北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(3)函数与导数试题解析

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题： 6. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=【答案】A二、填空题：于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 43200x y --=14. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作（13）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个．14x =-; 2θ2sin 2p AB =或()θθ22tan 1tan 2+p解：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………5分即()1212228x x k m x x ++-=． ………10分 所以42mk k m -=+，整理得 122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即k y =（21+x ）2-．所以直线AB 过定点（2,21--）． ………12分若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设00(,)A x y ，00(,)B x y -， 由已知0000228y y x x ---+=， 得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点（2,21--）． 综上，直线AB 过定点（2,21--）． ………13分【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定.a b 、求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。

函数与导数(高考真题+模拟新题)课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y ＝16－x －x2的定义域是________．课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (－3,2)【解析】 由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2.课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )．则称映射f 具有性质P . 现给出如下映射：①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，则λa ＋(1－λ)b ＝λ(x 1，y 1)＋(1－λ)(x 2，y 2)＝(λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)， ①f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－[λy 1＋(1－λ)y 2] ＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )， ∴映射f 1具有性质P ；②f 2(λa ＋(1－λ)b )＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋[λy 1＋(1－λ)y 2]，λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21 ＋y 1 ) ＋ (1－λ)(x 22 ＋ y 2 )， ∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )， ∴ 映射f 2不具有性质P ；③f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋(λy 1＋(1－λ)y 2)＋1＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )， ∴ 映射f 3具有性质P .故具有性质P 的映射的序号为①③.课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知，得f (1)＝2； 又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】 要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，所以所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.课标文数11.B1[2011·陕西卷] －2 【解析】 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2,10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f (α)＝α2＝4，α＝2.课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝41－x，若f (α)＝2，则实数α＝________.课标文数11.B1[2011·浙江卷] －1 【解析】 ∵f (α)＝41－α＝2，∴α＝－1.大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )A ．y ＝x 24(x ∈R )B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R )D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x24x ≥0)．故选B.大纲文数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )A ．y ＝x 24(x ∈R )B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲文数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x24x ≥0)．故选B.大纲理数7.B2[2011·四川卷] 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1，则f (x )的反函数的图象大致是( )图1－2大纲理数7.B2[2011·四川卷] A 【解析】 当x >0时，由y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(1<x <2)，根据图象可判断选择答案A ，另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数8.B3[2011·北京卷] 设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,4)，D (t,4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9,10,11}B ．{9,10,12}C ．{9,11,12}D ．{10,11,12}课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标数学2.B3[2011·江苏卷] 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．课标数学2.B3[2011·江苏卷] ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab ＝18.大纲理数5.B3[2011·重庆卷] 下列区间中，函数f (x )＝||ln (2－x )在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 【答案】 －3【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] A 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.大纲理数9.B4[2011·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲理数9.B4[2011·全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫2＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f⎝⎛⎭⎫52＝－12，故选A.大纲文数10.B4[2011·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲文数10.B4[2011·全国卷] A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫2＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，又函数是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f⎝⎛⎭⎫52＝－12，故选A.课标理数9.B4[2011·福建卷] 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( ) A ．4和6 B ．3和1C ．2和4D ．1和2 课标理数9.B4[2011·福建卷] D 【解析】 由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ，∴ f (1)＋f (－1)＝2c ，∵ c ∈Z ，∴ f (1)＋f (－1)为偶数，而D 选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.课标理数4.B4[2011·广东卷] 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 课标理数4.B4[2011·广东卷] A 【解析】 因为g (x )在R 上为奇函数，所以|g (x )|为偶函数，则f (x )＋|g (x )|一定为偶函数．课标文数12.B4[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.课标文数12.B4[2011·广东卷] －9 【解析】 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10，所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.课标理数6.B4[2011·湖北卷] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2课标理数6.B4[2011·湖北卷] B 【解析】 因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x＋2②， ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝154.课标文数3.B4[2011·湖北卷] 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4[2011·湖北卷] D 【解析】 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x .又因为f (x )＋g ()x ＝e x ，所以g ()x ＝e x －e－x 2课标文数12.B4[2011·湖南卷] 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.课标文数12.B4[2011·湖南卷] 6 【解析】 由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9⇒f (－2)＝－6.因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标理数2.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数6.B4[2011·辽宁卷] 若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 课标文数6.B4[2011·辽宁卷] A 【解析】 法一：由已知得f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A. 法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x2x 2＋(1－2a )x －a ，则－x 2x 2－(1－2a )x －a ＝－x 2x 2＋(1－2a )x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x | 课标文数3.B3，B4[2011·课标全国卷] B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数10.B4[2011·山东卷] 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 课标理数10.B4[2011·山东卷] B 【解析】 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．课标理数3.B4[2011·陕西卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )图1－1课标理数3.B4[2011·陕西卷] B 【解析】 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.课标理数11.B4[2011·浙江卷] 若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.课标理数11.B4[2011·浙江卷] 0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.课标文数11.B4，B5[2011·安徽卷] 【答案】 －3【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 课标理数3.B4，B5[2011·安徽卷] A 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] 已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] A 【解析】 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.课标理数12.B5[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整．数．根的充要条件是n ＝________.课标理数12.B5[2011·陕西卷] 3或4 【解析】 由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3,4，故当n ＝3,4时方程有整数根．课标文数14.B5[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整．数．根的充要条件是n ＝________.课标文数14.B5[2011·陕西卷] 3或4 【解析】 由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3,4，当n ＝3,4时方程有整数根．课标理数8.B5[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C.⎝⎛－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 课标理数8.B5[2011·天津卷] B 【解析】 f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1 ＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4 ∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.课标文数8.B5[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]课标文数8.B5[2011·天津卷] B 【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －1)≤1x －1，x 2－2－(x －1)>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2 则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.图1－3课标理数3.B6[2011·山东卷] 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3课标理数3.B6[2011·山东卷] D 【解析】 因为点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标文数3.B6[2011·山东卷] 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3课标文数3.B6[2011·山东卷] D 【解析】 因为点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，所以9＝3a ，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标数学12.B6[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．课标数学12.B6[2011·江苏卷] 12⎝⎛⎭⎫e ＋1e【解析】 设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋xe x 2y ′＝－e x (x －1)＋(x －1)ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎭⎫e ＋1e .课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] C 【解析】 令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7[2011·安徽卷] 若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b )C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b ) 课标文数5.B7[2011·安徽卷] D 【解析】 由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上．课标文数3.B7[2011·北京卷] 如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x课标文数3.B7[2011·北京卷] D 【解析】 因为log 12x <log 12y <0＝log 121，所以x >y >1，故选D.课标文数15.B7[2011·湖北卷] 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．课标文数15.B7[2011·湖北卷] 6 10000 【解析】 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．课标理数3.B7[2011·江西卷] 若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎦⎤－12，0C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)课标理数3.B7[2011·江西卷] A 【解析】 根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－120.故选A.课标文数3.B7[2011·江西卷] 若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪()0，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，2 课标文数3.B7[2011·江西卷] C 【解析】 方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C. 方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b课标理数7.B6，B7[2011·天津卷] C 【解析】 令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7[2011·天津卷] 已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 课标文数 5.B7[2011·天津卷] B 【解析】 ∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1， ∴b <c <a .课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 课标文数12.B3，B7[2011·天津卷] 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a·32b＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲文数6.B7[2011·重庆卷] 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a大纲文数6.B7[2011·重庆卷] B 【解析】 a ＝log1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332， 则由log 343log 332＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.课标文数10.B8[2011·安徽卷] 函数f (x )＝ax n (1－x )2在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )图1－2A ．1B ．2C ．3D ．4 课标文数10.B8[2011·安徽卷] A 【解析】 由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax (2x －1)(x－1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．课标理数10.B8[2011·安徽卷] 函数f (x )＝ax m (1－x )n在区间[0,1]上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1 课标理数10.B8[2011·安徽卷] B 【解析】 由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )的图像关于直线x ＝12对称，所以A 不可能；当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )， f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，所以f (x )的极大值点应为x ＝13＜0.5，由图可知B 可能．当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝－ax (3x －2)，所以f (x )的极大值点为x ＝23＞0.5，所以C 不可能；当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)， f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，所以f (x )的极大值点为x ＝34＞0.5，所以D 不可能，故选B.课标理数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 课标理数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】 函数f (x )的图象如图1－5所示：图1－5由上图可知0<k <1.课标文数13.B8[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标文数13.B8[2011·北京卷] (0,1) 【解析】 函数f (x )的图象如图1－3所示：图1－3由上图可知0<k <1.课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数10.B8[2011·山东卷] 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－2课标文数10.B8[2011·山东卷] C 【解析】 由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数4.B8[2011·陕西卷] 函数y ＝x 13的图象是( )图1－1课标文数4.B8[2011·陕西卷] B 【解析】 因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故答案为B.课标数学8.B8[2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 课标数学8.B8[2011·江苏卷] 4 【解析】 设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.大纲文数 4.B8[2011·四川卷] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )图1－1大纲文数 4.B8[2011·四川卷] A 【解析】 由y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎫(x ，y )⎪⎪y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax )．课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋(p －p 0)22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X .当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p 2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2.当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X .②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2,1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2,1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p 2≤p ≤2)，在(0,2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p 0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝⎛⎭⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在[0,2]上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎡⎦⎤14(p ＋1)2－542＝p ＋4－2p 2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4(p －1)2＝p ＋(p －2)22＝p ＋2－p2＝1，故φmin ＝1，φmax ＝54.课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎫(x ，y )⎪⎪y ≤x －1，y ≥14(x ＋1)2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φmax )．课标理数21.B9，H8[2011·广东卷] 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋(p －p 0)22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X .当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2.当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X .②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2,1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2,1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p 2≤p ≤2)，在(0,2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝⎛⎭⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在[0,2]上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎡⎦⎤14(p ＋1)2－542＝p ＋4－2p 2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4(p －1)2＝p ＋(p －2)22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝5 4 .课标文数21.H10，B9[2011·广东卷]在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO＝∠AOP.(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知T(1，－1)．设H是E上动点，求|HO|＋|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1，－1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．求直线l1的斜率k的取值范围．课标文数21.H10，B9[2011·广东卷] 【解答】(1)如图1－2(1)．设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q.∵∠MPQ＝∠AOP，∴MP⊥l，且|MO|＝|MP|.因此，x2＋y2＝|x＋2|，即y2＝4(x＋1)(x≥－1)．①图1－3E1：y2＝4(x＋1)(x≥－1)；E2：y＝0，x<－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ⎝⎛⎭⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H ′.因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－34，－1.(3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零． 设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．故x ＝1k y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4k y －⎝⎛⎭⎫4k8＝0. 因判别式Δ＝16k2＋4⎝⎛⎭⎫4k ＋8＝⎝⎛⎭⎫4k ＋22＋28>0， 所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点． 又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点，则此交点的坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k <0时，l 1与E 2有唯一交点⎝⎛⎭⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点．因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12－12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝⎛⎭⎫33<0，则φ(x )在⎝⎛⎭⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立． 故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数12.B 9[2011·课标全国卷] 函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9[2011·课标全国卷] D 【解析】 当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y＝11－32＝－2.所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1,0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标文数10.B9[2011·课标全国卷] 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34 课标文数10.B9[2011·课标全国卷] C 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又因为函数y ＝e x 是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝⎛⎭⎫14，12内．课标理数16.B9[2011·山东卷] 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.课标理数16.B9[2011·山东卷] 2 【解析】 本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的。

精品解析：北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（16）选修系列试题解析一、选择题：2．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x（ ）（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=- 【答案】B【答案】A3. (2012年4月北京市房山区高三一模理科如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则ABC ∠=( B ) （A ）70︒（B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒二、填空题：11．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)如图，PA是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O的割线．若PA BC =PB BC =______． 【答案】12【解析】根据切割线定理有：2223(),0,4312(3)(2)0,(),.22PA PA PB PC PB PB BC PB PB BC BC BC PB PB PV BC PB BC BC BC =⋅=+=∴+⋅-=+-=∴=-=舍去(14) (北京市东城区2012年1月高三考试文科）在平面内，已知直线12l l ，点A是12,l l 之（13）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = . 60°13（10）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为．（12）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙2l1lCBA E FFEDCBAO于点D，且与AB延长线交于点C，若CD=1CB=，则ADE∠= ．60。

2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0.（ ）A ．若2223a b a b +=+,则a >bB ．若2223a b a b +=+,则a <bC ．若2223a b a b -=-,则a >bD ．若2223a b a b -=-,则a <b3 ．（2012年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f4 ．（2012年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π27 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．14B ．15 C ．16D ．178 ．（2012年高考（大纲理））已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =（ ）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1二、填空题9 ．（2012年高考（上海理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,5),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y=,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.11．（2012年高考（江西理））计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________. 三、解答题13．（2012年高考（天津理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.14．（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.15．（2012年高考（浙江理））已知a >0,b ∈R,函数()342f x ax bx a b =--+.(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围.16．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.17．（2012年高考（陕西理））设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性.18．（2012年高考（山东理））已知函数ln ()xx kf x e+=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲FG线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.19．（2012年高考（辽宁理））设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++∈为常数,曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6xf x x <+.20．（2012年高考（江苏））若函数)(x f y =在0x x=处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.21．（2012年高考（湖南理））已知函数()f x =axex =-,其中a ≠0.(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.22．（2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.23．（2012年高考（广东理））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = . (Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.24．（2012年高考（福建理））已知函数2()()x f x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .25．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.26．（2012年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.27．（2012年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1()(0)xx f x ae b a ae=++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题1. 【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0xg x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D2. 【答案】A【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 【答案】D【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒>,函数()f x 为增;21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒<,函数()f x 为减; 12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒<,函数()f x 为减; 2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒>,函数()f x 为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.4. 解析:()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()x f x xe =为减函数;1x >-时,()0f x '>,()x f x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.5. 【解析】若函数x a x f =)(在R 上为减函数,则有10<<a .函数3)2()(x a x g -=为增函数,则有02>-a ,所以2<a ,所以“函数x a x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积.解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰.7. 【答案】C【解析】312201211)()13260S x dx x x S ==-==⎰ 正阴影,故16P =,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.8. 答案A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可.【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值 由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.二、填空题 9. [解析]如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(211x x x x x f所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=452521=⨯.[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.10. 【解析】由已知得223023032|32a a x x S aa====⎰,所以3221=a ,所以94=a .11.23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成3cos 3x x +,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.12.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=. 三、解答题13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）得：实数k 的最小值为12(lfxlby)（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==- ：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln 32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑（lb ylfx ） 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <---- 得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑ 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.14. 【解析】(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f ef x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得:21()()()12xx f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+ ()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞(2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =,max ()2e F x =当1,a b ==,(1)a b +的最大值为2e 15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-.当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，=|2a -b |﹢a ;综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a . 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a ,∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()21220g x ax b x '=-+=⇒=当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ;当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断,()max max{1}g x g g =，（）4max{2}346362a b b a b a a b b a b a =--⎧≤-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a -b |﹢a ;综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.取b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为:21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩,目标函数为z =a +b .作图如下:由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-. ∴所求a +b 的取值范围为:[]13-，.【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，. 16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>, ()222113321222x x f x x x x --'=--+=()2(31)(1)2x x f x x+-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去), 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1n n f x x x =+-∵111()(1)()10222n n n f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点. 又当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx -'=+>∴ ()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当||12b>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾(ⅱ)当102b-≤-<,即02b <≤时, 222(1)()(1)422b bM f f =---=+≤恒成立(ⅲ)当012b≤≤,即20b -≤≤时, 222(1)()(1)422b bM f f =---=-≤恒成立.综上可知,22b -≤≤注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立 (3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥ ()1nn n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x 是递增数列. 证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x 是递增数列.18.解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f xexk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xexx ln 11--,令0)(='x f 可得1=x , 当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f .于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx e x x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-x e x x x x ,210)(-+<≤e x g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e e xx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q ex x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q e xx p x, 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p e ,令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q ,则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='x e xx p , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=',令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-e x ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=e e q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立. 19. 【答案及解析】【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6xf x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.20. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，. ∵当2x <-时,()0g x <';当21<x <-时,()0g x >', ∴=2x -是()g x 的极值点.∵当21<x <-或1x >时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点是-2.(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根.② 当()1 2x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.③ 当()1 1x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，.现考虑函数()y h x =的零点:( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，.而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点. ( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点.21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1axex =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.te t -->从而21()21()10a x x ea x x ---->,12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>.综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =.当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数; 当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则12121122b b a a a b a b ≤+成立; 若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 在①中令12a x a =,1r b =,可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-, 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有12121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:设12,,,n a a a 为非负实数,12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++= ,则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ . ③ 用数学归纳法证明如下:(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立.(2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a 为非负实数,12,,,k b b b 为正有理数,且121k b b b +++= ,则12121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数,121,,,,k k b b b b + 为正有理数, 且1211k k b b b b +++++= ,此时101k b +<<,即110k b +->,于是 111212121121()k k k k b b b b b b b b kk k k a a a aa a a a++++= =12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+ .因121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ,由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤ 1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅--- 112211k kk a b a b a b b ++++=- ,从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤ 1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++ ,从而112121k k b b b b k k a a a a ++ 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++ .故当1n k =+时,③成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞.②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则1x2x =于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当a ≤时,()2,D x =+∞.其中13a x 2x =(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x ' + 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.24. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.解:(1)()2x f x e ax e '=+- ,(1)200k f a a '===⇒=,故()x f x e e '=-1x ∴>时,()0f x '>,1x <时,()0f x '<,所以函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间为(,1)-∞(2)设切点00(,)P x y ,则切线000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,因为只有一个切点,所以函数()g x 就只有一个零点,因为0()0g x =000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,若0,()0a g x '≥> 0()()0g x g x >=,因此有唯一零点,由P 的任意性知0a ≥不合题意若0a <,令00()2()xx h x e e a x x =-+-,则0()0h x =()2x h x e a '=+,存在一个零点(ln(2),(ln 2))P a f a --,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故a 的取值范围为0a <.25. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.解:()sin f x a x '=-.(Ⅰ)因为[0,]x π∈,所以0sin 1x ≤≤.当1a ≥时,()0f x '≥,()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数; 当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数;当01a <<时,由()0f x '=得sin x a =,由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤; 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-.所以当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数;在[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数.(Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax x x ax x x ≤+⇔+≤+⇔≤+- 当0x =时,01sin 0cos 00≤+-=恒成立 当0x π<≤时,min 1sin cos 1sin cos 1sin cos []x x x xax x x a a x x+-+-≤+-⇔≤⇔≤令1sin cos ()(0)x xg x x xπ+-=<≤,则22(cos sin )1sin cos (1)cos (1)sin 1()x x x x x x x x x g x x x +--+++--'==又令()(1)cos (1)sin 1c x x x x x =++--,则()cos (1)sin sin (1)cos (sin cos )c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+则当3(0,)4x π∈时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减 当3(,]4x ππ∈时,sin cos 0x x +<,故()0c x '≥,()c x 单调递增 所以()c x 在(0,]x π∈时有最小值3()14c π=,而0lim ()(10)cos 0(01)sin 010x c x +→=++--=,lim ()()(1)10x c x c πππ-→==-+-<综上可知(0,]x π∈时,()0()0c x g x '<⇒<,故()g x 在区间(0,]π单调递 所以min 2[()]()g x g ππ==故所求a 的取值范围为2a π≤.另解:由()1sin f x x ≤+恒成立可得2()111f a a πππ≤⇔-≤⇔≤令2()sin (0)2g x x x x ππ=-≤≤,则2()cos g x x π'=-当2(0,arcsin)x π∈时,()0g x '>,当2(arcsin,)2x ππ∈时,()0g x '< 又(0)()02g g π==,所以()0g x ≥,即2sin (0)2x x x ππ≤≤≤故当2a π≤时,有2()cos f x x x π≤+①当02x π≤≤时,2sin x x π≤,cos 1x ≤,所以()1sin f x x ≤+②当2x ππ≤≤时,22()cos 1()sin()1sin 22f x x x x x x ππππ≤+=+---≤+ 综上可知故所求a 的取值范围为2a π≤.【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.26. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2) 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a -<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a-<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a--≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.27. 【解析】(I)设(1)xt e t =≥;则2222111a t y atb y a at at at -'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1a b a++②当01a <<时,12y at b b at =++≥+ 当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +(II)11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-由题意得:2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩。

第24课 月亮上的足迹 教学目标： 24、《》 目标（一）知识目标： 了解宇航和月球的科学知识，理解人类登月成功的伟大意义。

（二）能力目标： 学习本文按时间顺序，清楚明白地叙述事件发生过程的写作方法。

（三）德育目标： 培养学生对太空探索的兴趣和爱科学、学科学、用科学的精神。

教学过程一、导语激趣，引入课题。

二、快速阅读课文，完成下列各题。

请同学们带着两个问题速读课文①登月的全过程可分为几个阶段？②宇航员登上月球后做了哪几件事？速读时要注意速读的要求。

1．这是一篇记实报道，是记叙文的一种，请找出文章中所交代的时间、地点、人物、事情。

（引导学生回答。

） 2．本文所叙之事是登月，那它是分几个部分描述登月的全过程的呢？教师根据学生的回答，择其要点板书。

登月的全过程可分为四个部分： 3．宇航员登月，不仅开创了人类的首次载人探索外星球的新纪元，而且还肩负着特定的任务，那宇航员登上月球后做了做了些什么？： ①检查登月器的着陆情况。

②采集月壤和月岩。

③树立登月纪念碑。

④安装电视摄像机、太阳风测定装置、激光仪和月震仪进行科学探测。

⑤插上美国的星条旗。

⑥与美国总统尼克松通电话。

4．提问：从登月准备、飞向月球、成功登月到返回地面，文章是按什么顺序来报道这一过程的？ 明确：按事情发展的时间顺序，将有关表示时间的短语在书上圈点。

三．组织讨论： 1．我这里有一组数字，它们是从本文中节选出来的，请大家看一看，有关于时间的，有关于速度的，也有关于高度的。

（边展示解说）作者在文章中用了这么多数字，有什么作用呢？（学生回答后切换课件） 因为这是一篇太空探索的文章，而太空探索，对数字的精确度要求十分高，这些数字主要是体现本文的准确性、科学性、真实性，体现记实报道的特点。

2．文章最后写阿姆斯特朗谈到登月的意义时说：“这一小步，对于一个人来说，是小小的一步；对整个人类来说，是巨大的飞跃。

”你是怎样理解的？ “一小步”是指宇航员们从飞般跨到月球表面的一小步，对一个人来讲确实很容易，毫不费力。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B =（ ） A.(,1)-∞- B.2(1,)3-- C.2(,3)3- D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>. 2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点坐标为 （ ） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率.【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.2B.4 C ．8 D.16【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值.【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数.【参考答案】B 【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ） A.1222a a a + B.2221322a a a +C.若则12a a = ,则132a a a +D.若31a a >，则42a a > 【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质.【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。

2012高考真题分类汇编：导数一、选择题1.【2012高考真题某某理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D【解析】由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D. 2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B 2(1ln 2)-()C 1ln2+()D 2(1ln 2)+【答案】B 【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -, 3.【2012高考真题某某理7】设函数()xf x xe =，则（ ） A. 1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点[学 【答案】D.【解析】xx x xe e x f xe x f +=∴=)(',)( ，令0)('=x f ，则1-=x ，当1-<x 时0)('<x f ，当1->x 时0)('>x f ，所以1-=x 为)(x f 极小值点，故选D. 4.【2012高考真题某某理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21xex x ++211124x x <-+(C)21cos 12x x - (D)21ln(1)8x x x +- 【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编一、选择题：（7）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）函数()sin()()2f x x π=ω+ϕϕ<，其中的图象如图所示， 为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度 【答案】A【答案】D二、填空题：（10）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）已知sin 2cos =αα，那么tan 2α的值为 ． 【答案】43-【解析】22tan 4sin 2cos tan tan 21tan 3αα,α=2,α=α=∴∴=--α 13. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b = 4B π∠=，sin C =，则c = ；a = ．【答案】【解析】利用正弦定理可知2222sin 2cos ,4120, 6.sin b Cc b a c ac B a a a B===+-∴--=∴= （11）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 45-11．(2012年4月北京市房山区高三一模理科已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0,πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=__，ϕ=__. ; 58,910π;三、解答题：15．(2012年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共13分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +,,2=ac =.（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积. 15．（本小题共13分）解：（I ）解 tan tan tan A B A B +=tan tan )A B =-tan tan tan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=……………………5分（15）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共13分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos 1B B -=，1=b ．（Ⅰ）若125π=A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求A ．整理得21)6sin(=π-B ． ………………2分 因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分 由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由Bb Cc sin sin =，即3sin 14sin π=πc ，解得36=c . ………………7分15. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x +，π[,π]2x ∈. （Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………8分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-）………………3分令()0f x =，得 πsin(2)32x -=-. ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-. ………………13分（15）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+.因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分1sin (sin )22A A A =+11cos22()22AA -=+ 11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分因为203A π<<， 所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分.15. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分 （15）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值. （15）（共13分）)14x π=-+. …………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0. …………13分解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ , …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值1-. …………13分 15. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若()sin +cos f x x x =，求()f A 的最大值．形． ……………………6分（法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=， 由余弦定理可得因为△ABC 是2B π=的直角三角形， 所以02A π<<， ……………………10分 所以444A ππ3π<+<， ……………………11分 所以sin()124A π<+≤． ……………………12分 即()f A 的最大值为……………………13分。