考研数学之方阵幂的计算方法

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方阵的m次幂的计算方法
作者：屠瑶瑶杨如军
来源：《魅力中国》2018年第06期
摘要：矩阵是从实际问题中抽象出来的概念，是线性代数重要组成部分；方阵m次幂的
计算是矩阵运算的特殊情况，很多学者对矩阵高次幂的求法进行了研究；本文对方阵m次幂
的算法进行归纳和总结。

关键词：矩阵；运算；幂；算法
三、结束语
上述介绍的几种求解方阵m次幂的方法，虽然简化了求解方阵m次幂的过程，但在具体求解中，还应该具体问题具体对待，有的可以按定义直接求，有的要利用简便方法。

并且上述的方法也不是完全独立的，有时相互配合使用，效果更佳。

总之，在方阵m次幂的求解中要
先观察的特征，再寻求最佳解决方法。

参考文獻：
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关于方阵A 的任意次幂求法对于任一方阵，通过矩阵乘法可求得A 2，A 3，…，A n ，…，所以理论上说对于任意n ∈N ，A n 均可求出来，但实际计算却是相当困难的，下面给出几种A n 的求法.一，定义法.若方阵阶数比较小或者秩很小或是个稀疏矩阵，则可用定义直接相乘.1.关于对角矩阵，则.λ=(a 1a 2 ⋱a m )λn =(a n 1 a n 2 ⋱ a nm )2.若r(A)=1，则A 可表示为，则(a 1⋮a m)(b 1,…,b m ).A n =(a 1⋮a m)(∑mi =1a i b i)n (b 1,…,b m )3.若，则.A =(sin θcos θcosθ‒sin θ)A n=(sin nθcos nθcos nθ-sin nθ)二，对角化法.若A 可以对角化，即存在可逆方阵P ，使得，其中为对角矩阵，A =P ‒1ΛP Λ则（此处加入例子302）.A n =P ‒1ΛnP 例 求A n ，其中.A =[122212221]解：通过对角化，矩阵A 可化为，Λ=[‒1000‒1005]其中可逆矩阵，P =[101011‒1‒11]故，A n=P‒1ΛnP =[101011‒1‒11]‒1[‒1000‒10005]n[101011‒1‒11].=13[2(‒1)n +5n (‒1)n +1+5n(‒1)n ‒5n (‒1)n +5n2(‒1)n +5n 3(‒1)n ‒5n (‒1)n ‒5n(‒1)n ‒5n2(‒1)n +5n ]特别地，1.若A 为m 阶方阵，A 有m 个互异的特征值，则A 一定可以对角化，则A n 可以用上述方法求得.2.若A 为实对称矩阵，则必存在可逆方阵P ，使得，其中为全体特征值构成的方阵.从而有.A =P ‒1ΛP ΛA n =P ‒1ΛnP 三，二项式展开.首先不加证明给出一个定理：定理：若A 、B 为同阶方阵，且AB=BA ，则）.(A +B )n =∑ni =0C i n A n ‒i Bi由这个定理，可将A 分解成两个可以交换次序的方阵的和，再用该定理展开.例 求A n ，其中A =[ab ba]解：，其中A =aE +bP P =[110]故A n =(aE +bP )n =n∑i =0C i n (aE )n ‒i (bP )i=n ∑i =0C i nan ‒i b i E n ‒i P i=(a +b)n +(a ‒b)n 2E +(a +b)n ‒(a ‒b)n 2P.=[(a +b)n +(a ‒b)n2(a +b)n ‒(a ‒b)n2(a +b)n‒(a ‒b)n2(a +b)n+(a ‒b)n2]四，数学归纳法.已知A ，算出A 2，A 3，…，寻找规律，并用数学归纳法加以证明.例 求A n ，其中.A =[1101]解：经过计算得，，A 2=[1201]，A 3=[1301]……由此猜想，.A n =[1n 01]下面对此给予证明：①当n=1时，显然成立.②假设当n=k 时命题成立，则当n=k+1时，有，A k +1=A k A =[1k 01] [1101] =[1k +101]从而结论成立，证毕.五，利用Hamilton-Caylay 定理.利用Hamilton-Caylay 定理求A n 有两种方法.1.设A 的特征多项式为，特征值为，由带余f (λ)=|λE ‒A |λ1，λ2，…，λs 除法可得：，λn =f (λ)⋅q (λ)+r(λ)其中，且.设A 为m 阶方阵，则可设∂r (λ)<∂f(λ)f (A )=0，r (λ)=a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m 将代入并根据根的重数，可求出，从而λ1，λ2，…，λs r(λ).A n =r (A )=a 1A m ‒1+…+a m ‒1A +a m E 2.设A 的阶数为m ，为A 的特征多项式，设f (λ)，由可得f (λ)=λm +a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m f (A )=0，两边同时乘以A n ，可得A m +a 1A m ‒1+a 2A m ‒2+…+a m ‒1A +a m E =0，不妨把A 1，…，A n ，…看成数列{b n}，A n +m +a 1A n +m ‒1+…+a m ‒1A n =0即要求出数列的通项，而该数列满足递推式，b n +m +a 1b n +m ‒1+…+a m b n =0由于为常数，可得该线性递归数列的特征方程为a 1，…a m ，其根为，重数为λm +a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m =0λ1，λ2，…，λs 重，，则r 1+1，…，r s +1r i ≥0b n =(C 01+C 11n +…+C r 11nr 1)λn 1+(C 02+C 12n +…+C r 22nr 2)λn 2+…，+(C 0s +C 1s n +…+C r ss nr s )λn s其中均为m 阶方阵，可C 01，C 11，…，C r 11，C 02，…，C r 22，…，C 0s ，…，C rs s 用待定系数法求解，从而A m =(C 01+C 11n +…+C r 11nr 1)λn 1+(C 02+C 12n +…+C r 22nr 2)λn 2+….+(C 0s +C 1s n +…+C r ss nr s )λn s特别地，s=m 时，，分别令n=1,2,…,m ，可求出方阵A n =C 1λn 1+…+C m λnm .C 1，…，C m例 求A n ，其中.A =[1254]解：A 的特征多项式为f (λ)=λ2‒5λ ‒6令，可得，从而f (λ)=0λ1=‒1，λ2=6，A n =C 1(‒1)n +C 26n 分别令n=1，2，可得，C 1=[57‒27‒5727]，C 2=[27 275757]所以.A n =[57(‒1)n +276n ‒27(‒1)n +276n‒57(‒1)n +576n27(‒1)n +576n]六，杂例.1.对角化法推广.在对角化法中，我们要求A 可以对角化，现将这一条件去掉.对任意方阵A ，总有总存在方阵B ，使得A 与B 相似.因为任意方阵A ，存在可逆矩阵P ，使得，P ‒1JP =A ，J =(J 1⋱J s)，J =(λi 1λi ⋱ ⋱ 1 λi)r ir i 为的重数，取B=J ，则B 必然存在.由A 与B 相似，从而存在可逆矩阵Q ，使λi 得A=Q -1BQ ，从而A n =Q -1B n Q ，若B n 可以求出，则A n 也可以求出.例 求A n ，其中A =[21‒10]解：因为存在矩阵，使得B =[1101][21‒10]=[2111]‒1[1101][2111]而，[1101]n=[1n 01]所以[21‒10]n=[2111]‒1[1101]n[2111]=[2111]‒1[1n 01][2111].=[n +1n ‒n ‒n +1]2.其他方法.例 求解[a bb a]n解：设，则，可得[ab b a ]n=[x ny n y nx n ][x ny n y nx n ]=[ab ba ][x n ‒1y n ‒1y n ‒1x n ‒1]{x n =ax n ‒1+by n ‒1y n =bx n ‒1+ay n ‒1两式相加得x n +y n =(a +b )(x n ‒1+y n ‒1)两式相减x n ‒y n =(a ‒b )(x n ‒1‒y n ‒1)从而x n +y n =(a +b)n ，x n ‒y n =(a ‒b)n ，解得{x n =(a +b)n +(a ‒b)n 2y n =(a +b)n +(a ‒b)n 2故.[a b b a ]n=[(a +b)n +(a ‒b)n2(a +b)n ‒(a ‒b)n2(a +b)n‒(a ‒b)n2(a +b)n+(a ‒b)n2]【参考文献】1.北京大学数学系前代数小组.高等代数（第三版），高等教育出版社，2003年7月.2.杨子胥.高等代数习题解（修订版），山东科技出版社，2005年3月.。

矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。

在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。

本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。

一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。

矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。

对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。

二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。

1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。

对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。

即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。

2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。

该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。

具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。

摘 要方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。

在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。

而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。

关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法方阵的幂的一般计算方法数学归纳法数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。

例 1 已知1111A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=，求M A 解：2A =1111⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3A =2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭猜想MA =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。

设当m=k-1时结论成立，即1k A -=22222222k k k k ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭k A =1k A -A =22222222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=11112222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。

二项式展开法当方阵A 的主对角线上的元素相同时，A 可以写成一数量阵I λ和另一矩阵B 之和，如果B 的高次幂易计算，则M A =()M I B λ+可按二项试定理展开计算。

例 2 设A =110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求m A （m 为自然数）解：A =100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭记作I+B ，由于I 与B 可交换，mA =()mI B +=mI +m 1m I -B+2(1)2!m m m I --2B +(1)(2)3!m m m --3m I-3B ++mB 而mI =1m I -= =I，B =010001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，2B =001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3B =000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故KB =3k m ≤≤，所以m A =m I +m 1m I -B +2(1)2!m m m I --2B=100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+0000000m m ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭+(1)002000000m m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=(1)1201001m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭-利用与对角矩阵相似求解对于n 阶主阵A ，若存在逆阵P ，使得1P -AP =diag （1λ，2λ m λ），则m A =P diag （1m λ，2m λ m n λ）1P -，其中1λ，2λ， n λ为A 的n 个特征根。

方阵的n次幂公式方阵是线性代数中一个非常重要的概念，而方阵的 n 次幂公式更是解决许多问题的有力工具。

咱们先来说说啥是方阵。

简单来说，方阵就是行数和列数相等的矩阵。

比如说一个 3×3 的矩阵，那就是一个方阵。

方阵的 n 次幂公式呢，就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们解开很多复杂的数学谜题。

给您举个例子啊，就说有个学校组织运动会，每个班级要排成方阵入场。

咱假设一个班级有 36 个同学，要排成 6×6 的方阵。

这时候体育老师就开始琢磨了，如果让这个方阵进行多次变换，比如转几个角度啥的，那这其中的规律该咋算呢？这其实就涉及到方阵的 n 次幂了。

咱们先来看方阵的幂运算规则。

对于一个 n 阶方阵 A，如果要计算它的 2 次幂 A²，那就是 A 乘以 A；3 次幂 A³呢，就是 A 乘以 A 乘以A，以此类推。

方阵的 n 次幂公式有个特点，就是当方阵具有某些特殊性质时，计算会变得相对简单。

比如说，如果方阵 A 是对角矩阵，那它的 n 次幂就特别好算，对角线上的元素分别进行 n 次幂运算就行。

再比如，如果方阵 A 可以相似对角化，那通过一系列的变换，也能比较轻松地算出它的 n 次幂。

咱回到刚才说的运动会方阵的例子。

假如体育老师想知道经过多次变换后，方阵的排列情况，就可以用方阵的 n 次幂公式来计算。

比如每次变换相当于一个特定的方阵操作 B，经过 n 次变换，那最终的方阵就是 B 的 n 次幂乘以最初的方阵。

在实际的数学应用中，方阵的 n 次幂公式在图像处理、密码学、物理学等领域都大有用处。

比如说在图像处理里，对图像进行某种变换，就可以用方阵来表示，然后通过计算方阵的 n 次幂，来预测多次变换后的效果。

在密码学中，加密和解密的过程有时候也会涉及到方阵的幂运算，通过复杂的方阵变换来保证信息的安全。

物理学中，研究物体的振动、波动等现象时，方阵的 n 次幂公式也能帮忙分析系统的长期行为。

考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学中线*代数部分的分数占了整体的百分之二十二，是整个考研数学不可缺少的部分，其章节内容与高等数学和概率统计没有太多联系，其知识点具有细致*和整体*，前后章节联系比较密切。

线*代数中的矩阵部分是整个线代非常重要的部分，也是要求我们同学要掌握透彻的一个部分，而其中关于方阵幂的问题是跨考教育老师上课时所重点强调的，方阵幂的计算是要求我们要掌握的。

在授课过程中，每位教授这门课的老师都会跟同学们来总结有关方阵幂的计算，也都分了情况给大家展示了其各种类型的计算方法。

首先对于矩阵行或者列均成比例的矩阵，这种类型的矩阵可以写成一列乘以一行的形式，列是矩阵各列的最简公约数，行也是此矩阵各行的最简公约数。

其n次幂的求法，我们也总结过，也给大家推到过。

其次是特殊的上（下）三角n次幂的运算问题，我们也总结了，把其分解成单位矩阵和特殊上（下）三角来处理的，并且运用了二项式展开的知识。

然后就是利用相似对角化的知识来求n次幂的运算问题，像刚刚过去的2016年考研中数一、数二、数三都出现了一道关于幂运算的题，要我们求矩阵a的99次幂等于多少。

这种题目主要是先求出矩阵的特征值再求出其对应的特征向量，利用相似对角化来求这一题。

当然这种题目要求我们同学一定要仔细，不要出现计算上到错误。

最后还有关于带有两个零的拉普拉斯问题，这种分块矩阵，有时也会有相关题目出现。

方阵幂的计算问题希望同学们在接下来的学习过程中认真对待，对于这种类型的题目要融会贯通，不同类型的幂的计算问题对应于相应的方法来解决。

整个考研数学中线*代数部分算是相对较简单的一个科目，因此，对于线*代数这一部分的希望同学们尽量不要失分。

矩阵幂次方计算矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍。

一、定义矩阵幂次方是指将一个矩阵连乘多次的结果，其中幂次方为正整数。

设矩阵A为n阶方阵，则A的k次幂为A的k-1次幂与A的乘积，即A^k=A^(k-1)×A，其中A^0为单位矩阵。

二、性质1. 矩阵幂次方具有结合律，即(A^k)^m=A^(k×m)。

2. 矩阵幂次方不满足交换律，即A^k×A^m≠A^m×A^k。

3. 矩阵幂次方具有分配律，即(A+B)^k=Σ(C(k,i)×A^i×B^(k-i))，其中C(k,i)为组合数。

4. 矩阵幂次方具有幂等性，即A^k×A^k=A^(2k)。

三、计算方法1. 直接计算法直接计算法是指按照定义进行计算，即将矩阵连乘k次。

这种方法的时间复杂度为O(n^3×k)，效率较低，适用于矩阵较小的情况。

2. 分治法分治法是指将矩阵分成若干个子矩阵，然后对子矩阵进行幂次方计算，最后将子矩阵的结果合并得到原矩阵的幂次方。

这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率较高，适用于矩阵较大的情况。

3. 矩阵快速幂法矩阵快速幂法是指将幂次方k转化为二进制形式，然后按照二进制位进行计算。

具体地，设矩阵A为n阶方阵，k的二进制表示为b1b2...bm，则A^k=A^(b1×2^0+b2×2^1+...+bm×2^(m-1))=A^(2^0×b1)×A^(2^1×b2)×...×A^(2^(m-1)×bm)。

这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率最高，适用于矩阵较大的情况。

四、应用矩阵幂次方计算在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。

方阵的幂知识点总结一、方阵的幂的定义方阵的幂是指将一个方阵自乘若干次得到的结果。

给定一个n阶方阵A，其m次幂定义为Am=A⋅A⋅A⋅⋅⋅A(m个A相乘)，其中m为正整数。

特别地，当m=0时，我们定义A^0=I （单位矩阵），当m=1时，我们有A^1=A。

二、方阵的幂的性质1. 方阵的幂与矩阵乘法交换律：对于任意两个n阶方阵A和B，有A^m⋅B^m=(A⋅B)^m。

证明：设A和B是n阶方阵，不妨设m=2，即(A⋅B)^2=A⋅B⋅A⋅B，而A^2⋅B^2=A⋅A⋅B⋅B，显然它们相等。

通过归纳法可以证明对于任意正整数m都成立。

2. 方阵的幂与矩阵的转置和逆矩阵：如果A是一个可逆矩阵，则(A^-1)^m=(A^m)^-1，(A^T)^m=(A^m)^T。

证明：对于(A^-1)^m=(A^m)^-1，我们有(A^-1)^m⋅A^m=I，所以(A^m)^-1=A^-m。

同理，对于(A^T)^m=(A^m)^T，我们可以利用矩阵转置的性质进行证明。

3. 方阵的幂的幂等性：对于方阵A的m次幂的幂等性，有(A^m)^n=A^(m⋅n)。

证明：根据矩阵乘法的结合律，有(A^m)^n=A⋅A⋅⋅⋅A⋅A⋅A=...=A^(m⋅n)。

4. 方阵的幂的加法：对于方阵A的m次幂和n次幂的加法，有A^m+A^n≠A^(m+n)。

证明：举个简单的例子，取A为单位矩阵，m=2，n=3，我们有A^2=I，A^3=I，A^2+A^3=2I，而A^(2+3)=A^5=A，显然它们不相等。

因此，方阵的幂的加法并不满足方阵乘法的加法性质。

5. 方阵的幂的数乘：对于方阵A的m次幂的数乘，有k⋅A^m=(k⋅A)^m。

证明：设k为一个实数或复数，那么k⋅A^m=k⋅(A⋅A⋅⋅⋅A)=k⋅A⋅A⋅⋅⋅A=(k⋅A)^m，根据矩阵乘法的结合律和分配律可以得到这个结论。

以上是方阵的幂的一些基本性质，这些性质对于我们理解和使用方阵的幂都至关重要。