综合法与分析法的教学设计

综合法与分析法教案教案标题：综合法与分析法的教学方法比较与应用教学目标：1. 了解综合法与分析法的定义、特点和适用范围；2. 掌握综合法与分析法的基本原理和操作步骤；3. 培养学生综合思考和分析问题的能力；4. 提高学生的学科知识应用能力。

教学重点：1. 理解综合法与分析法的概念及其在教学中的作用；2. 掌握综合法与分析法的基本原理和操作步骤；3. 运用综合法与分析法解决实际问题。

教学难点：1. 学生对综合法与分析法的理解和应用能力；2. 教师如何引导学生灵活运用综合法与分析法。

教学准备：1. 教师准备PPT、教学案例和相关教学资源；2. 学生准备笔记本和写作工具。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问和引入相关教学案例，激发学生对综合法与分析法的兴趣，并引发学生对这两种教学方法的初步了解。

Step 2：讲解综合法与分析法的概念及特点（10分钟）教师通过PPT讲解综合法与分析法的定义、特点和适用范围，并与学生一起讨论这两种方法在实际教学中的应用。

Step 3：介绍综合法与分析法的基本原理和操作步骤（15分钟）教师详细介绍综合法与分析法的基本原理和操作步骤，包括综合法的整合思维和综合判断能力培养，以及分析法的问题分解和逻辑推理能力培养。

Step 4：分组讨论和实践（20分钟）教师将学生分成小组，每组选择一个教学案例，运用综合法或分析法进行讨论和实践。

教师在此过程中进行指导和辅导，引导学生理解和应用这两种方法。

Step 5：汇报和总结（10分钟）每个小组向全班汇报他们的讨论和实践成果，并进行总结。

教师对学生的表现进行评价和点评，强调综合法与分析法在解决问题中的重要性和实用性。

Step 6：拓展延伸（5分钟）教师提供一些拓展资源和阅读材料，鼓励学生进一步了解和应用综合法与分析法。

Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关作业，要求学生运用综合法或分析法解决一个实际问题，并在下节课进行展示和讨论。

主备人：郭佳佳 审核：使用时间：综合法与分析法【学习目标】1 理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题． 2．通过学习分析法与综合法，体会两种方法的相辅相成、辩证统一关系．3．通过综合法与分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性，养成审慎思维的习惯． 【问题导学】明确概念： 1 直接证明2 综合法3 分析法4 分析法与综合法的区别与联系【合作探究】（集思广益、用心收获）1 求证：5321232log 19log 19log 19++<练：已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：错误!＋错误!＋错误!>3练：已知a 、b 、c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求证：错误!·错误!·错误!≥82+<练：已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥错误!；练：已知a >0，b >0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!3 △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：a ＋b -1＋b ＋c -1＝3a ＋b ＋c -1 分析法：综合法：【归纳小结】（构建知识、为我所用）知识方面：。

数学思想与方法：。

【我要提问】【作业】一、选择题1．·错误!m、n、a、b、c、d均为正数，则、q的大小为A．≥q B．≤q C．>q D．不确定2．已知函数f＝错误!，a、b∈R＋，A＝f错误!，B ＝f错误!，C＝f错误!，则A、B、C的大小关系为A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A3．若、∈R，且22＋2＝6，则2＋2＋2的最大值为A．14 B．15 C．16D．174．设a与b为正数，并且满足a＋b＝1，a2＋b2≥，则的最大值为D．1 5．已知a>0，b>0，错误!＋错误!＝1，则a＋2b的最小值为A．7＋2错误!B．2错误!C．7＋2错误!D．146．已知>>0，且＋＝1，那么A．2 C b2＋c2D．a2≤b2＋c29．已知实数a≥0，b≥0，且a＋b＝1，则a＋12＋b ＋12的范围为D．[0,5]10．已知∈－∞，1]时，不等式1＋2＋a－a2·4>0恒成立，则a的取值范围是D．－∞，6二、填空题11．设＝24＋1，q＝23＋2，∈R，则与q的大小关系是________．12．如果不等式|－a|0，b>0，a≠b，则错误!>错误!14．已知函数f＝tan，∈错误!，若1、2∈错误!，且1≠2，求证：错误![f1＋f2]>f错误!15．已知：a，b，c∈0，＋∞，且a＋b＋c＝1 求证：1a2＋b2＋c2≥错误!；2错误!＋错误!＋错误!≤错误!。

综合法和分析法【教学目标】加强不等式证明的训练，要求学生初步掌握用综合法和分析法证明不等式．【教学重点】综合法和分析法证明不等式．【教学难点】综合法和分析法证明不等式．【教学过程】一、复习引入1.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性.常见的直接证明方法有综合法与分析法.2.综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式。

二、讲解新课综合法1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法.分析法 1.分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.例题分析例1. 已知：c b a ,,是不全相等的正数,求证: ()()()abc b a c a c b c b a 6222222>+++++证明：综合法73+525273<+()()225273<+2021210<+10212<521<2521<证明:因为 和都是正数,所以为了证明 只需证明 展开得因为 成立,所以 成立2521<5273<+ ()abcc b a a bc c b 20,22222≥+∴>≥+同理：()()abc b a c abc c a b 222222≥+≥+因为c b a ,,是不全相等的正数,所以上述三个等号不会同时成立.()()()abc b a c a c b c b a 6222222>+++++∴ .3)2cot()2tan(4sin 22sin .2=-+= ααα，求证已知例证明：综合法 )]2()2sin[(2)]2()2sin[( --+=-++αααα由已知得)2cos()2sin()2sin()2cos(3 -+=-+αααα展开整理得3)2sin()2cos()2cos()2sin(=-+-+∴ αααα,即3)2cot()2tan(=-+ αα 小结: （结论）（已知）综合法证题步骤：n P P P P ⇒⇒⇒⇒ 210.5273.3<+例证明：分析法(略)小结.21（已知）（结论）分析法证题步骤：nB B B B ⇐⇐⇐⇐.11114cb ac b a abc c b a ++<++=求证：，为互不相等的正数且、、已知例 .222222.ab ac bc c b a ab ac bc c b a ++<++++<++也就是证明立，即证证明：要证原不等式成..2222222222221222所以，原不等式成立相加得；；；所以，为互不相等的正数且、、因为ab ac bc c b a b c ab bc ab a bc a ab ac c abc ac bc abc c b a ++<++=>+=>+=>+=三、课堂练习 .313tan )tan(0cos 5)2cos(8.1=+=++αβαββα求证，已知.3213.2---<--≥a a a a a ，求证：已知四、课堂小结综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式，常把它们结合起来使用.即当遇到较难的新命题时，应当先用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合法叙述出来.五、作业。

《2.2.1综合法与分析法》教学案教学目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；3.通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.教学重难点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学过程:学生探究过程：证明的方法(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.(2)、例题研讨5321231 2.log 19log 19log 19例求证： 证明：因为1log ,log a b b a所以 左边19191923191919231919log 52log 33log 2log 5log 3log 2log (532)log 360.因为1919log 360log 3612,所以532123 2.log 19log 19log 19例2 若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++ 例3已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证.2)商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a ba b a 故原不等式得证. 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差(或作商)、变形、判断符号.讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？(3)、课堂回顾与反思。

综合法
（第二课时）
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．
（学生活动）完成练习．
［字幕］
1．证明（）．
x x 222>+R x ∈
2．比较与的大小，并证明你的结论．12+x x 2
1．证法一：由，所以011)1(2)2(22-≥+-=-+x x x x x 222>+
方法二：由，知，即，所以0)1(2≥-x 01)1(2>+-x 0222>+-x x .222x x >+
2．答：.212x x >+
证法一：由，所以0)1(122)1(222≥-=+-=-+x x x x x .212x x >+ 证法二：由知，所以0)1(2≥-x 0122≥+-x x .212
x x ≥+ ［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明，并点评证法的数学原ab b a 22
2≥+理，
（学生活动）学生研究证明不等式．
[问题]证明ab b a 222≥+ （证明：因为，所以，即．）0)(2≥-b a 0222≥+-b ab a ab b a 22
2≥+。

综合法和分析法(公开课教案)第一章：综合法的介绍1.1 教学目标：了解综合法的定义和应用范围。

掌握综合法的步骤和技巧。

1.2 教学内容：综合法的定义和意义。

综合法的应用领域，如科学研究、工程设计等。

综合法的步骤，包括问题定义、信息收集、方案设计等。

综合法的技巧，如图表制作、数据分析等。

1.3 教学方法：讲授法：介绍综合法的定义、应用领域和步骤。

案例分析法：分析实际案例中的应用实例。

小组讨论法：分组讨论综合法的技巧和难点。

1.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。

案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。

第二章：分析法的介绍2.1 教学目标：了解分析法的定义和应用范围。

掌握分析法的步骤和技巧。

2.2 教学内容：分析法的定义和意义。

分析法的应用领域，如企业管理、市场研究等。

分析法的步骤，包括问题定义、数据收集、因素分析等。

分析法的技巧，如数据可视化、假设验证等。

2.3 教学方法：讲授法：介绍分析法的定义、应用领域和步骤。

案例分析法：分析实际案例中的应用实例。

小组讨论法：分组讨论分析法的技巧和难点。

2.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。

案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。

第三章：综合法和分析法在科学研究中的应用3.1 教学目标：了解综合法和分析法在科学研究中的具体应用。

掌握相应的应用技巧和注意事项。

3.2 教学内容：综合法和分析法在科学研究中的常见应用场景。

具体的应用技巧，如数据整合、信息提炼等。

应用过程中的注意事项，如数据准确性、逻辑严密性等。

3.3 教学方法：讲授法：讲解综合法和分析法在科学研究中的应用。

案例分析法：分析具体案例中的应用实例。

小组讨论法：分组讨论应用过程中的技巧和难点。

3.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。

案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。

第四章：综合法和分析法在工程设计中的应用4.1 教学目标：了解综合法和分析法在工程设计中的具体应用。

2.2 综合法和分析法-人教A版选修1-2教案一、教学目标1.了解综合法和分析法的概念和特点2.掌握综合法和分析法的作用和应用场景3.认识和分析例题，运用综合法和分析法解决实际问题二、教学内容1.综合法和分析法概念及特点介绍2.综合法和分析法比较分析3.综合法和分析法的应用场景4.综合法和分析法例题解析三、教学重难点1.综合法和分析法的概念和特点2.综合法和分析法的应用场景3.综合法和分析法例题的解析四、教学过程第一步：导入教师引入本节课的主题内容，简单介绍综合法和分析法的概念，引导学生关注课程内容。

第二步：概念和特点1.给学生讲解综合法和分析法的概念和特点2.分组讨论，让学生思考两种方法的区别和联系，并用自己的话总结第三步：应用场景1.以文化建设为例，讲解综合法和分析法的应用场景2.让学生自主探究，寻找综合法和分析法在其他应用场景中的运用第四步：例题解析1.介绍例题的题目和要求，并引导学生分析问题2.针对例题，分别讲解综合法和分析法的运用和解题思路3.让学生自主思考、回答问题，并讲述自己的解题过程第五步：练习1.发放有关综合法和分析法的练习题，让学生进行巩固和练习2.鼓励学生自主思考和调试第六步：总结1.教师进行课堂总结，强调综合法和分析法的运用和重要性，并回顾本节课程内容2.学生进行自我总结，思考如何更好地运用综合法和分析法五、教学评价1.学生能够准确区分综合法和分析法，并理解两种方法的应用场景2.学生能够运用综合法和分析法解决实际问题3.学生能够迅速掌握例题所涉及的知识点，并能够独立解决类似问题的能力六、教学资源1.选修1-2教材2.综合法和分析法课件3.有关综合法和分析法的练习题七、教学反思本节课教学面面俱到，能够帮助学生迅速掌握综合法和分析法的解题思路和应用场景，但现场学生参与度不够，因此需要进一步引导学生独立思考和探究。

综合法与分析法一、教材分析：《综合法与分析法》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．二、教学目标：1、知识与技能：(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．2、过程与方法：(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．三、教学重点： 综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤。

四、教学难点： 综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题。

五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：本节知识点数学是证明中的一种特别方法，它需要学生具备一定的方向思维，执果索因，具备一定的逻辑推理能力，由于逻辑的转换存在困难，大部分学生对于本节课要学习的证明方法还存在一定逻辑推理上的欠缺，还需要老师逐步讲解和引导。

3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究、讲练结合法七、教学过程一， 1、自主导学： 复习引入回顾不等式：⑴(),02a a b b ≥>+的证明过程；证明：因为222a b a b ab +=+≥=所以2a b +≥=a b =等号成立⑵222a b ab +≥，(,)a b R ∈的证明过程；因为2222()0a b ab a b +-=-≥所以 222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立。

2、合作探究（1）分组探究： 例1．已知 ,,0,a b c ＞且不全相等，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞证明：222,0b c bc a +≥＞，所以22()2a b c abc +≥ ①因为222,0c a ac b +≥＞，所以 22()2b c a abc +≥ ②因为222,0a b ab c +≥＞，所以 22()2c a b abc +≥ ③由于，,,a b c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++＞（2）教师点拨：观察上述证明方法我们可以得到综合法的概念：所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证明的不等式。

《综合法和分析法》（人教A版）第一章：综合法的概念与运用1.1 教学目标1. 理解综合法的定义与特点2. 掌握综合法的运用步骤3. 能够运用综合法解决实际问题1.2 教学内容1. 综合法的定义与特点2. 综合法的运用步骤3. 综合法在实际问题中的应用案例1.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析综合法在实际问题中的应用案例1.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对综合法运用步骤的掌握第二章：分析法的概念与运用2.1 教学目标1. 理解分析法的定义与特点2. 掌握分析法的运用步骤3. 能够运用分析法解决实际问题2.2 教学内容1. 分析法的定义与特点2. 分析法的运用步骤3. 分析法在实际问题中的应用案例2.3 教学方法1. 讲授法：讲解分析法的定义、特点与运用步骤2. 案例分析法：分析分析法在实际问题中的应用案例2.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对分析法定义与特点的理解2. 练习题：巩固学生对分析法运用步骤的掌握第三章：综合法与分析法的比较3.1 教学目标1. 理解综合法与分析法的联系与区别2. 能够根据实际情况选择合适的法方法3.2 教学内容1. 综合法与分析法的联系与区别2. 选择合适方法解决实际问题的原则3.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的联系与区别2. 案例分析法：分析实际问题中选择合适方法的应用案例3.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法联系与区别的理解2. 练习题：巩固学生对选择合适方法解决实际问题的能力第四章：综合法与分析法在数学中的应用4.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在数学问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决数学问题4.2 教学内容1. 综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决数学问题的步骤4.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在数学问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决数学问题的步骤4.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在数学问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决数学问题的能力第五章：综合法与分析法在实际问题中的应用5.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在实际问题中的应用2. 能够运用综合法与分析法解决实际问题5.2 教学内容1. 综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 运用综合法与分析法解决实际问题的步骤5.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在实际问题中的应用案例2. 案例分析法：分析综合法与分析法解决实际问题的步骤5.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在实际问题中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法解决实际问题的能力第六章：综合法与分析法在科学研究中的应用6.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 掌握综合法与分析法在科学研究中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法进行科学研究6.2 教学内容1. 综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法进行科学研究的步骤6.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在科学研究中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在科学研究中的具体应用案例6.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在科学研究中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在科学研究中应用的步骤第七章：综合法与分析法在社会科学中的应用7.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 掌握综合法与分析法在社会科学中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决社会科学问题7.2 教学内容1. 综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决社会科学问题的步骤7.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在社会科学中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在社会科学中的具体应用案例7.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在社会科学中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在社会科学中应用的步骤第八章：综合法与分析法在工程技术中的应用8.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 掌握综合法与分析法在工程技术中的具体应用3. 能够运用综合法与分析法解决工程技术问题8.2 教学内容1. 综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例3. 运用综合法与分析法解决工程技术问题的步骤8.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在工程技术中的重要性2. 案例分析法：分析综合法与分析法在工程技术中的具体应用案例8.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在工程技术中重要性的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在工程技术中应用的步骤第九章：综合法与分析法的案例研究9.1 教学目标1. 理解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 掌握综合法与分析法在案例研究中的具体操作3. 能够运用综合法与分析法进行案例研究9.2 教学内容1. 综合法与分析法在案例研究中的应用2. 综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例3. 运用综合法与分析法进行案例研究的步骤9.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法在案例研究中的应用2. 案例分析法：分析综合法与分析法在案例研究中的具体操作案例9.4 教学评估1. 课堂问答：检查学生对综合法与分析法在案例研究中应用的理解2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法在案例研究中应用的步骤第十章：综合法与分析法的实战演练10.1 教学目标1. 提高学生运用综合法与分析法解决实际问题的能力2. 培养学生的综合分析与判断能力3. 能够独立完成综合法与分析法的实战演练10.2 教学内容1. 综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练的步骤与方法10.3 教学方法1. 讲授法：讲解综合法与分析法的实战演练案例2. 实战演练法：学生独立完成综合法与分析法的实战演练10.4 教学评估1. 实战演练报告：评估学生对综合法与分析法实战演练的理解与运用能力2. 练习题：巩固学生对综合法与分析法实战演练的步骤与方法重点和难点解析第一章至第五章：基础概念与运用重点：综合法与分析法的定义、特点、运用步骤以及如何在实际问题中选择合适的方法。

2.2.1 综合法与分析法教学目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 知识链接1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．教学导引1．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q3．分析法(1)定义：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件课堂讲义要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )．由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立． 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.当堂检测1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 【答案】D【解析】∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14， 则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【答案】C【解析】根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a＝log a b ，所以 左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋lo g 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．。