据乘方的意义应选C．
例3 下列各等式中，仅有一个括号内填入t3才能使等式成立，这个等式是 [ ]
A．t3·( )＝2t3
B．t2·( )＝t6
C．t2·( )＋t5＝2t5
D．t2·( )＋t6＝2t6
错解因为 t2·t3=t6，所以t2·t3＋t6=2t6．
故选D．
诊断将“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”误认为“指数相乘”，因而产生t2·t3=t6的错误．
正确解法因为t2·t3=t5，
所以 t2·(t3)＋t5=t5＋t5=2t5．
故应选C．
例4 计算：(1)(a5)3；(2) a5·a3．
错解(1)(a5)3=a8；
(2)a5·a3=a15．
诊断 (1)误将幂的乘方运算法则与幂的乘法运算法则相混淆．
(2)误将“同底数幂相乘”按“幂的乘方”进行计算．
正确解法(1)(a5)3=a15；
(2)a5·a3＝a8．
例5 计算：(1)－x2·(x3)4；(2)x2·(－x3)4．
错解(1)－x2(x3)4=－(x2+3)4=－x20；
(2)x2(－x3)4=x2(－x12)=－x14．
诊断 (1)－x2(x3)4里包括两级运算：即乘法运算和乘方运算，上面解答错在把运算顺序颠倒了．其实按照运算顺序，应先做乘方运算，后做乘法运算，即－x2(x3)4=－x2·x12=－x14．
(2)上面解答或是没有真正理解乘方的意义，或是未把(－x3)4看作积的乘方，即[(－1)·(x3)]4=(－1)4·(x3)4=x12．
说明学习幂的乘方时，注意防止将幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质相混淆．防止的办法是要注意每一性质得来的根据．
例6 计算：(1)(a3)2；(2)(x n-1)2．
错解(1)(a3)2=a9；(2)(x n-1)2＝x2n-1．
诊断 (1)由于没有掌握幂的乘方性质，把指数相乘误认为将指数乘方．
(2)错在2没有与n－1中的每一项相乘，事实上，当幂指数是一个多项式时，乘方的次数必须同幂的指数中每一项相乘．
正确解法(1)(a3)2=a6；(2)(x n-1)2=x2n-2．
诊断 (1)积的乘方要把积的每一个因式分别乘方，这里错在只把最后一个因式乘方，而没有把因式a乘方．
(2)系数是积的一个因式，按照积的乘方的性质，应该把系数也乘方，而这里把对系数的乘方误认为将系数乘以乘方的次数．
例8 计算：(1)[(－ab2)2]3；(2)[－(ab2)2]3．
错解(1)[(－ab2)2]3=(ab4)3=ab12；
(2)[－(ab2)2]3=(a2b4)3=a6b12．
诊断 (1)的解答错在将－ab2平方时，误认为a的指数为零，或错用了积的乘方法则，没有将积中“每个因式分别乘方”．
(2)积的乘方，有负号的系数的符号极易弄错，这里把－(ab2)2与(－ab2)2误认为相等了．
正确解法(1)[(－ab2)2]3=(a2b4)3=a6b12；
(2)[－(ab2)2]3=(－a2b4)3=－a6b12．
诊断对照单项式乘以单项式运算法则，可以看出，上面解答把最后一个单项式中含有的字母c丢掉了，没有把它作为积的一个因式．
正确解法由读者完成．
说明进行单项式乘法运算时，应注意以下两点：
(1)只在一个单项式中含有的字母，特别当指数是1时，容易被丢掉．
(2)在解决含有加减法的混合运算中，要注意运算顺序，在每一步运算过程中，要正确确定符号．
例10 计算：－3x2y3·(x2－1)－(x2＋1)· 5x2y3．
错解－3x2y3·(x2－1)－(x2＋1)·5x2y3
=－3x4y3－3x2y3－5x4y3＋5x2y3
=－8x4y3＋2x2y3．
诊断单项式乘以多项式，容易出现符号错误．本例解答有两处把符号弄错了．一是把－3x2y3·(－1)=－3x2y3；二是多项式前面是负号，把负号与括号去掉，括号内有一项未变号，即－(x2·5x2y3＋5x2y3)错误写成－5x4y3＋5x2y3．
正确解法
－3x2y3(x2－1)－(x2＋1)·5x2y3
=－3x4y3＋3x2y3－5x4y3－5x2y3
=－8x4y3－2x2y3．
说明学习单项式乘以多项式时，应注意以下几点：
