反问题的Landweber迭代法及其应用研究进展

求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法王美吉;潘状元【摘要】针对Landweber迭代方法在非线性不适定问题上进行研究.在非线性算子和右端数据皆为近似的前提条件下,基于Frozen Landweber迭代法,提出双扰动的双循环Landweber迭代格式.在一定的条件下,通过证明迭代格式的单调性和收敛性,得出该迭代格式是有效的.【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(029)005【总页数】4页(P588-591)【关键词】非线性不适定问题;Landweber迭代法;收敛性【作者】王美吉;潘状元【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O2411 引言考虑非线性算子方程其中:F:D(F)⊂X→Y，X，Y为 Hilbert空间.F是Frechet可微.这里考虑算子方程的解不连续依赖于右端数据的情况.由于不稳定性并且在实际问题中只有近似数据yδ满足这里为测量误差δ＞0的界.对于此类非线性问题的解法，一般通过正则化方法来得到其解的近似.由于非线性不适定问题在生活中的广泛应用，已经成为横跨应用数学和计算数学两个学科的真正的研究领域［1］.其理论研究大致有以下几个方面如Tikhonov正则化方法，最大嫡方法，有限维逼近等［2－5］.对于非线性问题人们对Landweber迭代法给予了很大关注，文献［5］证明了Frogen Landweber 迭代法的收敛性并进行了数值试验.由于在实际问题中，算子一般也是经测量而获得的近似值，或是由离散过程而得到的原算子的一个有限维的逼近，因此真正要求解的是式(1)的一个近似方程其中:h表示Fh逼近F的程度，假定满足因此，在考虑Landweber迭代时，也应考虑算子亦有扰动的情况.假定扰动算子Fh仍保持算子F的Frechet可微且F'h在D(F)上一致收敛于F'(当h→0)，本文在前人研究成果基础上提出了非线性算子方程算子与右端皆有扰动的Landweber迭代法.迭代格式为按广义误差准则来确定迭代终止步k*，则迭代序列{xδh k*}收敛到不失一般性，假定其中:βρ(x0)为以x0为中心，ρ＞0的开球.2 单调性分析对于上述迭代格式，本文以m=2为例，理论验证此迭代格式的收敛性.则此迭代带格式可以改写成引理1 ［6］如果式(3)成立，x*是方程(1)在βρ(x0)中的一个解，那么任意解∈βρ(x0)满足，，反之亦然，N(·)表示算子的核空间.证明:由条件(3)可得满足对所有的x∈，此引理得证.引理 2［7－8］假设 x* 为式(1)在βρ(x0)中的一个解，对于扰动数据满足‖yδ－y‖≤δ，k*是按广义误差准则(4)所确定的迭代终止步.若条件(3)、(5)成立，则有当δ=h=0时证明:由引理2知，由式(4)和假设条件有证明方法见文献［5］.3 收敛性分析定理2 如果在Bρ/2(x*)中满足式(3)、(5)，算子方程(1)可解，则xk收敛到式(1)的一个解x*∈Bρ/2(x*).若x+是离x0最近的惟一解，且N(F'(x+))⊂(F'(x))，成立，则xk收敛到x+.证明:令ek:x*－xk由定理1知{‖ek‖}单调下降，下界为某ε≥0，下证{ek}是 Cauchy 列.对j≥k，取l(j≥l≥k)使成立由三角不等式，有下证明(el－ek，el)也收敛到零(当k→∞时)改写由引理 2 推知，当 k，l→∞ 时 xl，1 － xl，xk，1 － xk趋于零.令由此得{ek}为 Cauchy列，所以{xk}也为Cauchy列.设xk→x*，又因为F(xk)→y(k→∞)，从而x*为式(1)的解.若式(1)有惟一的距x0最近的解，则x+满足对任何 k=0，1，2，…若，N(F'(x+))⊂N(F'(xk))，则有证毕.定理3 在定理2的前提条件下，方程(1)可解，取h=0，扰动终止于K*(δ).那么当δ→0时，收敛到式(1)的解.证明参见文献［5］中命题3.当h≠0时，设(δ，h)为由式(4)确定的迭代终止步，令K*=max{k*(δ)，K'*(δ，h)}其中k*(δ)为定理3中的迭代终止步，则有因为)趋于零，易知(el－ek，el)趋于零.同理可证定理4 假设条件(3)(5)成立，方程(1)可解，则当h→0，δ→0 时，xδh k*收敛到(1)的解.证明用归纳法易证，上式第一项当h→0时趋于零，而由定理3，第二项当δ→0时也是趋于零的，从而4 结语针对非线性不适定问题的求解，本文首先从Frozen Landweber迭代法入手，提出非线性算子和右端数据皆有扰动的Landweber迭代法.并且对所提出的迭代格式给出了收敛性证明.从理论分析可以看出，Frozen Landweber迭代法确实是求解非线性不适定算子方程的一种简单而稳定的方法，适合于处理算子与右端数据皆有扰动的实际问题，并且避开了Tikhonov正则化方法正则参数选取困难以及传统的Langweber迭代法收敛太慢的问题.不足之处是没有对此迭代格式进行数值试验，这将是下一步进行的工作.参考文献:［1］DENG Y J，LIU Z H.New fast iteration for determining surface temperature and heat flux of general sideways parabolic equation［J］.Nonlinear Anal.Real World Appl.，2011，12(1):156 －166.［2］ZHENG G H，WEI T.Two regularization methods for solving a Riesz－Feller space－frational backward diffusion problem［J］.Inverse Problems，2010，26:1 －22.［3］JIN Q N.On a regularized Levenberg－Marquardt method for solving nonlinear inverse problems［J］.Numer.Math.，2010.115:229－259.［4］YANGQQ，LIU F W，TURNER I.Numerical methods for fraction partial differential equations with Riesz space fractional derivatives［J］.Appl Math Model.，2010，34:200 －218.［5］XU J，HAN B，LI L.Frozen Landweber Iteration for Nonlinear Ill－Posed problems［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，23(2):329 －336.［6］HANKE M.Accelerated Landweber Iterations for the Solution of Ill－Posed Equations［J］.Numer.Math，1991，60(1):341 －373.［7］韩波，刘家琦，后步风.非线性不适定算子方程算子与右端项皆有扰动的Land weber迭代法［J］.计算数学，2002，24(4):479－486.［8］皮丽敏，潘状元.一族求解非线性方程的高阶迭代方法［J］.哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2012，28(6):751－753，768.。

带扰动算子的Landweber迭代在Hanke-Raus准则下的收
敛阶分析
谷苒;董超峰
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】本文针对带有扰动算子的非线性反问题提出了一种基于Hanke-Raus启发式停止准则的Landweber迭代法,并在一定的假设条件下分析了此迭代法的收敛阶。

【总页数】9页(P61-69)
【作者】谷苒;董超峰
【作者单位】浙江师范大学数学科学学院金华;嘉兴学院数据科学学院嘉兴
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.非线性增生算子方程带误差的三重迭代及其收敛性分析
2.关于带m-增生算子扰动的非线性方程具误差的强收敛迭代序列
3.非线性增生算子方程带误差的三重迭代及其收敛性分析
4.一个不可微算子的二步迭代法在ω条件下的半局部收敛分析
5.解变分包含的增生算子方程带误差的三重迭代的收敛性分析
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

收稿日期：2021-01-15基金项目：大庆市指导性科技计划项目（2020zd ）.作者简介：徐磊，女，山东济宁人，黑龙江八一农垦大学理学院教师；张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹，黑龙江八一农垦大学（黑龙江大庆163000）.2021年第6期第42卷总第315期学报不适定问题的Landweber 迭代正则化方法研究徐磊，张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹摘要：文章研究了解决不适定问题的Landweber 迭代正则化法.证明了Landweber 迭代正则化法的收敛性，并且利用Landweber 迭代正则化法解决反向热传导问题.关键词：不适定性；Landweber 迭代；正则化中图分类号：O17文献标志码：A文章编号：1008-7974（2021）06-0036-04DOI ：10.13877/22-1284.2021.06.007近年来数学知识不断深入到诸多领域，而这些领域的发展都体现出了由问题结果反推问题原因，此类问题即为反问题.反问题大部分都具有不适定性，众多学者发现对于不适定问题可以用正则化理论很好地解决.正则化包括Tikhonov 正则化、迭代正则化和elastic-net 正则化等.Tikhonov 正则化是最著名的正则化方法.迭代正则化方法是Tikhonov 正则化的一种很好的替代方法.1951年，LAND⁃WEBER［1］首次提出利用Landweber 迭代法求解线性不适定方程.迭代求解这种方程x k =x k -1+a ()y -Tx k -1,k ∈N .MARTIN 等人［2］证明了Landweber 迭代法是求解非线性不适定问题的一种稳定方法.对于噪声水平的扰动数据δ提出了一个停止规则，在适当的条件下产生收敛速率O ()δ12.李中锋［3］利用Landweber 迭代方法研究了含对流项的反向热传导问题和Helmholtz 方程Cauchy 问题.通过数值例子表明所用的方法是稳定可行的.刘霄［4］利用Landweber 迭代法解决了分数阶反应扩散方程的未知源识别问题、非齐次分数阶反应扩散方程的反演初值等不适定问题.并给出了相应的后验正则化方法.本文主要考虑Landwe⁃ber 迭代正则化方法，研究其方法的收敛性.并利用Landweber 迭代方法求解反向热传导问题.徐磊，等：不适定问题的Landweber 迭代正则化方法研究1预备知识讨论线性算子方程的适定性和不适定性，不适定性是指数学问题不满足Hadamard ［5］定义的适定性，即以下性质之一不成立：①问题的解存在；②问题的解唯一；③问题的解连续依赖于定解条件.考虑不适定线性算子方程Ax =y ，（1）其中：x 在某个标准正交基下是稀疏的，A 是有界线性算子.事实上，y 不能准确得到，而只能得到它的近似观测值y δ，满足y-y δ≤δ，称y δ为带有噪声的数据，δ为噪声水平.式（1）的不适定性意味着解决方案不会仅依赖于数据.因此，它们需要被正则化，以消除解的合理近似.定义1［6］设A :X →Y 是赋范线性空间X到赋范线性空间Y 的一个线性算子.方程Ax =y是适定的，若A 是一个双射且逆算子A -1:Y →X 是连续的.否则称为不适定的.定义2［6］若有一族有界线性算子R α:Y →X ,α>0，称其为式（1）的正则化解算子，若满足lim α→0R αKx =x ，并且对所有x ∈X 成立，称α为正则化参数.定义3对任何一个函数f ()t 都可以通过某种操作变为另一种对应函数F ()w .因此这一函数称为连续傅里叶变换F ()w =ψ()f ()t =∫-∞+∞f ()t e-iwtd t ，称F ()w 是f ()t 的象函数，称f ()t 是F ()w 的原象函数.||F ()w 为f ()t 的振幅谱.得到振幅谱后，将其逆变换，即f ()t =ψ-1()f ()w =12π∫-∞+∞F ()w e -iwt d w ，称其为连续傅里叶变换的逆变换.定理1［7］若y ∈D ()T +，那么当k →∞时，x k →T *y .若y ∉D ()T +，那么当k →∞时,x k→∞.2主要内容2.1Landweber 迭代正则化方法的收敛性Landweber 迭代提供了一个初始值x *，其作用与Tikhonov 正则化相同，使用x δ0=x *迭代计算进一步的近似{}x δk ，即x δk +1=x δk +T *()y δ-Tx δk -1,k ∈N .（2）在式（2）中的T *前面引入一个参数0<a <T -2，进行迭代x δk +1=x δk +aT *()y δ-Tx δk -1,k ∈N .这与式（2）乘以a 并迭代效果相同.接下来我们考虑Landweber 迭代正则化方法的收敛性.定理2令y ∈R ()T ，考虑对于Tx =y 的任意解x ，如果 y δ-Tx δk >δ，用k 表示迭代的终止指数.那么就有x +-x δk +12< x +-x δk 2.证明我们估计x+-x δk +12-x+-x δk 2=x+-x δk -T *T ()x +-x δk 2- x+-x δk 2=x +-x δk -T *()y δ-Tx δk 2-x+-x δk 2=x+-x δk 2+T *()yδ-Tx δk 2-2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk -x +-x δk 2=T *()y δ-Tx δk 2-2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk =y δ-Tx δk ,TT *y δ-Tx δk-2021年第6期学报2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk =-2y -y δ,y δ-Tx δk-yδ-Txδk2+y δ-Tx δk ,()TT *-I ()y δ-Tx δk .（3）由于()TT *-I ()yδ-Tx δk <δ，y δ-Tx δk ,()I -TT *()y δ-Tx δk >0，y δ-Tx δk >δ，于是可以证明式（3）x+-xδk +12-x+-xδk2<-δ<0.2.2利用Landweber 迭代法解决反向热传导问题考虑一维反向热传导方程，即如下问题：考虑热方程∂u ∂t ()x ,t =∂2u∂t2()x ,t .首先提出f ()t =u ()1,t ，对于t ∈R ，其测量数据为g ()t =u ()0,t ，对于t ∈R ，并且测量数据的左边界Ω=[]0,1是绝热的，即∂u∂t()0,t =0，对于t ∈R .这里u 满足热方程，假设对于所有的x ∈[]0,1，u ()x ,⋅∈L 2()R ，可以这样来处理这个问题，通过取傅里叶变换：对于v =v ()x ,t ，用v 表示对t 的傅里叶变换［8］v ()x ,w =12π∫-∞+∞e -iwt v ()x ,t d t ,w ∈R .因为∂u ∂t =iwv ，即有∂2u ∂x2=iwu .于是可以得到v ()x ,w =cosh ()x iw f ()w cosh()iw,x ∈[]0,1,w ∈R ，于是可以令f ()w =cosh()iw g ()w ,w ∈R ，（4）因此，利用傅里叶反变换，即f ()t =12π∫-∞+∞f ()w e -iwt d w ，可以得到由g 确定f 形式的解f ()t =12π∫-∞+∞e -iwt cosh()iw g ()w d w .（5）然而式（5）只在某种合理意义时才有意义，我们考虑利用Landweber 迭代正则化法求f ()t 的近似解，由于f T =g 且T 是自伴算子，则有T *=T ，由式（4）可得T *=T =-1cosh()iw，（6）方程fT =g 可以写成f =f +T *()g -fT .从而写出Landweber 迭代式f δk +1=f δk +T *()g δ-f k T ,k ∈N ，（7）在式（7）中的T *前面引入一个参数0<a < T -2，即为步长.进行迭代f δk +1=f δk +aT *()g δ-f k T ,k ∈N .迭代f k 可以通过非递归的方式表示f δk =a ∑i =1k -1()I -T *T kT *g δ.通过式（6）可得f δk =a I -()I -T *T kAg δ，从而得到f δk =a2π∫-∞+∞e -iwtI -()I -T *T kTg δd w .于是利用Landweber 迭代法解决了反向热传导问题.3结语文章对不适定问题的Landweber 迭代正则化方法进行了研究.证明了Landweber 迭代正则化方法的收敛性.并且利用Landweber 迭代徐磊，等：不适定问题的Landweber迭代正则化方法研究正则化方法求解反向热传导问题.参考文献：［1］LAND W.An Iteration Formula for Fredholm In⁃tegral Equations of the First Kind［J］.Am J Math，1951，73（3）：615-624.［2］MARTIN H，ANDREAS N，OTMAR S.A Conver⁃gence Analysis of the Landweber Iterationfor Nonlinear ill-posed Problems［J］.Springer-Verlag，1995，72：21-37.［3］李中锋.两个数学物理反问题的Landweber迭代正则化方法［D］.兰州：兰州大学，2010：15-20.［4］刘霄.几类不适定问题的Landweber迭代正则化方法和算法［D］.兰州：兰州理工大学，2018：40-50.［5］HADAMARD J，MORSE P M.Lectures on the Cauchy Problems in Linear Partial Differential Equations ［M］.New Haven：Yale University Press，2005：20-30.［6］刘继军.不适定问题的正则化方法和应用［M］.北京：科学出版社，2005：45-50.［7］HEINZ W，MARTIN H.Regularization of Inverse Problems［M］.The Hague：Kluwer Academic Publishers，1994，30-36.［8］ANDREAS N.On Landweber Iteration for Nonlin⁃ear ill-posed Problems in Hilbert Scales［J］.Springer-Verlag，2000，85：309-328.（责任编辑：陈衍峰）Landweber Iterative Regularization Method for Ill-posed ProblemsXU Lei，ZHANG Hong，GAO De-bao，SONG Qian-hong，ZHANG Cai-xia，SHAO Yun-hong （School of Science，Hei longjiang Bayi Agricultural University，Daqing163319，China）Abstract：A Landweber iterative regularization method for solving ill-posed problems is studied in this pa⁃per.The convergence of Landweber iterative regularization method is proved，and the reverse heat conduc⁃tion problem is solved by Landweber iterative regularization method.Keywords：ill-posed problem；Landweber iteration；regularization。

Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代法对于求解大规模问题是十分有利的,但是,Landweber迭代序列收敛速度是相当慢的.给出了一种新的Landweber迭代格式,能够大大加快收敛速度.还将Landweber迭代法应用于数值微分问题,将数值微分问题转化为一个特殊的第一类Fredholm积分方程的求解问题.
作者：白秀琴冯智宇 Bai Xiuqin Feng Zhiyu 作者单位：白秀琴,Bai Xiuqin(平项山工业职业技术学院,基础部,河南,平顶山,467001) 冯智宇,Feng Zhiyu(河南省科学院,郑州,450008)
刊名：河南科学ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCES 年，卷(期)：2009 27(11) 分类号：O241 关键词：Landweber迭代法收敛速度数值微分。

基于改进Landweber算法的静电传感器研究赵士娜;薛倩;林家泉【摘要】由于静电层析成像信息量少且本身为严重病态导致图像重建分辨率很低,为了提高图像重建质量,提出了一种改进的Landweber图像重建算法.采用线性反投影(LBP)算法重构的图像作为Landweber 迭代算法的初始值,再以Landweber 算法重构最终图像.仿真实验表明:采用改进的Landweber迭代算法较之单独使用LBP算法和Landweber算法有较好的成像效果,可提高成像精度,较准确地判断管道内电荷的分布情况.%Due to ill-posedness and less information of image reconstruction problem in electrostatic tomography (EST),the space resolution of the reconstructed image is extremely low.In order to improve the imaging quality,an modified Landweber image reconstruction algorithm is proposed.The reconstructed image by linear back projection(LBP) algorithm is used as initial value of the Landweber iterative algorithm.Then the final image is reconstructed by the Landweber algorithm.Simulation experiment illustrates that modified Landweber algorithm can obtain satisfied imaging results than LBP algorithm and Landweber algorithm,and improved imaging precision compared with the two algorithms.The distribution of charges in pipeline can be more accurately determined by this way.【期刊名称】《传感器与微系统》【年(卷),期】2017(036)009【总页数】3页(P29-31)【关键词】静电层析成像;图像重建;改进Landweber算法【作者】赵士娜;薛倩;林家泉【作者单位】中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300【正文语种】中文【中图分类】TP391飞机航空发动机的工作环境恶劣，在长期的高温、高转速条件下，由于内部摩擦等原因，使得相对运动的部件产生大量磨粒，磨粒与润滑油混合在一起影响发动机的正常工作，对飞行器的安全性和可靠性构成极大的威胁。

基于一类抛物型方程的反问题钱坤; 镡锐霞【期刊名称】《《价值工程》》【年(卷),期】2019(038)034【总页数】3页(P200-202)【关键词】抛物型方程; 反问题; 必要条件; 唯一性【作者】钱坤; 镡锐霞【作者单位】宁夏理工学院理学与化学工程学院石嘴山753000【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言近年来，数学物理反问题已成为应用数学领域迅速发展的一门理论，尤其在医疗、勘探、图像处理、金融等领域当中的应用更加的突出。

金融领域中的期权定价问题是反问题应用的重要体现，运用著名的Black-Scholes 定价模型，借助于从期权市获得的观测数据，去重构原生资产价格的波动率。

除此之外，典型的对流-扩散方程在环境污染中的地位不言而喻，它可以用来描述水体和大气中污染物的输移、扩散和降解，海水盐度和温度的扩散、流体的流动和传热等等。

与相应的正问题相比，反问题的处理更加的困难，关键在于其严重的不适定性[1-4]，因为在许多实际问题的处理当中，大量的数据都是通过外界手段测量得到，必然会存在误差，也正是因为这些微小的误差，问题的不适定性将会导致问题解的无限放大而失真，从而失去研究价值。

如何处理这种不适定性也成为许多学者研究的重要课题。

对反问题不适定性的处理，目前主要的方法是Tikhonov 正则化方法[5-7]，但Tikhonov 正则化方法对问题的解要求要有较强的先验光滑性条件，由此得到的稳定解的同时，也会导致原问题解的过度光滑，因此，Tikhonov 正则化方法并不是最优的。

在文献[4]中作者利用最优化理论反演了一类二阶抛物型方程中的源项系数，并利用Landweber 迭代法得到了稳定的数值模拟结果。

文献[8]中，作者利用最优化理论处理了一类发展型方程的反问题。

而文献[9]中作者在最优化理论基础上，利用全变差正则化方法研反演了一个二阶抛物型方程的源项系数。

本文讨论了一类二阶抛物型方程的源项系数反演问题，主要利用最优化理论，克服了问题的不适定性，进而得到了最优解的存在性和唯一性。