由哈密顿原理推导拉格朗日方程

关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。

W.R.哈密顿于1834年发表。

其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。

哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。

它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。

由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。

哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。

如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。

此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。

第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程是描述质点在有势能场中的运动的方程。

其数学表达式为：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -
\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
其中，\(L\)是拉格朗日函数，\(q_i\)是广义坐标，\(\dot{q_i}\)
是广义速度，\(i\)表示广义坐标的索引。

拉格朗日函数\(L\)由
质点动能和势能函数构成，即\(L = T - V\)，其中\(T\)表示动能，\(V\)表示势能。

这个方程由哈密顿原理推导得出，根据哈密顿原理，质点在运动过程中实际的路径是使作用量S取极值的路径。

作用量S
定义为路径积分：
\[S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt\]
通过变分原理，即使作用量在真实路径附近发生微小变化，作用量的变分应该为零：
\[\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt = 0\]
对上式应用变分积分法，我们可以得到第一类拉格朗日动力学方程。

这个方程描述了质点在给定势能场中的受力情况，通过求解这个方程，我们可以确定质点的轨迹和速度。

拉格朗日方程是理论力学中非常重要的方程。

像牛顿力学一样，它是对机械系统的描述。

但是与牛顿力学不同，他从整个系统的角度分析了系统的运动状态，而牛顿力学则分别分析了每个粒子。

这两种方法是等效的，可以相互推论，但使用方案却大不相同。

拉格朗日方程以数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的名字命名，是分析力学中的重要方程，可用于描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。

拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。

假定一个物理系统满足一个完整系统的要求，即所有广义坐标彼此独立，则拉格朗日方程式为：其中，是拉格朗日量，广义坐标，时间函数和广义速度。

以分析力学为指导，有三种方法可以指导拉格朗日方程。

最原始的方法是使用D'Alembert原理来指导Lagrange方程（请参阅D'Alembert原理）。

在更高级的水平上，拉格朗日方程可从哈密顿原理（指哈密顿原理）推导。

最简而言之，它可以通过数学变分方法的欧拉-拉格朗日方程推导：集合函数sum：,,,;哪里是自变量。

如果该函数获得局部平稳值，则Euler-Lagrange方程将保持在区间。

现在，进行以下变换：将自变量设置为时间，将函数设置为广义坐标，并将函数设置为拉格朗日量，从而可以获得拉格朗日方程。

为了满足此转换的正确性，广义坐标必
须彼此独立，因此系统必须是完整的系统。

拉格朗日量是动能减去势，势必须是广义势。

因此，该系统必须是单人系统。

拉格朗日方程的三种推导方法拉格朗日方程是分析力学中极为重要的定理之一，它描述了质点或系统在给定约束条件下的运动方程。

拉格朗日方程的推导方法有三种，分别是拉格朗日第一类方法、拉格朗日第二类方法和哈密顿原理。

下面将对这三种方法进行详尽的介绍。

首先，我们来介绍拉格朗日第一类方法。

这种方法是通过将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，然后使用这些方程消去广义坐标的导数，得到含有广义坐标和广义速度的方程，然后再代入拉格朗日函数，就可以得到拉格朗日方程。

设系统中有n个质点，它们的质量分别为m1、m2、..、mn，它们的位置矢量为r1、r2、..、rn。

约束条件可以表示为f(r1, r2, ..., rn)= 0。

广义坐标q1、q2、..、qs可以用位置矢量表示为q1 = q1(r1,r2, ..., rn)，q2 = q2(r1, r2, ..., rn)，...，qs = qs(r1, r2, ..., rn)。

广义速度可以定义为q1' = dq1/dt，q2' = dq2/dt，...，qs' =dqs/dt。

根据拉格朗日第一类方法，可以将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，即f(q1(q1, q2, ..., qs), q2(q1, q2, ..., qs), ...,qs(q1, q2, ..., qs)) = 0（1）。

然后对式(1)两边求导，以消去广义速度，得到：∂f/∂q1 * q1' + ∂f/∂q2 * q2' + ... + ∂f/∂qs * qs' = 0（2）接下来，根据拉格朗日函数定义为L = T - U，其中T是系统的动能，U是系统的势能。

动能和势能可以分别表示为T = T(q1, q2, ..., qs,q1', q2', ..., qs')，U = U(q1, q2, ..., qs)。

根据广义坐标和广义速度的定义可以得出q1, q2, ..., qs和q1', q2', ..., qs'是相互独立的。

哈密顿方程的推导
哈密顿方程是描述质点系在保守力场中运动的方程，由哈密顿原理推导而来。

下面是哈密顿方程的推导过程：
1. 定义拉格朗日函数：首先，我们定义质点系的拉格朗日函数L，该函数是广义坐标q_i和广义速度v_i的函数，即L =
L(q_i, v_i)。

拉格朗日函数可以通过质点系的动能T和势能V
来定义，即L = T - V。

2. 构建作用量：我们引入作用量S，该作用量定义为在一段时
间t_1到t_2内，拉格朗日函数L在质点的运动路径上的积分，即S = ∫(L dt)。

3. 应用哈密顿原理：根据哈密顿原理，质点实际运动的路径是使作用量S达到极小值的路径，即对任意的变分路径δq_i(t)，作用量的变分δS=0。

4. 构建哈密顿函数：为了推导哈密顿方程，我们首先引入广义动量p_i，定义为p_i = ∂L/∂v_i。

接下来，我们定义哈密顿函
数H为哈密顿函数H = Σ(p_i v_i) - L。

哈密顿函数是广义坐标
q_i和广义动量p_i的函数。

5. 变分行为：对于任意的广义坐标q_k，广义速度v_k和广义
动量p_k，我们可以证明在哈密顿函数H为最小值时满足以下方程：
dH/dp_k = v_k (1)
dH/dq_k = - p_k (2)
这两个方程就是哈密顿方程。

通过上述过程，我们从拉格朗日形式的描述推导出了哈密顿形式的描述，即哈密顿方程。

在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量的变化率分别由哈密顿函数对广义动量和广义坐标的偏导数来描述，从而实现了对质点系的运动状态的描述。

拉格朗日方程拉普拉斯变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日方程是一种重要的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。

拉普拉斯变换则是一种重要的数学变换方法，可以将一个复杂的函数转化为更容易处理的形式。

本文将介绍拉格朗日方程和拉普拉斯变换的基本概念、应用和意义。

让我们来了解一下拉格朗日方程。

拉格朗日方程是以18世纪法国数学家拉格朗日的名字命名的，它是描述物理系统运动的方程。

在经典力学中，拉格朗日方程可以用来描述系统的运动，它基于能量最小原理，并且不需要引入力的概念。

拉格朗日方程可以写成以下形式：\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{∂L}}{{∂\dot{q_i}}}\right)-\frac{{∂L}}{{∂q_i}} =0L是系统的拉格朗日函数，q_i是广义坐标，\dot{q_i}是广义速度，i=1,2,...,n。

拉格朗日方程可以根据系统的动力学方程导出，从而可以描述系统在给定势能场下的运动规律。

在物理学中，拉格朗日方程广泛应用于描述多种力学系统，例如弹簧振子、摆锤系统、刚体运动等。

通过拉格朗日方程，可以方便地求解系统的运动方程，得到系统的轨迹和各种物理量随时间的演化规律。

拉格朗日方程是理论力学研究的基础之一，也是解决实际问题的有效工具。

接下来，我们来介绍拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号处理、控制工程、电路分析等领域的数学工具，它可以将一个函数从时域转换到复频域，使得原有的问题更容易处理。

拉普拉斯变换定义如下：F(s)=\int_0^{∞}f(t)e^{-st} dtf(t)是定义在时域的函数，F(s)是定义在复频域的函数，s是复变量。

通过拉普拉斯变换，可以将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，从而可以更方便地求解系统的响应。

在实际应用中，拉普拉斯变换广泛应用于控制系统设计、信号处理、电路分析等领域。

通过拉普拉斯变换，可以简化系统的数学描述，更好地分析系统的性能和稳定性。

《理论力学》一一．填空题1. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为( 约束 )。

2．惯性力（ 约束 ）对应的反作用力，（ 称作 ）牛顿第三定律。

3. 如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足0F F F z y x)(zy x =∂∂∂∂∂∂=⨯∇k j ir F 则这种力叫做( 惯性力 )。

4．真实力与参考系的选取（ 无关 ），而惯性力却与参与系的选取（相关）。

5．质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。

6. 限制质点运动的物体(如曲线、曲面等 )称为(约束 )。

7．同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力 ）二．选择题1. e a r r θθθθ)2(&&&&+=称为质点的( C )。

a. 法向加速度 b. 切向加速度c. 横向加速度d. 径向加速度2．][)(r F m en '⨯⨯-=ωω称为Aa.平动惯性力b.离心惯性力c.科氏惯性力3． ττdtdv a =称为质点的( C )。

a. 法向加速度 b. 横向加速度c. 切向加速度d. 径加速度4． 质点系中所有内力对任一力矩的矢量和Aa. 等于零b. 不等于零c. 不一定等于零 5. e a r rr r )(2θ&&&-=称为质点的( A )。

a.径向加速度b.横向加速度c.切向加速度d.法向加速度6．质点系内力所作的功Aa. 等于零b. 不等于零c. 不一定等于零 7. n a v n ρ2=称为质点的( B )。

a. 横向加速度 b. 法向加速度c. 径向加速度d. 切向加速度8．如果作用在质点上的力都是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功或所作功之和等于零。

则质点系机械能Aa. 守恒b. 不守恒c. 不一定守恒 9．)2(v F r m c ⨯-=ω称为Aa.科氏惯性力b.离心惯性力c.平动惯性力三．简答题1．在曲线坐标系中，单位矢量和基矢有无区别若有，区别何在答：有区别，主要是角度变化。