22.9平面向量的减法

22.9平面向量的减法一、知识归纳:1向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.彳j 呻 4减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即： a_b=a ・（_b ）. 2. 向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减 向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.3. 向量加法的平行四边形法则4 4如果a , b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点 为公共起点作两个向量与 a , b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以 所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是 4 4a ,b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.4.另外一个对角线向量，即是 a , b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点二、练习A i.C^ -C A= _________T 2.BC —BA —AD =3. DE T T T -CE - DC + AB =T T T T5. BC - BA + DA + AD = ________ .—t —f —t6. AB - AD - DC = ______ .T T T T7. AB -CD +BD — AC = _________T T9.平行四边形 ABCD 中, CD - DA =10.平行四边形 ABCD 中, T T T AC - AD +CB =4. A B + BA - BC = 8.平行四边形ABCD 中,T T AB _ DA= ________ T TAB - AD= _________T 4 —j 4 4 4AB = a , BC —b .试用向量a 和b 表示向11.如图，多边形 ABCDEF 是正六边形，设 T —t — 量 OA , OC , OE . BA EOT T T T T T13.已知：向量a、b、c，求作：a-b-c.三、练习BTTTT —f —i —i —i1.已知：向量a、b、c、d，求作：a - b • c - d2.已知：在△ ABC中, AD是BC的中线。

平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。

在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。

1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。

3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。

数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。

点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。

-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。

5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。

22.9 平面向量的减法 教学目标：1、通过探究活动，使学生理解向量减法的意义，经历引进向量减法的过程；2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的混合运算；3、渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化，相互联系的辩证思想；教学过程： 一、复习我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量 已知→a 、→c ，求作→b ，使得→b =→a +→c作法：在平面内任取点A 作向量→AB =→a ，作向量→BC =→c ，则向量→AC =→b二、引入新课1、由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，向量是否有减法运算？如何定义向量的减法运算？回忆一下，我们小时候是怎么学习数的减法的？例如要计算15-8=？首先应该先考虑的是8加上哪个数等于15。

因为8+7=15，所以15-8=7. 那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算如果→a +→x =→b ，则叫做→b 与→a 的差向量，记作→→-a b ，其中→b 是被减向量，→a 是减向量。

2、如何作出两个向量的差向量？例1、已知→b 、→a ，求作→c ，使得→c =→→-a b 分析：因为→c =→→-a b ，则由向量减法的定义，应该有→a +→c =→b ，观察图1，不难发现图1中的→c 即是→b 与→a 的差，请同学们的作法，说出作图的步骤，并作出正确的图形。

作法：在平面内任取一点A 作向量→AB =→a ，再作向量→AC =→b ，则向量→BC 即是所求的→c 我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则。

比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：●向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量； ●和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点。

3、我们在学习数的减法的时候曾经讲过减法是加法的逆运算，即减去一个数等于加上这个数的相反数，那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？先请同学回忆相反向量的定义。

平面向量的减法运算
平面向量的表示
平面向量可以通过坐标表示形式来表示。

假设平面向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，向量B的坐标表示为(Bx, By)，则平面向量A 的减法运算可以表示为：
A -
B = (Ax - Bx, Ay - By)
示例
例如，如果平面向量A的坐标表示为(3, 4)，向量B的坐标表示为(1, 2)，则平面向量A减去向量B的结果为：
A -
B = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
注意事项
在进行平面向量的减法运算时，需要注意以下几点：
1. 向量的减法运算是按照对应坐标进行计算，即分别减去相应
的x坐标和y坐标。

2. 减法运算结果是一个新的向量，其中x坐标为原向量的x坐
标之差，y坐标为原向量的y坐标之差。

3. 平面向量的减法运算不改变向量的方向，只改变向量的大小。

结论
通过平面向量的减法运算，我们可以得到一个新的向量，该向
量具有原向量的方向，并且大小为原向量之差的绝对值。

这种运算
在平面几何中具有重要的应用，能够帮助我们求解各种几何问题。

通过以上的介绍，我们了解了平面向量的减法运算及其基本性质。

希望这份文档对您有所帮助！。

平面向量减法
平面向量减法
平面向量减法是将两个平面向量的差作为结果的算法。

它同时也是一个解决平面几何中线段相减的解决方案。

一般说来，如果有两个平面向量a和b，其差定义为a-b ，其实就是将a向量减去b向量取得的结果。

易懂的说，其实就是用a中的值去减b中的值得到的结果向量。

推导过程如下：
1、把a和b的坐标值分别记录下来，如(x1， y1) (x2， y2)
2、将a向量减去b向量，就是a-b，则
a-b = (x1-x2， y1-y2)
3、最后得出结果，a-b = (x1-x2， y1-y2)
最终，a-b的结果为负，就是a小于b，而a-b的结果为正时，证明a大于b。

以上就是平面向量减法的推导过程，简单易懂，容易理解。

- 1 -。

平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。

设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。

则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。

即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。

几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。

为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。

然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。

最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。

2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。

也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。

换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。

总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。

在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。

平面向量的加法和减法运算在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

平面向量具有加法和减法运算，可以进行向量之间的加减操作。

本文将介绍平面向量的加法和减法运算，包括定义、性质和实际应用等方面的内容。

一、平面向量的定义平面向量通常用有序数对表示，即(a, b)，其中a和b分别表示向量在坐标轴上的投影。

向量也可以用有向线段表示，起始点和终点分别表示向量的起点和终点。

在平面向量中，起点和终点是没有重要意义的，因为向量的性质只与大小和方向有关。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的加法运算为A + B = (a + c, b + d)。

即将两个向量在相应轴上的分量分别相加得到新的向量。

这个过程可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将两个向量的起点放在同一点，然后将它们的终点相连，形成一个平行四边形，新的向量即为对角线向量。

三、平面向量的减法运算平面向量的减法定义为：对于向量A(a, b)和向量B(c, d)，它们的减法运算为A - B = (a - c, b - d)。

即将B的每个分量取相反数，然后与A的分量进行相加。

减法运算也可以用平行四边形法则进行可视化理解，即将向量B取相反向量，然后按照向量加法的方式进行操作。

四、平面向量运算的性质平面向量的加法和减法运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 加法单位元：对于任意向量A，存在零向量O(0, 0)，使得A + O = A4. 加法逆元：对于任意向量A，存在相反向量-B，使得A + (-B) =O5. 数乘结合律：k(A + B) = kA + kB，(k + n)A = kA + nA6. 数乘分配律：k(A - B) = kA - kB五、平面向量运算的实际应用平面向量的加法和减法运算在各个领域有着广泛的应用，例如：1. 物理学：平面向量用于描述物体的位移、速度和加速度等物理量，通过向量的加减法运算可以得到合成位移、合成速度等。