【名师伴你行系列】2014高考数学一轮复习 常用逻辑用语(理)学案课件

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考点 三

§1.1 集合及其运算
1．集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做 ________． (2)集合中元素的三个特性：________，________， ________. (3)集合常用的表示方法：________和________．
2．常用数集的符号
(2)集合与集合之间的关系：
表示 关系
文字语言
相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同
符号语言 __________⇔A＝B
子集 A 中任意一个元素均为 B 中的元素
________或 ________
真子集
A 中任意一个元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素不是 A 中的元素
________或 ________
(2015·安徽)设全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则 A∩(∁UB)＝( )
A．{1，2，5，6}
B．{1}
C．{2}
D．{1，2，3，4}
解：∵∁UB＝{1，5，6}，∴A∩(∁UB)＝{1}．故选 B.
(2015·陕西)设集合 M＝{x|x2＝x}，N
数集
自然 数集
正整 数集
符号
整数集
有理 数集
实数集 复数集
3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素， 就说 a ________集合 A，记作________；如果 a 不是集合 A 中的 元素，就说 a________集合 A，记作________．
④A∪∅＝________；
⑤A∪B________B∪A.
(3)①∁U(∁UA)＝________；

②“若 p 则 q”的逆否命题为“若綈 q 则綈 p”，根据逆否命题
与原命题等价的性质．可知，如果 p 是 q 成立的充分条件，那么 q 就是 p 成立的必要条件．
如 α＝45°是 tanα＝1 的充分条件，反过来 tanα＝1 就是 α＝45° 的必要条件．
(2)必要条件 ①在命题“若 p 则 q”中，如果由 q 能推出 p，即 q⇒p 则称 p
件和结论同时否定，所以原命题与否命题是互否关系．
交换原命题的条件和结论，并且同时否定所得命题就是逆否命 题．如果原命题为“若 p 则 q”，则逆否命题就是“若綈 q 则綈 p”，
反过来把逆否命题“若綈 q 则綈 p”的条件綈 q 与结论綈 p 交换后
再否定就是“若 p 则 q”，这就是原命题，所以原命题与逆否命题 是互为逆否的关系．
考点串串讲
1．命题与逻辑联结词 (1)命题 初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫作命 题．而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫作命题．说法 不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不 能判断真假的语句就不是命题．如： ①3 是 12 的约数吗？ ②他是一个大胖子． ③x＞5. 它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没 有界定，所以不能判断，语句③，由于 x 是未知数也不能判断“x ＞5”是否成立．
(5)用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件 设集合 A＝{x|x 满足 p}，B＝{x|x 满足 q}． ①若 A⊆B，即 A 中的任何一个元素都是 B 中的元素，所以由 p 可推出 q，即 p⇒q. ∴当 A⊆B 时，p 是 q 的充分条件． 如：“张三是湖北人”是“张三是中国人”的充分条件．
cosα＝12的充分条件(但不是必要条件)．

答案：A
考点一
四种命题及真假判断
[例1]
(2013· 广州调研)以下关于命题的说法正确的有
__________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义 域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则 ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题 为真命题； ④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉ M”等价．
答案：A
4．(2012· 北京)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是 纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝0，且b＝0时，复数a＋bi＝0，不是纯虚 数，反之，如果复数a＋bi是纯虚数，则一定有a＝0，故选B.
答案：B
N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时 可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
答案：3或4
方法点睛
解答此类题目，可先从结论出发，求出使结
论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充 分性．
变式训练4
(2013· 武汉期中)关于x的方程ax2＋2x＋1＝0
答案：D
方法点睛
解决此类问题一般是先把充分条件、必要条
件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式求解．
变式训练3 (1)(2013· 陕西五校联考)已知p： 2x－1≤ 1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实 数a的取值范围是(
1 A.0，2 1 C．(－∞，0)∪2，＋∞

C.{0}
D.{－2，－1,0,1,2}
2.(2017 年新课标Ⅰ)已知集合 A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，
则( A )
A.A∩B＝xx<32

B.A∪B＝∅
C.A∪B＝xx>32

D.A∩B＝R
3.(2016 年新课标Ⅱ)已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·
集合 A＝{0,1,2,3}.∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B
中的元素有 0＋1＝1，0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，
2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}.∴A*B
中的所有元素之和为 21.
答案：D
(3)若集合 M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|x2＋y2＝0，
＋2＝14.故 A∩B＝{8,14}.故选 D.
答案：D
(2)已知集合 A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集 合 A，B 之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}， 则 A*B 中的所有元素之和为( )
A.15 B.16
C.20
D.21
解析：由 x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又 x∈N，故
B.{1,0}
C.{1,3}
D.{1,5}
解析：由 A∩B＝{1}，得 1∈B，即 x＝1 是方程 x2－4x＋m
＝0 的根.所以 1－4＋m＝0.解得 m＝3.则 B＝{1,3}.故选 C.
答案：C
(3)(2018 年新课标Ⅱ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z， y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )

一、三法定乾坤——谈集合运算问题的三种方法 集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是 历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要 明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然 后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴 或Venn图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算， 从而得出结果．
命题A 真 真
假 假
命题B 真 假 真 假
p、q之间的关系 p为q的充分必要条件 p为q的充分不必要条件 p为q的必要不充分条件 p为q的既不充分又不必要条件
Five weeks of practice ended in this way, and my feelings can only be summed up in eight words, "although hard, but very substantial."
2
－1)>0}，B＝x2x－x 3<0
，则
B∩(∁UA)＝
()
A．[0,1)
D．(0,1]
[思维流程]
分别求集 合A，B
―→
用数轴表 示集合
―→
求集合A的补集
―→
求B∩∁UA
Five weeks of practice ended in this way, and my feelings can only be summed up in eight words, "although hard, but very substantial."
[解析] 由log 1 (x－1)>0，得0<x－1<1，即1<x<2，
2
∴A＝(1,2)． 由2x－ x 3<0，得x(2x－3)<0，即0<x<32， ∴B＝0，32. 如图所示，在数轴上表示出集合A，B. 则∁UA＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， ∴B∩(∁UA)＝(0,1]． [答案] D

学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类 问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简， 并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同 时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.
举一反三
3. 设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则
5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中 的应用.
题型一 集合的基本概念
【例1】已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中
m≠0,且A=B,求q的值. 分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中
有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要
CR(A∩B)等于( )
A. R B. {x|x∈R,x≠0}
C. {0} D.
解析： 由已知，A=［0,4］,B=［-4,0］,∴A∩B={0},
∴CR(A∩B)={x|x∈R,x≠0}. 答案： B
题型四 利用Venn图解决集合问题
【例4】设全集U是实数集R,M={xx| 2 ＞4},N={x|1＜x＜3},则图 中阴影部分所表示的集合是( ) A. {x|-2≤x＜1} B. {x|-2≤x≤2} C. {x|1＜x≤2} D. {x|x＜2}
集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
意义
{x|x∈A, 或x∈B}
{x|x∈A, 且x∈B}
CUA {x | x U, 且x A}
4. 集合的运算性质
(1)交集：
①A∩B=B ∩ A;②A∩A= A ;③A∩ =
④ A B A , A B B ; ⑤ A B A A B.