反问题的Landweber迭代法及其应用研究进展

求解非线性不适定算子方程的一种Landweber迭代法王美吉;潘状元【摘要】针对Landweber迭代方法在非线性不适定问题上进行研究.在非线性算子和右端数据皆为近似的前提条件下,基于Frozen Landweber迭代法,提出双扰动的双循环Landweber迭代格式.在一定的条件下,通过证明迭代格式的单调性和收敛性,得出该迭代格式是有效的.【期刊名称】《哈尔滨商业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(029)005【总页数】4页(P588-591)【关键词】非线性不适定问题;Landweber迭代法;收敛性【作者】王美吉;潘状元【作者单位】哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】O2411 引言考虑非线性算子方程其中:F:D(F)⊂X→Y，X，Y为 Hilbert空间.F是Frechet可微.这里考虑算子方程的解不连续依赖于右端数据的情况.由于不稳定性并且在实际问题中只有近似数据yδ满足这里为测量误差δ＞0的界.对于此类非线性问题的解法，一般通过正则化方法来得到其解的近似.由于非线性不适定问题在生活中的广泛应用，已经成为横跨应用数学和计算数学两个学科的真正的研究领域［1］.其理论研究大致有以下几个方面如Tikhonov正则化方法，最大嫡方法，有限维逼近等［2－5］.对于非线性问题人们对Landweber迭代法给予了很大关注，文献［5］证明了Frogen Landweber 迭代法的收敛性并进行了数值试验.由于在实际问题中，算子一般也是经测量而获得的近似值，或是由离散过程而得到的原算子的一个有限维的逼近，因此真正要求解的是式(1)的一个近似方程其中:h表示Fh逼近F的程度，假定满足因此，在考虑Landweber迭代时，也应考虑算子亦有扰动的情况.假定扰动算子Fh仍保持算子F的Frechet可微且F'h在D(F)上一致收敛于F'(当h→0)，本文在前人研究成果基础上提出了非线性算子方程算子与右端皆有扰动的Landweber迭代法.迭代格式为按广义误差准则来确定迭代终止步k*，则迭代序列{xδh k*}收敛到不失一般性，假定其中:βρ(x0)为以x0为中心，ρ＞0的开球.2 单调性分析对于上述迭代格式，本文以m=2为例，理论验证此迭代格式的收敛性.则此迭代带格式可以改写成引理1 ［6］如果式(3)成立，x*是方程(1)在βρ(x0)中的一个解，那么任意解∈βρ(x0)满足，，反之亦然，N(·)表示算子的核空间.证明:由条件(3)可得满足对所有的x∈，此引理得证.引理 2［7－8］假设 x* 为式(1)在βρ(x0)中的一个解，对于扰动数据满足‖yδ－y‖≤δ，k*是按广义误差准则(4)所确定的迭代终止步.若条件(3)、(5)成立，则有当δ=h=0时证明:由引理2知，由式(4)和假设条件有证明方法见文献［5］.3 收敛性分析定理2 如果在Bρ/2(x*)中满足式(3)、(5)，算子方程(1)可解，则xk收敛到式(1)的一个解x*∈Bρ/2(x*).若x+是离x0最近的惟一解，且N(F'(x+))⊂(F'(x))，成立，则xk收敛到x+.证明:令ek:x*－xk由定理1知{‖ek‖}单调下降，下界为某ε≥0，下证{ek}是 Cauchy 列.对j≥k，取l(j≥l≥k)使成立由三角不等式，有下证明(el－ek，el)也收敛到零(当k→∞时)改写由引理 2 推知，当 k，l→∞ 时 xl，1 － xl，xk，1 － xk趋于零.令由此得{ek}为 Cauchy列，所以{xk}也为Cauchy列.设xk→x*，又因为F(xk)→y(k→∞)，从而x*为式(1)的解.若式(1)有惟一的距x0最近的解，则x+满足对任何 k=0，1，2，…若，N(F'(x+))⊂N(F'(xk))，则有证毕.定理3 在定理2的前提条件下，方程(1)可解，取h=0，扰动终止于K*(δ).那么当δ→0时，收敛到式(1)的解.证明参见文献［5］中命题3.当h≠0时，设(δ，h)为由式(4)确定的迭代终止步，令K*=max{k*(δ)，K'*(δ，h)}其中k*(δ)为定理3中的迭代终止步，则有因为)趋于零，易知(el－ek，el)趋于零.同理可证定理4 假设条件(3)(5)成立，方程(1)可解，则当h→0，δ→0 时，xδh k*收敛到(1)的解.证明用归纳法易证，上式第一项当h→0时趋于零，而由定理3，第二项当δ→0时也是趋于零的，从而4 结语针对非线性不适定问题的求解，本文首先从Frozen Landweber迭代法入手，提出非线性算子和右端数据皆有扰动的Landweber迭代法.并且对所提出的迭代格式给出了收敛性证明.从理论分析可以看出，Frozen Landweber迭代法确实是求解非线性不适定算子方程的一种简单而稳定的方法，适合于处理算子与右端数据皆有扰动的实际问题，并且避开了Tikhonov正则化方法正则参数选取困难以及传统的Langweber迭代法收敛太慢的问题.不足之处是没有对此迭代格式进行数值试验，这将是下一步进行的工作.参考文献:［1］DENG Y J，LIU Z H.New fast iteration for determining surface temperature and heat flux of general sideways parabolic equation［J］.Nonlinear Anal.Real World Appl.，2011，12(1):156 －166.［2］ZHENG G H，WEI T.Two regularization methods for solving a Riesz－Feller space－frational backward diffusion problem［J］.Inverse Problems，2010，26:1 －22.［3］JIN Q N.On a regularized Levenberg－Marquardt method for solving nonlinear inverse problems［J］.Numer.Math.，2010.115:229－259.［4］YANGQQ，LIU F W，TURNER I.Numerical methods for fraction partial differential equations with Riesz space fractional derivatives［J］.Appl Math Model.，2010，34:200 －218.［5］XU J，HAN B，LI L.Frozen Landweber Iteration for Nonlinear Ill－Posed problems［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2007，23(2):329 －336.［6］HANKE M.Accelerated Landweber Iterations for the Solution of Ill－Posed Equations［J］.Numer.Math，1991，60(1):341 －373.［7］韩波，刘家琦，后步风.非线性不适定算子方程算子与右端项皆有扰动的Land weber迭代法［J］.计算数学，2002，24(4):479－486.［8］皮丽敏，潘状元.一族求解非线性方程的高阶迭代方法［J］.哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2012，28(6):751－753，768.。

带扰动算子的Landweber迭代在Hanke-Raus准则下的收
敛阶分析
谷苒;董超峰
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】本文针对带有扰动算子的非线性反问题提出了一种基于Hanke-Raus启发式停止准则的Landweber迭代法,并在一定的假设条件下分析了此迭代法的收敛阶。

【总页数】9页(P61-69)
【作者】谷苒;董超峰
【作者单位】浙江师范大学数学科学学院金华;嘉兴学院数据科学学院嘉兴
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.非线性增生算子方程带误差的三重迭代及其收敛性分析
2.关于带m-增生算子扰动的非线性方程具误差的强收敛迭代序列
3.非线性增生算子方程带误差的三重迭代及其收敛性分析
4.一个不可微算子的二步迭代法在ω条件下的半局部收敛分析
5.解变分包含的增生算子方程带误差的三重迭代的收敛性分析
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收稿日期：2021-01-15基金项目：大庆市指导性科技计划项目（2020zd ）.作者简介：徐磊，女，山东济宁人，黑龙江八一农垦大学理学院教师；张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹，黑龙江八一农垦大学（黑龙江大庆163000）.2021年第6期第42卷总第315期学报不适定问题的Landweber 迭代正则化方法研究徐磊，张虹，高德宝，宋千红，张彩霞，邵云虹摘要：文章研究了解决不适定问题的Landweber 迭代正则化法.证明了Landweber 迭代正则化法的收敛性，并且利用Landweber 迭代正则化法解决反向热传导问题.关键词：不适定性；Landweber 迭代；正则化中图分类号：O17文献标志码：A文章编号：1008-7974（2021）06-0036-04DOI ：10.13877/22-1284.2021.06.007近年来数学知识不断深入到诸多领域，而这些领域的发展都体现出了由问题结果反推问题原因，此类问题即为反问题.反问题大部分都具有不适定性，众多学者发现对于不适定问题可以用正则化理论很好地解决.正则化包括Tikhonov 正则化、迭代正则化和elastic-net 正则化等.Tikhonov 正则化是最著名的正则化方法.迭代正则化方法是Tikhonov 正则化的一种很好的替代方法.1951年，LAND⁃WEBER［1］首次提出利用Landweber 迭代法求解线性不适定方程.迭代求解这种方程x k =x k -1+a ()y -Tx k -1,k ∈N .MARTIN 等人［2］证明了Landweber 迭代法是求解非线性不适定问题的一种稳定方法.对于噪声水平的扰动数据δ提出了一个停止规则，在适当的条件下产生收敛速率O ()δ12.李中锋［3］利用Landweber 迭代方法研究了含对流项的反向热传导问题和Helmholtz 方程Cauchy 问题.通过数值例子表明所用的方法是稳定可行的.刘霄［4］利用Landweber 迭代法解决了分数阶反应扩散方程的未知源识别问题、非齐次分数阶反应扩散方程的反演初值等不适定问题.并给出了相应的后验正则化方法.本文主要考虑Landwe⁃ber 迭代正则化方法，研究其方法的收敛性.并利用Landweber 迭代方法求解反向热传导问题.徐磊，等：不适定问题的Landweber 迭代正则化方法研究1预备知识讨论线性算子方程的适定性和不适定性，不适定性是指数学问题不满足Hadamard ［5］定义的适定性，即以下性质之一不成立：①问题的解存在；②问题的解唯一；③问题的解连续依赖于定解条件.考虑不适定线性算子方程Ax =y ，（1）其中：x 在某个标准正交基下是稀疏的，A 是有界线性算子.事实上，y 不能准确得到，而只能得到它的近似观测值y δ，满足y-y δ≤δ，称y δ为带有噪声的数据，δ为噪声水平.式（1）的不适定性意味着解决方案不会仅依赖于数据.因此，它们需要被正则化，以消除解的合理近似.定义1［6］设A :X →Y 是赋范线性空间X到赋范线性空间Y 的一个线性算子.方程Ax =y是适定的，若A 是一个双射且逆算子A -1:Y →X 是连续的.否则称为不适定的.定义2［6］若有一族有界线性算子R α:Y →X ,α>0，称其为式（1）的正则化解算子，若满足lim α→0R αKx =x ，并且对所有x ∈X 成立，称α为正则化参数.定义3对任何一个函数f ()t 都可以通过某种操作变为另一种对应函数F ()w .因此这一函数称为连续傅里叶变换F ()w =ψ()f ()t =∫-∞+∞f ()t e-iwtd t ，称F ()w 是f ()t 的象函数，称f ()t 是F ()w 的原象函数.||F ()w 为f ()t 的振幅谱.得到振幅谱后，将其逆变换，即f ()t =ψ-1()f ()w =12π∫-∞+∞F ()w e -iwt d w ，称其为连续傅里叶变换的逆变换.定理1［7］若y ∈D ()T +，那么当k →∞时，x k →T *y .若y ∉D ()T +，那么当k →∞时,x k→∞.2主要内容2.1Landweber 迭代正则化方法的收敛性Landweber 迭代提供了一个初始值x *，其作用与Tikhonov 正则化相同，使用x δ0=x *迭代计算进一步的近似{}x δk ，即x δk +1=x δk +T *()y δ-Tx δk -1,k ∈N .（2）在式（2）中的T *前面引入一个参数0<a <T -2，进行迭代x δk +1=x δk +aT *()y δ-Tx δk -1,k ∈N .这与式（2）乘以a 并迭代效果相同.接下来我们考虑Landweber 迭代正则化方法的收敛性.定理2令y ∈R ()T ，考虑对于Tx =y 的任意解x ，如果 y δ-Tx δk >δ，用k 表示迭代的终止指数.那么就有x +-x δk +12< x +-x δk 2.证明我们估计x+-x δk +12-x+-x δk 2=x+-x δk -T *T ()x +-x δk 2- x+-x δk 2=x +-x δk -T *()y δ-Tx δk 2-x+-x δk 2=x+-x δk 2+T *()yδ-Tx δk 2-2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk -x +-x δk 2=T *()y δ-Tx δk 2-2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk =y δ-Tx δk ,TT *y δ-Tx δk-2021年第6期学报2x +-x δk ,T *()y δ-Tx δk =-2y -y δ,y δ-Tx δk-yδ-Txδk2+y δ-Tx δk ,()TT *-I ()y δ-Tx δk .（3）由于()TT *-I ()yδ-Tx δk <δ，y δ-Tx δk ,()I -TT *()y δ-Tx δk >0，y δ-Tx δk >δ，于是可以证明式（3）x+-xδk +12-x+-xδk2<-δ<0.2.2利用Landweber 迭代法解决反向热传导问题考虑一维反向热传导方程，即如下问题：考虑热方程∂u ∂t ()x ,t =∂2u∂t2()x ,t .首先提出f ()t =u ()1,t ，对于t ∈R ，其测量数据为g ()t =u ()0,t ，对于t ∈R ，并且测量数据的左边界Ω=[]0,1是绝热的，即∂u∂t()0,t =0，对于t ∈R .这里u 满足热方程，假设对于所有的x ∈[]0,1，u ()x ,⋅∈L 2()R ，可以这样来处理这个问题，通过取傅里叶变换：对于v =v ()x ,t ，用v 表示对t 的傅里叶变换［8］v ()x ,w =12π∫-∞+∞e -iwt v ()x ,t d t ,w ∈R .因为∂u ∂t =iwv ，即有∂2u ∂x2=iwu .于是可以得到v ()x ,w =cosh ()x iw f ()w cosh()iw,x ∈[]0,1,w ∈R ，于是可以令f ()w =cosh()iw g ()w ,w ∈R ，（4）因此，利用傅里叶反变换，即f ()t =12π∫-∞+∞f ()w e -iwt d w ，可以得到由g 确定f 形式的解f ()t =12π∫-∞+∞e -iwt cosh()iw g ()w d w .（5）然而式（5）只在某种合理意义时才有意义，我们考虑利用Landweber 迭代正则化法求f ()t 的近似解，由于f T =g 且T 是自伴算子，则有T *=T ，由式（4）可得T *=T =-1cosh()iw，（6）方程fT =g 可以写成f =f +T *()g -fT .从而写出Landweber 迭代式f δk +1=f δk +T *()g δ-f k T ,k ∈N ，（7）在式（7）中的T *前面引入一个参数0<a < T -2，即为步长.进行迭代f δk +1=f δk +aT *()g δ-f k T ,k ∈N .迭代f k 可以通过非递归的方式表示f δk =a ∑i =1k -1()I -T *T kT *g δ.通过式（6）可得f δk =a I -()I -T *T kAg δ，从而得到f δk =a2π∫-∞+∞e -iwtI -()I -T *T kTg δd w .于是利用Landweber 迭代法解决了反向热传导问题.3结语文章对不适定问题的Landweber 迭代正则化方法进行了研究.证明了Landweber 迭代正则化方法的收敛性.并且利用Landweber 迭代徐磊，等：不适定问题的Landweber迭代正则化方法研究正则化方法求解反向热传导问题.参考文献：［1］LAND W.An Iteration Formula for Fredholm In⁃tegral Equations of the First Kind［J］.Am J Math，1951，73（3）：615-624.［2］MARTIN H，ANDREAS N，OTMAR S.A Conver⁃gence Analysis of the Landweber Iterationfor Nonlinear ill-posed Problems［J］.Springer-Verlag，1995，72：21-37.［3］李中锋.两个数学物理反问题的Landweber迭代正则化方法［D］.兰州：兰州大学，2010：15-20.［4］刘霄.几类不适定问题的Landweber迭代正则化方法和算法［D］.兰州：兰州理工大学，2018：40-50.［5］HADAMARD J，MORSE P M.Lectures on the Cauchy Problems in Linear Partial Differential Equations ［M］.New Haven：Yale University Press，2005：20-30.［6］刘继军.不适定问题的正则化方法和应用［M］.北京：科学出版社，2005：45-50.［7］HEINZ W，MARTIN H.Regularization of Inverse Problems［M］.The Hague：Kluwer Academic Publishers，1994，30-36.［8］ANDREAS N.On Landweber Iteration for Nonlin⁃ear ill-posed Problems in Hilbert Scales［J］.Springer-Verlag，2000，85：309-328.（责任编辑：陈衍峰）Landweber Iterative Regularization Method for Ill-posed ProblemsXU Lei，ZHANG Hong，GAO De-bao，SONG Qian-hong，ZHANG Cai-xia，SHAO Yun-hong （School of Science，Hei longjiang Bayi Agricultural University，Daqing163319，China）Abstract：A Landweber iterative regularization method for solving ill-posed problems is studied in this pa⁃per.The convergence of Landweber iterative regularization method is proved，and the reverse heat conduc⁃tion problem is solved by Landweber iterative regularization method.Keywords：ill-posed problem；Landweber iteration；regularization。

Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代的加速与在数值微分中的应用
Landweber迭代法对于求解大规模问题是十分有利的,但是,Landweber迭代序列收敛速度是相当慢的.给出了一种新的Landweber迭代格式,能够大大加快收敛速度.还将Landweber迭代法应用于数值微分问题,将数值微分问题转化为一个特殊的第一类Fredholm积分方程的求解问题.
作者：白秀琴冯智宇 Bai Xiuqin Feng Zhiyu 作者单位：白秀琴,Bai Xiuqin(平项山工业职业技术学院,基础部,河南,平顶山,467001) 冯智宇,Feng Zhiyu(河南省科学院,郑州,450008)
刊名：河南科学ISTIC英文刊名：HENAN SCIENCES 年，卷(期)：2009 27(11) 分类号：O241 关键词：Landweber迭代法收敛速度数值微分。

基于改进Landweber算法的静电传感器研究赵士娜;薛倩;林家泉【摘要】由于静电层析成像信息量少且本身为严重病态导致图像重建分辨率很低,为了提高图像重建质量,提出了一种改进的Landweber图像重建算法.采用线性反投影(LBP)算法重构的图像作为Landweber 迭代算法的初始值,再以Landweber 算法重构最终图像.仿真实验表明:采用改进的Landweber迭代算法较之单独使用LBP算法和Landweber算法有较好的成像效果,可提高成像精度,较准确地判断管道内电荷的分布情况.%Due to ill-posedness and less information of image reconstruction problem in electrostatic tomography (EST),the space resolution of the reconstructed image is extremely low.In order to improve the imaging quality,an modified Landweber image reconstruction algorithm is proposed.The reconstructed image by linear back projection(LBP) algorithm is used as initial value of the Landweber iterative algorithm.Then the final image is reconstructed by the Landweber algorithm.Simulation experiment illustrates that modified Landweber algorithm can obtain satisfied imaging results than LBP algorithm and Landweber algorithm,and improved imaging precision compared with the two algorithms.The distribution of charges in pipeline can be more accurately determined by this way.【期刊名称】《传感器与微系统》【年(卷),期】2017(036)009【总页数】3页(P29-31)【关键词】静电层析成像;图像重建;改进Landweber算法【作者】赵士娜;薛倩;林家泉【作者单位】中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300【正文语种】中文【中图分类】TP391飞机航空发动机的工作环境恶劣，在长期的高温、高转速条件下，由于内部摩擦等原因，使得相对运动的部件产生大量磨粒，磨粒与润滑油混合在一起影响发动机的正常工作，对飞行器的安全性和可靠性构成极大的威胁。

基于一类抛物型方程的反问题钱坤; 镡锐霞【期刊名称】《《价值工程》》【年(卷),期】2019(038)034【总页数】3页(P200-202)【关键词】抛物型方程; 反问题; 必要条件; 唯一性【作者】钱坤; 镡锐霞【作者单位】宁夏理工学院理学与化学工程学院石嘴山753000【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言近年来，数学物理反问题已成为应用数学领域迅速发展的一门理论，尤其在医疗、勘探、图像处理、金融等领域当中的应用更加的突出。

金融领域中的期权定价问题是反问题应用的重要体现，运用著名的Black-Scholes 定价模型，借助于从期权市获得的观测数据，去重构原生资产价格的波动率。

除此之外，典型的对流-扩散方程在环境污染中的地位不言而喻，它可以用来描述水体和大气中污染物的输移、扩散和降解，海水盐度和温度的扩散、流体的流动和传热等等。

与相应的正问题相比，反问题的处理更加的困难，关键在于其严重的不适定性[1-4]，因为在许多实际问题的处理当中，大量的数据都是通过外界手段测量得到，必然会存在误差，也正是因为这些微小的误差，问题的不适定性将会导致问题解的无限放大而失真，从而失去研究价值。

如何处理这种不适定性也成为许多学者研究的重要课题。

对反问题不适定性的处理，目前主要的方法是Tikhonov 正则化方法[5-7]，但Tikhonov 正则化方法对问题的解要求要有较强的先验光滑性条件，由此得到的稳定解的同时，也会导致原问题解的过度光滑，因此，Tikhonov 正则化方法并不是最优的。

在文献[4]中作者利用最优化理论反演了一类二阶抛物型方程中的源项系数，并利用Landweber 迭代法得到了稳定的数值模拟结果。

文献[8]中，作者利用最优化理论处理了一类发展型方程的反问题。

而文献[9]中作者在最优化理论基础上，利用全变差正则化方法研反演了一个二阶抛物型方程的源项系数。

本文讨论了一类二阶抛物型方程的源项系数反演问题，主要利用最优化理论，克服了问题的不适定性，进而得到了最优解的存在性和唯一性。

地震信号的Landweber迭代傅里叶快速重建池越;丁木;周亚同;白阳【摘要】地震信号重建具有重要意义,其中傅里叶重建算法受到广泛关注.这些算法具有原理简单、纯数据驱动、假设前提少等优势,但也存在着重建速度慢等不足.以FRMN为基础,构建了一种新的Landweber迭代傅里叶快速重建算法(Fourier Reconstruction with accelerated Landweber Iteration,FRLI);该算法在经典的FRMN基础上,利用快速Landweber迭代求解傅里叶系数,再经过傅里叶反变换重建地震信号.通过不同维数的地震信号重建实验,结果表明:FRLI与经典的FRMN和FRSI重建算法相比,大幅提高了重建速度,且重建效果良好.因此采用FRLI算法重建地震信号可以解决传统算法的缺陷.【期刊名称】《煤炭学报》【年(卷),期】2018(043)009【总页数】8页(P2562-2569)【关键词】地震信号;傅里叶重建;快速Landweber迭代;重建速度【作者】池越;丁木;周亚同;白阳【作者单位】河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学天津市电子材料与器件重点实验室,天津300401【正文语种】中文【中图分类】P631.4通过地震信号可以探查地下地质结构，以便准确寻找煤炭[1]、石油和天然气。

但是在野外地震勘探中，由于各种原因有时导致采集的地震信号并不完整，因此需要将缺失的地震信号重建成完整的地震信号。

常见的地震信号重建算法有3类:基于数学变换的重建、基于预测滤波的重建和基于波动方程的重建，其中基于数学变换的重建包括傅里叶变换、小波变换[2]、K-L变换及Radon变换重建等。

一种改进的Landweber迭代图像复原算法蒋欣兰【摘要】为解决传统的Landweber迭代法收敛速度慢,且对噪声敏感的问题,本文针对几种常见的模糊,即大气湍流模糊以及运动模糊,分别研究讨论了图像模糊的产生机理,并提出了一种改进的Landweber迭代图像复原方法.通过将图像的信号域与噪声域分离,改进的方法只在信号域上进行迭代加速,抑制了噪声的扩大.实验对比结果表明本文提出的方法在加速收敛的同时仍可以提高图像复原的精度,并以遥感图像和高速铁路图像为例,进一步验证了该方法的实际应用效果.【期刊名称】《计算机系统应用》【年(卷),期】2015(024)012【总页数】6页(P283-288)【关键词】大气湍流模糊;运动模糊;landweber迭代法;图像复原【作者】蒋欣兰【作者单位】中国青年政治学院计算机教学与应用中心,北京100089【正文语种】中文图像复原旨在将一幅模糊或受噪声污染的图像重新清晰化的过程, 图像复原的过程在数学模型上往往抽象为一个去卷积的过程. 图像去卷积常常涉及到求解大规模线性系统即根据给出的离散噪声图像 g, 去估算实际物体的离散图像f, 其中矩阵A与点扩散函数相关, 定义为即A矩阵可以看做是点扩散函数的离散形式[1,2].图像去卷积常常伴随着不适定性, 即式(1)的求解是一个不适定问题, 各种正则化方法(例如Tikhonov正则化; 截断SVD正则化; Landweber迭代正则化等)被引入来解决这一问题. 由于迭代法在求解大规模线性系统时在时间和空间花费上都具有显着优势, 所以大规模问题中主要选择迭代正则化方法[3-6].Landweber迭代法是一种最简单的迭代正则化方法, 因其实现简单以及具有很好的正则化效果, 在许多领域有着广泛的应用. 但这种方法的缺点在于收敛速度较慢, 往往需要很多次迭代才能收敛到合适的解.本文主要从提高Landweber迭代法收敛速度的角度出发, 分析了影响图像复原精度的因素, 通过控制调节这些因素, 从而达到了在加速收敛的同时仍可以提高图像复原质量的效果.本文以遥感图像中存在的大气湍流模糊以及高速铁路图像中存在的运动模糊为应用研究对象, 将提出的复原算法应用于这两种实际的场景中, 进一步验证了算法的有效性.1 图像模糊退化原理成像系统受各种因素的影响, 导致了图像质量的降低, 这一过程称作图像退化[7]. 图像模糊是一种最常见的图像退化效果, 模糊退化过程如图1所示.图1 图像模糊退化过程如图1, 在高速摄像的环境下, 如高速铁路车载成像系统与目标在曝光时间内的快速相对运动将导致成像的运动模糊. 而对于遥感成像而言, 由于存在大气层, 在光线进入成像系统传感器之前, 大气湍流随机地干扰光线的传播将导致大气湍流模糊.图像模糊可以看做是点扩散函数(PSF)[8]作用在原始物体上的结果, 图2为图像模糊退化模型.图2 图像模糊退化模型如图2为图像模糊退化的模拟过程, 原始物体(用清晰图像表示)与点扩散函数相互卷积就使原清晰图像退化为模糊图像.图像模糊退化模型的空间域表示为退化为模糊图像.图像模糊退化模型的空间域表示为其中, f表示原始物体; H表示点扩散函数; H与f相互作用表示图像模糊的过程; g 表示退化图像.根据卷积定理, 式(3)做傅里叶变换, 可得频域表示其中,分别为g,H,f的傅里叶变换形式, ˆH称作频域上的传递函数.图像复原的目的就是根据退化图像的一些先验知识, 从退化图像出发去寻找一幅与原始物体最近似的复原图像.2 改进的Landweber迭代法Landweber迭代法用来求解最小二乘方程其中, A 是一个平方可积的线性算子, *A 是A的共轭算子, g 为已知数据, f 为未知求解对象.其迭代策略为:其中, fk 代表第k 次迭代得到的结果, τ 为松弛参数.式(6)做傅里叶变换, 整理得在保证式(7)收敛的情况下, 则经过有限次迭代,式(5)取得最优解.其中,表示退化图像,为传递函数,表示第k次迭代得到的复原图像. 因此, 利用这一迭代模型, 在进行kopt次迭代后, 可以得到与原始物体最为近似的复原图像.2.1 Landweber方法的收敛条件设B为一频率区间, 且有ω∈B时, 为任取的初始迭代值,时,(在图像系统中, B可作为成像系统的频带).则式(7)的收敛条件为[9]:(1)当时, 由得, 对任意k, 有所以频带之外Landweber方法一定收敛.(2)当时, 式(7)收敛必须满足条件2.2 Landweber方法的正则化特性Landweber方法是一种以迭代次数作为正则化参数的正则化算法[10].令式(7)可以写作其中式(8)具有正则解的一般形式, 且式(9)满足窗口函数的条件.对于一些小的(很多情况下的值是很小的),而 Tikhonov窗口函数若二者具有相同的正则化效果, 则可得因此 Landweber方法具有正则化特性, 且正则化参数为迭代次数k.2.3 Landweber方法的半收敛性式(8)中,用来表示第k次迭代得到的近似解用来表示迭代解的误差, 有其中, R (k)为式(8)中定义的算子, f （0）为原始数据, w代表加性噪声数据.从式(10)中可以看出, 迭代解的误差主要受和 (k)R w两项的影响. 可以得到式(11)是迭代次数k的减函数, 而式(12)是迭代次数k的增函数. 即随着迭代次数的增加, 图像之间的近似误差越来越小, 而噪声误差却越来越大. 因此,复原过程必然表现出半收敛的性质, 即随着迭代次数的增加, f首先逼近 f（0）, 而后又远离 f （0）. 因此, 在k利用 Landweber迭代法进行图像去卷积时, 就要求我们寻找一个最优迭代次数kopt, 从而使图像复原达到最好的效果.2.4 预调节器的选取式(9)中, 由于往往很小(1 0-3数量级), 因此需要进行多次迭代, 窗口函数才能近似收敛到1, 即多次迭代之后才能求得最小二乘问题的解, 这表明收敛速度慢是Landweber迭代法的一大缺点. 为了克服这一缺点, Strand提出了一种方法[11], 对于最小二乘解问题(式(5)), 有如下形式这里D是一个线性有界算子, 记作若算子满足如下性质:1)对任一ω,2)对大于合适阈值的所有空间频率ω,接近1, 或者至少不比1小很多.满足以上条件的算子D被称作预调节器. 将预调节器算子作用在待求解的原问题上, 使原问题更易求解, 这一过程称作预处理[12,13].我们将Landweber方法应用于式(13), 得为便于分析, 取f0=0, 对式(15)做傅里叶变换, 整理后可以得到选择(γ为一常数), τ=1时, 有从式(17)中, 我们可以看出, 整个频域空间可分为信号子空间S(signal subspace)和噪声子空间N(noise subspace). 由于(本文中选用高斯低通滤波器), 因此, 若则有由式(18)可以看出, 信号子空间中的迭代加速效果要优于噪声子空间, 也就是说的收敛速度要优于的收敛速度, 这正是我们想要的. 但毕竟噪声子空间中的收敛速度也被加速, 因此, 如果我们可以将图像中的信号和噪声分离, 仅对信号子空间进行预处理加速, 而噪声空间不做加速处理, 则可以得到更好的效果.事实上, 很难从严格意义上将信号与噪声彻底分离, 但我们可以找到两个子空间S˜和N˜, 分别近似于信号子空间S和噪声子空间N. 有如下描述:若则式(19)变为对于式(20), 在图像去卷积问题中, 如果信号子空间和噪声子空间可以严格的分离, 那么经过一次迭代就可以得到最好的复原效果. 但由于近似噪声子空间中往往包含有边缘信息, 因此, 需要进行若干次迭代来恢复图像边缘.式(1)做傅里叶变换, 得到中较大的值对应于中的信号成分, 而较小的值对应于图像中的噪声成分[14], 其中由滤波器A做傅里叶变换得到,由图像g做傅里叶变换得到. 因此,根据这一性质, 我们可以尝试分离信号和噪声子空间.以下是构造基于信噪分离的预调节器的具体步骤, 描述如下:1)寻找最优信噪分离点 swopt①读入噪声图像g, 经傅里叶变换得到将矩阵中的元素从大到小排列, 并依次存入数组G[1,pixels]中, 其中pixels为图像的总像素;② 遍历 G, 找到最优信噪分离点 sw opt, 则G[1,swopt]主要存储信号像素值,G[swopt,pixels]主要存储噪声像素值.2)根据 sw opt分离图像g为近似信号图像和近似噪声图像① 将 G中区间[s w opt,pixels]中的元素值全部置零得到数组 G signal, 然后将数组 G signal 按照矩阵中像素的分布重新构造一个新矩阵做傅里叶反变换就得到了近似信号图像将G中区间[1,swopt]中的元素之全部置零得到数组 G noise , 同理可以得到近似噪声图像图 3为根据swopt分离开的近似信号图像与近似噪声图像图3 (a)模糊图像 g0, 表示全信号图像; (b)噪声图像g,由g0加入高斯白噪声生成;(c)和(d)为近似信号图像与近似噪声图像, 由g根据最优信噪分离点 sw opt分离得到.3)构造信噪分离的预调节器①将矩阵中的元素从大到小排序, 并存入数组B[pixels]中, 其中pixels为图像的总像素;② 对于数组 B, 在区间[1,swopt]上应用进行信号子空间预处理, 而在区间[ sw opt ,pixels]上应用 B [sw opt,pixels]=1来保证噪声子空间不进行迭代加速处理;③ 将数组 B按照矩阵ˆA中的元素分布重新构造一个新矩阵ˆD.至此, 我们就得到了一个信噪分离的预调节器D.3 实验与分析3.1 实验对比本节我们将通过实验来说明预处理方法的迭代加速效果. 如图 4所示, 将一幅规格为50×50, 即具有2500个像素点的原始图像进行模糊化, 加噪处理, 得到的图像作为待去卷积的图像.图4 模拟的实验数据图像接下来要做的就是根据给出的噪声图像g, 采用不同的实验方法, 得到近似于原始图像 0f的复原图像f.我们用相对复原误差 RRE(Relative restoration error)的概念来表征图像复原的质量. 相对复原误差有如下定义:实验中我们采用不同的迭代次数来观察复原结果, 同时也计算出相对复原误差.图5 实验结果图 5给出了实验的结果, 其中k 为迭代次数, 为最优迭代次数, 即图像达到最优复原效果时所需的迭代次数.图(a)表示无预调节器的 Landweber方法. 比较(a-1)与(a-2), 很明显, 迭代次数较小时, 噪声误差传递较小, 但边缘较模糊; 迭代次数取得最优值时, 边缘恢复较好, 但噪声被明显放大了.图(b)表示采用简单预调节器(γ=0.08)的Landweber方法. 可以看出, 该方法在进行40次迭代之后得到最优复原效果, 与(a)中的方法相比, 收敛速度大幅提高, 但是由于噪声传递的加快, (b)中的方法明显降低了图像的恢复质量.图(c)表示采用信噪分离预调节器的Landweber方法, 可以看出, 与(a)中方法相比, (c)中的方法不仅只需要更少的迭代次数就能得到最优效果, 而且其复原误差也较(a)中的方法小. 与(b)相比, 虽然(c)中的方法需要更多的迭代次数达到最优复原效果, 但是在二者取相同的迭代次数时, (b)中的方法已经得到最小恢复误差, 大小为18.25%, 而此时运用(c)中的方法得到的复原误差为 15.17%, 也就是说在相同迭代次数k=40的情况下, (c)中的方法要优于(b)中的方法.三种方法的实验结果比较如下表1所示:表1 实验结果比较迭代次数相对复原误差(k=40)(%)最优迭代次数最小相对复原误差(%)无预调节器 40 25.81 478 16.69简单预调节器 40 18.25 40 18.25本文的方法 40 15.17 120 14.78从表 1可以看出, 对同一幅模糊图像进行复原的情况下, 同样的迭代次数本文的方法相对误最小.图6为三种实验方案得到的相对复原误差曲线在同一坐标系中的比较. 从图中可以直观的看出, 采用信噪分离预调节器的 Landweber方法, 无论在加速迭代收敛方面, 还是在提高图像复原精度方面, 都有着明显的提高.图6 三种方法复原误差的比较(横轴为迭代次数, 纵轴为复原误差)3.2 实际应用中的复原结果根据3.1节中的实验模拟, 我们得到如图7所示的实际应用中图像的复原结果.图7 遥感图像和高速铁路图像的复原结果从图 7中可以明显观察到本文提出的改进的Landweber迭代法无论对于遥感图像中的大气湍流模糊还是高速铁路图像的运动模糊, 都是切实可行的,且具有很好的复原效果.4 结语本文提出了一种基于信噪分离的预处理迭代算法, Landweber其主要思想是通过分离信号域与噪声域, 仅在信号域上进行迭代加速预处理. 通过理论分析与实验, 说明了这一方法的优点: 1)收敛快; 2)误差小. 从对比结果中可以明显的观察到: 在相同的迭代次数下,本方法具有最小的相对复原误差. 因此采用这一方法,可以使图像更快的复原到更优的近似解.参考文献【相关文献】1 Hackbusch W. Iterative Solution of Large Sparse Systems of Equations.1st ed., New York: Springer-Verlag, 1994: 43–62.2 Lu G, Peng LH, Zhang BF, Liao YB. Preconditioned Landweber iteration algorithm for electrical capacitance tomography. Flow Measurement and Instrumentation, 2005, 16(2-3): 163–167.3 O’Sullivan F. A statistical perspective on ill-posed inverse problems. Statistical science, 1986, 1(4): 502–518.4 Landweber L. An iteration formula for Fredholm integral equations of the first kind. American journal of mathematics, 1951,73(3): 615–624.5 Groetsch CW. Inverse problems in the mathematical sciences. 1st ed., Braunschweig: Vieweg, 1993: 79–101.6 Xu P. Truncated SVD methods for discrete linear ill-posed problems. Geophysical Journal International, 1998, 135(2): 505–514.7 陈武凡,李超,陈和晏.空域中退化图像恢复的有效算法.计算机学报,1999,22(12):1267–1271.8 Gonzalez RC, Woods RE. 数字图像处理. 2nd ed.北京:电子工业出版社,2007.9 Bertero M, Boccacci P. Introduction to inverse problems in imaging. Boca Raton: CRC Press, 1998: 137–167.10 Tikhonov AN, Arsenin VYA. Solutions of ill-posed problems. 1st, ed., Washington: Winston and Sons, 1977: 45–94.11 Piana M, Bertero M. Projected Landweber method and preconditioning. Inverse Problems, 1997,13(2):441–463.12 Golub GH, O'Leary DP. Some history of the conjugate gradient and Lanczos algorithms: 1948–1976. SIAM review, 1989, 31(1): 50–102.13 Hanke M. Accelerated Landweber iterations for the solution of ill-posed equations. Numerische Mathematik, 1991, 60(1): 341–373.14 Brianzi P, Di Benedetto F, Estatico C. Improvement of spaceinvariant image deblurring by preconditioned Landweber iterations. SIAM Journal on Scientific Computing, 2008,30(3): 1430–1458.。

迭代法的理论分析及其应用在数学上，许多问题需要解决某个方程或不等式的根。

然而，由于这些问题的复杂性和问题的规模，使用传统的数值方法通常不太实际。

为了解决这些问题，人们发明了一种数值方法，称为迭代法。

该方法通过反复使用一个递推公式来计算方程或不等式的根。

本文将介绍迭代法的理论背景，并讨论其在各种应用领域中的用途。

理论背景迭代法的核心思想是通过不断反复使用一个递推公式来逼近解。

例如，假设我们要计算方程f(x) = 0的根，我们可以将其重写为x= g(x)，其中g(x)是一个函数，g(x)可以通过简单的代数变换从f(x)得到。

迭代法的基本步骤如下：1. 初始值：选择某个初始值x02. 迭代：通过递推公式计算下一个值：xn+1 = g(xn)3. 终止条件：当满足某个终止条件时，停止迭代并输出xn+1作为解。

操作过程如下所示：x0 → g(x0) → g(g(x0)) → g(g(g(x0))) → ... → xn → xn+1因此，我们可以看出迭代法的本质就是从初始点开始，通过递推公式不断迭代得到下一个点，最终得到方程的根。

在迭代法中，选择合适的递推公式非常重要。

如果选择的递推公式不好，可能会导致迭代过程发散或收敛得非常慢。

因此，选择适当的递推公式对迭代法的成功与否至关重要。

应用领域迭代法在各种领域中都有广泛的应用，包括计算机科学、物理学、工程学、生物医学和经济学等。

下面将介绍迭代法在这些领域中的应用。

计算机科学在计算机科学中，迭代法被广泛用于解决各种问题，如搜索、排序、优化和图形学等。

其中，最常见的例子是二分查找法。

该方法通过不断将搜索范围缩小一半，以找到一个元素在有序列表中的位置。

二分查找法的时间复杂度为O(log n)，其中n是元素的数量。

另一个例子是迭代优化算法，如梯度下降法。

梯度下降法用于最小化一个函数，通过不断沿负梯度方向走去最小值处。

该算法经常用于训练神经网络和机器学习模型。

物理学在物理学中，迭代法用于数值求解微分方程。

结构损伤识别中的正则化方法代江【摘要】In light of the inverse problem of structural damage,the article describes the regularization method needed in solving,introduces various specific methods,which is helpful for understanding damage identification and regularization method and for promoting relevant research of damage identification.%针对结构损伤识别这一反问题,对求解所需的正则化方法进行了综述,介绍了多种具体方法,有助于加深对损伤识别问题和正则化方法的理解,进而促进损伤识别的相关研究。

【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2012(038)012【总页数】3页(P42-44)【关键词】损伤;识别;反问题;正则化【作者】代江【作者单位】新疆哈密矿务局勘察设计院,新疆哈密839003【正文语种】中文【中图分类】TU311.41 概述工程结构的可靠性问题关乎生命财产安全，在学术界和工程界都得到了很大的重视。

要确保结构的可靠，需要及时发现结构的损伤情况。

从一般意义上来看，结构发生损伤是一种正问题，对损伤进行识别是一类典型的反问题。

当前各类反问题研究中都面临一个突出障碍，就是不适定性[1]。

对结构的损伤识别问题来说，反演需要基于一定的原始资料，主要是位移、频率、振型等，这些资料一般是通过监测直接或者间接获得的。

由于测量误差、测试条件或技术水平有限等因素，造成反演出的损伤信息不能达到存在性、唯一性和稳定性的完全满足，出现不适定问题(损伤可能识别不出来;对应有多种损伤情况、不能唯一确定;识别结果不抗噪)[2，3]。

一种修正的电阻层析成像 Landweber 迭代算法
张立峰;王化祥
【期刊名称】《计量学报》
【年(卷),期】2016(037)003
【摘要】研究了灵敏度矩阵更新的 Landweber 迭代图像重建算法，以期提高重建图像精度。

灵敏度矩阵更新时的初始图像由 Landweber 迭代法获得，对不同迭代次数的灵敏度矩阵更新间隔进行了比较，并且对灵敏度矩阵的更新次数进行了分析，仿真及实验结果表明，该方法能有效提高图像重建精度。

【总页数】4页(P271-274)
【作者】张立峰;王化祥
【作者单位】华北电力大学自动化系，河北保定 071003;天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】TB937
【相关文献】
1.基于修正Landweber迭代的声学温度场重建算法 [J], 李芝兰;颜华;陈冠男
2.基于单电极激励的ART迭代算法电阻层析成像研究 [J], 武艳芳;潘晋孝;孔慧华
3.一种改进的Landweber迭代图像复原算法 [J], 蒋欣兰
4.改进Landweber电阻层析成像图像重建算法 [J], 肖理庆;王化祥;徐晓菊
5.用于电阻层析成像的快速自适应硬阈值迭代算法 [J], 董峰;赵佳;许燕斌;谭超
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限制角图像重建的Landweber迭代算法及其实现研究的开题报告一、研究背景在医学影像等领域，角限制（limited-angle）成像技术已成为一种重要的成像方法。

该方法可以在大大减少辐射量的情况下获取三维图像。

然而，由于成像角度限制，这种方法也带来了重建图像的困难。

为了解决这个问题，目前存在许多重建算法。

其中，Landweber迭代算法是一种简单而有效的迭代算法，已广泛应用于不同的重建领域。

该算法本质上是一个迭代的梯度下降优化过程，能够逐步逼近真实的图像。

二、研究目的本文旨在探讨如何将Landweber迭代算法应用于角限制图像重建，并提出一种改进的算法。

该算法基于Landweber迭代算法，通过加入特定的正则化项以提高重建质量。

另外，本研究还将探讨如何有效实现该算法，使其能够在实际应用中达到较好的效果。

三、研究方法1.实现Landweber迭代算法及其改进算法根据Landweber迭代算法的原理，实现该算法，并加入正则化项来提高重建质量。

另外，本研究还将探究如何确定最佳的正则化参数。

2.构造模拟数据集为了测试算法的有效性，本研究将构造角限制成像的模拟数据集，并采用不同的参数设置进行实验。

3.评估算法性能使用重建误差、重建时间等指标对算法性能进行评估。

另外，本研究还将与其他相关算法进行比较，并分析算法的优缺点。

四、研究意义本研究可以为角限制图像重建提供一个有效的解决方案，对于医学影像等领域的成像有着重要的意义。

另外，本研究还可以为相关领域的研究提供一个跨领域的思路。

五、预期结果通过实验验证，本研究预计能够验证改进的Landweber迭代算法在角限制图像重建上的有效性，提高重建结果的质量和稳定性，并且能够在实际应用中达到较好的效果。

专利名称：基于Landweber迭代法的波束形成方法专利类型：发明专利
发明人：刘文龙,张博
申请号：CN201510059401.9
申请日：20150204
公开号：CN104683006A
公开日：
20150603
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种基于Landweber迭代法的波束形成方法，其包括通过基站天线将带通通信信号解调到基带后进行离散采样；使用前N个离散采样数据作为训练序列并求解对应的协方差矩阵，计算出Landweber迭代公式中的松弛因子α以及通过Landweber迭代公式求解出对应的波束形成权值w；将得到的权值w带入到代价函数G(m)并求解出代价函数G(m)中基于Landweber迭代法的理想迭代停止数，即求解出使得代价函数G(m)为最小化的正则化因子m，以及对应的Landweber迭代法的最佳权值；最后利用求解出的Landweber迭代法的权值，对后续采样序列进行波束形成操作。

本发明利用Landweber迭代求解波束形成权值，通过简化的代价函数来决定迭代数，最后得到能够抵抗系统误差的迭代解。

申请人：大连理工大学
地址：116024 辽宁省大连市高新园区凌工路2号
国籍：CN
代理机构：大连东方专利代理有限责任公司
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