高一数学上学期期末考试试题苏教版

2022-2023学年江苏省苏州中学高一上学期期末模拟数学试题一、单选题1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）α2αA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即α3222,2k k k Zππαππ+<<+∈3,42k k k Z παπππ+<<+∈是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”2α324απ=32πα=α是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．2α故选：A 2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）{}12A x x =->{}10B x mx =+<A B A ⋃=m A ．B ．C ．D ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[0,1]1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，A B A ⊆0m =0m <0m >B 列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为或，解得或1212x x ->⇒->12x -<-3x >1x <-即，{}31A x x x =><-或因为，所以AB A ⋃=B A ⊆当时，，满足要求.0m =B =∅当时，则，由，0m >110mx x m +<⇒<-B A ⊆可得，即111m m -≤-⇒≤01m <≤当时，则，由，0m <110mx x m +<⇒>-B A ⊆可得，即1133m m-≥⇒≥-103m -≤<综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.3．函数的零点所在的区间为（ ）()22log f x x x=-+A ．B ．C ．D ．()01，()12，()23，()34，【答案】B【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数,是单调递增函数，()22log f x x x =-+0x >当 时，，0x +→()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为，()12，故选：B4．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）2:R,40p x x x a ∃∈++=p a A ．B ．()0,4(],4∞-C ．D ．(),0∞-[)4,+∞【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为是真命题，2:R,40p x x x a ∃∈++=所以方程有实数根，240x x a ++=所以，解得，2440a ∆=-≥4a ≤故实数的取值范围为.a (],4∞-故选：B.5．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时0T 间t （单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h 为常数，现有一T ()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（ ）lg 20.30≈lg 30.50≈lg 50.70≈lg11 1.04≈A ．4分钟B ．5分钟C ．6分钟D ．7分钟【答案】C【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即h 可求出结果.【详解】根据题意可知，，，25C a T =︒080C T =︒()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，1t =75C T =︒所以，解得，则，()1175258025e h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11e e 15010log log 5511h==1e110log 11h =所以要使得该茶降至，即，则有，得，55C ︒55C T =︒()155258025e th⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11e e 306log log 5511t h==故，1e1e 1e 66log lg 116lg 6lg11lg 2lg 3lg1111log 101011lg10lg111lg11log lg 1111t h -+-=⨯====--0.30.5 1.0461 1.04+-==-所以大约需要等待6分钟.故选：C.6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（ ）322--=-x xy x x A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D ；当时，，可排除C ；由01x <<()0f x <，可排除B.()()()238f f f ><【详解】函数，由，即且且，()()()3222211x x x xf x x x x x x ----==--+30x x -≠0x ≠1x ≠-1x ≠故函数的定义域为，()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞由，()()332222x x x xx x x f x f x x ---+---===-所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D ；()322x x f x x x --=-y 当时，，，所以，可排除C ；01x <<22x x ->3x x <()0f x <由，，，即，可排除B.()528f =()21364f =()21845843008f =()()()238f f f ><故选：A.7．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则()f x R ()()()112,2f x f x f x ++-=+()02f =（ ）1151()k f k ==∑A ．116B ．115C ．114D ．113【答案】C 【分析】由可得函数的周期为，()()112f x f x ++-=()f x 4再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.()2f x +()f x 【详解】由，得，()()112f x f x ++-=()()22f x f x ++=即，()()22f x f x +=-所以，()()()()42222f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦所以函数的周期为，()f x 4又为偶函数，()2f x +则，()()22f x f x -+=+所以，()()()4f x f x f x =-=-所以函数也为偶函数，()f x 又，()()112f x f x ++-=所以，，()()1+3=2f f ()()242f f +=所以，()()()()12344f f f f +++=又，即，所以，()()112f f +-=()212f =()11f =又，，()()022f f +=()02f =，()20f ∴=所以()()()()()()()()115112342812342820114k f k f f f f f f f =⎡⎤=+++⨯+++=⨯++=⎣⎦∑故选：.C 8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，()f x R 0x >()()22f x f x +=-[]0,2x ∈，若对任意的，都有，则的最大值是（ ）()22f x x x =-[](),0x m m m ∈->()13f x +≤m A ．B ．C ．D ．7292112132【答案】A 【分析】求出函数在区间、上的值域，然后在时解不等式，根()f x []2,4[]4,6[]4,6x ∈()3f x ≤据题意可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，即可得解.m m 【详解】令，其中，则，()()g x f x =x ∈R ()()()()()g x f x f x f x g x -=-=-==所以，函数为偶函数，()g x 当时，，[]0,2x ∈()[]20,12f x x x -∈=则当时，，[]2,4x ∈022x ≤-≤则，()()()()[]222222222680,2f x f x x x x x =-=---=-+-∈当时，，[]4,6x ∈042x ≤-≤则，()()()()[]22444244410240,4f x f x x x x x =-=---=-+-∈当时，由可得或，[]4,6x ∈()2410243f x x x =-+-≤942x ≤≤1162x ≤≤当时，，[](),0x m m m ∈->111m x m -≤+≤+由可得，解得.()13f x +≤9129120m m m ⎧+≤⎪⎪⎪-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩702m <≤故选：A.二、多选题9．已知，则 （ ）0a b >>A ．B ．11b a>11ab b a->-C ．D ()33222a b a b ab ->->【答案】AC【分析】对A ，对两边同除ab 化简即可判断；a b >对B ，对不等式移项进行因式分解得，即可进一步判断的符号不确定，即()110a b ab ⎛⎫--> ⎪⎝⎭11ab -可判断；对C ，对不等式移项进行因式分解得，由即可判断；()()220ab a ab b --+>()222a b ab a b ab+-=-+对D >【详解】对A ，，A 正确；110a b a b ab ab b a >>⇒>⇒>对B ，，∵，∴，不()11111010a b a b a b b a a b ab ⎛⎫->-⇔-+->⇔--> ⎪⎝⎭0a b ->1101ab ab ->⇔>等式不一定成立，B 错误；对C ，，∵，∴()()()33222220a b a b ab a b a ab b ->-⇔--+>0a b ->，不等式成立，C 正确；()22200a b ab a b ab +->⇔-+>对D>⇔>，不等式不成立，D错误；>⇔>故选：AC ．10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）0P A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面米时用时25秒(1【答案】BCD【分析】以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点P 距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，26030ππω==又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P 再次进入0OP 6π水中用时为秒，故A 错误；264030πππ+⨯=当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P 正好处于最低点，0OP 550303ππ⨯=53362πππ-=故B 正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度，()sin (0,0)H A t B A ωϕω=++>>由，所以，max min 31H A B H A B =+=⎧⎨=-+=-⎩21A B =⎧⎨=⎩又角速度弧度/秒，时，，所以，，26030ππω==0=t 06xOP π∠=30πω=6πϕ=-所以点P 距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭150t =2H =点P 距离水面2米，故C 正确；将中，得，或，即1H =+2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23063t k ππππ-=+223063t k ππππ-=+，或．6015t k =+6025t k =+()k N ∈所以点P 第二次到达距水面米时用时25秒，故D 正确．(1故选：BCD ．11．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,π的是（ ）A ．在区间上有且仅有3个不同的零点()f x ()0,πB ．的最小正周期可能是()f x π2C ．的取值范围是ω1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．在区间上单调递增()f x π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】先根据在区间上对称轴的情况求得的取值范围，然后结合函数的零点、最小()f x []0,πω正周期、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由函数，令，，则，，()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πππ62x k ω+=+Z k ∈()31π3k x ω+=Z k ∈函数在区间上有且仅有4条对称轴，()f x []0,π即有4个整数k 符合，()31π0π3k ω+≤≤由，得，()31π0π3k ω+≤≤()310103133k k ωω+⇒+≤≤≤≤则，即，，故C 正确；0,1,2,3k =1333134ω+⨯<+⨯≤101333ω≤<对于A ，，，∴，()0,πx ∈πππ,π666x ωω⎛+∈⎫+ ⎪⎝⎭π7π9ππ,622ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；π7ππ,4π62ω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x ()0,π当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A 错误；π9ππ4π,62ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x ()0,π对于B ，周期，由，则，2πT ω=101333ω≤<3131310ω<≤∴，又，所以的最小正周期可能是，故B 正确；6π3π135T <≤π6π3π,2135⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x π2对于D ，，∴，又，π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππππ,66126x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭101333ω≤<∴，又，ππ4π19π,126936ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭4ππ19ππ,92362<>所以在区间上不一定单调递增，故D 错误．()f x π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：BC12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩A ．若函数有4个零点，则实数k 的取值范围为()=-y f x kx 11,246⎛⎫⎪⎝⎭B ．关于x 的方程有个不同的解*1()0()2n f x n N -=∈24n +C ．对于实数，不等式恒成立[1,)x ∈+∞2()30xf x -≤D ．当时，函数的图象与x 轴围成的图形的面积为11[2,2](*)n nx n N -∈∈()f x 【答案】AC【解析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A ，C 利用数形结合进行判断，对于B ，D 利用特值法进行判断.【详解】当时，；当 时，；312x ≤≤()22f x x =-322x <≤()42f x x =-当，则，；23x <≤3122<≤x 1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f 当，则，；34x <≤3222<≤x 1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f 当，则， ；46x <≤232<≤x 11()2242⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f 当，则，；68x <≤342<≤x 1()1224⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f 依次类推，作出函数的图像：()f x对于A ，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率()=-y f x kx ()y f x =y kx =y kx =应该在直线m , n 之间，又，，，故A 正确；16m k =124=n k 11,246⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭k 对于B ，当时，有3个交点，与不符合，故B 错误；1n =1()2f x =246+=n 对于C ，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数[1,)x ∈+∞2()30xf x -≤3()2≤f x x的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C 正确；()f x 32y x =3()2≤f x x 对于D ， 取，，此时函数的图像与x 轴围成的图形的面积为，故D 错1n =[1,2]x ∈()f x 111122⨯⨯=误；故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.()2232(1)mm f x m x -+=-()0+∞，()f x 【答案】()2f x x =【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：是幂函数，()f x ，解得或，211m ∴-=2m =0m =若，则，在上不单调递减，不满足条件；2m =()0f x x =()0+∞，若，则，在上单调递增，满足条件；0m =()2f x x =()0+∞，即.()2f x x =故答案为：()2f x x =14．已知正实数，满足，则的最小值为______.x y 474x y +=2132x y x y +++【答案】94【分析】由，结合基本不等式求解即可.()()47232x y x y x y +=+++【详解】因为，474x y +=所以，()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭所以，()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦因为为正实数，所以，,x y ()()220,02233x y yyx y x x +++>>+ 所以，当且仅当时等号成立，即()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+32474x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，84,1515x y ==所以，当且仅当时等号成立，()21194413244x y x y +≥++=++84,1515x y ==所以的最小值为，2132x y x y +++94故答案为：.9415．设函数，方程有四个不相等的实根，则2log ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩()f x m =(1,2,3,4)i x i =的取值范围是___________.22222341x x x x +++【答案】4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得14234x x x x +=+=12ln ln x x -=，化简，结合换元法和二14322211,4,4x x x x x x ==-=-22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭次函数的性质，即可求解.【详解】当时，24x <<()()4f x f x =-所以在与上的图像关于对称.()f x ()2,4()0,22x =作出图象如下图所示，不防令，1234x x x x <<<可得且14234x x x x +=+=12ln ln x x -=所以，121=x x 14322211,4,4x x x x x x ==-=-所以.()2422222222123222222221111442828x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++-+-=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，令，则原式化为.()21,2x ∈22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增2t =()h t 52,2⎛⎫⎪⎝⎭所以()41202h t <<所以的取值范围是.22222341x x x x +++4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：．4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有()f x ，化简，利用换元法和二14322211,4,4x x x x x x ==-=-22222341x x x x +++(22222112828x x x x ⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎭⎝⎭次函数的性质求解是解答的关键.四、双空题16．调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备0.34给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不1kg 1低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.100kg x x 0.1①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；10x =120kg ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则40的最大值为___________.x 【答案】 1336【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；0.1②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元，分kg t ()f t、两种情况讨论，计算的表达式，结合可求得的最大值.0100t ≤<100t ≥()f t ()0.340.4f t t ≤⨯x 【详解】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，120kg 12010130+=故该家庭该月积分卡能兑换元；1300.113⨯=②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.kg t ()f t 若时，恒成立；0100t ≤<()0.10.340.40.136f t t t t=<⨯=若时，，可得.100t ≥()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯()min 0.3636x t ≤=故的最大值为.x 36故答案为：①；②.1336五、解答题17．已知集合，，．{}|212A x a x a =-<<+{}02B x x =<≤U =R (1)若，求；12a =()U A B ∩ (2)若，求实数的取值范围．A B ⋂=∅a 【答案】(1)；5|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)或{2x x ≤-32x ⎫≥⎬⎭【分析】（1）由集合得到，将代入集合，最后通过交集运算即可得到答案；B U B 12a =A （2）分和两种情况进行分类讨论，即可求解A =∅A ≠∅【详解】（1）由可得或，{}02B x x =<≤{0U B x x =≤ }2x >因为，所以，12a =5|02A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭所以()5|22U A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∩ （2）当时，则，解得，此时满足；A =∅212-≥+a a 3a ≥AB ⋂=∅当时，要使，只需或，A ≠∅AB ⋂=∅21220a a a -<+⎧⎨+≤⎩212212a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得或，2a ≤-332a ≤<综上所述，实数的取值范围为或a {2x x ≤-32x ⎫≥⎬⎭18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，xOy θx P 点的横坐标为.P 35-(1)求的值；cos 3sin 3sin cos θθθθ+-(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.OP O 2πα22sin sin cos cos αααα--【答案】(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本tan α关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即3tan 4α=22sin sin cos cos αααα--22tan tan 1tan 1ααα--+可求得答案．【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，P P P 35-45所以，则．434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--（2）由题知，则，，则2παθ=+3sin(cos 5sin 2παθθ=+==-24cos cos()sin 5παθθ=+=-=- ，sin 3tan cos 4ααα==故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++.2233()443()1241951--==-+19．已知函数是偶函数．()()2log 21x f x kx=+-(1)求的值；k (2)若函数，且在区间上为增函数，求m 的取值范围．()()[]1224,1,2f x xx h x m x +=+⋅∈()h x [1,2]【答案】(1)12k =(2)1[,)8-+∞【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）由是偶函数可得， ．()f x ()()0f x f x --=则，()()()22log 21log 210x x k x kx -+---++=即 ,2212log 21x x kx x-+==+所以恒成立，(21)0k x -=故.12102k k -=⇒=（2）由（1）得，()()21log 212x f x x =+-所以，()21()log (21)22424421xf x xx x x x h x m m m ++=+⋅=+⋅=⋅++令，则 ．[]2,1,2x t x =∈[]21,2,4y mt t t =++∈为使为单调增函数，则()h x ①时显然满足题意；0m =②；00122m m m >⎧⎪⇒>⎨-≤⎪⎩③.0101842m m m <⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩综上：m 的范围为.1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭20．中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度米秒之间满足关系：，其中表示燕子耗氧量的单位数．v （/）5102033vq v =⨯≤≤（）q(1)当该燕子的耗氧量为个单位时，它的飞行速度大约是多少？720(2)若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的倍，则它的飞行速度大约增加多少？参考数据：3（，lg20.3≈lg30.48≈）【答案】(1)（米/秒）31(2)（米/秒）8【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将表示为对数，然后求出即可．5vv （2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则可得1q 1v 2q 2v ，然后化为对数运算即可．21523v v -=【详解】（1）当时，，即，720q =5720102v =⨯5272v =所以，22222lg 3log 72log 8log 932log 33 6.25lg 2v ==+=+=+≈所以，31v ≈即它的飞行速度大约是米秒．31（/）（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，1q 1v 2q 2v 则，即，213q q =21551023102v v ⨯=⨯⨯所以，，21523v v -=212log 35v v -=所以，212lg35log 358lg2v v ⎛⎫-==⨯≈ ⎪⎝⎭所以它的飞行速度大约增加米秒．8（/）21．已知在定义域内单调的函数满足恒成立.()12ln 213x f f x x ⎛⎫+-=⎪+⎝⎭(1)设，求实数的值；()1ln 21x f x x k +-=+k (2)解不等式；()()272ln e 21x x f x x +>-+-+(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指()()ln g x f x x=-()()2g x mg x ≥[]1,2x ∈m 出取等时的值.x 【答案】(1)1k =(2)7(,0)3-(3)，当且仅当时等号成立，2m ≤2log 1)x =【分析】（1）由题意列方程求解，（2）由函数的单调性转化后求解，（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，【详解】（1）由题意得，()1ln 21x f x x k =-++，12ln 213()k f k k k +=-+=由于在上单调递增，1ln 21k y k k=-++(0,)k ∈+∞观察得的解为，12ln 213k k k -+=+1k =（2）由于在定义域内单调，所以为常数，()f x ()1ln 21xf x x +-+由（1）得，在上单调递增，()1ln 121x f x x =-++()f x (0,)+∞，()12ln()1ln e 1(212)xx xf x x x ---+=---=++故原不等式可化为，()72()f x f x +>-由得，270027x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩703x -<<故原不等式的解集为7(,0)3-（3）121022)1(1xx x g x -=+=+>+可化为对恒成立，()()2g x mg x ≥241412112144242x x x x x x x x xx m ++-+≤⋅==++++[]1,2x ∈设，21[3,1]xt =-+∈--则，，22211242(1)1233x x x t t t t t t t t -+===+-+-+-+-[3,1]t ∈--由基本不等式得，当且仅当2t t +≤-t =故当，t =min 1()323t t =+-故，当且仅当时等号成立，2m ≤-2log 1)x =+22．对于函数.2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)若，且为奇函数，求a 的值；()(1)g x f x =-()g x (2)若方程恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()ln[(6)28]f x a x a =-+-(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a 的取值0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,[,1]x x b b ∈+()()12ln 2f x f x -≤范围．【答案】(1)；1a =-(2)；{}(2,3]4,6⋃(3).245a ≥【分析】（1）利用奇函数的定义可得；（2）由题可得，分类讨论可得；2(6)2820a a x a x a x ⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②（3）由题可得，进而可得对()()max min 22l l n n n l 21a f x a b f x b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=≤+()2220ab a b ++-≥任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()222h b ab a b =++-【详解】（1）∵，2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，又为奇函数，22()(1)ln ln11a ax g x f x a x x +-⎛⎫=-=+= ⎪--⎝⎭()g x ∴，()2222222()()ln ln ln 0111a a x a ax a axg x g x x x x +-+-+++-=+==-+-∴，对定义域内任意恒成立，()()2222110a a x +-+-=x ∴，解得，()2221010a a ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩1a =-此时，定义域为符合奇函数的条件，1()ln1xg x x +=-()1,1-所以；1a =-（2）方程，2ln ln[(6)28]a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭所以，2(6)2820a a x a x a x ⎧+=-+-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩①②由①可得，，即，()2(6)820a x a x -+--=[]()(6)210a x x --+=当时，方程有唯一解，满足②，6a ==1x -2260a x +=-+>所以符合条件；6a =当时，方程有两相等解，满足②，4a =216x a ==--2240a x +=-+>所以符合条件；4a =当且时，方程有两不等解，4a ≠6a ≠122,16x x a ==--若满足②，则，126x a =-12260a a x +=->3a >若满足②，则，21x =-2220a a x +=->2a >所以当时方程恰有一个实根；(2,3]a ∈综上，实数的取值范围为；a {}(2,3]4,6⋃（3）令，则在上为减函数，在上为增函数，2t a x =+2t a x =+()0,∞+ln y t =()0,∞+∴函数在上为减函数，2()ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[,1]b b +当时，满足，12,[,1]x x b b ∈+()()12ln 2f x f x -≤则，()()()()max min 22ln ln 1ln 21a f x f x f a b f b b b -=-+=≤+⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即对任意的恒成立，2122a a bb ⎛⎫+++ ⎝≤⎪⎭()2220ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，又，所以函数在单调递增，()()222h b ab a b =++-0a >()()222h b ab a b =++-1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，()min 12204164a a h b h +⎛⎫==+-≥ ⎪⎝⎭∴.245a ≥。

2023-2024学年江苏省盐城市亭湖高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知非空集合A ⊆{x ∈N |x 2﹣x ﹣2＜0}，则满足条件的集合A 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知扇形弧长为π3，圆心角为π6，则该扇形面积为 （ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知点P （﹣4，3）是角α终边上的一点，则cos α﹣sin α等于（ ） A ．75B ．−75C ．15D ．−154．已知函数f(x)={2x (x ≤1)log 12x(x ＞1)，则f （1﹣x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设a ＝log 52，e b =12，c =ln32，则（ ）A ．c ＞a ＞bB ．.c ＞b ＞aC ．.a ＞b ＞cD ．.a ＞c ＞b6．已知函数f （x ）＝（2m ﹣1）x m 为幂函数，若函数g （x ）＝lnx +2f （x ）﹣6，则y ＝g （x ）的零点所在区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2﹣8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值不可能是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．168．已知函数f （x ）定义域为（0，+∞），f （1）＝e ，对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），当x 2＞x 1时，有f(x 1)−f(x 2)x 1x 2＞e x 2x 1−e x 1x 2．若f （lna ）＞2e ﹣alna ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，e ）B ．（e ，+∞）C ．（0，1）D ．（1，e ）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2022-2023年江苏苏州高一数学上学期期末试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知角，那么的终边在( ) 563α=︒αA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C2. 命题“”的否定为( ) 22,4x x ∀≥≥A. “” B. “”22,4x x ∀≤≥2002,4x x ∃<<C. “” D. “”22,4x x ∀≥<20024x x ∃≥<,【答案】D3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( ) ππA. B.C. 2D.12π2π【答案】B4. 已知，，则“”是“”成立的( ) αR β∈αβ=sin sin αβ=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( ) ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭A.B.C.D.sin y x =|sin |y x =cos 2y x =tan y x =【答案】B6. 已知A ，集合，若，则实数()f x ={12}B x ax =∈<<R ∣B A ⊆a 的取值范围是( )A.B.C.D.[2,1]-[1,1]-(,2][1,)-∞-+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B7. 三个数， 之间的大小关系为( ) 220.81log 1.41a b ==，0.312c =A. B. b a c <<a b c <<C. D.a cb <<b<c<a 【答案】A8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数1221,()log (1),1x x a f x x x a ⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩()()2g x f x =-a 的取值范围是( )A.B.C. D.21log 3a -<≤21log 3a -≤<23log 34a -≤< 23log 34a -<≤【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A 到集合B{}*2,A xx k k ==∈N ∣*B =N 的一个函数的有( ) A. B.C. D.12y x =2log y x =2x y =2y x =【答案】ACD10. 已知函数，则下列结论中正确的有( ) π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. 的定义域为7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C. 在区间上单调递增 D. 若，则()f x ππ,123⎛⎫-⎪⎝⎭()()1212,f x f x x x =≠的最小值为12x x -π【答案】BC11. 若a ，b 均为正数，且满足，则( ) 24a b +=A. 的最大值为2B. 的最小值为4 ab 11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.的最小值是6 D. 的最小值为4aa b+22a b +165【答案】AD12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为x y a =0a >1a ≠log ay x =0a >1a ≠反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，e 2x x +=ln 2x x +=1x ，则( )2x A.B.C.D.122x x +=211x x ->1122e ln xx x x = 1212ln e x x x x =【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 求值：__________．22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭【答案】114. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的()f x (0,)+∞函数__________． ()=f x 【答案】(答案不唯一) 2x -15. 已知，则__________． 1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】 225-16. 我们知道，设函数的定义域为I ，如果对任意，都有，()f x x I ∈,a x I a x I +∈-∈且，那么函数的图象关于点成中心对称图()()2f a x f a x b ++-=()y f x =(,)P a b 形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c 的值为3()2e 1xcf x x =-++(0,1)__________；若，则实数t 的取值范围是__________．()2(56)2f tf t -++>【答案】 ①. 2 ②.()(),16,-∞-⋃+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设集合． {}22216,05xx A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)若，；M =N A B ⋂(2)若，．M =R (),A B A B R ð【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R ð18. 已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求； α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1)512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y (单位：万元)是销售利润x (单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．；B ．；C ．． (0)y kx b k =+> 1.5(0)x y k b k =⋅+>2log 2(0)15⎛⎫=++>⎪⎝⎭x y k n k (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】(1)模型C,理由见解析 (2)①210万元; ②不会.20. 已知函数的图象经过点． ()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<5π,38⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求在区间上的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)记关于x 的方程在区间上的解从小到大依次为，π282x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x试确定正整数n 的值，并求的值． 1231222n n x x x x x -+++++【答案】(1)最大值为，最小值为 3(2)，. 4n =12π21. 已知为奇函数． 24()1x af x x +=+(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；()f x (0,)+∞(2)若关于x 的方程有8个不同的解，求实数m 的取值范22()(21)|()|0f x m f x m -++=围．【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析. ()f x (0,1)(1,)+∞(2)11(0,(,2)2222. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． ()f x ()g x R ()()2x f x g x +=(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)若函数在上的值域为，求正实数a 的值； 2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞(3)证明：对任意实数k ，曲线与曲线总存在公共点． ()()f x y g x =12y kx =+【答案】(1)，()222x x f x --=()222x xg x -+=(2)2a =(3)由(1)知，所以 2222()4121()4141x x x xx x x f x y g x ---====-+-++与曲线总存在公共点， ()()f x y g x =12y kx =+即在有实数根，令， 210412x kx +-=+(),-∞+∞()21412x k G x x +=-+当时，易知为函数的零点， 0k =4log 3x =()G x 当时，易知函数在单调递减， 0k <()21412xk G x x +=-+(),-∞+∞又因为，，由零点存在性定理可知: ()1002G =>()11010G k =-<,使得成立.()00,1x ∃∈()00G x =当时，， 0k >()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=又因为，，所以.()1002G =>223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知:,使得成立. 12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()10G x =故对任意实数函数在有零点. k ()21412x k G x x +=-+(),-∞+∞即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.k ()()f x y g x =12y kx =+。

2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x|14＜2x ＜4}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知扇形的半径为2cm ，弧长为4cm ，则该扇形的面积为（ ） A ．1cm 2B ．2cm 2C ．4cm 2D ．8cm 23．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +t ＜0“是假命题，则实数t 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．|a |＞|b |C ．sin a ＞sin bD ．2a ＞2b5．若α=4π3，则√1−sinα1+sinα+√1+sinα1−sinα=（ ） A ．4B ．2C ．4√33D ．2√336．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是v =alg(1+Mm)（a 是参数）．当M ＝5000m 时，v 大约为（ ）（参考数据：1g 2≈0.3010） A ．2.097aB ．3.699aC ．3.903aD ．4.699a7．已知函数f(x)=1x 2+1−e 4x +1e2x ，若a ＝tan171°，b ＝tan188°，c ＝tan365°，则（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）8．已知函数f （x ）＝x +1x −2，且关于x 的方程f （|e x ﹣1|）+2k|e x −1|−3k 2＝0有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(0，23)B ．(−12，0)∪(23，+∞)C ．(1+√73，+∞) D ．{−12}∪(1+√73，+∞)二、选择题。

2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是 A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2．已知集合M ＝{}|1x x <，N ＝{x |0≤x ≤4}，则M ∩N ＝（ ） A ．（0，1] B ．（1，4]C ．[0，1）D ．{1，4}【答案】C【分析】化简集合M ，利用交集定义求解.【详解】∵集合M ＝{}|1x x <＝{x |0≤x ＜1}，N ＝{x |0≤x ≤4}， ∴M ∩N ＝[0，1）. 故选：C.3．在三角形ABC 中，“6A π∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，当，可得1sin 2A =，而在三角形ABC 中，当1sin 2A =时，或56A π∠=，所以“”是“1sin 2A =”的充分不必要条件．【解析】充分不必要条件的判定．4．若定义域为R 的奇函数f （x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．[0，1）C ．[1,1)2D ．（1，＋∞）【答案】A【分析】由奇函数在对称区间上的单调性相同，可得到f （x ）在R 上单调递增，将原不等式移项得f （2x ﹣1）＜f （x ），脱“f ”，可解得原不等式的解集. 【详解】解：∵f （x ）为R 上的奇函数， ∴f （0）＝0；又f （x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同， ∴f （x ）在R 上单调递增；∴由不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0，得f （2x ﹣1）＜f （x ）， ∴2x ﹣1＜x ，解得x ＜1，∴不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0的解集为（﹣∞，1）. 故选：A.5．若三个变量1y 、2y 、3y ，随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：log a y m x n =+、x y pa q =+、a y t kx =+变化的变量依次是（ ）A ．1y 、2y 、3y B ．3y 、2y 、1y C ．1y 、3y 、2yD ．3y 、1y 、2y【答案】B【分析】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解.【详解】解：由表可知，2y 随着x 的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化， 3y 随着x 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，1y 相对于2y 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选：B.6．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】∵a ＋2b ＝1，∴1212()(2)a b a b a b +=++＝22221452a b a b b a b a+++>+⨯＝9， 当且仅当22a b b a=时即13a b ==时等号成立,故选：C.7．已知函数y ＝f （x ）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的解析式最可能是（ ）A ．y ＝x cos xB ．y ＝sin x －x 2C ．1cos 2xxy -=D ．y ＝sin x ＋x【答案】A【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论. 【详解】由f （x ）的图象关于原点对称，可得f （x ）为奇函数，对于选项B ，f （x ）＝sin x －x 2，f （－x ）＝－sin x －x 2≠－f （x ），f （x ）不为奇函数，故排除B ；对于选项C ，f （x ）＝1cos 2xx-，f （－x ）＝1cos()2x x ---＝2x （1－cos x ）≠－f （x ），f （x ）不为奇函数，故排除C ；对于选项D ，f （x ）＝x ＋sin x ，f （－x ）＝－sin x －x ＝－f （x ），可得f （x ）为奇函数， 由f （x ）＝0，可得sin x ＝－x ，f （0）＝0，由y ＝sin x 和y ＝－x 的图象可知它们只有一个交点，故排除D ；对于选项A ，f （x ）＝x cos x ，f （－x ）＝－x cos （－x ）＝－x cos x ＝－f （x ），可得f （x ）为奇函数，且f （x ）＝0时，x ＝0或x ＝k π＋2π（k ∈Z ），f （23π）＜0，f （π）＜0，故选项A 最可能正确. 故选：A.8．若函数2log 2,0()sin ,03x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎩有4个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】易知x ＞0时有一个零点，然后由﹣π≤x ≤0时有3个零点求解. 【详解】解：当x ＞0时，令2log 20x x +=， 解得：12x =， 又因为f （x ）＝0有4个根，所以当﹣π≤x ≤0时，f （x ）有3个零点， 因为﹣π≤x ≤0， 所以333x ππππωω-++，所以323πππωπ-<-+-，解得：71033ω<， 故选：B. 二、多选题9．下列结果为1的是（ ） A ．111824e e e B ．lg 2lg5+C ．213289-D ．234log 3log 4log 2⨯⨯【答案】BCD【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.【详解】对于选项A ，11117118248824e e e e e 1++==≠，故A 错误； 对于选项B ，lg 2lg5lg101+==，故B 正确； 对于选项C ，213289431-=-=，故C 正确；对于选项D ，23424log 3log 4log 2log 4log 21⨯⨯=⨯=，故D 正确. 故选：BCD.10．已知a ＞b ＞c ＞0，下列结论中一定正确的是（ ） A ．ab ＞bc B ．a ba cb c>-- C ．tan a ＞tan b D ．20222022a c b c a b --+>+【答案】AD【分析】直接利用不等式的性质判断A ，利用作差法判断B ，利用特例判断C ，构造函数判断D.【详解】对于A ：由于a ＞b ＞c ＞0，所以ab ＞bc ，故A 正确； 对于B ：()0()()a b b a c a c b c a c b c --=<----，故B 错误； 对于C ：当04b a ππ<=<=时，tan 0tan 1a b =<=，故C 错误；对于D ：设()2022c x x f x -=+，由于函数在（0，＋∞）上单调递增，故当a ＞b ＞c ＞0，不等式20222022a c b c a b --+>+成立，故D 正确. 故选：AD.11．若关于x 的不等式e 0x a bx c ++<的解集为(－1，1)，则（ ） A ．b ＞0 B ．|a |＜|c | C ．a ＋b ＋c ＞0 D ．8a ＋2b ＋c ＞0【答案】BD【分析】根据题意，分析可得方程e 0x a bx c ++=的两个根为－1和1，可得1ee 0a b c a b c ⎧⨯-+=⎪⎨⎪++=⎩，联立两式，用a 表示b 、c ，进而分析可得a ＞0，据此依次分析选项，综合可得答案.【详解】根据题意，关于x 的不等式e 0x a bx c ++<的解集为(－1，1)， 则方程e 0x a bx c ++=的两个根为－1和1，则有1e e 0a b c a b c ⎧⨯-+=⎪⎨⎪++=⎩，联立可得：11e e e e ,22c a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-， 又0∈(－1，1)，则有0e e e 0021a b c a c a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⨯+=+=-<， 变形可得：12(e )e 2-+⋅a ＜0，则有a ＞0， 依次分析选项：对于A ，由于1e e 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，且a ＞0，则有1e e 2b a⎛⎫- ⎪⎝⎭=-＜0，A 错误； 对于B ，由于1e e 2c a⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，则|c |＝1e e 2+|a |＞|a |，B 正确； 对于C ，a ＋b ＋c ＝a －1(e )e 2-a －1(e )e 2+a ＝(1－e)a ＜0，C 错误；对于D ，8a ＋2b ＋c ＝8a －（e －1e ）a －1(e )e 2+a ＝(8－3e 2＋12e )a ＞0，D 正确；故选：BD.12．记区间M ＝[a ，b ]，集合N ＝{y |y ＝||||1k x x +，x ∈M }，若满足M ＝N 成立的实数对（a ，b ）有且只有1个，则实数k 可以取（ ） A ．﹣2 B ．12C ．1D ．3【答案】AD【分析】分类讨论，对a ,b 的取值情况分类考虑，由集合与函数的性质进行分析，即可求出满足题意的k . 【详解】∵y ＝||||1k x x +，当x ＝0时，y ＝0， 当x ≠0时，y ＝11||kx +，可知函数为偶函数，若存在唯一实数对（a ，b ）使M ＝N ，若x a =，y a =，x b =，y b =，即11k aa a kb b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，此时||||a b = ,若a b = ，不合题意，若 a b -=，则0,0a b <>，此时区间内含有0， 由x ＝0时，y ＝0时知，此时必有0a = ，或0b =，矛盾； 所以综上述只有当x ＝a 时，y ＝b ，当x ＝b 时，y ＝a ， 即11k ab a k b ab ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，两式相乘得2|||(||1)(||1)k a b ab a b =++， ∴k 2＝（|a |＋1）（|b |＋1）或k 2＝﹣（|a |＋1）（|b |＋1）， ∵k 2＞0，∴k 2＝（|a |＋1）（|b |＋1）， 又∵|a |＞0，∴|a |＋1＞1，同理|b |＋1＞1， ∴（|a |＋1）（|b |＋1）＞1， 即k 2＞1， k ＞1或k ＜﹣1，故满足条件的为AD ， 故选：AD. 三、填空题13．写出一个满足“对任意实数a ，b ，f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ）”的增函数f （x ）＝______. 【答案】(1)x a a >（答案不唯一） 【分析】根据幂运算性质r s r s a a a +=⋅求解. 【详解】解：由幂运算性质r s r s a a a +=⋅知， 满足“对任意实数a ，b ，f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ）”， 故满足条件的增函数可以为()(1)x f x a a =>， 故答案为：(1)x a a >（答案不唯一）.14．若对任意a ＞0且a ≠1，函数1()1x f x a +=+的图象都过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ＝__. 【答案】-2【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】令x ＋1＝0，求得x ＝－1，y ＝2，可得函数1()1x f x a +=+（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点P (－1,2)， 所以点P 在角θ的终边上，则tanθ＝21-＝－2. 故答案为：－2.15．若实数a 、b 满足22log 4aa b b ⋅=⋅=，则a 、b 的大小关系a __b （填“<”，“=”或“>”）. 【答案】<【分析】画出指数函数，对数函数，反比例函数的图象求解即可.【详解】解：242log 42a aa b b a ⋅=⋅=⇔=，24log b b=， 则a 为函数2x y =与函数4y x =图象交点的横坐标，b 为函数2log y x =与函数4y x=图象交点的横坐标，在同一直角坐标系画出函数2x y =、2log y x =、4y x=的图象如下，由图知a b <， 故答案为：<. 四、双空题16．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环而的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）.当43θ=时，x ＝_____米.现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M 最小为___元()M =总费用花坛总面积.【答案】 5103133【分析】由题意可得，30102(10)x x θθ=++-，当43θ=时，解得x ＝5，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解.【详解】由题意可得，30102(10)x x θθ=++-， 解得10210xxθ+=+， 当43θ=时，解得x ＝5， ()222 111010100550(010)222S x x x x x θθθ=⨯⨯⨯-⋅⋅=-=-++<<花，装饰费为9(10)2(10)49908(10)17010x x x x x θθθ++-⋅=++-=+ 故M ＝217010550x x x +-++＝210(17)550x x x +---，令t ＝17＋x ，17＜t ＜27，则M ＝210(17)5(17)50t t t -----＝21039324t t t --+＝1032439t t --+，∵32436t t +>，当且仅当326t t =，即t ＝18时，等号成立，∴M 的最小值为101036493-=-，花坛每平方米的装饰费用M 最小为103元. 故答案为：5；103. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，掌握换元法，以及基本不等式的公式是解本题的关键. 五、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－5x ≤0}，B ＝{x |(x －t )(x －t －6)≤0}，其中t ∈R. (1)当t ＝1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求t 的取值范围. 【答案】(1)[0,7]； (2)[－1,0].【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 和集合B ，然后根据并集的定义进行求解；（2）根据A ⊆B ，然后建立关系式，解之即可. (1)∵集合A ＝{x |x 2－5x ≤0}＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |(x －t )(x －t －6)≤0}＝{x |t ≤x ≤t ＋6}， 当t ＝1时，B ＝[1，7]， 故A ∪B ＝[0,7]. (2)因为A ⊆B ，所以065t t ≤⎧⎨+≥⎩，解得－1≤t ≤0，所以t 的取值范围为[－1,0].18．已知1sin()25sin παα+-=，其中α为第二象限角.(1)求cos α﹣sin α的值；(2)求221sin tan cos ααα++的值.【答案】(1)75-.(2)299. 【分析】（1）由已知条件可得5s n 1os i c a α=-，利用同角三角函数基本关系式可得2112cos cos 0525αα--=，结合α在第二象限，解得cos α的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解.（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan α的值，进而即可求解. (1)解：由已知条件可得1sin cos 5αα+=，化简可得1sin cos 5αα=-，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得2112cos cos 0525αα--=， 所以4cos 5α=或3cos 5α=-， 又α在第二象限，故cos α＜0，所以3cos 5α=-，所以24sin 1cos 5αα， 所以347cos sin 555αα-=--=-.(2)解：由（1）得sin tan s 43co ααα==-， 所以2222221sin cos 2sin 29tan tan 12tan tan cos cos 9ααααααααα+++=+=++=. 所以221sin 29tan cos 9ααα++=. 19．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式和单调增区间； (2)将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的解1x 、2x ，求122x x g +⎛⎫⎪⎝⎭的值及实数m 的取值范围.【答案】(1)()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)122x x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭12m ⎡∈⎢⎣⎭. 【分析】（1）结合图象和2T πω=，求得ω的值，再根据38f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()01f =-，求得()f x 的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；（2）根据函数图象的变换法则写出()g x 的解析式，再结合正弦函数的对称性以及图象，即可得解. (1)解：设()f x 的最小正周期为T ，由图象可知73288T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则22T πω==， 故()()sin 2f x A x ϕ=+， 又38f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以3sin 4A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()32Z 42k k ππϕπ+=+∈，所以()2Z 4k k πϕπ=-+∈，因为2πϕ≤，所以4πϕ=-，所以()0sin 142f A A π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以A =所以()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，令()222Z 242k x k k πππππ-≤-≤+∈，则()3,Z 88x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 故()f x 的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)解：将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，由()20g x m -=，知sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()Z 42x k k πππ+=+∈可得()Z 4x k k ππ=+∈，由[]0,x π∈可得4x π=，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的解1x 、2x ， 则点()1,2x m 、()2,2x m 关于直线4x π=对称，故1224x x π+=，所以，2sin 242g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，作出函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2y m =在区间[]0,π上的图象如下图所示：221m ≤<时，即当122m ≤<函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2y m =在区间[]0,π上的图象有两个交点.综上所述，1222x x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭m 的取值范围是122⎡⎢⎣⎭. 20．已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【答案】(1)0(2)最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩【分析】（1）利用f （x ）为奇函数，通过f （﹣x ）＝﹣f （x ），求解m 值即可. （2）化简函数的解析式，利用函数的单调性，求解函数的最大值，推出结果即可. (1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0）， 所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |， 又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0， 此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数,故m ＝0. (2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，21111()()()2422f n f n n n n -=--=--，令214n n >+得，12n >12n >1()()2f n f >，2max ()f x n =.1n <≤1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,1421,2n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩. 21．已知函数1()1og ()a f x a x =+，其中实数a ＞0且a ≠1.(1)若关于x 的函数2()()log a g x f x x =+在13,24⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，求a 的取值范围；(2)求所有的正整数m 的值，使得存在a ∈（0，1），对任意x ∈[m ，7]，均有不等式1()()|1|1xf f ax a>--成立. 【答案】(1)4(,1)(1,2)9⋃(2)6【分析】（1）求出g （x ）的解析式，令g （x ）＝0，则ax 2＋x ＝1，得到211()a x x =-，利用换元法求解函数的值域，得到a 的取值范围；（2）不等式转化为：1﹣a ＞x |ax ﹣1|，即a ﹣1＜ax 2﹣x ＜1﹣a ，对任意x ∈[m ，7]成立，推出()2max4971ax xa a -=-<-恒成立，利用函数的最值转化求解m 的范围，然后可得答案. (1)2221()()log log ()log log ()a a a a g x f x x a x ax x x =+=++=+，令g （x ）＝0，则ax 2＋x ＝1，由题意，13,24x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得ax 2＋x ＝1，所以211()a x x =-，令14(,2)3t x =∈，所以a ＝t 2﹣t ，在4(,2)3上单调递增，所以4(,2)9a ∈.所以a 的取值范围为4(,1)(1,2)9⋃(2)当a ∈（0，1）时，1()1og ()a f x a x=+在（0，＋∞）上单调递增，而*10,,|1|m N a ax >∈-∈（0，1），x ∈[m ，7]，01xa>-，所以1111|1|1x x f f ax a ax a ⎛⎫⎛⎫>⇔> ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 所以211a x ax ax x ->-=-，即a ﹣1＜ax 2﹣x ＜1﹣a ，对任意x ∈[m ，7]成立，x ＝7时，a ﹣1＜49a ﹣7＜1﹣a ，所以14825a <<，所以函数y ＝ax 2﹣x 的对称轴方程为125(,4)28x a =∈， 所以14,,7]825[a x m <<∈时，()2max 74,49712m ax x a a +≥-=-<-恒成立， 当m ≤3时，()2min 114ax x a a-=->-， 则﹣1＞4a 2﹣4a ，所以（2a ﹣1）2＜0，不可能，舍去；当4≤m ≤6时，()22min1ax xam m a -=->-，所以a （1﹣m 2）＜1﹣m ，即a （1＋m ）＞1， 即a ＞11m +，而11m +425≤，所以214m ≥，又6m ≤所有m 的正整数的取值为6.22．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为e e 2x xccc y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中c 为参数.当1c =时，该方程就是双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=，类似的我们有双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值； ①()()22cosh sinh 1x x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ②()()()sinh 22sinh cosh x x x =；③()()()22cosh 2cosh sinh x x x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(2)求证：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78； (2)证明见解析.【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令()e e sinh R 2x x t x --==∈，利用二次函数的基本性质可求得函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值；（2）,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，将所证不等式等价转化为cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-，分[],0x π∈-、0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立. (1)证明：选①，()()22222222c 1e e e 2osh sin e h e e 2e e 2244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎪++-=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭； 选②，()()()()()22e e e e e e sinh 222sinh cosh 222x x x x x x x x x ----+-==⨯=⨯；选③，()()()222222e e e e e e cosh 2cosh sinh 222x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫++-⎡⎤⎡⎤==+=+ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭. ()()22e e e e cosh 2sinh 22x x x xy x x --+-=+=+，令()e e sinh 2x x t x --==，因为函数e 2x y =、e 2xy -=-均为R 上的增函数，故函数()sinh y x =也为R 上的增函数，故()e e sinh R 2x x t x --==∈，则222e e 24x x t -+-=，所以()2cosh 221x t =+， 所以22177212488y t t t ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14t =-时取“=”，所以()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78.(2)证明：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cos cos sin sin e e e ecosh cos sinh sin 22x x x xx x --+->⇔> cos cos sin sin e e e e x x x x --⇔+>-，当[],0x π∈-时，cos cos e e 0x x -+>，sin 0sin x x ≤≤-，所以sin sin e e x x -≤，所以sin sin e e 0x x --≤，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则022x x ππ<≤-<，且正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，cos sin sin 2x x x π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos sin e e x x ≥，sin cos e 0e x x ---<<，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立，综上，,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.。

江苏省徐州市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 设},3,2,1{=M },4,3,2{=N 求=N M .2. 函数)62sin(π+=x y 最小正周期为 .3. ︒150sin 的值为 .4. 设},2{},1{,<=<==x x B x x A R U 则=B A C U )( .5. 圆心角为3π弧度，半径为6的扇形的面积为 .6. 函数42-=x y 的定义域为 .7. 已知向量),3,2(),4,2(-=-=k k 若,b a ⊥= .8. 已知函数⎩⎨⎧≤>-=,0,1,0,43)(2x x x x f ，则=))0((f f .9. 已知,31)125sin(=-︒α则）α+︒55sin(的值为 . 【答案】13【解析】试题分析：因为()()00012555180a a -++=，所以()()()00001sin 55sin 180125sin 1253a a a ⎡⎤+=--=-=⎣⎦.考点：凑角及诱导公式.10. 已知)32(log )(22--=x x x f 的单调增区间为.11. 若函数xxk k x f 212)(⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k.12. 若存在),2[+∞∈x ，使不等式121≥⋅+xx ax成立，则实数a 的最小值为.13. 如图，在ABC ∆中，,12,==⊥BD BC AB AD 则⋅的值为 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为()..AC AD AB BC AD =+，.0AB AD =,所以()2..2.2.22AC AD BC AD BD AD AD AB AD AD ===-==考点：向量的数量积运算及线性运算.BADC第13题图14. 给出下列四个命题： ①函数)32sin(π-=x y 的图象可以由x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度得到；②函数x y 23⋅=的图象可以由函数x y 2=的图象向左或向右平移得到； ③设函数x x x f sin lg )(-=的零点个数为,n 则;6=n④已知函数e e e x g m x m x m x f x ()(),3)(2()(-=++-=是自然对数的底数），如果对于任意,R x ∈总有0)(<x f 或,0)(>x g 且存在),6,(--∞∈x 使得,0)()(<x g x f 则实数m 的取值范围是)3,4(--.则其中所有正确命题的序号是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)设D C B A ,,,为平面内的四点，且).1,4(),2,2(),3,1(C B A -（1）若,=求D 点的坐标；（2）设向量,,b a ==若b ka -与b a 3+平行，求实数k 的值.16. (本题满分14分) 已知.2tan =α （1）求ααααcos sin cos 2sin 3-+的值；（2）求)cos()sin()3sin()23sin()2cos()cos(αππααππααπαπ+-+-+-的值；（3）若α是第三象限角，求αcos 的值.17. (本题满分14分)设向量b a ,满足.53,1=-==b a b a （1）求b a 3+的值；（2）求b a -3与b a 3+夹角的正弦值.18. (本题满分16分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件 .经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）. （1）根据图象，求一次函数b kx y +=的表达式； （2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价—成本总价）为S 元. 试用销售单价x 表示毛利润,S 并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）()1000500800y x x =-+≤≤；（2）当750x =时，max 62500S =，此时250y =.200400600 700第18题19. (本题满分16分)已知函数),0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一个最高点为),2,12(π-与之相邻的与x 轴的一个交点为).0,6(π（1） 求函数)(x f y =的解析式；（2） 求函数)(x f y =的单调减区间和函数图象的对称轴方程； （3） 用“五点法”作出函数)(x f y =在长度为一个周期区间上的图象. 【答案】（1）()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()122k x k Z ππ=-+∈. 【解析】⑶ 1）列表…………13分2）描点画图x3π- 12π- 6π 125π 32π 223x π+2π π23π 2πy 0 2 2- 0 2……………………………………16分考点：1.求三角函数解析式；2.三角函数的性质；3.五点作图法.20. (本题满分16分)函数)(x f 定义在区间,),,0(R y ∈+∞都有),()(x yf x f y =且)(x f 不恒为零. （1） 求)1(f 的值；（2） 若,1>>>c b a 且,2ac b =求证：2)]([)()(b f c f a f <；（3） 若,0)21(<f 求证：)(x f 在),0(+∞上是增函数.()()()()()()()log log log y x x x f ac f x yf x ac f x a c f x ====+()()()()()()()()log log log log x x a c x x a f x c f x f x f x f a f c ===+++，……………5分11。

2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，则（）A．M＝N B．M∩N＝∅C．M⊆N D．N⊆M2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．函数y＝tan（2x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+log3x的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）（ln10≈2.30）A．4天B．6天C．8天D．10天二、多项选择题（共4小题）.9．下列各组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的有（）A．f（x）＝x，g（x）＝e lnxB．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝C．f（x）＝x2，D．f（x）＝x，10．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若c＞a＞b＞0，则11．下列函数中满足：对定义域中任意x1，x2，都有的有（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝lgx C．f（x）＝x2D．f（x）＝x 12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cotα，cscα，secα，把y＝cot x，y＝csc x，y＝sec x分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（）A．B．sinα•secα＝1C．y＝sec x的定义域为D．sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5三、填空题（共4小题）.13．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定为．14．求值：2lg5+lg4+＝．15．已知α是第三象限角，且时，则tanα＝；＝．16．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则不等式sin x•f（x）＞0，x∈[﹣π，π]的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．从①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知集合_____，集合B＝{x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数（其中a为常数）．（1）求f（x）的单调减区间；（2）若时，f（x）的最小值为2，求a的值．19．已知关于x的不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．（1）求实数m，n的值；（2）正实数a，b满足na+2mb＝2．①求的最小值；②若2a+16b﹣t≥0恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数．（1）利用函数的单调性定义证明：f（x）在R上为单调增函数；（2）设，判断g（x）的奇偶性，并加以证明．21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？22．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，则（）A．M＝N B．M∩N＝∅C．M⊆N D．N⊆M 解：因为集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，根据子集的定义可知，N⊆M．故选：D．2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M＝[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解：因为，即，解得a＜0或a＞1，故“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件．故选：A．4．函数y＝tan（2x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π解：由正切函数的周期公式得：．故选：B．5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：0＜a＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，b＝log0.61.2＜0，c＝1.20.6＞1，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：B．6．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解：要得到函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．7．函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+log3x的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：因为函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+log3x的零点分别是a，b，c，所以y＝﹣x与y＝x3，y＝3x，y＝log3x的交点横坐标分别是a，b，c，作出四个函数图象如下图：由图可知b＜a＝0＜c，故选：C．8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）（ln10≈2.30）A．4天B．6天C．8天D．10天解：设所需时间为t1，则e，即e，所以0.38t1＝ln10≈2.30，解得t，故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列各组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的有（）A．f（x）＝x，g（x）＝e lnxB．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝C．f（x）＝x2，D．f（x）＝x，解：A．f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是（0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B．f（x）＝，两个函数的定义域都是R，是同一函数，C．g（x）＝x2，两个函数的定义域都是R，是同一函数，D．g（x）＝x，（x≠0），f（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．故选：BC．10．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若c＞a＞b＞0，则解：对于A，当c＝0时，命题不真，所以A错；对于B，a＜b＜0⇒ab＞0⇒⇒⇒，所以B对；对于C，a＜b＜0⇒aa＜ab，ab＜bb，⇔aa＜ab＜bb⇒a2＜ab＜b2，所以C对；对于D，当c＞a＞b＞0时，⇔a（c﹣b）＞b（c﹣a）⇔ac﹣ab＞bc﹣ab⇔ac＞bc⇔a＞b，所以D对．故选：BCD．11．下列函数中满足：对定义域中任意x1，x2，都有的有（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝lgx C．f（x）＝x2D．f（x）＝x解：∵对定义域中任意x1，x2，都有，∴f（x）是凹函数，且f（x）＝2x和f（x）＝x2都是凹函数．故选：AC．12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cotα，cscα，secα，把y＝cot x，y＝csc x，y＝sec x分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（）A．B．sinα•secα＝1C．y＝sec x的定义域为D．sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5解：对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：y＝sec x＝，故函数的定义域为，故C正确；对于D：利用三角函数和对勾函数的性质，sec2α+sin2α+csc2α+cos2α＝＝1+＝（当且仅当sin2α＝1），等号成立；故D正确；故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定为∀x∈R，x+1＜0．解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，∴命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定是：∀x∈R，x+1＜0．故答案为∀x∈R，x+1＜0．14．求值：2lg5+lg4+＝6．解：2lg5+lg4+＝lg（52×4）+4＝6．故答案为：6．15．已知α是第三象限角，且时，则tanα＝；＝﹣．解：因为α是第三象限角，且＝﹣sinα，所以sinα＝﹣，cosα＝﹣＝﹣，则tanα＝＝，＝＝cosα＝﹣．故答案为：，﹣．16．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则不等式sin x•f（x）＞0，x∈[﹣π，π]的解集为（2，π）∪（﹣2，0）．解：函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣2）＝0，则f（x）对应的图象如图：f（0）不确定，当x＝0时，不等式sin x•f（x）＞0不成立，则当x≠0时，不等式sin x•f（x）＞0等价为当x∈[﹣π，π]时，或，即或，即2＜x＜π或﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（2，π）∪（﹣2，0），故答案为：（2，π）∪（﹣2，0）．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．从①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知集合_____，集合B＝{x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．解：若选①：因为，所以，所以，故0＜x+1≤4，解得﹣1＜x≤3，故A＝{x|﹣1＜x≤3}；若选②：因为，所以，所以﹣1＜x≤3，故A＝{x|﹣1＜x≤3}；若选③：因为，所以，解得﹣1＜x≤3，故A＝{x|﹣1＜x≤3}；（1）当a＝1时，B＝{x|﹣2≤x≤3}，由A＝{x|﹣1＜x≤3}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}；（2）因为A∪B＝B，所以A⊆B，故B≠∅，所以，解得a≥1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．18．已知函数（其中a为常数）．（1）求f（x）的单调减区间；（2）若时，f（x）的最小值为2，求a的值．解：（1）由题意，令，解得，即f（x）的单调减区间为，k∈Z．（2），则∈，y＝sin x在上增，在上减，又sin＝，sin＝，sin ＝1，∴sin（）∈，∴∈[+a，]，又若时，f（x）的最小值为2，可得+a＝2，解得a＝．19．已知关于x的不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．（1）求实数m，n的值；（2）正实数a，b满足na+2mb＝2．①求的最小值；②若2a+16b﹣t≥0恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）由题意可得﹣6和n是方程x2+mx﹣12＝0的两个根，由根与系数的关系可得，解得m＝4，n＝2．（2）由（1）可得2a+8b＝2，即a+4b＝1，①＝（）（a+4b）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以的最小值为9．②若2a+16b﹣t≥0恒成立，即t≤2a+16b恒成立，因为2a+16b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝16b，即a＝4b＝时等号成立，所以t≤2，即实数t的取值范围是（﹣∞，2]．20．已知函数．（1）利用函数的单调性定义证明：f（x）在R上为单调增函数；（2）设，判断g（x）的奇偶性，并加以证明．解：（1）证明：设任意x1＜x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）＝log﹣log＝log，因为x1＜x2，所以4，则，所以log，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上是单调递增函数；（2）因为g（x）＝log＝log＝log＝log＝log，显然定义域为R，关于原点对称，函数在R上为偶函数，证明如下：因为g（﹣x）＝log＝g（x），所以函数是R上的偶函数．21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？解：（1）设z＝A sin（ωx+φ）+B，依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，∵，可得，∵OP每秒钟内所转过的角为（）＝，得z＝4sin（t+φ）+2，∴当t＝0时，z＝0，sinφ＝＝﹣，∴φ＝﹣，∴函数的表达式为z＝4sin（t﹣）+2；（2）令z＞0，得sin（t﹣）＞﹣，所以﹣+2kπ＜t﹣＜+2kπ，k∈Z，解得：60k＜t＜60k+40，k∈Z，又0≤t≤60，所以0＜t＜40，即在水轮旋转一圈内，有40秒时间点P位于水面上方．22．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x+1）＞3，∴22x﹣2x+1＞3，∴（2x﹣3）（2x+1）＞0，∴2x＞3，∴x＞log23，∴不等式的解集为{x|x＞log23}．（2），当x∈[﹣1，0]时，∴g（x）在[﹣1，0]上单调递减，又，∴；当时，，综上，当时，g（x）的值域为．（3）当x1＞0，x2∈[﹣1，0]时，∀x1＞0，∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，即g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）max＞0，由（2）知，，则g（2x1）+ag（x1）+5＞0，，令，则∀x＞1，不等式恒成立，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴a的取值范围为．。

2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。