离散数学知识汇总

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。

它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。

以下是离散数学必备的一些知识点总结。

一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。

2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。

3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。

4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。

基本的集合运算包括并、交、差等。

5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。

6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。

划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。

二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。

包括度、路径、连通性等概念。

2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。

3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。

4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。

最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。

三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。

2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。

四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。

2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。

3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。

离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。

[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。

2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。

实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。

[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。

解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。

解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

以下是对离散数学中一些重要知识点的整理。

一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

集合的表示方法有列举法、描述法等。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如{1, 2, 3}；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合，例如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，那么它们相等。

集合的运算有并集、交集、差集等。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。

二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。

比如在一个班级中，同学之间的“同桌关系”就是一种关系。

关系可以用矩阵和图来表示。

矩阵表示中，若元素之间存在关系则对应的位置为1，否则为0；图表示中，用点表示元素，用线表示关系。

关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。

关系的运算有复合关系和逆关系。

复合关系是将两个关系组合起来得到新的关系；逆关系是将原关系中的元素顺序颠倒得到的关系。

三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

函数的类型有单射、满射和双射。

单射是指不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射是既是单射又是满射。

离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。

(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。

(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。

(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。

1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。

（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。

定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。

离散数学要求知识点：第一章1、幂集的计算；2、二维笛卡尔积的计算。

第二章1、关系的三种表示法；2、关系的重要性质；3、关系的三种闭包运算；4、几种特殊关系的概念；5、偏序关系的哈斯图，最元和极元的计算。

第三、四章（不要求）第五章1、代数系统的常见性质；2、验证运算满足规律（如交换律，结合律），同态和同构只作了解。

第六、七章1、群的定义和性质；2、特殊群的单位元；3、置换的定义及其运算；4、n元对称群S n的结论；5、循环群的定义，常见循环群的生成元；6、子群的阶与群的阶的关系，有限子群的判定；7、环的定义；8、特殊环的零元和单位元；9、域的概念；常见的有限域。

（格与布尔代数不要求）第八章1、图的表示法：集合法，图法，矩阵表示法（重点），会求邻接矩阵；2、完全图中结点n和边数m的关系；3、基本通路和基本回路长度定理；4、欧拉图和哈密顿图不要求。

第九章1、树的定义；2、树的性质；3、外向树的定义；4、二元树的定义及其应用：用二元树表示表达式；5、生成树的定义；6、生成树的边数与图的边数的关系；7、求最小生成树。

第十章1、命题的概念及判定；2、五个联结词的真值表；3、命题的符号化；4、公式的分类；5、简单的基本等式；6、构造真值表，求成真赋值，成假赋值，判定公式的类型；求主范式；7、命题推理。

十一章1、个体、谓词和量词的概念；2、命题的符号化；3、约束变元和自由变元的判定；4、有限个体域上量词的消去规则；。

离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。

2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。

3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。

4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。

5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。

6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。

7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。

8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。

9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。

10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。

11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。

12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。

离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。

4、我正在说谎。

二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。

2、付明和杨进都是运动员。

3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。

4、李飞现在在宿舍或在图书馆。

5、只要天不下雨，我就步行上学校。

6、只有天不下雨，我才步行上学校。

7、并非只要你努力了，就一定成功。

三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。

例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。

3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。

问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。

问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。

明天天气好。

所以我们去爬长城。

例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。

同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。

例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。

失散数学基本知识体积和表面积三角形的面积,底×高?2。

公式S=a×h?2正方形的面积,边长×边长公式S=a2长方形的面积,长×宽公式S=a×b平行四边形的面积,底×高公式S=a×h梯形的面积,(上底+下底)×高?2公式S=(a+b)h?2 内角和:三角形的内角和,180度。

长方体的表面积,(长×宽，长×高，宽×高)×2公式:S=(a×b+a×c+b×c)×2正方体的表面积,棱长×棱长×6公式:S=6a2长方体的体积,长×宽×高公式:V=abh长方体(或正方体)的体积,底面积×高公式:V=abh正方体的体积,棱长×棱长×棱长公式:V=a3圆的周长,直径×π公式:L,πd,2πr1圆的面积,半径×半径×π公式:S,πr2圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。

公式:S=ch=πdh,2πrh圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两端的圆的面积。

公式:S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。

公式:V=Sh 圆锥的体积,1/3底面×积高。

公式:V=1/3Sh算术1、加法互换律:两数相加互换加数的地点，和不变。

2、加法联合律:a+b=b+a3 、乘法互换律:a×b=b×a4、乘法联合律:a×b×c=a×(b×c)5、乘法分派律:a×b+a×c=a×b+c6、除法的性质:a?b?c=a?(b ×c)7、7、除法的性质:在除法里，被除数和除数同时扩大(或减小)同样的倍数，商不变。

O除以任何不是O的数都得O。

离散数学知识点全归纳离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。

在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应用价值。

以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。

1. 集合论和逻辑- 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂集等。

- 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取范式、合取范式等。

- 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。

2. 证明方法- 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。

- 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。

- 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。

3. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。

- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。

- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。

- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。

4. 关系与函数- 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。

- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。

- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。

5. 组合数学- 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。

- 递归关系：递推公式、递归算法等。

- 图的着色：色数、四色定理等。

6. 代数系统- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。

- 同态：同态映射、同构等。

- 应用：编码理论、密码学等。

以上是离散数学的一些重要知识点的概括。

深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。

在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。