必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积2

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高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积

多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要典题例解迁移应用
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要思考探究典题例解迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要典题例解迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=��2��,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
��球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2

1.3.2 球的表面积和体积

(2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； 500 (3)已知球的体积为 3 π，求它的表面积． [思路点拨] 利用条件确定半径 R 代入相关公式可求．
[精解详析]
(1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm.
∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 4 3 体积 V 球＝3πR ＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， 4 3 4 256 3 ∴V 球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π.
解析：设火星半径为 r，地球半径则为 2r， 4 π2r3 V地 3 ＝ 4 ＝8. V火 πr3 3
答案：8
3.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，
则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r.则有 4 3 πr · 6r＝8πr ＋3·πr ，即 2r＝8， 3
4 3 500 (3)∵V 球＝3πR ＝ 3 π， ∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积
之比为 A．1∶9 C．1∶3 答案：A B．1∶27 D．1∶1 ( )
2．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
解：如图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1 垂直平面 ABC 于 O1，由于 OA＝OB＝OC＝R，则 O1 是△ABC 的外心．设 M 是 AB 的中点，由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上．设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，设 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x.

学高一数学1.3.2球的体积和表面积2必修2

【规律方法】球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
变式 1 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的
截面面积为 π，则球的体积为( )
A.332π
B.83π
长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
在 Rt△BOC 中，
r1r2＝R2，r1＋r2＝l
①
依题意，有πl4rπ1＋R2r2＝34
②
将①代入②，得r14＋Rr222＝34⇔
(r1＋r2)2＝136R2
③
这时球体积与圆台体积分别为
V 球＝43πR3，V 台＝13πh(r21＋r1r2＋r22)
变式 3 (2010 年高考课标全国卷)设长方体的长、
宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6 a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2 ＋a2＋(2a)2，
即 4R2＝6a2，所以 R＝ 26a. 从而 V 半球＝23πR3＝23π( 26a)3＝ 26πa3，V 正方体＝a3. 因此 V ∶ 半球 V ＝正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
【规律方法】解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．

《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)

(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )

人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)

球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做球面。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4

2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积

解析:(1)根据几何体的三视图,得该几何体是后部为半径等于2的半球体,前部为正方体,棱长为2;所以该几何体的表面积是S=4×22+2π·22+ 22π=16+12π.故选C. 答案:(1)C
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:

人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)

3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.

必修2课件：1-3-2 球的体积和表面积

15 3π
15 B. 3 π
D.43π＋
15 3π
[答案] D
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥，V＝V 球＋V圆锥＝43×π×13＋13π×12× 15＝43π＋ 315π，故选D.
第一章 1.3 1.3.2
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成，
(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆＝12×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2)
(2)V＝V半球＋V正方体＝12×43π×13＋23 ＝8＋23π(m3)
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(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． [分析] 借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体积公式求解．
第一章 1.3 1.3.2
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第一章 1.3 1.3.2
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[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2 ＝ 6 a，又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝ 6a，则S球＝4πR2 ＝4π 26a2＝6πa2.
学法指导求球的表面积与体积的方法：
(1)把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝

高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件

函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202，在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知，球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛，特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可先设出圆锥的高，再求其侧面积．

1.3.2 球的体积和表面积

[跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48π cm2，则球的表面积为________cm2.
256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆， AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48π cm2，可得 AC＝4 3 cm.设 OA＝R，则 OC＝12R，所以 R2－12R2＝(4 3)2，解得 R ＝8 cm.故球的表面积 S＝4πR2＝256π(cm2)．
由三视图求球的表面积与体积例 2、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决．
2．若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
3．若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2 倍
B．4 倍
C．8 倍
D．16 倍
C [设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V＝43πr3.当气球的半径扩大到原来的 2 倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.]
]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4
cm，则该球的体积是 ( )
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3

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O.
r1
R
2
R , r2
R (
2
R n
) ,
2
r3
R (
2
2R n
) ,
2
ri
R [
2
R n
( i 1 )] , i 1, 2 , n
2
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
ri R [
2
R n
( i 1 )] , i 1, 2 , , n
王新敞
奎屯新疆
3. 6
4. 4 3 ,
4 3

5 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次
a
2 2
为 2 ,
a
,
3 2
a
.
∴ 三个球的表面积之比是
S1 : S 2 : S 3 1 : 2 : 3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
小结归纳：
1、球的表面积公式的推导及应用； 2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算 “分割求近似和化为准确和” 的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分” 内容的一个应用； 3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握.
3
2. 半径是R的球的表面积:
S 4 R
2
必修2-第一章空间几何体-1.3பைடு நூலகம்2球的体积和表面积
例1.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2,求球的表面积. 解:设截面圆心为O',连结OA, 设球半径为R .则: O C 2 3 2 3 B O A 2
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
设球的体积为V,则有:
1 2 V R R
2
1 3
R R V
2
4 3
R .
3
∴ 球的体积
V球
4 3
R
3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
A
已知球的半径为R
ri
A Ci C2 O Bi B2
O
2
V i ri
2
R n

R n
3
[1 (
i 1 n
) ], i 1, 2 , n
2
V 半球 V 1 V 2 V n
R n
3
[n
1 2 ( n 1)
2 2
2
n
2
]
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积

R n
3
[n
3
1 n
2

( n 1) n ( 2 n 1) 6
]
R [1
1 n
2

( n 1)( 2 n 1) 6
]
定理:半径是R的球的体积 V
4 3
R
3
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
2. 探究球的表面积公式
设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用 S 2 , , S i , 表示 S1 ,
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积 2010～2011学年度高一数学·必修1（人教A版）
济宁育才中学高一数学组朱继哲
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
教学目标：
1.熟记球的体积公式和表面积公式； 4 2.会用球的体积公式 V R 和表面积公式 3 2 S 4 R 解决有关问题。
王新敞
奎屯新疆
3
2
2
王新敞
奎屯新疆
3
O'
在
R t O O A
2
A 2 O O 2 中，O A O
2
A
R
(
2 3 3
)
2
1 4
R
2
R
4 3
S 4 R

64 9

必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
例2.(P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 2 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 3 ， (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 4 高为2R。因为 V R , 3
3
.
球
V圆柱 R 2 R 2 R .
2 3
所以, (2) 因为
V球
2 3
V圆柱 .
2
S 球 4 R
S 圆柱侧 2 R 2 R 4 R
2
，所以, S 球 S 圆柱侧
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
例3．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 6 ,求球的表面积和体积。解：作轴截面如图所示，
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些 “小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积.
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S i 可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半
径R近似地等于小棱锥的高 hi 因此，第i 个小棱锥的体积
Vi 1 3 hi S i
D' O' C' A' B'
CC
6 , AC
2
6 2 3
A'
D A O B
C
设球半径为R ,则:
O' C'
R
2
2 OC CC
2
( 6) ( 3) 9 R 3
2 2
A
O
C
∴ S 球 4 R
2
3 6 ，V 球
4 3
R 3 6
3
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3
提出问题： 1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？ 2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？
王新敞
奎屯新疆
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定理:
1. 半径是R的球的体积:
V 4 3 R
可得: V 所以:
1 3
1 3
R S
又因为 V
4 3
4 3
R
3
O
RS
R
3
所以球的表面积:
Si
S 4 R
2
O
Vi
当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:
V 1 3 ( h1 S 1 h 2 S 2 h i S i )
又因为 h i R ，且
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S S1 S 2 S i
例4．表面积为324π 的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。
D'
解：设球半径为R ,正四棱柱底面边长为a,则作轴截面如图，
A A 1 4, A C
王新敞
奎屯新疆
A' B' D A B O
C'
2a,
C
又 4 R 2 3 2 4 , R 9 .
A'
C' O
AC
2 C C 2 8 2 a 8 AC
A
∴ S表 64 2 32 14 576
C
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完成P28练习1,2,3题补充练习： 1．三个球的半径之比为 1 : 2 : 3 那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是； 4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是内切球的体积是．，
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5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．答案：1. 3 2. 7
王新敞
奎屯新疆
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作业布置：
P28 习题1.3 A组第5题；课外 P29 B组第 1题.
必修2-第一章空间几何体-1.3.2球的体积和表面积
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)