数学二模试卷分析

2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D. 23. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为( )A. B. C. D.4. 已知非零向量满足，则( )A. B.C. D.5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积( )A. 寸B. 2寸C. 寸D. 3寸6. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 107. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点.若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，则的零点个数为( )A. 2023B. 2025C. 2027D. 20299. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据单位：绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是( )A. 5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B. 9号的最高气温与最低气温的差值最大C. 最高气温的众数为D. 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为R，是偶函数，的图象关于点对称，则( )A. B.C. D.11. 已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，，则( )A. SA与SB所成的角可能为B. SA与OB所成的角可能为C. SO与平面SAB所成的角可能为D. 平面SOB与平面SAB的夹角可能为12. 三支不同的曲线交抛物线于点，，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是( )A. 为定值B.C. 若，则D. 若，则13. 若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则______ .14. 写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程______ .15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“”.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”猜想的递推关系如下：已知数列满足为正整数，若，则m 所有可能取值的集合为______ .16. 正四面体ABCD 的棱长为3，P 在棱AB 上，且满足，记四面体ABCD 的内切球为球，四面体PBCD 的外接球为球，则______ .17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且若，求；若的最大角为最小角的2倍，求a 的值.18. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X ；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现隐藏款为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐.开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A 款盲盒套餐B 款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080根据列联表，判断是否有的把握认为A ，B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X 的个数，求的分布列和数学期望；某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X ，求该隐藏款来自于B 款盲盒套餐的概率.附：，其中，19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面求证：平面ABCD；设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长.20. 已知等比数列的前n项和满足求首项的值及的通项公式；设，求满足的最大正整数n的值.21. 已知双曲线E：，点与双曲线上的点的距离的最小值为求双曲线E的方程；直线l：与圆C：相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程.22. 已知函数讨论函数的单调性：若，是方程的两不等实根，求证：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，得，即，，由，得，，故选：求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，且，则，由正态曲线得，所以故选：根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得本题考查正态分布的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，，，，，当时，，，A错误；，，B错误；，，C错误；，，，，D正确．故选：对两边平方，进行数量积的运算可得出，然后可得出：，时，，从而可判断出A的正误；，从而可判断出B的正误；，从而可判断出C的正误；根据得出，从而可判断出D的正误．本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸平地降雨量等于寸故选：由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：函数的图象关于直线对称，，，即，在上没有最小值，，，综合可得，故选：由题意，利用正弦函数的图象的对称性和最小值，求出的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，，，所以∽，所以，因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以，设，，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为故选：利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率．本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，当时，，，等价于，得或，得或由，得或，由，得，进一步可得，由，可得或或依次类推，可得，，1，2，…，又，，可知当时，，当时，，的增区间为，，减区间为又，，可得的图象如图：由图可知，的图象与，，1，2，…，2023共有个交点．故选：由，得当时，，问题等价于与直线族，，1，2，…，2023的交点问题，再由导数研究函数的单调性，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，属难题．9.【答案】AC【解析】解：对于A，由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确；对于B，由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；对于C，由折线图可知，最高气温的众数为，故C正确；对于D，5号到15号的最低气温的极差大约为，最高气温的极差大约为，故D错误．故选：根据折线图逐个判断各个选项即可．本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：选项A，因为是偶函数，所以，所以，即A 正确；选项B，因为的图象关于点对称，所以，又是偶函数，所以，即B正确；选项C，因为的图象关于点对称，所以，两边求导得，，令，则，所以，即C正确；选项D，因为是偶函数，所以，两边求导得，，令，则，因为不一定是偶函数，所以不一定成立．故选：选项A，由偶函数的性质知，得解；选项B，易知，结合是偶函数，得解；选项C，由函数的对称性知，，两边求导，推出，得解；选项D，由，两边求导，推出，而不一定是偶函数，得解．本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：如图，，，，，且对于A，当B位于线段OB上时，SA与SB所成角最小，为，当B位于线段BO的延长线上时，SA与SB所成角最小，为，可得SA与SB所成的角的范围为，故A正确；对于B，SA与平面所成角为，即SA与平面所有直线所成角的最小值为，则SA与OB所成的角不可能为，故B错误；对于C，由已知可得，在中，有为锐角，过O作AB所在直线的垂线OD，连接SD，则SO在平面SAB上的射影落在SD上，即为SO与平面SAB所成的角，可知，则，即SO与平面SAB所成的角可能为，故C正确；对于D，若平面SOB与平面SAB的夹角为，过A作，垂足为E，则平面SOB，，又，可得，这与矛盾，故D错误．故选：由题意画出图形，结合已知可得，，且，然后结合线面角、二面角的定义，以及三角形中大边对大角逐一分析四个选项得答案．本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】AD【解析】解：如图，设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，消x得，则，又，则，则，对于A，，，故A正确；对于B，，因为不是定值，所以不是定值，故B错误；对于C，设直线的倾斜角为，则，则，所以，又因，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确．故选：设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，利用韦达定理求得，，进而可求得，，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：函数在区间上单调递增，所以，解得或2，又，故答案为：利用指数函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设圆的方程为，由于该圆与圆和圆均外切，故，解得或故圆的方程为或故答案为：或直接利用两圆的位置关系建立方程组，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：若，则，则或，当时，则，则或，则或；当时，则或舍，若，则，则或；即m所有可能取值的集合为故答案为：根据递推公式逆向寻找结果即可．本题考查归纳推理和数列递推公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，设点H为的中心，则平面BCD，连接BH，并延长BH交CD 于点E，则点E为CD的中点，，则四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，设四面体ABCD的内切球的半径为r，，，，则，又，则，解得，即，由四面体PBCD的外接球的球心在AH上，得，记BP的中点为M，则，，，所以，则，所以故答案为：设点H为的中心，四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径，根据比例关系求出，得出，即可得解．本题考查几何体的内切球，外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：当时，，，在中，由余弦定理，得，所以；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，将，代入上式得，解得【解析】在中，由余弦定理求得，即可求解；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，利用正弦定理和余弦定理即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】解：零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：0 1 2 3P或；设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，，故由条件概率公式可得【解析】根据独立性检验计算，再进行判断即可；根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可．本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.【答案】证明：在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，已知平面平面ABCD，平面平面ABCD，由平面与平面垂直的性质定理可得，平面PAD，平面PAB，则，，而，则平面ABCD；解：由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．由已知得：，，，设，则，，，设平面PBC与平面PDC的一个法向量分别为，，由，取，得；由，取，得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，，解得：即BC的长为【解析】在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面PAD，平面PAB，得到，，则平面ABCD；由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，则，然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，再由平面PBC与平面PCD 的夹角的余弦值为列式求解m值，则答案可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：，，，，，数列为等比数列，公比，又，，，；由知，，，，，，设，，当时，单调递增，又，又，，满足题意的最大正整数n为【解析】先根据题意求出公比，从而可求出，从而可得的通项公式；先根据求出，再根据题意解不等式，即可求解．本题考查等比数列的通项公式的求解，利用数列的单调性求解不等式问题，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：设是双曲线上的任意一点，则，所以当时，的最小值为，所以，得，所以双曲线E的方程为；由直线l：与圆C：相切得，由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，联立，消y整理得，则，所以，所以，即，解得，又，则，解得或，所以，所以，又点到AB的距离，故，设，，联立方程组，消y整理得，则，所以，所以，又点O到MN的距离，故，所以当时，有，整理得，即，又，则，即，解得舍去，所以，则，所以直线方程为【解析】设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；先根据直线l与圆C相切得到，设，，再联立直线l的方程和双曲线E的方程，求得，，根据题意求得m的取值范围，设点到AB的距离为，从而求得，再联立直线l的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得，，设点O到MN的距离为，从而求得，再结合即可求得k的值，进而即可求得直线l的方程．本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．22.【答案】解：，当时，，在上单调递增，当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，则，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，当时，；当时，且，所以，即，令，要证明，只需证明，设，，则，，令，则，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，所以，所以，所以得证．要证，只需证，只需证，只需证，只需证，因为，令得，即①，令得，即②，①+②得，所以，得证．【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．根据题意可得，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，求导分析单调性，最值，只需与有两个交点可得，令，要证明，只需证明，设，，令，求导分析单调性，可得，即可得出答案．要证，只需证，只需证，只需证，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。

三湘名校2025届高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e2．已知函数()cos 23sin 21f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 3．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．154．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．97．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．710．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-12．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．724二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷1. 已知集合，，若，则______ .2.已知，，且，i是虚数单位，则______ .3. 的二项展开式中项的系数为______ 用数值回答4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为______.5. 某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量X服从正态分布统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______ 人.6. 已知两个正数a，b的几何平均值为1，则的最小值为______ .7. 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是______.8. 已知随机变量X的分布为，且，若，则实数______ .9. 设圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为______ .10. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若的面积为，则的度数为______.11. 在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是______ .12. 已知为R上的奇函数，且当时，，则的驻点为______ .13. “”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )A. B. C. D.15. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据…，得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是( )A. B. C. D.16. 设是一个无穷数列的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有，则为和谐数列；②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.以上3个命题中真命题的个数有个.( )A. 0B. 1C. 2D. 317. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列.求的通项公式；计算18. 如图，在四棱锥中，，且证明：平面平面PAD；若，，且四棱锥的体积为，求PB与平面ABCD所成的线面角的大小.19. 设函数的定义域是R，它的导数是若存在常数，使得对一切x恒成立，那么称函数具有性质求证：函数不具有性质；判别函数是否具有性质若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由.20. 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道.为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示.图图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，，米.小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭.根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米.假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示.求QC的长；假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作交BC于M，作交DC于沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示.求修建的总路长的最小值；请你对和涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价.21. 已知椭圆C：，，椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于、N是不同的两点.若椭圆C的离心率是，求b的值；设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；若点，满足且，则称点U在点V的左上方.求证：当时，点N在点M的左上方.答案和解析1.【答案】2【解析】解：，，故答案为：根据题意可得出，然后即可求出a的值．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】2【解析】解：，且，，，故答案为：根据可求出x，y的值，进而得出的值．本题考查了时，，，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】40【解析】解：的二项展开式中的系数为：故答案为：根据的二项展开式即可求出的二项展开式中的系数．本题考查了二项展开式公式及二项式定理，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为，所以该圆柱的轴截面面积为，解得，该圆柱的侧面积为故答案为：根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的侧面积．本题考查了圆柱侧面积和轴截面的应用问题，是基础题．5.【答案】200【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布，又，所以，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：利用正态分布的参数的含义和正态分布曲线的对称性，计算此次统考中成绩不低于120分的概率即可得到答案．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立．故答案为：由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：设“能活到20岁”，“能活到25岁”，则，，而所求概率为，由于，故，于是，所以这个动物能活到25岁的概率是故答案为：根据事件间的保函关系，结合条件概率公式，可得结论．本题考点是条件概率，考查利用条件概率的公式建立方程求概率的能力，对于条件概率的问题，要弄清楚谁在谁的条件下发生，即要清楚了解事件之间的关系，再利用公式建立相关的方程正确求解．8.【答案】【解析】解：随机变量X的分布为，则，，则，解得故答案为：根据已知条件，结合离散型随机变量期望公式，以及期望的线性公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：圆，即圆，表示圆心为，半径为1的圆．设双曲线的渐近线为，即则由圆与双曲线的渐近线相切，可得，求得，故双曲线的渐近线方程为，即故答案为：由题意，求出双曲线的渐近线方程，根据直线和圆相切的性质，点利用到直线的距离公式，求得的值，可得结论．本题主要考查双曲线的渐近线方程，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．10.【答案】【解析】解：由余弦定理可知故答案为：先由余弦定理求得，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得和的关系求得本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．11.【答案】3【解析】解：由题可得满足题意的向量有，，，，以向量为邻边的平行四边形的面积为：，以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是故答案为：可得出满足题意的向量为：，，，，然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：，，，中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案．本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：根据题意可得：当时，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，在上单调递增，且，又为R上的奇函数，的驻点为故答案为：先求当时的导函数，再设，利用导数可求出，从而可得，从而得在上单调递增，又，从而再根据驻点的概念与函数的性质，即可得解．本题考查利用导数研究函数的驻点，化归转化思想，属中档题．13.【答案】A【解析】解：当时直线的斜率是，直线的斜率是2，满足时直线与垂直，直线与垂直，则，解得，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件．故选：当时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．14.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．【解答】解：由于的周期为，故A不满足条件；由于的周期为，故B不满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递增，故C满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D不满足条件，故选：15.【答案】D【解析】【分析】本题考查回归方程，考查学生的读图识图能力，是基础题．直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在至之间，发芽率y和温度x所对应的点在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：16.【答案】D【解析】解：对于①，由，可得，则，即，若，则，故①正确；对于②，设等差数列的公差为d，则，则，即为公差为的等差数列，若为和谐数列，即，则，所以关于n的二次函数开口向上，则在上一定存在最小值，故②正确；对于③，取，则，，下面证明，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，即证，即证，即证，当，时，上式左边为负数，显然成立；当，时，即证，即证，设，则，即式成立，故③正确．故选：对于①，由，可得，若，易知，即可判断①正确；对于②，由等差数列的性质可知为公差为的等差数列，再结合题意可知关于n的二次函数开口向上，由二次函数的性质可判断②正确；对于③，取，证明，即可判断③正确．本题以新定义为载体，考查数列通项公式与前n项和的综合运用，涉及了利用导数以及函数知识的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题目．17.【答案】解：设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，即，代入，解得舍去所以，所以的通项公式为；因为，所以数列正整数是以25为首项，为公差的等差数列，所以【解析】设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；在的基础上，得到，即数列正整数为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】证明：在四棱锥中，，，，又，，，平面PAD，平面PAB，平面平面PAD；解：取AD中点O，连结PO，，O为AD的中点，，平面PAD，平面PAD，，，底面ABCD，设，则，，四棱锥的体积为，底面ABCD，，解得，，，底面ABCD，为PB与平面ABCD所成的角，在中，，，故PB与平面ABCD所成的线面角为【解析】根据已知条件，结合线面垂直的判定，推出平面PAD，再结合平面PAB，即可求证；取AD中点O，结合线面垂直的判定，推出底面ABCD，再结合四棱锥的体积公式，推得PA，即可求出PB，再结合为PB与平面ABCD所成的角，即可求解．本题主要考查平面与平面垂直的证明，以及直线与平面所成角的求解，属于中档题．19.【答案】证明：假设具有性质，即对一切x恒成立，，解得，显然不存在实数m使得成立，故假设错误，原命题成立；解：假设具有性质，即对一切x恒成立，即对一切x恒成立，故，即，解得，综上所述，当时，具有性质【解析】根据已知条件，结合假设法，以及性质的定义，即可求解；根据已知条件，结合正弦函数的求导法则，以及性质的定义，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：如图，以O原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点Q为弧的中点，，即，又可以计算得，米，的长约为346米；设，则，，，设修建的总路长为，则，，令，则，，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，的最小值为米，修建的总路长的最小值约为651米；涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优短路径；涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷不利于AB段附近居民前往【解析】建系，根据三角函数的定义，两点间距离公式，即可求解；设，从而可构建修建的总路长为y关于的函数模型，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出函数的最值；根据比较设计方案总路径的大小，即可作答．本题考查坐标法的应用，两点间距离公式的应用，函数模型的建立，函数思想的应用，属中档题．21.【答案】解：因为椭圆C的离心率是，当时，，得；当时，，得；所以b的值为1或4；由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM 的方程，设则，直线BN的方程，设，则，由图，，注意到，则又，同理可得，则证明：由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM的方程，设则，，直线BN的方程，设，则，则，又在椭圆内部，则，故，又根据题意知，所以，所以当时，点N在点M的左上方．【解析】分，两种情况结合离心率计算式可得答案；联立直线AM的方程与椭圆方程可得，联立直线BN的方程与椭圆方程可得结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得，大小，又由题意可得，大小，即可证明结论．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．。

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。