第七章 matlab在数值分析中的应用

大学数值分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数值分析的基本概念，掌握数值计算方法及其数学原理；2. 掌握线性代数、微积分等基本数学工具在数值分析中的应用；3. 学会分析数值算法的稳定性和误差，评估数值结果的正确性。

技能目标：1. 能够运用数值分析方法解决实际工程和科学研究问题；2. 掌握常用数值分析软件的使用，提高数据处理和问题求解的效率；3. 培养编程实现数值算法的能力，提高解决复杂问题的技能。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析的浓厚兴趣，激发学习积极性；2. 培养学生的团队合作精神，提高沟通与协作能力；3. 增强学生的数学素养，使其认识到数学在科学研究和社会发展中的重要性。

课程性质分析：本课程为大学数值分析课程，旨在教授学生数值计算的基本理论和方法，培养学生解决实际问题的能力。

学生特点分析：学生具备一定的高等数学基础，具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；2. 鼓励学生主动参与讨论，培养学生的创新意识和解决问题的能力；3. 结合实际案例，强化学生对数值分析在工程和科研中的应用认识。

二、教学内容1. 数值分析基本概念：包括误差分析、稳定性、收敛性等；教材章节：第一章 数值分析概述2. 数值线性代数：矩阵运算、线性方程组求解、特征值与特征向量计算等；教材章节：第二章 线性代数的数值方法3. 数值微积分：数值积分、数值微分、常微分方程数值解等；教材章节：第三章 微积分的数值方法4. 非线性方程与系统求解：迭代法、牛顿法、弦截法等；教材章节：第四章 非线性方程与系统的数值解法5. 优化问题的数值方法：线性规划、非线性规划、最小二乘法等；教材章节：第五章 优化问题的数值方法6. 数值模拟与数值实验：蒙特卡洛方法、有限元方法、差分方法等；教材章节：第六章 数值模拟与数值实验7. 数值软件应用：MATLAB、Python等数值计算软件在数值分析中的应用；教材章节：第七章 数值软件及其应用教学进度安排：第1-2周：数值分析基本概念第3-4周：数值线性代数第5-6周：数值微积分第7-8周：非线性方程与系统求解第9-10周：优化问题的数值方法第11-12周：数值模拟与数值实验第13-14周：数值软件应用及综合案例分析教学内容确保科学性和系统性，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。

学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。

它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。

在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。

1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。

起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。

随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。

如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。

1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。

安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。

工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。

1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。

它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。

例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。

此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。

1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。

脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。

函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。

通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。

第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。

在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。

2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。

数值分析实验报告matlab数值分析实验报告引言：数值分析是一门研究利用计算机数值方法解决数学问题的学科，它在科学计算、工程设计、金融分析等领域具有重要的应用价值。

本实验报告旨在通过使用MATLAB软件，探索数值分析的基本原理和方法，并通过实际案例加深对数值分析的理解。

一、误差分析在数值计算中，误差是无法避免的。

误差分析是数值分析中的重要一环，它帮助我们了解数值计算的准确性和稳定性。

在实验中，我们通过计算机模拟了一个简单的数学问题，并分别计算了绝对误差和相对误差。

通过比较不同算法的误差大小，我们可以选择最适合的算法来解决实际问题。

二、插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的方法，它们可以通过已知的数据点来推导出未知数据点的近似值。

在本实验中，我们通过MATLAB的插值函数和拟合函数，分别进行了插值和拟合的实验。

通过比较不同插值和拟合方法的结果，我们可以选择最适合的方法来处理实际问题。

三、数值积分数值积分是数值分析中的重要内容，它可以用来计算曲线下的面积或函数的积分值。

在实验中，我们通过MATLAB的数值积分函数，对一些简单的函数进行了积分计算。

通过比较数值积分和解析积分的结果，我们可以评估数值积分的准确性和稳定性，并选择最适合的积分方法来解决实际问题。

四、常微分方程的数值解法常微分方程是数值分析中的重要内容，它可以用来描述许多自然现象和工程问题。

在实验中，我们通过MATLAB的常微分方程求解函数，对一些简单的微分方程进行了数值解法的计算。

通过比较数值解和解析解的结果，我们可以评估数值解法的准确性和稳定性，并选择最适合的数值解法来解决实际问题。

五、线性方程组的数值解法线性方程组是数值分析中的经典问题，它在科学计算和工程设计中广泛应用。

在实验中，我们通过MATLAB的线性方程组求解函数，对一些简单的线性方程组进行了数值解法的计算。

通过比较数值解和解析解的结果，我们可以评估数值解法的准确性和稳定性，并选择最适合的数值解法来解决实际问题。

Matlab在《数值分析》课程教学中的应用数值分析课是信息与计算科学专业的必修课，也是工科学生的选修课。

在计算机没有普及的时候，尽管很多高校都开设了这门课程，但几乎都是基于理论讲授，没有把算法通过软件在计算机上实现。

现在，随着计算机的普及和高校硬件设施的完善，在课程讲授过程中把算法通过软件Matlab实现是很方便的事情，而且让学生通过上机环节自行实现变得轻而易举。

笔者针对自己当年的学习情况和多年的教学实践探究软件Matlab在数值分析课程中的作用，并探讨了软件Matlab在教学中针对零基础学生的具体实现过程。

一、理论与实践的结合在学习数值分析这门课程以前，学生已经学习了线性代数、高等数学等知识。

在中学阶段的数学学习，以及线性代数和高等数学的学习过程中，学生学习数学的概念就是一张纸、一支笔，使得很多学生对深入学习数学没有太大兴趣，更愿意多动手、多操作，增强实践能力。

当年，笔者学习数值分析这类课程的时候，计算机还处于发展阶段，确实很难在计算机上操作并实现算法。

当时主要靠笔学习这门课程，对于算法的优点是理论分析得出，可是算法真正实现的优点――快速、精度等却很难体会。

目前，从软件方面讲，软件Matlab早由美国Mathworks公司发布。

它将数值分析、矩阵计算、可视化等诸多功能集成在环境中，为科学研究、工程设计及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供一套全面的完善解决方案。

从硬件方面讲，现在计算机相当普及，各高校都有机房，学生有电脑也随处可见。

所以综合各方面，软件Matlab加入数值分析的课程教学是势在必行的。

笔者以王能超编著的数值分析为例进行讲解。

数值分析的内容主要有插值方法、数值积分、常微分方程的差分方法、方程求根、线性方程组的直接法和迭代法。

它的内容整体来讲，具有抽象性、科学性、实用性。

在讲解这门课程的时候知识要点比较零散，公式较多，推导复杂。

尽管书中算法用框图的形式表示出来了，从理论上讲，确实很完美，但是在具体转化为变成可执行语言的时候，还是会遇到很多困难。

MATLAB在数值分析中的应用
matlab是一种高级计算及可视化软件，在数值分析方面有着广泛的应用。

其特点是完整的数学和统计功能，强大的可视化和计算能力，易于使用的环境和脚本语言，使得matlab在数值分析领域变得非常流行。

首先，matlab具有强大的符号计算功能，可以求解复杂的多项式及微分方程，进行多项式拟合和矩阵计算等，从而支持数值分析中的基本操作。

其次，matlab还提供了一系列的工具箱，如数值分析工具箱，控制系统工具箱和数据分析工具箱等，这些工具箱可以作为matlab的拓展工具，为数值分析提供支持，有助于研究者解决复杂的问题。

此外，matlab 在多种算法的支持上也拥有全面的支持，包括线性规划、非线性规划、自动微分、数值积分、拟合优化、最优化及矩阵分解，可以用于几乎所有的数值分析任务。

最后，matlab还提供了极强的可视化功能，可以处理矩阵、标量和向量的可视化，包括3D和4D图表，可以帮助研究者快速分析结果。

因此，matlab支持的数值分析功能强大，提供了非常丰富的工具箱和算法支持，并有强大的可视化功能，使其在数值分析领域得到了广泛应用。

[内容摘要]在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。

对这个问题有两种方法：一种方法是插值法，在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况；另一种是人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点，这种方法就是曲线拟合或回归。

本文将介绍MATLAB 中所涉及的插值法以及各种插值法的比较。

[关键字]MATLAB 应用 数值计算 数据插值一、问题的提出在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。

当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。

当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具。

通过MATLAB 读者可以提高解决实际问题的能力，迅捷地计算出繁杂的数学运算结果，而不必去考虑用什么算法以及如何实现等问题，提高计算效率和效果，显示出MATLAB 在数值计算上的优越性。

下面简单介绍一下MATLAB 在数据插值方面的应用。

二、数据插值的方法如果被插值函数是一个单变量函数，则数据插值问题称为一维插值。

（1）Lagrange 插值法（1）待定系数法： 假设插值多项式 0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- ，利用待定系数法即可求得满足插值条件n i y x L i i n ,,1,0,)( ==的插值函数。

关键在于确定待定系数01,,,a a a n n -。

（2）利用基函数的构造方法 首先构造1+n 个满足条件：νδ=)(j i x L 的n 次插值基函数)(x l i ，再将其线性组合即可得如下的Lagrange 插值多项式：∏↔---=i j j j i j i x x x x x l 0)()()( （1）（2）分段线性插值作分段线性插值的目的在于克服Lagrange 插值方法可能发生的不收敛性缺点。

Matlab在数值计算方面的应用摘要：Matlab的名称源自Matrix Laboratory，它的首创者是在数值线性代数领域颇有影响的Cleve MoleAr 博士。

Matlab是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。

目前，Matlab软件已经成为了应用最广泛的科学计算工具之一。

Matlab可以用来进行如下工作：●数值分析；●数值和符号计算；●工程与科学绘图；●控制系统的设计与仿真；●数字图像处理；●数字信号处理；●通讯系统设计与仿真；●财务与金融工程。

尤其是在电子信息领域学科和数学建模领域中，Matlab已经成为了学术研究、论文写作的有力工具。

Matlab成为许多学科的解题工具，将Matlab融入其它课程的学习中，可以大大提高运算效率和准确性。

随着计算机的普及和国民文化素质的整体提高，科学计算将会更加普及。

Matlab在矩阵及数值计算、多项式和线性代数、符号数学的基本方法等方面都有较好的应用下面我从两点阐述Matlab在数学上面的应用：一、Matlab在数值运算上的应用；二、Matlab在绘图方面的应用。

Matlab的数值运算功能Matlab是一个包含计算算法的集合。

其拥有800多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便实现用户所需的各种计算功能。

函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而且经过了各种优化和容错处理。

在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++。

在计算相同的情况下，使用Matlab的编程工作量会大大减少。

Matlab的这些函数集包括从最简单的函数到诸如矩阵、特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。

函数所能解决的问题大致包括矩阵运算和现行方程组的求解，微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、复数的各种运算、三角函数和其它初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。

1.数组运算一般的，数组是有序数据的集合，在大多数编程语言中，数组的每一个成员(元素)都属于同一种数据类型，它们使用同一个数组名称和不同的下标来惟一确定数组中的成员(元素)。

§7 MATLAB 的应用7.1 MATLAB 在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法。

随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色。

下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍。

7.1.1 分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理。

实现分段线性插值不需编制函数程序，MA TLAB 自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆ yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi 的函数值。

x 为节点向量值，y 为对应的节点函数值。

如果y 为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或 xi 的维数，则返回NaN 。

◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n 为向量y 的元素个数值，或等于矩阵y 的size(y,1)。

◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method 用来指定插值的算法。

默认为线性算法。

其值常用的可以是如下的字符串。

● nearest 线性最近项插值。

● linear 线性插值。

● spline 三次样条插值。

● cubic 三次插值。

所有的插值方法要求x 是单调的。

x 也可能并非连续等距的。

正弦曲线的插值示例：>> x=0:0.1:10;>> y=sin(x);>> xi=0:0.25:10;>> yi=interp1(x,y,xi);>> plot(x,y,’0’,xi,yi)则可以得到相应的插值曲线（读者可自己上机实验）。

Matlab 也能够完成二维插值的运算，相应的函数为interp2，使用方法与interpl 基本相同，只是输入和输出的参数为矩阵，对应于二维平面上的数据点，详细的用法见Matlab 联机帮助。

一、最小二乘法，用MATLAB实现1. 数值实例下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7：00左右（新疆时间）的天气预报所得到的温度，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合。

下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合2、程序代码x=[1:1:30];y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1];a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%hold onplot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%hold onplot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%3、数值结果不同次数多项式拟合误差平方和为：r1=67.6659r2=20.1060r3=3.7952r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。

4、拟合曲线如下图二、 线性方程组的求解（ 高斯-塞德尔迭代算法 ）1、实例： 求解线性方程组（见书P233页）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x 记A x=b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=363320,,12361114238321b x A x x x任取初始值()()Tx0000=，进行迭代。

C N4321258/TP ISS N10072130X 计算机工程与科学C OMPUTER E NGI NEERI NG&SCIE NCE2002年第24卷第1期　　V ol124,N o11,2002　文章编号:10072130X(2002)0120070204MAT LAB在计算机辅助数值分析与计算中的应用ΞApplication of MAT LAB in C omputer2AidedNumerical Analysis and Calculation孙智娟,徐　杜,钟舜聪SUN Zhi2juan,XU Du,ZH ONG Shun2cong(汕头大学机电系,广东汕头　515063)(Department of Mechatronics E ngineering,Shantou U niversity,Shantou515063,China)摘　要:简要介绍了M AT LAB语言,并把M AT LAB语言应用于计算机辅助数值分析与计算中,在M AT LAB软件环境下研制了计算机辅助数值分析与计算(C ANAC)软件包,最后用一个典型实例较为深入地对其使用方法、特点和效果进行讨论。

实践表明,该软件包使用效果良好。

Abstract:This paper gives a brief introduction to M AT LAB and its application in numerical analysis and cal2 culation1It introduces how to develop a s oftware package for C AD and the analysis of numerical systems1It als o illus2 trates its usage,characteristics and effects with a typical exam ple1Practice shows that the s oftware has g ood practi2 cability and effect1关键词:M AT LAB;计算机辅助数值分析;软件包K ey w ords:M AT LAB;com puter2aided numerical analysis and calculation(C ANAC);s oftware package 中图分类号:TP391文献标识码:A1　引言M AT LAB是一种面向科学与工程计算的高级语言,同时也是适用于科学和工程计算的数学软件系统。