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24.1.4 圆周角（第二课时）教授新课师：在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？[多媒体展示]【探索与思考】∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？尝试给出证明过程？生：根据圆周角定理可知，∠BAC=12∠BOC, ∠BDC=12∠BOC∴∠BAC=∠BDC师：由此可知：同弧所对的圆周角相等。
师：在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？[多媒体展示]【探索与思考】弧BC=弧CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？尝试给出证明过程？生：连接BO、CO、OE根据圆周角定理可知，∠BDC=12∠BOC,∠CAE=12∠COE 又由弧BC=弧CE可知，∠BOC=∠COE.师：由此可知：等弧所对的圆周角相等。
师：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
师：尝试运用圆周角推论进行计算。
[多媒体展示]典例1 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝20°，∠APD＝70°，则∠B等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°变式1-1 如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．50°变式1-2 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，弧AB=弧BC,若∠AOB=58°，则∠BDC=____度让学生经历猜想-探究-证明的过程，从而掌握圆周角定理推论的内容。
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容。
【师生互动】鼓励学生积极发言，教师通过引导纠正，最后给出解题过程和答案。
师：根据所学知识回答下面问题。
[多媒体展示]【问题一】如图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？【问题二】如图2 ，AB为⊙O的直径，改变C点的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？【问题三】如图1，圆周角∠C=90°，连接AB，弦AB经过圆心吗？为什么？生1：90°生2：不变生3：∵∠ACB=90°∴∠AOB=180°∴弦AB过圆心。
24.1.4 圆周角（2）自主学习、课前诊断一、温故知新：1.什么是圆心角和圆周角？2.圆周角定理及其推论的内容是什么？二、设问导读：阅读课本P87-88完成下列问题： 1.概念理解：（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在________上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的__________.(2)你是怎样区分“内接”“外接”的？例如，在课本图24.1-15，四边形ABCD 是⊙O 的___________,⊙O 是四边形ABCD 的____________. 2.性质探究：（1）图24.1-17中，∠A 和∠C 都是圆周角吗？它们所对的圆心角分别是什么，有什么关系？可以得到什么结论？ （2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角________. 用符号表示为：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则 __________+__________=180°， __________+__________=180°.三、自学检测：1.如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD ， ∠A=50°，∠B =100°，则∠C=________, ∠D=________.其理由是________________.2.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ，△ACD 是等边三角形，则∠ABC 的度数为（ ） A.120° B.135° C. 140° D.150°3.如图，在⊙O 中，∠CBD=30° , ∠BDC=20°,求∠A.互动学习、问题解决一、导入新课 二、交流展示学用结合、提高能力一、巩固训练：1.在⊙O 中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ ______.2.如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C ，D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______.·OB ACD3.如图，圆心角∠AOC=100°，则∠ABC=__________.4.如图，正方形ABCD内接于圆，点P在AD⌒上，则∠APD的度数为（）．A.135°B.5.如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A =30︒，则∠CBD的度数是 ( ）A．30︒ B．45︒ C．60︒D．80︒6.如图，四边形ABCD内接于圆，BD平分∠ABC,且AB∥CD .求证:CD⌒=CB⌒.二、当堂检测：1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为直径，点C是BD⌒的中点，若∠ABC=50°，求∠BCD、∠ADC、∠DAB的度数。
24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们A所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．CC老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．~。
人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。
这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。
