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第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1( 16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23）22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论24. 用公式（1-32） 25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v d i e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=e d 128.⎰=tdx x e t a 0)()(δ 29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；h e j =+1 31.（1）902天39.t e t A dr +=⎰10δ )1ln(0t dr t A +=⎰∴δ，两边同时求导，t t A +=11)(δ，)(t B δ类似 46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x 第三章 收益率2.解：234000 1.120000.93382⨯-⨯=3.解：237000100040005500(0)v v v v v --++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时， 令(0)0v v i =⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000k k k dt dt dt t k t k t k ee e +-+-+-⎰⎰⎰+-= 解得：0.14117k = 10.解：560.0450.0461000 1.04550.04s i is -⎛⎫++ ⎪⎝⎭13.解：50000068000060000500055000A B I ===-=，，29.78%I i A B I=≈+- 14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i -⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⨯++⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭15.解：1212121k t dt t e k ++⎰=⇒= 书后答案是1k =，不知我对它对。
《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念1、解：、解： （1）)()0()(t a A t A =又()25A t t t =++(0)5()2()1(0)55A A t t a t t A \===++ （2）3(3)(2)113(92)232 2.318I A A =-=+-+=+-=（3）4(4)(3)15(113)0.178(3)113A A i A --+===+ 2、证明：、证明： （1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++\++++=+-=+-=++++< 令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n \+=-\=+-3、证明：、证明： (1) (1)112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i a i a i a n a a i a i a i a i \=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i \=+++++\-=-=++++（2）由于第2题结论成立，当取0m =时有时有12()(0)n A n A I I I -=+++4、解：、解：（1）以单利积累计算）以单利积累计算1205003i =´ 1200.085003i \==´800(10.085)1120\+´=（2）以复利积累计算）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i \=5800(10.074337)1144.97\+=5、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得解得 (0)794.1A =6、证明：设利率是i ，则n 个时期前的1元钱的当前值为(1)ni +，n 个时期后的1元钱的当前值为1(1)ni +又22211[(1)](1)20(1)(1)n nnni i i i +-=++-³++ ，当且仅当221(1)(1)1(1)n n n i i i +=Þ+=+，0i =即或者或者n=0n=0n=0时时等号成立。
第二章利息论2.1复习笔记一、利息与利息率1．利息（1）利息的含义利息，从其形态上看，是因为货币所有者贷出货币资金而从借贷者手中获得的报酬；从另一方面看，它是借贷者使用货币资金必须支付的代价；从今天的信用经济社会看，它是一种借贷成本，也是一种放贷收益。
（2）利息的来源从资本运动的表面看，一个人有一笔闲置货币，将它贷出，经过一个约定的时期后，借者把它收回，他在归还时，不仅还了本金，还支付了一笔额外的货币——利息。
这一过程可简记为G—G＇，G 为最初贷出的货币额，G＇=G+△G，△G 即为利息。
从这里可以看到△G 是由G 带来的，或者说，利息是由货币生出来的，货币具有自行增值的能力。
实际上，货币资本若不转换成生产资本，不经过生产过程，绝不可能自行增值。
所以借贷资本的完整公式应当写成：这个公式可分成三个阶段：①G—G ，资本使用权的让渡；②......''m AG W P W G P --，资本生产和流通过程，即真正的增值过程；③G＇—G＇，货币本金和增值额（利息）的回流。
利息实质上是利润的一部分，是利润的特殊转化形式。
2．利息率利息率简称利率，是指在一定时期内的利息额与借贷资本额的比率。
按计算利息的期限单位把利率分为年利率、月利率和日利率。
年利率是以年为单位计算利息，按本金的百分之几表示；月利率是以月为单位计算利息，按本金的千分之几表示；日利率是以日为单位计算利息，按本金的万分之几表示。
3．利息的计算（1）单利计算。
单利计算是指在计算利息额时，不论借贷期限长短，仅按本金计算利息，所生利息不再加入本金重复计算利息。
其计算公式为：I=P·n·r式中：I为利息，P为本金，n为计算周期数，r为每期利息率。
我国居民储蓄和国库券都按单利计算。
借贷活动中，往往要求计算本金与利息之和，即借一笔款后，经过若干时间还款总额是多少。
这里的还款总额包括本金和利息，简称本利和。
以s记本利和，则单利本利和的计算公式为：S=P·（1+n·r）为鼓励长期储蓄，稳定经济，回笼货币，并维护储户个人利益，中国人民银行曾于1988年9月10日起，对3年以上定期储蓄给予保值贴息。
利息理论第二章课后答案
1、 证明：
()
n
m
m n i v
v a a -=-;
证明：
11()()
m n
n
m
m n i i i i
v v v v a a --
-=-=-
2、化简：n t t n
n
a
s a
s
--
解：
()()()()()()()1
111
1111
1111111t
n t
n
t
t
n t t n n n n
n
n
i i
i
i
i v
i i i a s a
s
v i i n ------+=+=+=----+++++++
3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解：
()()()2222221122111211n n n n n
n
v a x xi v x y i x y i
xi yi i d i x x x y v yi v a y i ⎧-==⎪⎧-=--⎪⎪⇒⇒-=-⇒=⇒==⎨⎨++---=⎪⎪⎩
==⎪⎩
4、设,m
n x y
a s ••== 证明：
1m n
vx y
iy a
++=
+；
证明：
()()()()()()111111111111m m
m m n n
n
n
v i a x v xiv
xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-⎧-+⎪==⇒=----+⎪∴==⎨++-⎪==⇒=-⎪⎩&&&
&
5、证明：2322..
..
..
1
..
..
..
n
n
n
n
n n
s
s
s s
s
s
+
-
=;
证明：
()()()()()()()()()()
2323222222111111
111111111111
11
n
n
n
n n n
n n n n
n
n
n n
n
n
s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+
-=+-+-+-+-⎡⎤+-+⎣⎦
=+++
=+-&&&&&&&&&&&&
6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与
b 相等，知道=0.5，计算k
解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v =0.5 解答得k=1800
7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。
设年利率为4.5%计算n 及超出或者不足2000的差额
解:50n s 2+50n s =2000 解答得n=9.3995 所以n=9
（5018s +509s ）()i +1+x=2000 解答得 x=32.4
8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多10.25%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为
10%。
；在1998年十二月三十一号，本息为11000 ，计算第一次存款 解
：
x
（2005.1+10172181025.105.105.11025.105.11025.10519.11025.1⨯++⨯+⨯+⨯Λ）=11000 因为1025.1=205.1
X （10*2005.1+10*2105.1）=11000 解答得 x=202.2
9. ()1.0n Ia =55，1
.0n a =8.08利用近似计算
解；()()()x f x x f x x f '⋅∆+≈∆+ '
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=1.01
.0102.0002.0n n
n
a a a ≈7.98
10.某期末付年金付款如下：单数年末，每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。
若在某时间t 一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。
若利率i>0，写出t 的表达式。
解：t νννννν⋅=+++++3000)222(10020432Λ
222202
4
20
2020
22020
2022(2)(1)
100()100()10010030001t a a a a a a a νννννννν
νν⎡⎤+-++++=+=+
=⋅
=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
L
()2
20
2
230t
a a ννν+=
2202(2)ln 30ln a a t ννν⎡⎤
+⎢
⎥
⎣⎦=
11.某年末付永续年金首次付款额为1，第二次为2，…，直到付款额增加到n ，然后保持不变。
计算该永续年金现值。
解：
()
()n
n n
n
n
n n
n a n a a n I a Ia n a i
i i d ννν∞∞
-=+=
+==&&&&
12.某n 年期连续年金在t 时刻(
)
0t n ≤≤付款()1kt -，其现值为
f g h --，其中f
为连续支付的每期付款1单位的永续年金
的现值，g 为延续n 年，每年支付()1kn -的连续支付的永续年金的现值，计算h 。
解：
()()
()
()
2
0111ln ln ln 1
1n n n
n
t n k kn f g h kt dt f kt g ννν
ννν
νδ
νδ
⎧
--⎪--=-=
++⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=
⎪⎪⎩
⎰
()
2
1n k h νδ-=
13.若
11t t δ=
+，写出n a 的表达式。
解：()01ln 11n
n a dt n t ==++⎰
14.证明 ()()()()1
()()m m m m I a m i d ∞=
-
解：
()()
()()
()()()()()()1111()
lim
lim (1)m n n m m n
m m m n m m m m n n a n n I
a i i d i i d m i d υυ∞
→∞
→∞-⎡⎤-==-==⎢⎥+⎡⎤-⎣⎦⎣⎦
&&
15.甲在2025年1月1日需要50000元资金以及一个期初付、
每半年领取一次的为期十五年的年金，每次领取款项为k 。
这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k 元，共25年，存入款项时每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算k 。
解：
0.0250300.075
0.02
250002605.998
k s k s a k ⋅=⋅+⇒=&&
16.延期一年连续变化的年金共付款13年，在时刻t 时，年付款率为t 2-1,t 时刻的利息力为（1+t)-1,计算该年金现值。
解：
14
2
14
142111
1
(0)(1)(1)(1)()84.5
2t V t t dt t dt t -=-+=-=-=⎰⎰
17.计算：（1）1()
n
t
i Ia =∑ （2)
1
()
n
t
i Da =∑
解：
1
2
2
11
(1)(1)2(1).()n
t
t
n
n n
n
t
t n
t i i n i a ti a t n i a n Ia i i i υυυ===+---+-+==
=
∑∑∑
&&&&&& 12
21
1
11
(1)22(1)(2).()t
t n
n
n
n
t
i n
t i i i i t a n n i n a t ti Da i
i i i υυ-====-+-+---====∑∑
∑∑。
