自动控制原理实验四-线性定常控制系统的稳定分析

实验二 线性定常系统的瞬态响应和稳定性分析一、实验目的1．通过二阶、三阶系统的模拟电路实验，掌握线性定常系统动、静态性能的一般测试方法。

2．研究二阶、三阶系统的参数与其动、静态性能间的关系。

二、实验原理1．二阶系统图2-1为二阶系统的方块图。

由图可知，系统的开环传递函数 G(S)=)1S T (S K)1S T (S K 111+=+τ，式中K=τ1K 相应的闭环传递函数为112121T K S T 1S T KKS S T K)S (R )S (C ++=++= ………………………① 二阶系统闭环传递函数的标准形式为)S (R )S (C =n 2n 2n 2S 2S ω+ξω+ω ………………………② 比较式①、②得：ωn =111T K T K τ= ………………………③ ξ=1KT 21=11K T 21τ………………………④图中τ=1s ，T 1=0.1s图2-1图2-2为图2-1的模拟电路，其中τ=1s ，T 1=0.1s ，K 1分别为10、5、2.5、1，即当电路中的电阻R 值分别为10K 、20K 、40K 、100K 时系统相应的阻尼比ξ为0.5、21、1、1.58，它们的单位阶跃响应曲线为表2-2所示。

表2-2：二阶系统不同ξ值时的单位阶跃响应R值ξ单位阶跃响应曲线10K 0.5120K240K 1100K 1．58②模拟电路图：三、实验内容和实验数据1．二阶系统瞬态性能的测试,相关是数据填入表2-3（1）按图2-2接线，并使R分别等于100K、40K、10K用于示波器，分别观测并系统的阶跃的输出响应波形。

A.R=100KB.R=40C.R=10(2)使R=20K，(此时ξ=0.707)，然后用示波器观测系统的阶跃响应曲线，并由曲线测出超调量Mp，上升时间t p和调整时间t s。

并将测量值与理论计算值进行比较。

R=20表2-3：参数R K ωn ξ C C Mp(%) Tp(s) ts(s) 阶跃响应注意：临界状态时(即ξ=1) ts=4.7/ωn四、实验思考题1．为什么图2-1所示的二阶系统不论K 增至多大，该系统总是稳定的？答：由表2-1可知，当K 无限增大时，ξ=0；C(T )t p =2；Mp(%)=1; Tp(s)=0；ts(s)=0所以系统总是稳定的。

4.改变时间常数T1会怎样影响系统的稳定性？
答：惯性时间常数T1的增大会导致系统临界稳定时的K值减小，在超调相同的衰减振荡中，T1的增大，将会导致增益K减小。另外，当T1增加时，惯性越大，响应过程越慢，系统稳定性越好；反之，T1减小，惯性越小，响应过程越快，系统稳定性越差。
6
负反馈
A6（OUT）→A1（H2）
7
跨接元件30K (41.7K or 100K)
元件库A11中直读式可变电阻跨接到A5（H1）和（IN）之间
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A5单元信号输出端OUT（C(t)）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：
①运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的三阶典型系统瞬态响应和稳定性实验项目，就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形。也可选用普通示波器观测实验结果。
典型Ⅰ型三阶单位反馈系统原理方块图见图2-1。
图2-1典型三阶闭环系统的方块图
Ⅰ型三阶系统的开环传递函数：
（2-1）
闭环传递函数（单位反馈）：
（2-2）
Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路如图2-2所示。它由积分环节（A2）、惯性环节（A3和A5）构成。
图2-2Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路图
图2-2的Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路的各环节参数及系统的传递函数：
①仪器误差；②计算误差；
七、实验思考
1.在实验线路中如何确保系统实现负反馈？如果方框回路中有偶数个运算放大器，则构成什么反馈?
答：用奇数个运算放大器，在原有实验环节上增加一个单位反相放大即为本实验中的A6；方框回路中有偶数个运算放大器则构成正反馈。

∏ (s z j )
( s sk )∏ ( s 2 + 2ζ lω l s + ω l2 ) ∏
k =1 l =1 q j =1 r
m
式中,0<ζl<1,q+2r=n. 则脉冲响应为
K (t ) = ∑ Ak e
k =1 q sk t
+ ∑ Bl e ζ lω l t sin(ω dl t + β l )
例 3-5 设系统的特征方程式为
s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性,若不稳定指出右根数. 解:列劳斯表 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 -6 5
3 4 5 0 0
5 0 0 0 0
该表第一列元素符号不全为正,因而系统是不稳定 的;且第一列元素符号变化了两次,所以特征方程有二 个根在s的右半平面.
3.5 线性定常系统的稳定性及稳定判据 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件.
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行.
自动控制理论的基本任务(之一)
分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施
一,稳定的概念和定义
x0 x0 (a) 稳定的 (b) 不稳定的
球 的 平 衡 状 态
x0 (c) 大范围稳定的
2,劳斯稳定判据(Routh's stability criterion) 闭环特征方程
a0 s n + a1s n 1 + a2 s n 2 + an 1s + an = 0 ( a0 > 0 )
将各项系数,按下面的格式排成劳斯表 sn a0 a2 a4 a6 sn-1 a1 a3 a5 a7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 … … … … … s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1

四、例题详解
【例3】已知系统特征方程： s 5 2s 4 3s 3 6s 2 10s 15 0 试用劳斯稳定判据判断其稳定性。 解：1) 特征方程中各项系数>0 ——满足必要条件 2) 构造劳斯阵列：
s5 s
由“+”到 “-”符号变 化 1次 由“-”到 “+”符号 变化1次
四、例题详解
【证明】 欲使式(3)成立，则当
即当
成立是必要的，上式是渐近稳定的必要条件
四、例题详解
【证明】 当 即当
将式(10)+(11)可得 充分满足渐近稳定条件，即式(10)、(11)是系统渐近 稳定的充分条件。
四、例题详解
【例2】已知系统特征方程：
s 4 2s 3 3s 2 4s 5 0
四、例题详解
【解答】 根据劳斯判据
四、例题详解
【解答】 劳斯表中首列的 是无穷小正数，即 0 。由劳 斯表中首列各元素变号2次，故可知特征方程在右半 S平面有两个根，则方程发散不稳定。实际上，原方 程
四、例题详解
【例5】 某系统特征方程为 试确定特征方程的根在平面分布情况，并指出系统 的稳定性。
脉冲响应含有如下分量
[C0 sin(t 0 ) C1t sin(t 1 ) Cr 1t r 1 sin(t r 1 )]1(t )
(6)
s
因式时，其脉冲响应含有如下分量
D0 sin(t 0 ) D1t sin(t 1 )
2 2 (( s ) j )(( s ) j ) ( s ) 当含有 s

s n 1 s
n 2
b1
a1

R(s)
+﹣
K
C(s)
s(s+1)(s+2)
解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0
s3
1
s2
3
2 要使系统稳定，劳斯表中第
K 一列元素均大于零。
s1 (6 K)/3
0< K < 6
s0
2020/10/21
K
3.2.2 劳斯判据
系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该 方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。
若不满足，则不稳定。 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位 于右半s平面上根的个数。
2020/10/21
劳斯表的构造：
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 0
2020/10/21
3.2.3 劳斯判据的应用
（1）判断系统的稳定性
例1 设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯 判据判别该特征方程的正实部根的数目。
解：劳斯表 s4
1

s3 2 4
s2
15
6
s1
5
s0
第一列元素 2020/10/21
符号改变了2次，∴系统不稳定，且s
试用劳斯判据判断系统稳定性。
解: 该系统的劳斯表如下
s5
1
32
s4
1
32
s3
0
0
第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征 方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复 数根）。对此情况，可作如下处理：

稳定的基本概念——系统的稳定性
• 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而 偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状 态，则称该系统是稳定的。 • 反之，系统为不稳定。 • 线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输 入信号无关。
线性定常系统稳定性分析
线性定常系统稳定性分析
新课
稳定的基本概念——稳定性
新课
系统稳定的充要条件
令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，可 m 写为: K Π(S + Z i ) i =1 G (s) = φ (s) = q (3 − 53) r 2 Π ( S + Pj ) Π ( S 2 + 2ξ k ω nk S + ω冲响应函数
• 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它 与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用 系统的脉冲响应函数来描述。 • 如果脉冲响应函数是收敛的，即有:
lim g (t ) = 0 t →∞
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。 • 系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
复习
1.二阶系统特征方程式形式 2.阻尼系数、系统自有频率 3.阻尼系数的意义 阻尼系数＞1 阻尼系数=1 0＜阻尼系数＜1
线性定常系统稳定性分析
新课
稳定性分析的重要性—— • 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的 前提下进行 • 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件
新课
线性定常系统稳定性分析
• 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受 到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当 输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线 性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现 为等幅振荡。

实验二 控制系统稳定性分析和时域响应分析一、实验目的与要求1、熟悉系统稳定性的Matlab 直接判定方法和图形化判定方法；2、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的动态性能指标分析；3、掌握如何使用Matlab 进行控制系统的稳态性能指标分析。

二、实验类型设计三、实验原理及说明1. 稳定性分析 1）系统稳定的概念经典控制分析中，关于线性定常系统稳定性的概念是：若控制系统在初始条件和扰动共同作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的，反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。

2）系统特征多项式以线性连续系统为例，设其闭环传递函数为nn n n mm m m a s a s a s a b s b s b s b s D s M s ++++++++==----11101110......)()()(φ 式中，n n n n a s a s a s a s D ++++=--1110...)(称为系统特征多项式；0...)(1110=++++=--n n n n a s a s a s a s D 为系统特征方程。

3）系统稳定的判定对于线性连续系统，其稳定的充分必要条件是：描述该系统的微分方程的特征方程具有负实部，即全部根在左半复平面内，或者说系统的闭环传递函数的极点均位于左半s 平面内。

对于线性离散系统，其稳定的充分必要条件是：如果闭环系统的特征方程根或者闭环传递函数的极点为n λλλ,...,21，则当所有特征根的模都小于1时，即),...2,1(1n i i =<λ，该线性离散系统是稳定的，如果模的值大于1时，则该线性离散系统是不稳定的。

4）常用判定语句2.动态性能指标分析系统的单位阶跃响应不仅完整反映了系统的动态特性，而且反映了系统在单位阶跃信号输入下的稳定状态。

如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对 称于虚轴的两对共轭复根。 例 1 (s2 4)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 如: 2 (s2 4)
5/15/2020
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[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
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劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
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确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
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充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）

设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)

Course 自动控制原理东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。

稳定压倒一切。

只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。

负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。

例子：秋千东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.1 稳定性stability的概念和定义d f b c a b c 平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 稳定范围/区域a 4.1 稳定性的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定stable的；否则，称该系统是不稳定unstable的。

可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。

东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况与输入量和初始偏差无关。

稳定性是系统本身的“固有特性”，一个控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数值。

线性系统稳定性分析只需考虑齐次系统情况即可。

东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫Lyapunov 1892稳定性x t F x t t xc t F xc t t 0 x0 x t0 Lyapunov stability 0 0 if x0 xc then x t xc n Lyapunov asymptotic stability x xc xi xic 2 i 1 If in addition lim x t xc 0 t东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 x2 xc xc x1 x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 xc x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x x x t x 0e t x t 0 x 0 e t x 0 0 xx x t x 0et x1 x2 x2 x1 1 x1 0 x东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.2 线性定常系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型若讨论稳定性是基于状态空间模型的，则只关心是齐次状态方程的响应是否收敛到xe0－渐进稳定性连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。

本科实验报告课程名称：自动控制原理实验项目：控制系统的稳定性和稳态误差实验地点：多学科楼机房专业班级：学号：学生姓名：指导教师：2012 年5 月15 日一、实验目的和要求：1．学会利用MATLAB 对控制系统的稳定性进行分析； 2．学会利用MATLAB 计算系统的稳态误差。

二、实验内容和原理：1．利用MATLAB 描述系统数学模型如果系统的的数学模型可用如下的传递函数表示nn n m m m a s a s b s b s b s U s Y s G ++++++==-- 11110)()()( 则在MATLAB 下，传递函数可以方便的由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量惟一确定出来。

即num=[b 0,b 1 ,…, b m ]; den=[1,a 1,a 2 ,…,a n ]例2-1 若系统的传递函数为5234)(23+++=s s s s G 试利用MA TLAB 表示。

当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，它可由MA TLAB 提供的多项式乘法运算函数conv( )来处理，以获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为 p=conv(p1,p2)其中，p1和p2分别为由两个多项式系数构成的向量，而p 为p1和p2多项式的乘积多项式系数向量。

conv( )函数的调用是允许多级嵌套的。

例2-2 若系统的传递函数为)523)(1()66(4)(232++++++=s s s s s s s s G试利用MA TLAB 求出其用分子和分母多项式表示的传递函数。

2．利用MATLAB 分析系统的稳定性在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性。

判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性。

对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s 平面，则该系统是稳定的。

MATLAB 中根据特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为r=roots(p) 其中，p 为特征多项式的系数向量；r 为特征多项式的根。

简述线性定常控制系统稳定性的充分必要条件稳定性是线性定常控制系统必要的关键特性。

稳定性的定义是：系统在外部扰动和内部参数变化的情况下，其状态量能够不断收敛到某一特定值，或者在某一区间内可接受地改变。

本文简要介绍线性定常控制系统稳定性的充分必要条件，并给出详细的相关分析和讨论。

首先，线性定常控制系统的稳定性取决于系统的传递函数。

系统的传递函数满足以下充分必要条件时，系统才能够稳定：1.统的传递函数不能包含任何整体极点。

也就是说，只要传递函数中存在一个极点，系统就会失去稳定性。

实际上，整体极点可以分为极小值和极大值，而且在实际情况中，极大值更常见。

如果存在极小值，系统则被称为“放大激励增益”，从而导致系统的稳定性下降。

2. 传递函数的分母不能有任何实根。

实根的存在等价于系统存在无截止的反馈，因此会降低系统的稳定性。

3. 传递函数需要是拟定常函数。

否则，由于系统参数变化，可能引起系统状态振荡，从而影响系统的稳定性。

另外，系统的稳定性还取决于系统的其他输入变量。

这些变量可能是外部扰动变量、环境变量或内部参数变量。

根据系统的不同特性，这些变量的变化会导致系统的稳定性发生变化。

例如，外部扰动变量的变化可能会降低系统的稳定性。

增大外部输入可能会使系统的极点发生变化，并导致系统状态振荡。

此外，系统内部参数变化也可能导致系统的稳定性发生变化。

例如，系统参数变化会使控制反馈的动态反应发生改变，从而影响系统的稳定性。

要在系统实际应用中确保系统的稳定性，就必须考虑以上所有充分必要条件。

首先，要确保传递函数不存在任何整体极点，并确保其属性是拟定常函数。

其次，要对系统的参数和扰动变量进行评估，以确保它们不会影响系统的稳定性。

最后，要定期监测系统的稳定性，以及外部和内部参数的变化，并及时采取措施保持系统的稳定性。

综上所述，线性定常控制系统稳定性的充分必要条件是：1）传递函数不能包含任何整体极点，2）传递函数的分母不能有任何实根，3）传递函数需要是拟定常函数，以及4）系统的输入变量不能影响系统的稳定性。

控制系统的稳定性分析实验报告一、实验目的1.了解控制系统的稳定性分析方法。

2.通过实验，掌握系统稳态误差、系统阻尼比、系统根轨迹等稳态分析方法。

3.掌握控制系统的稳定性分析实验步骤。

二、实验原理1.系统稳态误差分析系统稳态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的偏差。

对于稳态误差的分析，可以采用开环传递函数和闭环传递函数进行分析。

开环传递函数：G(s)闭环传递函数：G(s)/(1+G(s)H(s))其中，H(s)为系统的反馈环节，G(s)为系统的前向传递函数。

稳态误差可以分为静态误差和动态误差。

静态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的偏差；动态误差是指系统在达到稳态时，输出与输入之间的波动。

2.系统阻尼比分析系统阻尼比是指系统在达到稳态时，振荡的阻尼程度。

阻尼比越大，系统越稳定；阻尼比越小，系统越不稳定。

系统阻尼比的计算公式为：ζ=1/(2ξ)其中，ξ为系统的阻尼比，ζ为系统的阻尼比。

3.系统根轨迹分析系统根轨迹是指系统的极点随着控制参数变化而在复平面上的轨迹。

根轨迹分析可以用来判断系统的稳定性和性能。

系统的根轨迹可以通过以下步骤进行绘制：（1）确定系统的传递函数G(s)（2）将G(s)写成标准形式（3）计算系统的极点和零点（4）绘制系统的根轨迹三、实验步骤1.系统稳态误差分析实验（1）将系统的开环传递函数和闭环传递函数写出。

（2）通过实验，测量系统的静态误差和动态误差。

（3）根据静态误差和动态误差的测量结果，计算系统的稳态误差。

2.系统阻尼比分析实验（1）通过实验，测量系统的振荡频率和衰减周期。

（2）根据振荡频率和衰减周期的测量结果，计算系统的阻尼比。

3.系统根轨迹分析实验（1）将系统的传递函数写成标准形式。

（2）计算系统的极点和零点。

（3）绘制系统的根轨迹，并根据根轨迹的形状，判断系统的稳定性和性能。

四、实验结果分析通过实验，我们可以得到系统的稳态误差、阻尼比和根轨迹等数据。

根据这些数据，我们可以分析系统的稳定性和性能，并对系统进行优化。

0 -1.3079 + 0.5933i
-1.3079 - 0.5933i 0.7104 + 1.1068i 0.7104 - 1.1068i -0.4025 + 1.3417i -0.4025 - 1.3417i
3、稳定判据
[例3] 判定系统稳定性，系统的特征方程为
s6 s5 2s 4 3s3 7s 2 4s 4 0
c34
c13a7 a1c43 c13
c44
sn4第 第c1一二5 行行c14由 由c23特 特c14c征 征13c方方24 程程c25中中 c的的14c第第33c1214c、、13c3434、、c3556┅┅c项1项4c系4系3c数1数4c1组3组c4成4成c；；45
s2
c1,n1
c2,n1
s1
s3 0(4) 0(6) s 2 6 1.5 4
4 s1 16.7
s0
4
显然，第一列元素符号改变一次，系统有一个右根。
3、稳定判据
由辅助方程可解得：
s4 3s2 4 (s2 1)(s2 4) 0
s1,2 j; s3,4 2
s3 2 就是系统的右根
要求方程的其它根，怎么办？
3、稳定判据
c1,n
s0
c a 1,n1
n
sn
a0
a2
s n1
a1
a3
a4
a6
a5
a7
sn2
c13
a1a2
a0a3 a1
c23
a1a4
a0a5 a1
c33
a1a6
a0a7 a1
c43
s n3
c14
c13a3 a1c23 c13

线性控制系统的稳定性分析给定一个控制系统，可利用matlab 提供的时域、频域响应分析函数来判断系统的稳定性，也可以直接提出系统的极点来直接判断系统的稳定性。

1.1.1直接根法由控制制理论可知，一个线性连续系统的所有极点都位于s 平面的左半平面，则该系统为一个稳定系统。

Matlab 提供了可以直接求出控制系统所有极点的函数：roots （）和tf2zp （）。

它们的调用格式为：[z,p,k]=tf2zp(num,den)Roots(den)其中，num 和den 分别为系统的传递函数的分子和分母多项式的系数向量，z 、p 、k 分别是该系统的零点、极点和放大系数。

【例7-9】已知322(s)586s G s s s +=+++，利用直接求根法判断该系统的稳定性。

在matlab 的命令窗口输入如下命令：>num=[1 2];>den=[1 5 8 6];>[z,p,k]=tf2zp(num,den)运行结果：z =-2p =-3.0000 + 0.0000i-1.0000 + 1.0000i-1.0000 - 1.0000ik =1由此可知，该系统的所有极点都位于s 平面的左半平面，系统稳定。

另外，matlab 提供了绘制零一极点分布图的函数pzmap （），由零一极点分布图可以更清楚地看到这个结果。

一般用叉号表示极点，圈号表示零点。

>> pzmap(p,z) %绘制零一极点分布图函数结果如图7-5表示。

图7-5 零一极点分布图此外，还可以利用函数root （）直接求系统的极点，程序如下：>>den=[1 5 8 6];>> roots(den)运行结果为：ans =-3.0000 + 0.0000i-1.0000 + 1.0000i-1.0000 - 1.0000i由此可见，两种函数的运行结果一致。

1.1.2时域状态下稳定性在时域状态下，系统的稳定性分析主要根据系统输出响应来判断系统能否稳定运行，稳定误差是否能趋近于零。