下载文档原格式
圣维南原理及其证明圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
圣维南原理的概念和应用圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的基本原理之一，由法国工程师、数学家阿道夫·维南（Adhémar Jean ClaudeBarré de Saint-Venant）于1855年首次提出。
该原理也被称为“局部效应原理”或“远场近似原理”。
圣维南原理的概念是，当应力施加在一个足够大的物体上时，物体内部的应变和位移仅在施加应力的局部区域发生显著变化，而在远离施加应力的区域，应变和位移几乎不变。
换句话说，这个原理认为，对于一个较大的物体，只有局部区域受到应力的影响，而在其他地方，物体的响应可以用远场近似来描述。
1.结构分析：在结构力学中，可以利用圣维南原理来简化复杂的结构系统的分析。
例如，当一个结构受到局部载荷时，可以通过该原理近似地计算结构的响应，而无需考虑整个结构的细节。
这在工程实践中非常有用，因为它可以大大简化结构的分析过程。
2.弯曲问题：弯曲是圣维南原理最经常应用的领域之一、该原理可以用来求解梁的弯曲问题，即当在梁的一端施加弯曲力时，可以通过近似地构建一个等效的约束系统，来计算受力部分的位移和应变。
这种方法在结构工程中非常常用，因为它可以准确地预测梁的变形和应力分布。
3.施加边界条件：在求解弹性力学问题时，边界条件是一个非常重要的因素。
圣维南原理可以帮助我们确定适当的边界条件，以便正确地描述系统的行为。
例如，当在一个弹性平板上施加一个外力时，通过将维南近似应用于平板的等效系统中，我们可以确定一个合适的边界条件来求解平板的位移和应力分布。
4.地震工程：地震是土木工程中的一个重要考虑因素。
圣维南原理的应用可以帮助工程师们分析建筑物在地震加载下的响应。
通过近似建筑的响应为由局部载荷引起的问题，可以更好地理解建筑结构在地震中的行为，并优化其设计。
总结起来，圣维南原理是弹性力学中一项重要的概念，它通过近似处理复杂的弹性力学问题，使得工程师们能够更好地理解和预测结构的响应。
举例说明圣维南原理的应用圣维南原理简介圣维南原理，又称为斯旺普顿法则或维南效应，是指当电流通过一条导线时，其周围会形成一个磁场。
该磁场的方向可由右手法则来确定，即将右手五指插入导线内，大拇指的方向即为磁场的方向。
圣维南原理是电磁学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
圣维南原理的应用高速列车的磁悬浮技术磁悬浮列车是一种基于磁力原理运行的高速列车。
它利用圣维南原理中的磁场作用，使列车在轨道上悬浮运行，从而减小与轨道的接触摩擦，大大提高了列车的运行效率和乘坐舒适度。
磁悬浮列车通常由轨道上装有线圈的电磁悬浮装置和列车底部装有磁铁的磁悬浮机构组成。
当列车底部的磁铁和轨道上的电磁线圈产生磁场时，两者之间会相互排斥，从而实现列车的悬浮和运行。
电动机的工作原理电动机是利用电能转换为机械能的装置，其中圣维南原理是电动机工作的基础。
当电流通过电动机的线圈时，线圈内会产生一个磁场。
根据圣维南原理的规律，线圈内的磁场与电流的方向垂直，并且根据右手法则，可以确定线圈的磁场方向。
电动机的转子上通常有一组磁铁，并与线圈内的磁场相互作用。
通过不断变换线圈内电流的方向，可以实现电动机不断地旋转，从而产生机械能。
磁共振成像（MRI）技术磁共振成像是一种医学影像技术，通过利用磁场和无线电波来生成人体内部组织的图像。
该技术的基本原理是利用圣维南原理中的磁场作用。
在MRI设备中，会产生一个强大且稳定的磁场，使人体内的原子（如氢原子）排列成一定的方向。
然后通过施加射频脉冲来干扰氢原子的排列，使其发生共振。
接收到共振信号后，可以通过计算机重建成人体内部的图像，从而实现医学诊断。
地磁导航系统地磁导航系统是一种利用地球的磁场来确定位置的导航技术。
该技术的原理也是基于圣维南原理中的磁场作用。
地磁导航系统通常包括一个感应线圈和一个磁场传感器。
感应线圈会感受到地球的磁场，并将其转化为电信号。
然后通过磁场传感器对电信号进行解读，可以确定当前位置的方向和坐标信息。
圣维南原理并说明它的用途圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。
它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。
圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。
具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。
这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下：1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。
通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。
这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。
根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。
这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。
这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。
简述圣维南原理圣维南原理是指在一个封闭系统内，熵的增加趋势是不可逆的。
这个原理是热力学第二定律的一个重要表述，也是热力学基本原理之一。
圣维南原理的提出，对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响。
圣维南原理最早是由德国物理学家克劳修斯·门德尔在1854年提出的。
他认为，封闭系统内熵的增加是不可逆的，即热力学过程总是趋向于使系统的熵增加。
这一原理在热力学和统计力学中有着重要的地位，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着混乱和无序的状态发展。
在热力学中，熵是描述系统混乱程度的物理量。
系统的熵增加意味着系统的无序程度增加，而熵减少则意味着系统的有序程度增加。
圣维南原理告诉我们，封闭系统内熵的增加是不可逆的，这意味着系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这也是为什么我们会感觉时间是朝着一个方向流逝的原因之一。
圣维南原理的重要性在于它揭示了自然界中一种普遍的趋势，这种趋势与时间的箭头密切相关。
在统计力学中，我们可以通过微观粒子的运动来理解圣维南原理。
微观粒子的运动会导致系统的混乱程度增加，从而使系统的熵增加。
这种微观层面的理解有助于我们更深入地理解圣维南原理。
圣维南原理还对能量转化和利用提出了重要的限制。
在能量转化过程中，总会有一部分能量转化为无用的热能，从而使系统的熵增加。
这也是为什么热机的效率总是低于100%的原因之一。
圣维南原理告诉我们，能量转化过程总是伴随着熵的增加，这为能源利用和节约能源提出了重要的挑战。
总的来说，圣维南原理是热力学第二定律的一个重要表述，它揭示了自然界中一种普遍的趋势，即系统总是朝着更加混乱的状态发展。
这一原理对于热力学和统计力学的发展产生了深远的影响，也对能源转化和利用提出了重要的限制和挑战。
我们应该深刻理解圣维南原理的内涵，这有助于我们更好地认识和理解自然界中的各种现象。
简述圣维南原理及其应用公式
圣维南原理（Saint-Venant's principle）是指当一个外部载荷作用于一根杆件时，如果这个杆件在距离载荷作用点处足够远的地方，其挠度几乎不受载荷位置的影响，即载荷反应在杆件上的分布是近似均匀的。
该原理适用于解决结构力学中的弯曲问题。
圣维南原理还可以用于分析结构的自由振动问题。
在自由振动问题中，需要求解结构的固有频率和振型，而圣维南原理可以用来简化结构的初始条件。
通常情况下，结构的自由振动问题可以分解为多个单独的振动模态，圣维南原理则可以使每个模态的振型分布趋于均匀，从而简化求解过程。
圣维南原理的应用公式为：
Δ = (Ml^2)/(2EI)
其中，Δ表示载荷作用点处的挠度，M表示载荷矩，l表示载荷作用点到杆件固定端的距离，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
该公式可以用来计算载荷作用点处的挠度。
根据圣维南原理，载荷作用点处的挠度与载荷位置的影响几乎无关，因此可以通过该公式计算出载荷作用点处的挠度，而无需考虑载荷位置的具体情况。
在实际工程中，圣维南原理广泛应用于弯曲问题的分析与设计中。
例如，在桥梁设计中，为了确保桥梁能够承受车辆和行人的重量，
需要对桥梁的弯曲问题进行分析和设计。
圣维南原理可以用来简化桥梁弯曲问题的分析，从而提高设计效率和准确性。
圣维南原理是结构力学中非常重要的原理之一，其应用广泛，可以用于弯曲问题的分析和设计，也可以用于结构的自由振动问题的求解。
掌握圣维南原理和其应用公式，可以提高工程师在结构力学和结构设计领域的能力和水平。
圣维南原理的理解及应用什么是圣维南原理？圣维南原理（St. Venant’s Principle）是强度学说中的一个基本原理，它描述了在一个连续介质中施加力或载荷时，力或载荷在介质内的传递方式。
该原理由法国工程师圣维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）在19世纪提出，被广泛应用于材料力学、结构工程、土力学以及其他相关领域。
圣维南原理的基本概念圣维南原理认为，在一个连续介质中施加的力或载荷作用在某一点上时，它会通过介质内的应力场以波的形式传递，直至作用于介质的其他部分。
这种波传递的方式符合弹性波的特征，可以用弹性理论进行描述。
根据圣维南原理，当介质的尺寸足够大，且外力作用点与观察点足够远时，介质的应力场在其它部位的变化可以忽略不计。
这意味着在计算应力和变形时，我们可以将外力仅作用于感兴趣的部位，而不必考虑整个结构的响应。
圣维南原理的应用•结构分析圣维南原理在结构力学的分析中具有广泛的应用。
当我们需要对一个杆件、梁或框架进行受力分析时，可以使用圣维南原理简化结构的计算。
根据原理，我们只需关注关键的力作用点和观察点，而无需考虑结构的整体响应。
这大大简化了结构力学的计算步骤。
圣维南原理的另一个重要应用是在结构的变形分析中。
我们可以使用原理来计算结构在外力作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
•土力学分析圣维南原理在土力学中的应用同样重要。
在土体力学中，我们经常需要分析土体受力、稳定性和沉降等问题。
通过应用圣维南原理，我们可以简化土体力学的计算，并准确估计土体内力的分布情况。
这对于土体的设计和工程施工非常重要。
圣维南原理在土力学中的另一个重要应用是地基工程中的基础设计。
通过使用原理，我们可以分析地基受力情况，并设计合适的基础结构，以确保地基的稳定性和承载力。
•材料强度分析圣维南原理在材料力学中也有广泛的应用。
材料强度分析是指评估材料在外力作用下的抗拉、抗压、抗弯等能力。
用ANSYS证明圣维南原理一、圣维南原理圣维南原理（Saint-V enant’s Principle）：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
它也可以这样来陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。
二、证明思路圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ANSYS软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。
本文选择建立一个横截面积相对较小的混凝土柱体作为研究对象，然后对此矩形截面直杆模型进行数值证明。
分别对直杆两端施加集中力，以及与此集中力静力等效的均布载荷。
比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。
三、ANSYS建模及求解1、创建有限元模型。
选择Solid —10 node 92单元类型，弹性模量EX=2.5E9，泊松比PRXY=0.35。
然后创建一个长、宽、高分别为1m，0.05m，0.05m的长方体，并对其进行自由网格划分。
建模及网格划分结果如下图1所示。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分2、施加载荷并求解。
（1）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上F=10KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图2所示。
图2 集中力及约束施加结果（2）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=4000KN的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图3所示。
图3 均布载荷及约束施加结果3、查看分析结果。
分别生成在长方体端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
圣维南原理的基本概念圣维南原理（St. Venant's principle），也被称为维南原理或惯性原理，是弹性力学中一个基本的概念。
圣维南原理描述了在一个受力体系中，在应力场已经达到平衡状态的情况下，外界施加的一个局部载荷的效果将在有限的距离内逐渐减弱。
这个原理是由法国工程师阿多尔夫・圣维南（Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant）于1855年首次提出。
1.定义：圣维南原理描述了在充分远离加载区域时，结构体系的不同部分对于局部载荷的响应是相同的。
也就是说，当一个力作用于一个结构体系上时，它会在整个结构中以波动的方式传播，并且在传播过程中逐渐减弱。
2.局部载荷：圣维南原理适用于局部载荷，即作用点处的载荷集中在一个较小的区域。
这个载荷可以是一个力、一个力矩或者其他一些形式的载荷。
3.有限距离：圣维南原理指出，这种载荷的响应会在有限的距离内传播。
这个有限的距离取决于结构体系的特性，如材料的刚度、几何形状等。
4.平衡状态：圣维南原理的适用条件是结构体系的应力场已经达到平衡状态。
也就是说，体系中各个部分的应力分布已经稳定，没有出现明显的不均衡情况。
圣维南原理的应用可以在结构力学领域中发现。
当一个结构受到局部载荷时，通过圣维南原理可以预测载荷对结构体系的整体影响。
根据原理，从作用点处开始，载荷的影响将逐渐减小，并在一些距离内消失。
这个距离通常被称为圣维南剪切段（St. Venant shear region）或圣维南区域。
在应用圣维南原理时，需要注意以下几点：1.非线性效应：当加载超过结构材料的弹性极限时，将出现非线性效应，需要使用更复杂的模型来描述。
2.材料异质性：结构体系中的材料异质性会对圣维南区域的大小和形状产生影响。
异质性越高，圣维南区域的长度越大。
3.结构几何形状：结构的几何形状也会影响圣维南区域的大小和形状。
通常情况下，较长的结构具有较大的圣维南区域。
弹塑性力学作业孙嘉粲建筑与土木工程2017级3班学号2170970036Q1：什么是圣维南原理？Q2：为什么需要圣维南原理？Q3：如何证明圣维南原理是正确的？Q1：什么是圣维南原理？答：圣维南原理（Saint Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
有限元软件的模拟验证了这一点，如图1所示。
==图1 有限元计算得到的柱体在不同应力边界下得到的应力分布图Q2：为什么需要圣维南原理？问题的提出：弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解基本方程。
使应力分量、应变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易。
但对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难满足边界条件要求。
这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
圣维南原理的应用：对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。
有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
不论在弹性力学中还是在有限元中都广泛灵活的应用圣维南原理来处理和简化边界条件。
值得注意的是：圣维南原理只能适用于一小部分边界（小边界：尺寸相对很小的边界；次要边界：面力分布复杂的小边界）。
对于主要边界，圣维南原理不再适用。
例如对于较长的粱，其端部可以应用圣维南原理，而在粱的侧面，则不能应用。
Q3：如何证明圣维南原理是正确的？见附录1《圣维南原理证明》附录1《圣维南原理证明》1.Boussinesq 的陈述1855年Boussinesq 将圣维南的思想一般化，并冠“Saint-Venant’s Principle ”的名称，其内容为：施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。
这个原理在实践中，为工程力学界所广泛采用。
人们认为，这个原理可以从弹性力学的一般规律推导出来，它应当具有已经建立的严格的弹性力学微分方程组的解的基本属性。
为此，许多学者做了大量工作，Southwell 、Supino 、Goodier 、Zanaboni 、Lacatelli 都曾研究过这个问题并给这一原理做了进一步的阐述和定性的证明。
2．对原理的证明2.1．Von Mises-Sternberg 定理1945年，Von Mises 用一些例子说明有必要精确地叙述Saint-Venant 原理。
例如，弹性半空间上给定一个垂直边界的集中力，虽然该力不是平衡力系，但在远离载荷的地方，位移和应力都是可以忽略的。
另外，在无体力的弹性体上加一个平衡力系，由于问题的齐次性，平衡力系可任意倍，在任意给定点上，可得到任意大小的应力和位移。
这两个例子表明，不满足Saint-Venant 原理条件的，可以满足它的结论，反之满足条件的，又可以不满足它的结论。
于是，Von Mises 提出了关于Saint-Venant 原理的另一种说法，并在1954年，由E ·Sternberg 所证明。
Von Mises-Sternberg 定理，设弹性体为B ，边界为B ∂，某点B z ∂∈，)0()(0ρρρ≤<∑z 是半径为ρ、中心在z 的球，∑∂=ρρ)(z B F I ，设在ρF 上有集中荷载))((ρρξξF L ∈，分布荷载))((ρρF x x S ∈，且1)(M L ≤ξρ，2)(M x S ≤ρ，（1M ，2M 为与ρ无关的常数）。
对B y ∈，有以下几种情况：位移u )()(δρρO y =，应变E )()(δρρO y =，应力T )()(δρρO y =，)0(→ρ，其中0=δ；如果外载合力为零，则1=δ；如果外载是平行的平衡力系（不与B ∂相切），则2=δ；如果外载是无定向的平衡力系（即所有力都旋转任意相同角度仍平衡的力系），则2=δ。
此外，如果没有集中荷载，仅有分布荷载，上述四种情形都提高两个量级。
这个定理表明，当0→ρ时，具有特殊条件的外力系，所产生的应力和位移，要比一般的力系有更高的无穷小量级。
定理的证明用到了弹性格林函数，即所谓Somigliana 公式和Lauricella 公式。
Boleg 将上述定理推广到一般的椭圆型方程，另有一些推广见Seumann ，Sternberg 和Al-Kmozani ，Keller 。
2.2．R ·A ·Toupin-Berdichevskii 定理在精确叙述Saint-Venant 原理方面，Von Mises-Sternberg 定理是经典的，但也受到了一些批评，它注意到了各种不同荷载之间的差别，但却忽略了这个原理的另一个方面：“距离效应”。
R ·A ·Toupin 和Berdichevskii 先后于1965年和1974年在柱体和一般情况下，得到了应变能对距离按指数衰减。
R ·A ·Toupin-Berdichevskii 定理，设弹性体为V ，应变能密度为U ，03>X 时无外载，记{}ν∈≥=),,(,),,()(3213321x x x x x x x x x V{}ν∈≤=Ω),,(,),,()(3213321x x x x x x x x x设)(x Ω对任意x 有界，记 ⎰⎰⎰=)(321)(x V dx dx Udx x E 证明：设)(x Ω上加有表面平衡力系i p ，在)(x V 上的应变能密度为p U ，令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰Ω)()(32131/inf x x V p p p dx dx dx U dx dx U i ν 这里的下确界对任意的平衡力系i p 来取，于是ν仅依赖于)(x V 和弹性系数，如果弹性体给定，ν为x 的函数。
有：⎰⎰Ω≤)(21)()(x p dx dx U x E x ν又： ⎰⎰Ω-=)(21x p dx dx U dx dE 两式相加得： 0)()(≤+x E x dxdE ν 积分得： {}⎰-≤x dt t E x E 0)(exp )0()(ν 不难看出，如果V 为柱体常数≡)(x ν。
在一般情况下利用Korn ，Poincare 等不等式，可以证明0)t (0>≥νν。
Robinson 曾证明了能量的渐进衰减性质。
上述定理已被推广到非线性弹性体，极微弹性体，粘弹性体。
我们可以利用Toupin 定理从能量的指数衰减得到应力和应变的指数衰减估计。
设v 为球),(r x S 的体积，),(r x E 是),(r x S 上的弹性势能，则：vr x E k x e ij ),()(≤，其中k 为与r 有关，而与x 无关的常数。
这个定理的证明用了Diaz 和Payne 所发展的弹性中值定理。
显然，Saint-Venant 原理是椭圆型方程的一种性质。
一般说来，这种性质双曲型方程是不具备的。
Boleg 举出了反例，Saint-Venant 原理对弹性动力学是不成立的。
2模型问题Toupin 的能量衰减的思想和Toupin 的理论逐渐为人们普遍接受，建立Toupin 型的定理形成了一股潮流。
不少作者认为，对Toupin 定理的推广就是对圣维南原理的推广，从而把Toupin 定理推广到连续介质物理学的广泛范围内。
Horgan 和 Knowles [14]提出了一个边值问题)(0,R on u ii = )(,03S on f u =)(0,3l S on u = )(0/L on n u =∂∂⎰=l S udA 0 式中R 是长度为l 的柱状域，其边界为L ，0S 为03=x 处的端面，l S 为l x =3处的端面，f 满足“自平衡”条件⎰=00S fdA ，这是一个类比平衡力系的方程，因而这是一个借类比来讨论圣维南原理的问题。
这个定解问题不仅可以方便地表达一个温度场边值问题，还可能有多种不同的物理解释，应用到多个不同的物理问题，堪称“模型问题”。
Horgan 和 Knowles 应用Knowles 方法，首先定义了能量泛函数⎰=zR i i dV u u z E ,,)( 其中z R 为l x z <≤3的柱体区域。
其后，导出了⎰--≤+zS dA u k z kE z E 2221)()(2)('λ 式中21λ是诺埃曼问题（Neumann problem ）)(0,02S on =+λφαα )(0/0C on n =∂∂φ的最小正本征值。
式中0C 是端面0S 的边界。
选择1λ=k ，变为0)(2)('≤+z kE z E证得能量衰减不等式)0()2exp()0()(l z kz E z E ≤≤-≤历史已经多次证明，人类对科学难题的探索，将大大推进人类对自然规律的认识，从而大大提高人类征服自然的能力。
圣维南原理的历史源远流长，它的证明是一个传统的老课题，又是一个充满生机的新课题，魅力无穷。
本文借最重要的工作和事件对圣维南原理的发展历史作了综述，对圣维南原理的历史作了回顾和评述。
我们深信，对圣维南原理理论的不断研究，必将加深我们对力学原理的认识，对科研及工程实际起到理论指导作用。
参考文献[1] 孔超群，圣维南原理研究工作综述，上海力学，1990年9月，第11卷第13期[2] 赵建中，圣维南原理及其证明：历史与评述[3] 王敏中，圣维南原理发展简介[4] 顾和平，力学领域里的“哥德巴赫猜想”——简介圣维南原理[5] Choi I, Horgan C O. Saint-Venant's Principle and End Effects in Anisotropic Elasticity[J]. Journal of Applied Mechanics, 1977, 44(3):455-455.[6] Saada, AdelS. Elasticity theory and applications[M]. Pergamon Press, 1974.[7] Cheng S. Elasticity Theory of Plates and a Refined Theory[J]. Journal of Applied Mechanics, 1979, 46(3):644-650.[8] Timoshenko S P. Theory of elastic stability /[M]// Theory of elastic stability. McGraw-Hill, 1961:220.[9] Timoshenko S P, Gere J M, Prager W. Theory of Elastic Stability, Second Edition[J]. Journal of Applied Mechanics, 1962, 29(1):220.[10] Horgan C O. Recent Developments Concerning Saint-Venant’s Principle: A Second Update[J]. Advances in Applied Mechanics, 1989, 23(10):179-269.。
