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【知识点结构】：1．直角三角形中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，那么： （1）三边关系：222a b c +=；（2）两锐角关系：∠A ＋∠B=90°；（3）边、角关系：,a bsinA cosB cosA sinB c c ====t a n c o t ,c o t t a n a bA B A B b a====。
2．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2）解直角三角形的四种基本类型的常用解法如下表所示：cot a AB=90°－∠sin Acos A22a b +，a bb注意：在Rt △中，除直角外，再知道两个元素（其中至少有一个为边），则这个直角三角形其他元素都可求出。
3．解直角三角形的应用题中常见的有关概念：（1）仰角与俯角。
它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。
（2）坡角与坡度。
【典型精解】例1 在△ABC 中，∠C=90°，a =15，∠A=35°，求b 。
例2 （1）在△ABC 中，∠C=90°，a =3，b =4，求其他各边各角。
（2）在△ABC 中，∠C=90°，a =9，c =B 、∠A 、b 。
例3 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，D 在AC 上，且∠BDC=60°，AD=20，求BC 。
两船的距离。
例5 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏西30°，20min 后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西60°，若货船向北继续航行，当灯塔C在船的正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？例6 如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坡度i=CD坡度'1:1i=，求斜坡AB的长及坡角α及坝宽AD。
解直角三角形是数学中的一个重要概念，它涉及到利用三角函数来求解三角形的未知元素。
在解直角三角形的问题中，我们通常知道三角形的一个锐角及其对应的两边（直角边和斜边），或者知道两个锐角和一边。
通过使用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以找到三角形的其他元素。
下面解直角三角形的题目示例：1、【题目】在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 4cm。
求AC 的长度。
【解析】利用勾股定理求解。
在直角三角形中，AC2= AB2–BC2。
代入已知数值，AC2 = 52– 42 = 9，所以AC = 3cm。
2、【题目】在直角三角形中，∠A = 30°，∠C = 90°，BC = 3cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正弦函数求解。
sin A = BC/AB，所以AB = BC/sin A = 3/sin 30° = 6cm。
3、【题目】在直角三角形中，∠B = 45°，∠C = 90°，AC = 2cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正切函数求解。
tan B = AC/BC，所以BC = AC/tan B = 2/tan 45° = 2cm。
因为∠B = 45°，所以AB = sqrt(2) * BC = 2sqrt(2)cm。
4、【题目】在直角三角形中，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 4cm。
求BC 和AC的长度。
【解析】利用余弦函数和勾股定理求解。
cos A = AC/AB，所以AC = AB * cos A = 4 * cos 60° = 2cm。
然后利用勾股定理，BC2 = AB2– AC2 = 16 - 4 = 12，所以BC = 2sqrt(3)cm。
5、【题目】一艘船以15节（海里/小时）的速度向正北方向航行。
同时，一股水流以5节的速度从东向西流过。
求船的实际航向和速度。
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解直角三角形及其应用教案这是解直角三角形及其应用教案，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。
解直角三角形及其应用教案第1篇教学设计一．教学三维目标(一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程(一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系sinA=abacosA=tanA= ccb(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题评析例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2a=6，解这个三角形．例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=20?B=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．(三)巩固练习在△ABC中，∠C为直角，AC=6，?BAC的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形1.特殊角的三角函数值：α sinα cosα tanα 300 450 600当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 2、几个特殊关系：⑴sinA+cos 2A= ,tanA=sin A⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanA= 3.解直角三角形的依据：RT ∠ABC 中，∠C900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝3例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35B ．45C ．34D ．43对应训练1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．2552．（2012•贵港）在平面直角坐标系中，已知点A （2，1）和点B （3，0），则sin ∠AOB 的值等于（ ） A ．55 B ．52 C ．32D ．12专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值．1. 312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.2. ()3122101-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+︒⋅︒︒-︒60tan 30cos 60cos 45cot ；3.()()()︒⨯-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-30tan 33121201220103110012。
【原式= 8】4.()()112230sin 4260cos 18-+︒-÷︒---。
【原式32-=】5.1201002(60)(1)|28|(301)21cos tan -÷-+--⨯--6.先化简，再求代数式2221111x xx x-+---的值，其中x=tan600-tan450考点三：化斜三角形为直角三角形例4 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．1.如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．2.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．考点四、.解直角三角形例5.如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险?试说明理由．1.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．分类讨论思想【专题解读】 当结果不能确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论． 例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向上还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30 km ，B ，C 间的距离是60 km ．要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，求交叉口P 与加油站A 的距离．(结果可保留根号)提高训练：1.已知,如图,等边三角形ABC 中,AB=2,点P 是AB 边上的任意一点（点P 与点A 重合,但不与点B 重合），过点P 作PE ⊥BC 于E,过点E 作EF ⊥AC 于F,过点F 作FQ ⊥AB 于点Q,设BP=x ，AQ=y.（1）写出y 与x 之间的函数关系式：（2）当BP 的长等于多少时,点P 与点Q 重合；AQBEP FC第19题图2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A 运动。
当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动。
以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F。
设点P的运动时间为t s，正方形APDE和梯形BCFQcm．重合部分的面积为S2（1）当t＝_____s时，点P与点Q重合；（2）当t=_____s时，点D在QF上；（3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式．1.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝x . 在Rt △ADB 中，tan B ＝AD BD ，∴BD ＝tan tan 45AD ADB =︒＝x ， 在Rt △ADC 中，tan C ＝AD CD ，∴CD ＝tan AD C ＝tan30AD︒＝3x ． 又∵BD ＋CD ＝BC ，BC ＝30＋303，∴x ＋3x ＝30＋303 ,∴x ＝30． 在Rt △ABD 中，sin B ＝ADAB， ∴AB ＝30sin sin 45AD B =︒＝3022＝302. 2.解：∠2=∠1=∠A=45°，∠3=60°，BC=AC=，作BH ⊥FC 于点H ，则BH=CH=BC=12，Rt △BDH 中，DH=BH÷tan ∠3=12 ÷=4，∴ CD=CH-DH=12-4例5. 解：过点C 作CD ⊥AM ，垂足为点D ，由题意得∠CBD ＝60°，∠CAB ＝30°, ∴∠ACB ＝30°，∠CAB ＝∠ACB ， ∴BC ＝AB ＝24×12＝12(海里)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin 60°＝63(海里)． ∵63＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁危险． 解：①如图28－138(1)所示，在Rt △BDC 中，∵CD ＝30，CB ＝60，∴∠B ＝30°．又PC ＝PB ，∴∠CPD ＝60°，∴DP ＝103． 故AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)km ．②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP ＝(30－103)km ， 故交叉口P 与加油站A 的距离为(30＋103)km 或(30－103)km ．解：(1)由題意得，在Rt△ADC中，AD==36.33(米)，…2分在Rt△BDC中，BD==12.11(米)，…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2(米)…6分(2)超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1(米/秒)，∵12.1×3600=43560(米/时)，∴该车速度为43.56千米/小时，∵大于40千米/小时∴在AB路段超速．提高：1（1）因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2．在△BEP中，因为PE⊥BE，∠B=60°，所以∠BPE=30°，而BP=x，所以BE=x，EC=2-x，在△CFE中，因为∠C=60°，EF⊥CF，所以∠FEC=30°，所以FC=1-x，同理在△FAQ中，可得AQ=+x，而AQ=y，所以y=+x（0<x≤2）．（2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2，所以x+y=2，所以解得x=．题分析：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，∴t+t=2，解得t=1s，（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．故填空答案：．（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；当点P到达B点时，此时t=2．因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t2﹣2t；②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQ•AF﹣DN•DM=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）=﹣t2+10t﹣8．综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：S=．。
