模块综合检测(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1、p 2、p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件解析：选C 甲、乙不能同时得到红色， 因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．3．某校高中部开设了丰富多彩的校本课程，从甲、乙两班各随机抽取了5名学生，用茎叶图表示其学分如图所示．若s 1，s 2分别表示甲、乙两班5名学生学分的标准差，则( )A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．s 1，s 2大小不能确定解析：选B 从茎叶图上看甲班5名学生的学分较为集中，标准差偏小；而乙班5名学生的学分较为分散，标准差较大，即s 1<s 2.4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 当k ＝1时，S ＝1，进入第一次循环；S ＝1＋21＝3，k ＝2，进入第二次循环；S ＝3＋23＝11，k ＝3，进行第三次循环；S ＝11＋211＝2 059，k ＝4,2 059>100，所以输出k ＝4.5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ． 12D ．13解析：选D 由分层抽样可得，360＝n260，解得n ＝13.6．先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是( ) A.38 B ．58 C.12 D ．13解析：选A 先后抛掷三枚均匀硬币共有8种情况，其中两正一反共有3种情况，故所求概率为38.故选A.7．如图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率是( )A ．πB ．1πC.12πD ．2π解析：选C 设点落在正方形内的事件为A .P (A )＝正方形ABCD 的面积半圆的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212π×12＝12π.8．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如下图所示．估计这次测试中数学成绩的平均分为( )A ．50B ．60C ．72D ．80解析：选C 利用组中值估算学生的平均分：45f 1＋55f 2＋65f 3＋75f 4＋85f 5＋95f 6＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.9．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.16 B ．14 C.13D ．12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．如图是把二进制数11 111(2)转化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A ．i >4?B ．i ≤4?C ．i >5?D ．i ≤5?解析：选A 11 111(2)＝1＋2＋22＋23＋24，由于程序框图中S ＝1＋2S ，则i ＝1时，S ＝1＋2×1＝1＋2，i ＝2时，S ＝1＋2×(1＋2)＝1＋2＋22，i ＝3时，S ＝1＋2＋22＋23，i ＝4时，S ＝1＋2＋22＋23＋24，故i >4时跳出循环，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：________． 解析：由题意可知x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.即样本中心为(4,5)，因为b ^＝1.23，所以a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08. 所以回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 答案：y ^＝1.23x ＋0.0812．在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，则事件B 构成的区域是∠xOT ，全部试验结果区域是周角．∵∠xOT ＝60°， ∴P (B )＝60360＝16.答案：1613．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB <90°的概率是________． 解析：以边AB 为直径画圆，P ＝8－π8＝1－π8.答案：1－π814．下图1是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，在样本中记月收入在[1 000,1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500,3 000)，[3 000，3 500)，[3 500，4 000](元)的人数依次为A 1，A 2，…，A 6.图2是统计图1中月收入在一定范围内的人数的算法流程图．已知图1中第一组的频数为4 000，则样本的容量n ＝________，图2输出的S ＝________.解析：∵月收入在[1 000,1 500)元的频率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人， ∴样本容量N ＝4 0000.4＝10 000.由图2知输出的S ＝A 2＋A 3＋A 4＋A 5＋A 6＝10 000－4 000＝6 000. 答案：10 000 6 000三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)(福建高考)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.故标准差为 2 128.60≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．16．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．解：设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种； 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)． 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)． 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.17．(本小题满分12分)设x ∈(0,4)，y ∈(0,4)．(1)若x ∈N *，y ∈N *，以x ，y 作为矩形的边长，记矩形的面积为S ，求S <4的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求这两数之差不大于2的概率． 解：(1)∵x ∈(0,4)，y ∈(0,4)，且x ∈N *，y ∈N *， ∴x ∈{1,2,3}，y ∈{1,2,3}，故基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9种，设“S <4”为事件A ，则事件A 包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个基本事件，故P (A )＝59.(2)“设两数之差不大于2”为事件B ， 则x －y ≤2，y －x ≤2,0<x <4,0<y <4， 事件的全部结果构成边长为4的正方形如图．则P (B )＝16－2×12×2×24×4＝1216＝34.18．(本小题满分12分)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．解：(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004， x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：a 5)，(a 4，a 5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P ＝1－1021＝1121.19．(本小题满分12分)甲、乙两所学校高二年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； (3)若规定考试成绩在[140,150]内为特优．甲、乙两所学校从抽取的5张特优试卷中随机抽取两张进行张贴表扬，求这两张试卷来自不同学校的概率．解：(1)甲校抽取110×1 2002 200＝60人，乙校抽取110×1 0002 200＝50人，故x ＝10，y ＝7.(2)甲校优秀率为1560＝25%，乙校优秀率为2050＝40%.(3)设甲校的2张特优试卷为A 1，A 2；乙校3张特优试卷为B 1，B 2，B 3，则从5张特优试卷中随机抽取两张共10种可能．如下：B 3)，(B 2，B 3)．两张试卷来自不同学校有6种可能：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)， 所以这两张试卷来自不同学校的概率为610＝35.20．(本小题满分12分)某移动公司对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用4G 网络的社会调查，若愿意使用的称为“4G 族”，否则称为“非4G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n 、a 的值；(2)从年龄段在[40,50)的“4G 族”中采用分层抽样法抽取6人参加4G 络体验活动，求年龄段分别在[40,45)、[45,50)中抽取的人数．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.第五组的频率为0.02×5＝0.1，所以a ＝1 000×0.1＝100.(2)因为[40,45)岁年龄段的“4G 族”人数为150×0.4＝60，[45,50)岁年龄段的“4G 族”人数为100×0.3＝30，二者比例为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽取4人，[45,50)岁中抽取2人．。
