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卡方检验例题与解析卡方检验是一种常见的假设检验方法。
它可以用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
在实际应用中，卡方检验常常被用于分析调查数据、医学研究以及质量控制等领域。
下面我们就以一个卡方检验的例题来详细讲解该方法的步骤和解析。
例题：某医院调查100名糖尿病患者的主要症状和服药情况，结果如下表所示。
其中0表示未服药，1表示已服药，结果表格中的数值为各种情况下的人数。
| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 || :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 || | 微弱 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 || | 中度 | 20 | 5 || | 重度 | 5 | 0 |问题：主要症状是否与服药情况有关？步骤1：构造假设首先，我们要明确研究的问题是主要症状是否与服药情况有关。
因此，我们要构造如下的假设：- 零假设 H0：主要症状和服药情况之间不存在关联，即服药情况对主要症状没有影响。
- 备择假设 H1：主要症状和服药情况之间存在关联，即服药情况对主要症状有影响。
步骤2：计算期望频数为了进行卡方检验，我们需要先计算期望频数。
期望频数是指在假设零假设 H0 成立的情况下，我们预计每个分类变量的频数应该是多少。
具体地，我们可以用以下公式来计算期望频数：期望频数 = (行总计数× 列总计数) ÷ 样本总计数在本例中，样本总计数为 100，行总计数为 5，列总计数为 2。
因此，我们可以使用如下的表格来计算期望频数：| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 | 行总计数 | 期望频数(未服药) | 期望频数(已服药) || :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 | 50 | 25 | 25 || | 微弱 | 10 | 10 | 20 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 | 40 | 20 | 20 || | 中度 | 20 | 5 | 25 | 12.5 | 12.5 || | 重度 | 5 | 0 | 5 | 2.5 | 2.5 || 列总计数 | 70 | 50 | 100 |步骤3：计算卡方值和自由度计算卡方值的公式如下：X² = ∑ [(观察频数 - 期望频数)² / 期望频数]其中，观察频数是指实际样本中各分类变量的频数，期望频数是指在假设 H0 成立的情况下，我们预计各分类变量的频数。
方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。
第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。
* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。
* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。
* 解释方差分析结果中的P值及其意义。
* 比较方差分析与t检验的异同点。
2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。
他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。
收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。
). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。
他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。
三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。
(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。
)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。
(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。
卡方检验例题卡方检验是统计学常用的一种方法，用来说明两个变量之间的相关性。
它是由Karl Pearson在1900年提出的，所以也叫做卡方检验（Chi-Square Test）。
以下，我们以一个实际例题为例，来介绍一下卡方检验的应用。
假设有一组数据，其中涉及两个变量：性别和哪个电视栏目是最受欢迎的。
| |News |Movie |Sports||-------|------|------|------||男性 |110 |120 |70 ||女性 |90 |60 |40 |现在，我们想知道性别和最受欢迎的电视栏目之间是否有相关性。
具体来说，我们要研究的问题是：在这个数据集中，性别和最受欢迎的电视栏目之间是否有显著的关联？接下来，我们会分步骤地进行卡方检验。
第一步：设立假设首先，我们需要根据研究问题，设立一个原假设和一个备择假设。
在这个例子中，原假设（H0）是：“性别和最受欢迎的电视栏目之间没有相关性”，备择假设（H1）是：“性别和最受欢迎的电视栏目之间有一定的相关性”。
在进行卡方检验时，我们需要基于这两个假设来进行推断。
第二步：计算期望值接下来，我们需要计算每个单元格的期望值。
期望值是指在没有性别和电视栏目之间相关性的情况下，在每个单元格中出现的预期人数。
具体计算方法可以用以下公式来表示：期望值 = (行总数× 列总数) / 总人数对于上表中的数据，期望值可以用以下公式来计算：$E_{1,1}=(110+90)×(110+120+70+60+40)/300=95.33$$E_{1,2}=(110+90)×(110+120+70+60+40)/300=110.67$$E_{1,3}=(110+90)×(110+120+70+60+40)/300=74$$E_{2,1}=(120+60)×(110+120+70+60+40)/300=104$$E_{2,2}=(120+60)×(110+120+70+60+40)/300=120$$E_{2,3}=(120+60)×(110+120+70+60+40)/300=80$其中，$E_{i,j}$表示第i行，第j列的期望值。
卡方检验教案高中数学
一、教学目标：
1. 掌握卡方检验的基本原理和计算方法。
2. 理解卡方检验在统计学中的应用。
3. 能够运用卡方检验解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 卡方检验的基本原理和计算方法。
2. 如何应用卡方检验解决实际问题。
三、教学内容：
1. 卡方检验的基本概念和原理。
2. 卡方检验的计算方法。
3. 卡方检验在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入阶段：通过引入一个实际问题引起学生的兴趣和思考，如某班男女生在数学考试成绩上的差异是否存在显著性。
2. 讲解卡方检验的基本概念和原理：介绍卡方检验的定义、假设、计算公式等。
3. 案例分析：老师给出一个具体的实际问题，让学生通过计算卡方值和查表得出结论。
4. 练习和讨论：让学生自己尝试计算一些卡方检验的例题，并进行讨论和解答。
5. 总结和拓展：总结卡方检验的要点，并拓展应用。
五、教学方法：
1. 探究式学习：通过引入问题激发学生的兴趣和思考，让学生主动参与讨论和解答。
2. 合作学习：让学生分组进行练习和讨论，促进学生之间的合作和交流。
3. 提问辅导：通过提问引导学生思考，帮助学生理解和掌握知识。
4. 实践操作：让学生自己进行实际计算，加深对知识的理解。
六、教学评估：
1. 及时进行课堂小测验，检查学生对卡方检验的理解和掌握情况。
2. 考核学生通过解答实际问题应用卡方检验的能力。
以上是一份简单的卡方检验教案范本，可根据具体的教学需求和学生水平进行调整和优化。
希望对您有帮助！。
第九章 2χ检验[教学要求]掌握：单个样本分布的拟合优度检验；独立样本2×2列联表资料的χ2检验；独立样本R ×C 列联表资料的χ2检验；配对2×2列联表资料的χ2检验。
熟悉：配对R × R 列联表资料的χ2检验；四格表资料的Fisher 确切概率法。
了解：连续型随机变量的χ2分布；分类数据χ2检验的基本思想。
[重点难点]第一节2χ分布和拟合优度检验一、χ2分布基本概念：χ2分布是一种连续型随机变量的概率分布，如果12,,,Z Z Z ν 是v 个相互独立的标准正态分布随机变量，则22221νZ Z Z +++ 的分布称为服从自由度为ν的χ2分布。
2χ分布的概率密度曲线的形状依赖于自由度ν的大小。
二、拟合优度χ2检验的基本思想拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否符合某给定的理论分布。
2χ值反映了样本实际频率分布与理论分布的符合程度。
三、χ2检验的基本公式大样本时检验统计量∑=-=ki ii i T T A 122)(χ近似地服从χ2分布，自由度为ν= k －1－（计算T i 时利用样本资料估计的参数个数）其中，A i 和T i 分别为实际观察频数和0H 成立时的理论频数，k 为频数分布的类别总数。
四、拟合优度χ2检验注意事项1．分组不同拟合的结果可能不同，一般要求分组时每组中的理论频数不小于5。
2．需要有足够的样本含量，如果样本含量不大，需要经连续性校正，校正的公式为∑=--=ki ii i T T A 122)5.0(χ第二节 独立样本2×2列联表资料的χ2检验一、2×2列联表资料χ2检验目的两独立样本率差异的比较。
即根据两独立样本的频率分布，检验两个样本的总体分布是否相同。
二、统计量计算公式可直接使用χ2检验基本公式也可使用等价的专用公式或校正公式。
专用公式22()()()()()ad bc n a b c d a c b d χ-=++++校正公式22(||/2)()()()()ad bc n n a b c d a c b d χ--=++++自由度ν=1。
单个正态总体方差的卡方检验教案下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第八章2χ检验一、教学大纲要求（一） 掌握内容 1. 2χ检验的用途。
2. 四格表的2χ检验。
（1） 四格表2χ检验公式的应用条件； （2） 不满足应用条件时的解决办法； （3） 配对四格表的2χ检验。
3. 行⨯列表的2χ检验。
（二） 熟悉内容频数分布拟合优度的2χ检验。
（三） 了解内容 1．2χ分布的图形。
2．四格表的确切概率法。
二、教学内容精要(一) 2χ检验的用途2χ检验（Chi-square test ）用途较广，主要用途如下：1．推断两个率及多个总体率或总体构成比之间有无差别 2．两种属性或两个变量之间有无关联性 3．频数分布的拟合优度检验 (二) 2χ检验的基本思想1．2χ检验的基本思想是以2χ值的大小来反映理论频数与实际频数的吻合程度。
在零假设0H （比如0H ：21ππ=）成立的条件下，实际频数与理论频数相差不应该很大，即2χ值不应该很大，若实际计算出的2χ值较大，超过了设定的检验水准所对应的界值，则有理由怀疑0H 的真实性，从而拒绝0H ，接受H 1（比如1H ：21ππ≠）。
2． 基本公式：()∑-=TT A 22χ，A 为实际频数（Actual Frequency ）,T 为理论频数（Theoretical Frequency ）。
四格表2χ检验的专用公式正是由此公式推导出来的，用专用公式与用基本公式计算出的2χ值是一致的。
(三)率的抽样误差与可信区间 1．率的抽样误差与标准误样本率与总体率之间存在抽样误差，其度量方法： np )1(ππσ-=，π为总体率，或 (8-1)np p S p )1(-=， p 为样本率； (8-2)2．总体率的可信区间当n 足够大，且p 和1-p 均不太小，p 的抽样分布逼近正态分布。
总体率的可信区间：（p p S u p S u p ⨯+⨯-2/2/,αα）。
(8-3) (四)2χ检验的基本计算表8-1 2χ检验的用途、假设的设立及基本计算公式资料形式用途0H 、1H 的设立与计算公式自由度四格表①独立资料两 样本率的比较②配对资料两 样本率的比较0H ：两总体率相等 1H ：两总体率不等①专用公式))()()(()(22d b c a d c b a nbc ad ++++-=χ②当n ≥40但1≤T<5时，校正公式))()()(()2/(22d b c a d c b a n n bc ad ++++--=χ ③配对设计cb c b +--=22)1(χ1R ⨯C 表①多个样本率、 构成比的比较②两个变量之 间关联性分析0H ：多个总体率（构成比）相等(0H ：两种属性间存在关联)1H ：多个总体率（构成比）不全相等(0H ：两种属性间存在关联))1(22-=∑CR n n A n χ(R-1)(C-1)频数分布表 频数分布的拟合优度检验0H ：资料服从某已知的理论分布 1H ：资料不服从某已知的理论分布∑-TT A 2)(据频数表的组数而定（五）四格表的确切概率法:当四格表有理论数小于1或n <40时，宜用四格表的确切概率法。
（六）2χ检验的应用条件及注意事项1．分析四格表资料时，应注意连续性校正的问题，当1<T <5，n >40时，用连续性校正2χ检验；T ≤1，或n ≤40时，用Fisher 精确概率法。
2．对于R ⨯C 表资料应注意以下两点：（1）理论频数不宜太小，一般要求：理论频数<5的格子数不应超过全部格子的1/5；（2）注意考察是否有有序变量存在。
对于单向有序R ⨯C 表资料，当指标分组变量是有序的时，宜用秩和检验；对于双向有序且属性不同的R ⨯C 表资料，若希望弄清两有序变量之间是否存在线性相关关系或存在线性变化趋势，应选用定性资料的相关分析或线性趋势检验；对于双向有序且属性相同的R ⨯C 表资料，为考察两种方法检测的一致性，应选用Kappa 检验。
三、典型试题分析（一）单项选择题1．下列哪项检验不适用2χ检验（ ）A ． 两样本均数的比较B ． 两样本率的比较C ． 多个样本构成比的比较D ． 拟合优度检验答案：A [评析] 本题考点：2χ检验的主要用途。
2χ检验不能用于均数差别的比较。
2．分析四格表时，通常在什么情况下需用Fisher 精确概率法（ ）A ．1<T <5,n>40B ．T <5C ．T 1≤或n 40≤D ．T 1≤或n 100≤答案： C [评析] 本题考点：对于四格表，当T 1≤或n 40≤时，不宜用2χ检验，应用Fisher 精确概率法。
3．2χ值的取值范围为A ．∞-<2χ<∞+ B ．+∞≤≤20χ C ．12≤χ D ．02≤≤∞-χ答案： B [评析]根据2χ分布的图形或2χ的基本公式可以判断2χ值一定是大于等于零且没有上界的，故应选B 。
（二）是非题两样本率的比较可以采用2χ检验，也可以采用双侧u 检验。
答案：正确。
[评析]就两个样本率的比较而言，双侧u 检验与2χ检验是等价的。
（三）简答题1．四格表的2χ检验和u 检验有何联系与区别？答案：相同点：凡是能用u 检验进行的两个率比较检验的资料，都可用2χ检验，两者是等价的，即22χ=u ；相异点：（1）u 检验可进行单侧检验；（2）满足四格表u 检验的资料，计算两个率之差的可信区间，可从专业上判断两率之差有无实际意义；（3）2χ检验可用于2⨯2列联表资料有无关联的检验。
2．R ⨯C 表2χ检验的适用条件及当条件不满足时可以考虑的处理方法是什么？答案：R ⨯C 表2χ检验的适用条件是理论频数不宜过小，否则有可能产生偏性。
当条件不满足时有三种处理方法：①增大样本例数使理论频数变大；②删去理论数太小的行或列；③将理论数太小的行或列与性质相近的邻行或邻列合并，使重新计算的理论频数变大。
但②、③法都可能会损失信息或损害样本的随机性，因此应慎用。
（四）计算题1．为研究静脉曲张是否与肥胖有关，观察122对同胞兄弟，每对同胞兄弟中有一个属肥胖，另一个属正常体重，记录得静脉曲张发生情况见表8-2，试分析之。
表8-2 122对同胞兄弟静脉曲张发生情况正常体重 肥胖合计 发生 未发生 发 生19 5 24 未发生 12 86 98 合 计31 91122[评析]这是一个配对设计的资料，因此用配对2χ检验公式计算。
H 0：肥胖者与正常体重者的静脉曲张发生情况无差别 H 1：肥胖者与正常体重者的静脉曲张发生情况不同 05.0=α cb c b +--=22)1(χ=()12.212511252=+--，1=ν2χ=2.11<21,05.0χ，P >0.05,尚不能认为静脉曲张与肥胖有关。
2．某卫生防疫站在中小学观察三种矫正近视眼措施的效果，近期疗效数据见表8-3。
对三种措施的疗效作出评价。
夏天无眼药水 51 84 135 37.78 新医疗法 6 26 32 18.75 眼保健操 5 13 18 27.78 合计 62 123 18533.51[评析]0H ：三种措施有效率相等1H ：三种措施有效率不相等或不全相等 05.0=α)1(22-=∑c r n n A n χ=185⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1181231318625321232632626135123841356251222222=4.498，ν=（2-1）（3-1）=2 查表得0.25>P >0.10，按0.05α=水准不拒绝0H ，尚不能认为三种措施有效率有差别。
3.某医院以400例自愿接受妇科门诊手术的未产妇为观察对象，将其分为4组，每组100例，分别给予不同的镇痛处理，观察的镇痛效果见表8-4，问4种镇痛方法的效果有无差异？表8-4 4种镇痛方法的效果比较 镇痛方法 例数 有效率（%）颈麻100 41 注药100 94 置栓100 89 对照100 27 [评析] 为了应用2χ检验，首先应计算出有效和无效的实际频数，列出计算表，见表8-5。
表8-5 4种镇痛方法的效果比较镇痛方法 有效例数 无效例数 合计颈麻41 59 100 注药94 6100 置栓89 11100 对照27 73 100合计 251 149 4000H ：4种镇痛方法的效果相同 1H ：4种镇痛方法的效果不全相同05.0=α)1(22-=∑c r n n A n χ=400⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯++⨯+⨯⨯110014973...1001495910025141222=146.175， ν=（4-1）（2-1）=3查表得P <0.05，按0.05α=水准拒绝0H ，接受1H ,即4种镇痛方法的效果不全相同。
四、习 题（一） 单项选择题1. 关于样本率p 的分布正确的说法是： A ． 服从正态分布 B ． 服从2χ分布C ． 当n 足够大，且p 和1-p 均不太小，p 的抽样分布逼近正态分布D ． 服从t 分布 2. 以下说法正确的是： A ． 两样本率比较可用u 检验 B ． 两样本率比较可用t 检验 C ． 两样本率比较时，有2χ=u D ． 两样本率比较时，有22χ=t 3. 率的标准误的计算公式是： A ．)1(p p - B ．n p p )1(- Ｃ．1-n p Ｄ．np p )1(- 4. 以下关于2χ检验的自由度的说法，正确的是： A ．拟合优度检验时，2-=n ν（n 为观察频数的个数）B ．对一个43⨯表进行检验时，11=νC ．对四格表检验时，ν=4D ．若2,05.02,05.0ηνχχ>，则ην>5. 用两种方法检查某疾病患者120名，甲法检出率为60%，乙法检出率为50%，甲、乙法一致的检出率为35%，问两种方法何者为优？A ．不能确定B ．甲、乙法一样C ．甲法优于乙法D ．乙法优于甲法6．已知男性的钩虫感染率高于女性。
今欲比较甲乙两乡居民的钩虫感染率，适当的方法是： A ．分性别比较 B ．两个率比较的2χ检验 C ．不具可比性，不能比较 D ．对性别进行标准化后再做比较 7．以下说法正确的是A ．两个样本率的比较可用u 检验也可用2χ检验B ．两个样本均数的比较可用u 检验也可用2χ检验C ．对于多个率或构成比的比较，u 检验可以替代2χ检验D ．对于两个样本率的比较，2χ检验比u 检验可靠 （二） 名词解释1． 实际频数与理论频数 2． 2χ界值表 3． 拟合优度 4． 配对四格表5． 双向有序分类资料 6． 率的标准误7． 多个率的两两比较 8． Fisher 精确概率 9． McNemar 检验 10． Yates 校正 （三） 是非题四个样本率做比较，2)3(05.02χχ> ，可认为各总体率均不相等。
