微专题13：椭圆的应用问题

浅析现实生活中的椭圆应用题在现实生活中，椭圆是一种非常常见的几何形状，它既可以表现出平面的几何形状，也可以用来表示三维的几何形状。

由于它的多功能特性，椭圆在我们的日常生活中已经成为了普遍存在的几何形状。

在本文中，我将详细介绍椭圆在现实生活中的各种应用和功能。

首先，椭圆是植物界最常见的形状，也是植物生长、发育和适应环境的重要形状。

椭圆形的植物叶子，有助于吸收和分布阳光的照射，阻止水分的流失，可以有效地储存水分。

此外，许多水果和蔬菜都是椭圆形的，这使它们在被采摘后运输更加安全方便。

其次，椭圆也在建筑行业中得到广泛应用。

比如，圆形建筑的楼梯可能会出现安全隐患，但是椭圆形的楼梯可以有效地规避这种安全隐患。

此外，在支持架构中，椭圆比圆形更加稳固，可以有效支撑建筑物，减少屋顶和桥梁上承受的压力。

此外，椭圆在航空航天领域也有广泛的应用，它可以用来设计和制造运载火箭、卫星等复杂的航空器。

有效设计的椭圆形可以减少太空船的摩擦，从而达到更高的航空穿越能力。

另外，椭圆也广泛用于汽车工业及其他的机械制造业。

比如，汽车的车身有许多椭圆形的结构，如车灯支架、汽车排气管等，都是以椭圆为主要结构，可以更好地稳定汽车。

而机械制造业也常常用椭圆来设计和制造机械手臂，以及用于机器人腿和腰部的驱动机构。

最后，椭圆也是能源利用的重要几何形状，其在运动轨迹领域的应用尤为重要。

比如，太阳能电池安装在椭圆形的太阳能板上，可以更有效地捕获太阳光，从而转化为电能，给社会带来更多的能源使用效率。

综上所述，椭圆无疑是现实生活中非常重要的几何形状，它在自然界、建筑行业、航空航天领域、汽车工业、机械制造业和能源领域都有着广泛的应用，为我们的生活提供了巨大的便利。

椭圆、双曲线问题中定义的合理运用一、问题背景在处理圆锥曲线中的椭圆、双曲线问题时，由于它们都有两个定义，除了几何性质的运用外，这两个定义的合理运用显得尤其关键．在第一定义中，椭圆（双曲线）上的点到两焦点距离之间有联系；在第二定义中，椭圆（双曲线）上的点到焦点距离与到对应准线距离之间有联系．可以这样讲，解决与焦点有关问题时必须要突出“相关性”．二、常见的思想方法主要思想：等价转化思想、化归思想、数形结合思想等．三、范例例1 如图，A，B是双曲线上关于原点对称的两个点（A点位于第一象限），F是双曲线的右焦点，连结AF并延长交双曲线右支于C，若且，则该双曲线的离心率为_________．【答案】．【思路】有两种思路．一是从代数角度考虑，将坐标用表示，根据点在双曲线上列出方程求出双曲线的离心率；二是从定义角度考虑，作出左焦点，借助于几何因素解题．相比较而言，在解题时如果将几何或定义渗透进去，往往会简化运算．【解答】方法一：在中，为斜边的中点，所以，代入双曲线方程解得，设，由A、F、C三点共线且解得，即，将坐标代入，化为，解得．方法二：设左焦点为，连结，设，则．根据条件，为矩形，所以，所以．在中，，所以．代入得．例2 已知F是椭圆的左焦点，过F且倾斜角为600的直线交椭圆与A、B两点，若AF=2BF，则椭圆的离心率e=___________．【答案】．【思路】直接计算，若设出直线AB方程，代入椭圆进行消元，利用条件AF=2BF将是一件非常烦琐的事情．注意到“相关性”，利用椭圆上的点到焦点距离与到对应准线距离之比等于离心率，结合几何因素求解．【解答】作出椭圆的左准线，过A、B分别作左准线的垂线，垂足记为M、N，根据条件AF=2BF设AF=2k,BF=k，则，过B作BQ⊥AM于Q，则．在⊿ABQ中，，AB=3k，∠BAQ=600，因此，．四、练习1．如图，设椭圆：的右焦点为，直线与曲线：相切，且交椭圆于两点，求证：的周长为定值．2．中，分别是双曲线的左右焦点，Ａ在该双曲线的右支上运动．的内切圆圆心为，求证：的横坐标为定值．3．已知双曲线的左、右焦点分别为、,左准线为．能否在双曲线的左支上求一点,使是到的距离与的等比中项?若能,求出的坐标；若不能,说明理由．五、练习解答1．【思路】作出切点T，在圆中利用勾股定理，在椭圆中利用焦半径公式，通过计算即可发现AT+AF恰好等于长半轴长．【解答】设切点为T，连结OT、OA，设，在圆中，，将代入得，，在椭圆中，右准线为，因此，从而，这样，．同理可得．即的周长为定值10．2．【思路】作出三个切点，根据点在双曲线上以及相切的条件证明．【解答】设内切圆分别与AB、BC、CA切于D、E、F，则,因为Ａ在该双曲线的右支上，所以，设，则，所以．因此的横坐标为定值2．3．【思路】本题是存在性问题,我们可假设存在满足条件的点,根据双曲线第二定义进行推理．【解答】则,即.又,所以,则．而,所以,,这与矛盾．故不存在满足条件的点．。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。

具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。

椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。

如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。

2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。

3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。

二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。

2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。

3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。

②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。

4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。

三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。

2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。

四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。

2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。

椭圆常见题型 （有解答）例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ： ()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*******22≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4B ．2C ．8D ．23说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

专题13：椭圆的应用问题一、单选题1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=-；②1122a c a c +=+；③1212c a a c >；④1212c c a a <.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④ 2．设函数()y f x =的图象由方程142x x y y +=确定，对于函数()f x 给出下列命题： 1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立； 2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P到原点的距离小于 3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立；则下列正确的是（ ）A ．12P P ∧B ．13P P ∧C ．23P P ⌝∨D ．13P P ⌝∨ 3．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4 B ．2:3 C ．1:2 D ．4．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）A ．0.32B ．0.48C ．0.68D ．0.82 5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．11e e +-r +21e e -RB ．11e e +-r +1e e-R C ．11e e +-r +21e e +R D ．11e e -+r +1e e+R 6．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 7．已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A ．B C ．32 D 8．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c .某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是[],a c a c -+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④ 9．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12:F M F M =B．C．1:3D．A10．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为B C DA．12二、多选题11．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则下列结论正确的是（ ）A ．122c a c =+B ．()11222a c a c +>+C ．2121e e =-D ．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 12．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（ ）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D ．椭圆轨道的离心率为m n m n-+ 13．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点1F 的小球（小球的半径不计），从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点1F 时，小球经过的路程可以是（ ） A ．4a B ．4c C ．()2a c + D ．()2a c - 14．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n=+D ．b =三、填空题15．从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b +=垂直于12F PF ∠的角平分线，已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(),0T t ，则t 的取值范围是__________.16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124FF =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.17．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为3和1，球心距离128OO =,截面分别与球1O ，球2O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．第 10 页 共 24 页 参考答案1．C【分析】对于①，由PF 建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子1122 a c a c -=-先变形后就可以对③④作出判断.【解析】由11a c PF -=，22 a c PF -=，得1122 a c a c -=-，故①符合题意；由图可知12a a >，12c c >，1122a c a c +>+，故②不符合题意；1122a c a c -=-，12121211c c a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12a a >，121211c c a a -<-∴， 1122c c a a ∴>，故④不符合题意，③符合题意. 故选:C ．【点评】 解决本题的关键一是PF 1122a c a c =-=-；二是对1122a c a c -=-的变形.2．C【分析】分类讨论去绝对值可得函数()f x 的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.【解析】当0,0x y ≥≥时，方程142x x y y +=化为221(0,0)42x y x y +=≥≥表示椭圆的一部分；当0,0x y ><时，方程142x x y y +=化为22142x y -=(0,0)x y ><表示双曲线的一部分；当0,0x y <>时，方程142x x y y +=化为22124y x-=(0,0)x y <>表示双曲线的一部分；所以函数()y f x =的图象如图所示：1P ：12,x x R ∀∈，12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-成立，等价于函数()f x 在R 上为单调递减函数，由图可知，命题1P 正确；2P ：()y f x =的图象上存在一点P ，使得P根据椭圆性质可知，椭圆22142x y +=短轴端点到原点的距离最小(2,0)到原点的距离的最小为2，故函数()y f x =的图象上不存在一点P ，使得P 到原点的距2P 不正确；3P ：对于x R ∀∈，()20f x x +>恒成立等价于对于x R ∀∈，1()2f x x >-. 从图象可知，直线12y x =-的斜率大于双曲线22142x y -=的渐近线2y x =-的斜率，所以直线12y x =-与曲线22142x y -=(0,0)x y ><有交点，故命题3P 不正确.所以12P P ∧、13P P ∧、13P P ⌝∨不正确，23P P ⌝∨正确.【点评】 分类讨论去绝对值，作出方程142x x y y+=所确定的图象，利用图象求解是解题关键. 3．A【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比.【解析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =.因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===.【点评】 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 4．C【分析】由题意可知2001740,86001740a c a c -=++=+，求出,a c 的值，从而可求出椭圆的离心率【解析】 由题意得200174086001740a c a c -=+⎧⎨+=+⎩，解得61404200a c =⎧⎨=⎩，所以离心率42000.686140c e a ==≈， 故选：C 5．A【分析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离. 【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴）地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e+=-，1r Rc e e +=-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ，所以远地点离地面的距离为11r R r Rn a c R e R e e ++=+-=+-=--11e e+-r +21e e - 故选：A ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B【分析】先根据椭圆的标准方程求出2a =,1c =,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.【解析】解: 由题意可得24a =,23b =, 2221c a b =-=, 所以2a =,1c =.①若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射, 则所经过的路程为()22a c -=,②若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射, 则所经过的路程为()26a c +=.③若光线从椭圆一个焦点沿非x 轴方向出发, 则所经过的路程为48a = 故选:B【点评】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题. 7．B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果．【解析】 在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径， 由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=90AO B '︒∴∠=，由O 是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，22422OH a b ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量． 8．B【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论； ③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．【解析】 如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||A F a c =-，最大值为21||A F a c =+，∴①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111a c c a a c a c c-=-=-+++， a c 越小，21a e+就越大，211a c -+就越小，椭圆轨道越扁，∴②错误；对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，∴③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③，共2个． 故选B ．【点评】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题． 9．C【解析】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF SF M PF F P PM F PM ∠===∠ 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:F M F M = 1:3. 故答案为C. 10．D【分析】画出图形的轴截面图，则CD 为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，利用直角三角形的边角关系计算可得. 【解析】 画出图形的轴截面如图所示:则CD 为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴； 依题意4AB =，2CG =，1AE BF ==， 则122AO AB == 1sin 2AE AOE AO ∴∠== 30AOE ∴∠=︒60GCO ∴∠=︒在Rt CDG ∆中有1cos 2CG GCO CD ∠== 4CD ∴=即椭圆中，24a =，22b =2a ∴=，1b = 222c a b =-c ∴=c e a ∴==故选：D【点评】本题考查了圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 11．ABC【分析】根据已知条件得出122a a =，1122PF a c a c =-=-，结合离心率公式可判断各选项的正误.【解析】由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则122a a =，且1122PF a c a c =-=-.对于A 选项，21222a c a c -=-，122c a c ∴=+，A 选项正确；对于B 选项，122a a =，12222c a c c =+>，()112222222a c a c a c ∴+>+=+，B 选项正确；对于C 选项，122c a c =+，122221211211222c c a c a e e a a a ++∴====+，即1221e e =+，所以，2121e e =-，C 选项正确；对于D 选项，()21111211e e e e e =-=-+<，所以，椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D 选项错误. 故选：ABC.【点评】 解决本题的关键在于以下两点：（1）推导出122a a =，1122a c a c -=-，并结合椭圆离心率的取值范围为()0,1求解；（2）对于椭圆，离心率越大，椭圆越扁. 12．BC【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断. 【解析】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vt πkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确； 设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点评】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义. 13．ACD【分析】先由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，分三种情况讨论：（1）球从1F 沿x 轴向左直线运动；（2）球从1F 沿x 轴向右直线运动；（3）球从1F 不沿x 轴，斜向上（或向下）运动；根据椭圆的性质，以及椭圆的定义，即可分别得出结果.【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在x 轴上，以下分为三种情况： （1）球从1F 沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到1F 路程是()2a c -；（2）球从1F 沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到1F 路程是()2a c +；（3）球从1F 不沿x 轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C ，反弹后经过椭圆的另一个焦点2F ，再弹到椭圆上一点D ，经D 反弹后经过点1F ．此时小球经过的路程是12214CF CF DF DF a +++=．综上所述，从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程是4a 或()2a c +或()2a c -． 故选：ACD. 【点评】求解本题的关键在于对椭圆定义和性质的理解，根据椭圆的光学性质，当光线不沿焦点所在直线出发时，从一个焦点出发，经过反射后必过另一焦点；由此即可求解. 14．ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c R n a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*） a c m R ∴-=+ ，故A 正确；a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒= ，故D 正确.故选ABD【点评】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.15．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为1-，即可求解.【解析】由题意，椭圆C 在点()00,P x y 处的切线00221xx yy a b +=，且0(2,2)x ∈-， 所以切线的斜率为0034x y -，而角12F PF ∠的角平分线的斜率为00y x t -， 又由切线垂直角12F PF ∠的角平分线，所以0000314x y y x t -⋅=--， 即0111(,)422t x =∈-. 故答案为：11(,)22-.16．13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【解析】 取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径， 所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点评】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ； （2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．17【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β 的余弦值，即可得出椭圆离心率．【解析】如图，圆锥面与其内切球1O ，2O 分别相切与,A B ，连接12,O A O B ,则1O A AB ⊥，2O B AB ⊥，过2O 作21O D O A 垂直于D ，连接12,O E O F ，EF 交12O O 于点C设圆锥母线与轴的夹角为α ，截面与轴的夹角为β.在21Rt O DO 中，1312DO ，22282215O D 11221515cos 84O O O D128O O 128CO O C12EOC FO C 22128O CO C O E O F解得2=2O C 222222213CF O FO C即23cos 2CFO C则椭圆的离心率cos 252cos 515e 【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cos β与圆锥母线与轴的夹角的余弦 cos α之比，即coscos e ．。

椭 圆1 椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3．参数方程 ：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的参数方程⎩⎨⎧==θθs i nc o s b y a x )(为参数θ4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ c a PF c a PF -=+=min max , ⑤ 离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越______，0=e 是__5.焦点三角形结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，当点P 位于___________时θ最大，cos θ=______________.|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2tan221θb S PF F =∆结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

朗培教育椭圆专题解析1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 性 质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ace 准线ca x 2±=ca y 2±=考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c);Ox yDPAB C(3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24[解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=122.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15[解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +ky 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4,0(πθ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，当4πθ=时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(ππθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析] ⇒⎩⎨⎧==-c a c a 23⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BC 2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22D .21[解析]选B7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222m n n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=,2202122≤≤-∴≥-∴x x ]2,2[,23)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6【新题导练】9.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=[解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ10.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ．考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin 3cos 4|22-+=+-+ϕθθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】11.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS12. P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值[解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=⋅当a PF =||1时，||||21PF PF ⋅取得最大值2a ， 当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ⋅取得最小值2b13.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．[解析] 设)2,0(),sin ,cos 2(πθθθ∈P ，则θθcos 221sin 21⋅+⋅=+=∆∆OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过PB AP 3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==，其标准方程为：12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是 （ ）A. ()0,0132322>>=+y x y xB. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析] ),(),3,23(y x OQ y x AB-=-=132322=+∴y x ，选A.15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。