L
沿 水 平 方 向 和 竖 直 方 向所 做 的 功
(3)推 广: 质 点 在 变 力
F (x, y,z) {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 作 用 下,沿 空 间 有 向 曲 线L运 动, 所 作 的 功 为
W L P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz 简 记 为L F (M ) ds
M i (i ,i )
x
P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
求和: W
n
n
Wi F ( M i ) Pi1Pi
i 1
i 1
记 d m1ianx{Si }
取极限 : W lim d 0
n
n
i 1
Wi
lim d 0
F ( M i ) Pi1Pi
i 1
第二型曲线积分的概念 :
x x(t)
L
:
y
y(t)
(1) P(x, y), Q(x, y)在 L 上连续,
( 2) 当 t 从 变到 时,曲线上的点由起点 A 变到终点B;
(3) x(t), y(t) 在以, 为端点的闭区间上具有一阶连
续偏导数,且x2 (t) y2 (t) 0。
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy
L1
L2
其 中L L1 LБайду номын сангаас , L1与L2首 尾 相 接 ;
(3)线性性质: 见书P127
注 :由定义易知: 被积函数中的(x, y)点在曲线L上,
故满足L的方程!
二.第二型曲线积分的计算 根据第二型曲线积分及定积分的定义,可得如下第
二型曲线积分的计算法 —— 化成定积分计算