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第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识：1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。
例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：1999=1×1000+9×100+9×10+9底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)故1999=1×103+9×102+9×101+9×1003na记作：3na=10n-1+…+102a n-2+10其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a．各位上的数字相同的正整数记法：999=1000－1104－1，∴999n个＝10n-1111n个＝1019n-，333n个＝103n555n个＝5(101)9n-解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据示0到9的整数这一性质进行讨论。
．二进制及其它进制二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。
例如二进制中的111记为(111)2111=1×22+1×2+1=73na )2记作：3na=2n-1××a3+…+22×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，位数(n为正整数3na )b记作：3na=b n-1××a3+…+b2×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，（一）十进制转二进制（整数部分）辗转相除直到结果为，将余数和最后的60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数 方法：乘2取整，顺次排列。
数学数的进位与退位数学中，进位和退位是一种基本的计算方式，常见于整数和小数的运算过程中。
进位指的是数值增加一位，而退位则是数值减少一位。
这两种操作在数学中广泛应用，不仅在加减乘除等基本运算中使用，也在更加复杂的数学问题中发挥着重要的作用。
一、整数的进位与退位整数的进位与退位是指在进行加法和减法运算时，结果超过了原来的范围而需要向前或向后进一位的操作。
下面以两个具体的例子来说明整数的进位与退位。
例1：已知a = 40，b = 60，求a + b。
解：在求和的过程中，我们发现个位数4和0的和大于9，需要进位。
进位后，个位数变为4+6=10，十位数变为之前的4+6+1=11，因此最后的结果为110。
例2：已知x = 70，y = 30，求x - y。
解：在减法运算中，我们发现十位数7大于个位数3，因此需要退位。
退位后，十位数变为7-1=6，个位数无需修改，所以最后的结果为60。
从以上两个例子可以看出，整数的进位与退位在加法和减法运算中都有着重要的作用，它们保证了运算结果的准确性。
二、小数的进位与退位小数的进位与退位主要出现在小数的加减法中，以保证计算结果的精确性。
下面以两个具体的例子来说明小数的进位与退位。
例3：已知m = 4.9，n = 3.3，求m + n。
解：在小数的加法运算中，我们按小数点对齐相应位数进行运算。
个位数9和3的和大于9，需要进位。
进位后，个位数变为9+3=12，十位数变为之前的4+1=5，因此最后的结果为5.2。
例4：已知p = 5.8，q = 2.7，求p - q。
解：在小数的减法运算中，我们同样按小数点对齐相应位数进行运算。
个位数8小于7，因此需要退位。
退位后，个位数变为8+10-7=11，十位数减去退位的1之后，得到之前的5-1=4，所以最后的结果为4.1。
小数的进位与退位在小数的加减法运算中是非常常见的，它们确保了计算结果的准确性和精确度。
总结：数学中的进位与退位是一种常见的运算方式，既出现在整数的加减法中，也出现在小数的加减法中。
计算机中数制之间的转换赵祖应（云南爱因森软件职业学院，云南昆明65000）摘要：由于二进制具有电路简单，易于表示，可靠性高，运算简单，逻辑性强等特点，所以在计算机中采用二进制来表示指令和存储数据，所以计算机只能识别二进制，由于人们所固有的习惯，我们需要的数据和信息，要用计算机来处理，那么必须把它转换成二进制。
关键字：数据单位；计数制与非计数制；进制的表示方法；数制之间的转换一、数据的表示单位我们要处理的信息在计算机中常常被称为数据。
所谓的数据，是可以由人工或自动化手段加以处理的那些事实、概念、场景和指示的表示形式，包括字符、符号、表格、声音和图形等。
数据可在物理介质上记录或传输，并通过外围设备被计算机接收，经过处理而得到结果，计算机对数据进行解释并赋予一定意义后，便成为人们所能接受的信息。
计算机中数据的常用单位有位、字节和字。
1. 位(bit)计算机中最小的数据单位是二进制的一个数位，简称为位。
正如我们前面所讲的那样，一个二进制位可以表示两种状态(0或1)，两个二进制位可以表示四种状态(00、01、10、11)。
显然，位越多，所表示的状态就越多。
2. 字节(Byte)字节是计算机中用来表示存储空间大小的最基本单位。
一个字节由8个二进制位组成。
例如，计算机内存的存储容量、磁盘的存储容量等都是以字节为单位进行表示的。
除了用字节为单位表示存储容量外，还可以用千字节(KB)、兆字节(MB)以及十亿字节(GB)等表示存储容量。
它们之间存在下列换算关系：1B=8bits1KB=210B=1024B1MB=210KB=220B=1048576B1GB=210MB=230B=1073741824B3. 字(Word)字和计算机中字长的概念有关。
字长是指计算机在进行处理时一次作为一个整体进行处理的二进制数的位数，具有这一长度的二进制数则被称为该计算机中的一个字。
字通常取字节的整数倍，是计算机进行数据存储和处理的运算单位。
数的进位制预备知识：进位制的基本概念及p 进制化为10进制。
1.．．我们已知道10进制的记数原理。
如一个10进制数1999=910991101023+⨯+⨯+⨯。
一般地，a b c d e =ed c b a +⨯+⨯+⨯+⨯10101010234（其中a,b,c,d,e 均是0—9的数码，且a 0≠）也就是说每个数都可以按．．．．．．．10．．的方幂形式展开．．．．．．．10进制数有以下特点：（1）“10”是这种进位制的基数，逢．．．．10．．进一．．。
（2）表示一个数需要用0，1，2…9 这10个不同的数码。
（3）数码处在不同的位置（数位）表示的意义不同，如在1999中左边第一个9代表900，而左边第二个9代表90。
说每个数都可以按10的方幂形式展开。
2.按照10进制数的特点，我们可以推广到p 进制数。
设p 是不为1的正整数，我们可以选p 为基数，确定p 进制数。
要求（1） 逢p 进一（2） 在p 进制中有0，1，2…(p-1)共p 个数码。
（3） 每个数都能按p 的方幂展开。
如p=5时就是5进制数，在5进制中5为基数，逢5进一，只使用0，1，2，3，4共5个数码。
每个数都能按5的方幂展开，5进制a 记为（a ）5 ，例（12345）5=453215523+⨯+⨯+⨯ 一． 把一个p 进制数转化为10进制数。
一般的一个p 进制数N=（a a a a n 321）p 转化为10进制数，只要 把N 按p 的降幂形式展开即可，然后安通常的十进制数相加就得到所求的十进制数。
即（a a a a n 321）p =a p a p a n n n +⨯+⨯--2211 例1将)7215(12化为10进制。
例2在哪个进制中，10进制数52记为34？例3如果在某个进位制中4466=⨯，那么在这个进位制中76是10进制中的哪个数？。
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
各种进位制的相互转换
对进位制不了解的请先看这篇文章：进位制的基与数字
1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如
2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是：
(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.
(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.
(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.
对于分数部分其步骤是：
(1)用q去乘{a(10)}.
(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.
(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：
103.118(10)=147.074324 (8)
整数部分的草式
分数部分的草式
3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以
s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)
127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)
然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即。
整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中
且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
，其中
且。
而仍然为十进制数字，简记为。
典例分析
例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
分析与解答
分析：用2作为除数（若化为p 进位制就以p 作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。
所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。
解： 各次商数
故，
；
同理，有，。
处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。
例2．求满足
的所有三位数。
（1988年上海市竞赛试题）
解：由于，则，从而；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
于是所求的三位数只有512。
例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
（1979年云南省竞赛题）
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为，则
原数①颠倒后的新数②由②－①得7812＝
即③
比较③式两端百位、十位、个位数字得
由于原四位数的千位数字不能为0，所以，从而，又显然百位数字，所以。
所以所求的原四位数为1979。
例4．递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。
（第4届美国数学邀请赛试题）
解：将已知数列写成3的方幂形式：
易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：
即
由于100＝
所以原数列的第100项为。
例5．1987可以在b进制中写成三位数，如果，试确定所有可能的和。
（1987年加拿大数学竞赛试题）
解：易知，从而，
即，
由知。
由知故；
又因为有12个正约数，分别为1,2，3,6，
9,18,109,218,327,654,981,1962，所以，从而。
又由知
例6．设是五位数（第一个数码不是零），是由取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切使得是整数。
（第3届加拿大数学竞赛试题）解：设，其中
且；；
而是整数，可证，即
即，这显然是成立的；
又可证，即＜
即，这显然也是正确的。
于是，即，又因为是整数，从而；
于是，即＝
即，而但3 102知为正整数）从而，显然，因而推得其中。
例7．若且是其各位数字和的倍数，这样的有多少个？（2004年南昌竞赛试题）
解：（1）若为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；
（2）若为100时，也适合；
（3）若为二位数时，不妨设，则，由题意得
即即也就是；
若显然适合，此种情况共有9种；
若，则由，故
若，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；
若（）9，则或，这样的数共有24,42,48,84共4个；
综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。
例8．如果一个正整数在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题）
解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：
引理1.在3个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。
证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。
引理2.在9个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。
把这3个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。
证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数（是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。
另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。
若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。
将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为，根据引理1，
得，即。
设前个“好的”正整数之和为，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。
因此；
又因为和都是“好的”正整数。
因此前2005年“好的”正整数之和是：。
