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离散知识点大一离散数学是计算机科学与信息技术等学科中的一门重要基础课程，对于大一学生而言，熟练掌握离散数学的知识点是非常重要的。
下面将为大家介绍一些大一学习离散数学时需要掌握的知识点。
1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，大一学习离散数学时首先需要了解集合的定义、基本运算及其性质。
此外，大一学习离散数学还需要学习并集、交集、差集、补集等集合运算的性质和运算规则。
2. 逻辑逻辑是离散数学的核心内容之一，大一学习离散数学时需要学习命题逻辑和谓词逻辑的基本概念、符号表示以及推理方法。
掌握逻辑运算规则、逻辑等价与蕴含关系的相关知识是进行离散数学证明的基础。
3. 函数与关系函数和关系是离散数学中的重要内容，大一学习离散数学时需要学习函数和关系的定义、性质，了解函数的一一对应关系、映射关系等概念。
此外，掌握集合间的关系、等价关系和偏序关系等概念也是大一学习离散数学的重点。
4. 图论图论是离散数学中的一个分支，大一学习离散数学时需要学习图的基本概念和性质，掌握图的表示方法以及常见的图算法。
了解最小生成树、最短路径、图的着色等图论算法和应用是大一学习离散数学的内容之一。
5. 组合数学组合数学是离散数学中的另一个重要分支，大一学习离散数学时需要学习排列组合、二项式系数、递归关系、生成函数等组合数学的基本概念和方法。
了解组合数学在密码学、编码理论等领域的应用也是大一学习离散数学的内容之一。
6. 预备知识在学习离散数学之前，大一学生需要具备一定的数学基础知识，如集合论、逻辑、数理逻辑等。
此外，对于离散数学中常用的数学符号、标记和记法也需要有一定的了解，以便顺利学习和理解离散数学的相关内容。
通过掌握以上离散数学的知识点，大一学生可以打下坚实的离散数学基础，为将来的学习和科研奠定良好的基础。
离散数学的学习不仅仅是为了应付考试，更重要的是培养大一学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，这对于其它学科的学习和日后的科研工作都具有重要意义。
离散数学的基础知识离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及离散结构的数学学科。
与连续数学不同，离散数学侧重于处理离散的、离散可数的数学对象，如整数、图形、集合等。
离散数学的基础知识涵盖了一系列主题，如逻辑、证明方法、集合论、图论等等。
本文将重点介绍离散数学的基础知识。
一、逻辑逻辑是离散数学的基础。
它研究命题和推理的基本方法。
在逻辑中，我们使用符号来表示命题，如p表示“今天下雨”，q表示“明天晴天”。
逻辑运算包括与、或、非、蕴含等。
我们通过真值表或证明方法来判断命题的真假和进行推理。
二、证明方法证明方法是离散数学中非常重要的一部分。
数学证明是为了验证或推导数学命题的过程。
常见的证明方法包括直接证明、归谬法、数学归纳法等。
通过证明方法，我们可以从已知的前提出发，得出结论，并确保其正确性。
三、集合论集合论研究的是集合及其相互关系的数学理论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
在集合论中，我们可以使用集合运算符号来表示交集、并集、补集等操作。
集合的定义通常使用罗素悖论中的无限集合公理，这是集合论的基础。
四、图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图的应用非常广泛，如社交网络分析、电子电路设计等。
在图论中，我们研究图的连通性、路径、环等性质和算法。
五、离散数学的应用离散数学的应用非常广泛，影响着计算机科学、信息科学、运筹学等领域。
在计算机科学中，离散数学为算法设计、数据结构等提供了基础。
在信息科学中，离散数学为编码理论、密码学等提供了基础。
在运筹学中，离散数学为优化问题的建模和求解提供了工具。
总结离散数学的基础知识包括逻辑、证明方法、集合论和图论等内容。
透过这些基础知识，我们可以更深入地理解离散对象和结构的数学特性。
离散数学的应用也广泛影响着计算机科学、信息科学和运筹学等领域。
通过学习离散数学的基础知识，我们可以培养出严密的逻辑思维和问题求解能力。
以上是对离散数学基础知识的简要介绍，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一学科。
计算机离散数学基础计算机离散数学基础是计算机科学领域中的重要学科，它涵盖着离散数学的各个方面。
离散数学是研究许多离散结构和对象的一门数学学科，与连续数学形成鲜明对比，应用广泛，所以对于计算机科学专业的学生来说，学好计算机离散数学基础是非常重要的。
1. 初识离散数学在学习计算机离散数学基础的第一步是了解什么是离散数学。
离散数学强调离散的、离散的结构、离散的对象，是一种研究离散结构的数学学科。
这些结构包括基本代数、集合、关系、图论、离散逻辑等。
2. 了解图的基础概念在学习离散数学的过程中，图论是其中非常重要的一个分支，因此学生需要了解图论的基础概念。
图论的基础包括图的定义、边、点、路径、圈等概念。
掌握了这些基础知识，就能更好地理解图论的高级知识。
3. 掌握逻辑推理的基础知识逻辑推理也是离散数学中的一个重要领域。
计算机离散数学基础学生需要掌握一些逻辑推理的基础知识，比如命题、真值表、命题的真值、命题的逆否命题等等。
通过这些基础知识的学习，学生们能大大提高自己的逻辑推理能力，更好地完成代码设计与编写。
4. 熟悉集合的相关概念集合是离散数学的另一个重要领域。
集合与逻辑推理紧密相连，是计算机科学中广泛使用的数学工具。
学生需要掌握集合的相关概念，如交、并、差、包含、等价关系、划分等等。
通过这些概念的学习，学生们能够理解集合的概念，掌握集合的基础知识。
5. 熟练掌握数论的相关知识数论是计算机离散数学基础中另一个重要的领域，研究数学中的整数，包括整数的性质、分解、奇偶性、同余、欧几里德算法等等。
通过对数论的学习，学生能够学习到更多算法和思想，来帮助他们更好地完成代码的设计和编写。
总之，计算机离散数学基础是计算机科学领域中非常重要的一门学科。
通过以上步骤，学生们可以更好地掌握离散数学基础知识，提高代码设计与编写的能力，并为未来的计算机科学职业生涯打下坚实的基础。
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。
在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。
本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。
一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。
3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。
二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。
命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。
2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。
3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。
三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。
排列和组合分别具有不同的计算公式。
2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。
四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。
顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。
2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。
五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。
2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
大一离散数学基本知识点离散数学是指研究离散结构及其相关问题的数学分支学科。
它对于计算机科学、信息科学以及其他相似领域的学科都具有重要的意义。
在大一学习离散数学时，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将介绍大一离散数学的基本知识点，包括集合论、逻辑、关系和函数等内容。
1. 集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
我们可以将集合看作是由一些对象组成的整体。
在集合论中，常用的运算有交集、并集、补集等。
并且，我们需要了解集合的基本性质，如包含关系、相等关系、空集和全集等。
2. 逻辑逻辑是离散数学中的另一个重要分支。
它通过研究命题、命题的组合以及推理规则等内容来研究思维的规律性。
在逻辑中，我们需要了解命题的真值、逻辑运算符（如与、或、非、蕴含和等价）、真值表和真值函数等。
3. 关系关系是用来描述集合之间元素的连接关系的工具。
在离散数学中，关系可以分为等价关系、偏序关系、全序关系和函数等。
其中，函数是一种特殊的关系，它是指每个输入值都对应唯一的输出值。
我们需要了解关系的性质和运算，以及如何使用矩阵和图来表示关系。
4. 函数函数是离散数学中最重要的概念之一。
它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在函数中，我们需要了解定义域、值域、像、单射、满射和双射等概念。
此外，我们还需要学习函数的运算性质，如复合函数、反函数和逆函数等。
5. 计数原理计数原理是离散数学中的一个重要内容，它研究如何进行计数和计算问题的方法。
常用的计数方法包括排列、组合、二项式系数和鸽笼原理等。
掌握计数原理可以帮助我们解决很多实际问题，如概率计算、图的着色和密码学等。
6. 图论图论是离散数学中的一门重要学科，它研究由顶点和边组成的图及其相关的性质和算法。
在图论中，我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径、回路和连通性等。
此外，我们还需要学习最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
通过学习以上基本知识点，我们可以建立起对离散数学的基本理解。
离散数学不仅在计算机科学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也能体现出其重要性。
第0章准备知识0.1集合、命题、谓词和运算0.1.1集合集合是由确定的、互相区别的、并作整体识别的一些对象组成的总体。
通常用{⋯}表示一个集合，其中⋯是集合中的对象，对象间用逗号分开。
人们还把所有成员均为集合的集合称作集合族(collections of sets)。
0.1.2命题与谓词逻辑学把“对事物作出确定判断的陈述句”称作命题，当判断正确或符合客观实际时，称该命题真(true)，否则称该命题假(false)。
“真、假”常被称为命题的真值。
个断言常常涉及若干对象以及它们的性质或关系，前者是断言的“主语”，后者是断言的“谓语”。
因此，逻辑学把断言中关于对象基本性质或相互关系的语言成分称为谓词。
谓词通常用带有空位的大写拉丁字母（或字母串）来表示，例如，用P( )表示“⋯小于等于零”，QR( , ) 表示“⋯与⋯的平方和等于1”，ADD( , , ) 表示“⋯与⋯的和等于⋯”。
为了增加可读性，可用变元去填满空位，例如，P(x)，QR(x,y)，ADD (x,y,z),读作“x满足性质P”，“x,y满足关系QR”，“x,y,z满足关系ADD”。
含有n个空位（或变元）的谓词，称为n元谓词。
当谓词的空位或变元处填以确定的对象后，便可判别其真假，即可得到一个命题。
一般地，n元谓词P(x1,…,x n)填满对象后的表达式P(t1,…,t n)，常称为谓词填式，表示:对象序列t1,…,t n满足n元谓词P(x1,…,x n)，或对象序列t1,…,t n具有性质P、或关系P。
上文介绍的谓词，如P(x)，QR(x,y)，ADD(x,y,z)都是所谓前置表示形式。
一些大家熟知的对象间的关系，把关系符号放在空位的中部，例如，x≤y，u⊆v。
它们也是谓词，只是使用关系符号中置的形式来表示。
0.1.3集合的表示集合的表示方式主要有以下三种：列举法、描述法和归纳法。
一、列举法：表示一个集合A时，可将A中元素一一列举在一个大括号中，或列出足够多的元素以反映A中成员的特征，其表示形如A＝｛a1,a2,…,a n｝或A=｛a1,a2,a3,…｝二、描述法；表示一个集合A时，将A中元素的特征性用一个谓词来描述，其表示形式如A =｛x | P(x)｝或 A =｛x：P(x)｝B =｛<x1,x2,…,x n>| Q(x1,x2,…,x n)｝或 B =｛<x1,x2,…,x n>：Q(x1,x2,…,x n)｝其中<x1,x2,…,x n>表示n个对象的序列x1,…,x n。
集合理论约定，每一个谓词确定一个集合。
它被称为概括原理(abstract principle)。
有些常用的集合习惯用特定字母符号来表示。
如：N表示所有自然数组成的集合，I表示所有整数组成的集合，N n表示前n个自然数的集合等。
常见的还有，Q表示所有有理数组成的集合，R表示所有实数组成的集合，C表示所有复数组成的集合，Q+表示所有正有理数组成的集合，R-表示所有负实数组成的集合等等。
关于集合的下列概念无疑是十分基础的。
定义0.1 没有任何元素的特定集合称为空集，记为∅，即∅＝{}={x∣P(x)恒假}；由研究对象全体组成的集合称为全集，记为U={x∣ P(x)恒真}。
定义0.2空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集(finite sets)，否则称为无限集(infinite sets)。
有限集合中成员的个数称为集合的基数(cardinatity)（无限集合的成员个数，即无限集合的基数概念将在以后严格定义）。
集合A的基数表示为|A |。
三、归纳法：集合的归纳法表示（也称归纳定义induction definition）就是用以下三个条款来确定集合：（1）基础条款：规定待定义集合以某些对象为其成员，集合的其它元素可以从它们出发逐步确定。
（2）归纳条款：规定由已确定的集合成员去进一步确定其它成员的规则。
于是，可以从基础条款确认的成员出发，反复运用这些规则来确认待定义集合的所有成员。
（3）终极条款：规定待定义集合只含有（l），（2）条款所确定的成员。
条款（l），（2）又称归纳表示或归纳定义的完备性条款，它们必须保证毫无遗漏地产生出待定义集合的全部成员；条款（3）又称归纳定义的纯粹性条款，它保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些对象。
0.1.4 外延性原理与子集合除了正规原理、概括原理，集合理论的另一个重要约定是外延性原理，用于规定集合相等的意义，是描述集合本质的核心原理。
外延性原理(extensionality principle)：集合A和集合B相等，当且仅当它们具有相同的元素。
也就是说，对任意集合A,B，A=B当且仅当属于A的元素也属于B；反之,属于B的元素也属于A。
定义1.3集合A称为集合B的子集合（或子集，subsets），如果A的每一个元素都是B 的元素，即，若元素x属于A，那么x也属于B。
关于子集关系我们有以下定理和定义。
定理0.1对任意集合A，B，A＝B当且仅当A ⊆ B且B ⊆ A 。
特别地，对任意集合A，A ⊆ A 。
定理0.2对任意集合A，A⊆U。
定理0.3 设A，B，C为任意集合，若A ⊆ B , B ⊆ C，则A ⊆ C。
定理0.4 对任何集合A，∅⊆ A。
定理0.5空集是唯一的。
定义0.4 如果A⊆B且A ≠B，那么，集合A称为集合 B的真子集。
“A是B的真子集”记为A⊂B。
0.1.5 运算定义0.5分别称∆，*为集合A上的一元、二元运算(operating)，如果∆，*分别是对单元素和序偶的操作，并且对任意x,y∈A，其操作结果，记为∆(x)，x*y，是集合A中唯一确定的成员。
定义0.6设*，*'为集合A上的二元运算，（1）如果对A中的任意元素x,y.z有x*(y*z)=(x*y)*z，那么称*运算满足结合律；（2）如果对A中的任意元素x,y.z有x*y=y*x，那么称*运算满足交换律；（3）如果对A中的任意元素x,y.z有x*(y*'z)=(x*y)*'( x*z)，那么称*运算对*'运算满足分配律，定义0.7设*为集合A上的二元运算，如果e∈A，且对任意元素x∈A有x*e = e*x = x，那么，称元素e为集合A的关于运算*的幺元(identity elements) 。
定义0.8设*为集合A上的二元运算，如果o∈A，且对任意x∈A有x*o＝o*x＝o，那么，称元素o为集合A的关于运算*的零元(zero)。
定理0.6 设*为集合A上的二元运算，那么集合A的关于运算*的幺元是唯一的。
定理0.7 设*为集合A上的二元运算，那么集合A的关于运算*的零元是唯一的。
定义0.9 设*为集合A上的二元运算，e为幺元，x,y为A中元素，若x*y＝y*x＝e，那么称x(y)为y(x)的逆元(inverse elements)。
x的逆元通常记为x-1。
定理0.8设*为集合A上的二元运算，e为幺元，且运算*满足结合律，那么当A中元素x有逆元时，它的逆元是唯一的。
练习0.11、选择题(1) 可称为集合的是（）A. 《水浒传》中第70页上汉字的全体。
B. 很大的数的全体。
C. 比复数1+i大的数的全体。
D. 接近于0的数的全体。
【答案】：A(2) 不能称为集合的是（）A. 大于1、小于60的整数的全体。
B. 比较小的正整数的全体。
C. 正三角形的全体。
D. 平面上到点(0,0)距离等于1的点的全体。
【答案】：B(3) 不空的集合是（）A. {x｜x2－1=0，且x∈R}B. {x∣x2＋9=0，且x∈R}C. {x｜x=x＋1，且x∈R}D. {x｜x2=－1，且x∈R}【答案】：A(4) 下述论断中, 对任意集合A、B和C均正确的是（）A. 若A∈B，B⊆C，则A∈CB. 若A∈B，B⊆C，则A⊆CC. 若A⊆B，B∈C，则A∈CD. 若A⊆B，B∈C，则A⊆C【答案】：A(5) 设P={x│(x+1) 2≤4}，Q={x│x2+16≥5x}，则下式中成立的是（）A. Q∈PB. Q⊆PC. P∈QD. P⊆Q【答案】：D(6) 下列各式中错误的是（）A. Ø ⊆ØB. Ø ∈ØC. {Ø}∈{{Ø}}D. Ø ∈{Ø}【答案】：B(7) 设S={{1},3,9,10},K={1,3,π},T={{1,3,π},1},下列各式中为真的是( )A. {1}∈ KB. 1 ∈ SC. {1}∈ SD. {1}∈ T【答案】：C(8) 在自然数集Ｎ上，下列哪种运算*满足结合律？( )A ．a*b=a -b B. a*b=max{a,b} C. a*b=a+2b D. a*b=︱a-b ︱【答案】：B(9) 对自然数集Ｎ，下列哪种运算*不满足结合律？( )A. a*b=a+b+3B. a*b=min{a,b}C. a*b=a+2bD. a*b= max{a,b}【答案】：C(10) Q 为有理数集，Q 上定义运算*为：a*b=a+b-ab ，则Q 中*运算的幺元是（ ）A a;B b;C 1;D 0.【答案】：D2. 填空题(1) 用列举法表示下列各集合:A={x|x 2<50，x 为正奇数}= ； B={:,5,,p x x p q p q I q+=+=∈}= 。
【答案】：{1，3，5，7}；{1/4，2/3，3/2，4/1} 。
(2) 用列举法表示以下各集合：① 100以下9的倍数所成集合为 ；② 100以下12的倍数所成集合为 ；③ 100以下9与12公倍数所成集合为 。
【答案】：①{9，18，27，36，45，54，63，72，81，90，99}；②{12，24，36，48，60，72，84，96}③{36，72}。
(3) 设E={a,b,c,d},则E 的含有a 的子集有 ；不含有a ，含有b 的子集有 。
【答案】：①{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{a,b},{a,c},{a,d},{a},E ；②{b,c,d},{b,c}, {b,d}, {b}(4) 设A={2，a ，{3}，4},B={{a}，3，4，1},请在下列每对集合中间填入适当的符号（∈或者⊆）；{a} B ；{a,4,{3}} A ；{{a}}__B 。
【答案】：①∈；②⊆;③⊆(5) 集合A={a,b,c}上总共可定义的二元运算的个数为___。
【答案】：39(6) 在自然数集合N中，+为普通加法运算，仅有有逆元。
【答案】：幺元0(7) 在整数集合I中，+是普通加法运算， +的幺元为，+的零元，对任意x∈I，其x-1= 。
【答案】：0; 无；-x3. 证明：如果A∈{{b}}，那么b∈A。
