黄冈中学高考数学典型例题7：奇偶性与单调性-1

函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得 f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F （x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝- ＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得 f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

2024年湖北省黄冈中学高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为()A. B. C. D.2.已知复数z满足，则()A. B. C. D.3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A.42B.96C.48D.1244.已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别过，，则()A.或B.2或C.D.5.已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为()A.9B.C.D.86.已知函数的定义域为R，，若函数为奇函数，为偶函数，且，则()A. B.0 C.1 D.27.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为A，l交另一条渐近线于点B，且点F在点A、B之间，若，则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.8.已知a，b，c，d分别满足下列关系：，则a，b，c，d的大小关系为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为7C.若样本数据，，⋯，的平均数为3，则，，⋯，的平均数为10D.用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是10.如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，点Q满足，则下列说法中正确的是()A.平面B.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段C.若，则四面体的体积为定值D.若M为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为11.已知圆：，圆：，动圆P与圆外切于点M，与圆内切于点N圆心P的轨迹记为曲线C，则()A.C的方程为B.的最小值为C. D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点分析4：函数四性的综合考察一.函数四性 (对称性 ,周期性 ,奇偶性 ,单一性 ) 定义及特色 : （学生做题概括）二 .高考题热身1.（北京卷）已知f ( x)(3a1)x4a, x1log a x, x 1是 (,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是1111（A）(0,1)（ B）(0,3)（C）[7,3)（D）[7,1)2.（福建卷）已知 f(x)是周期为 2的奇函数，当 0<x<1 时，f ( x)lg x. 设a f ( 6), b f (3), c5f ( ),则522（A ）a b c（ B）b a c（ C）c b a（D ）c a b 3．（广东卷）以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A . y x3 , x R B.y sin x , x RC. y x , x RD.y ( 1) x , x R 24．（辽宁卷）设 f(x) 是 R 上的随意函数 ,则以下表达正确的选项是(A) f(x) f(-x) 是奇函数(B) f(x) |f(-x)|是奇函数(C) f(x)- f(-x)是偶函数(D ) f(x)+ f(-x)是偶函数5．（全国 II ）函数 y＝ f(x)的图像与函数 g(x)＝ log x(x＞ 0)的图像对于原点对称，则f(x)的表2达式为1(A)f(x)＝log 2x(x＞ 0)(B)f(x)＝ log2(－ x)( x＜ 0)(C)f(x)＝－ log 2x(x＞ 0)(D )f( x)＝－ log 2(－ x)(x＜ 0)6．（全国 II ）假如函数 y=f(x) 的图像与函数y3 2 x 的图像对于坐标原点对称，则y=f(x) 的表达式为（A ） y=2x-3（ B） y=2x+3（C） y=-2x+3（D ）y=-2x-37.（山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)知足 f(x+2 )= －f(x),则 ,f(6)的值为(A) －1(B) 0(C)1(D)28． ( 天津文 10)设 f（ x）是定义在R上以 6 为周期的函数，f（ x）在 (0,3)内单一递减，且y=f （ x）的图象对于直线x=3 对称，则下边正确的结论是（）(A) f 1.5f 3.5f 6.5 ；(B)f 3.5 f 1.5 f 6.5 ；(C) f 6.5f 3.5f 1.5 ；(D)f 3.5 f 6.5 f 1.59.设 f(x),g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x0 时，f( x) g( x) f ( x) g ( x) 0,且 g(-3)=0 则不等式f(x)g(x)<0 的解集是（）A ．(3,0)(3,) B．(3,0)(0,3)． (,3)(3,)D．(, 3)(0,3) C10. 直线沿y轴正方向平移m m0, m 1 个单位，再沿x轴负方向平移m－1个单位得直线 l ，若直线 l 与 l 重合，则直线l 的斜率为（）1 m 1 m m m(A)m(B)m(C) 1 m(D)1mx 111．设 f(x)是定义在 R上的奇函数 , 且 y=f(x)的图象对于直线2对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0 。

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析6：导数与单调性的综合考查一、小题（共10题）1、函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )（Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 2. 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03． 对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A.f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）4.设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处切处的倾斜角的取值范围为[0,]4π，则P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围（ ）A ．1[0,]a B ．1[0,]2a C ． [0,||]2b aD ． 1[0,||]2b a - 5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x6．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时，()()()()0,f x g x f x g x ''->且(3)0,f -=则不等式()/()0f x g x <的解集是 （ ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞7．函数f(x)=x(x －1)(x －2)·…·(x －100)在0x =处的导数值为 （ ） A.0 B.2100 C.200 .100！8．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 （ ）（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 小题答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDBBDDDD9．设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ．0 10.解析：曲线xy 1=和2x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43. 二．解答题1.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分（Ⅰ）解：函数y=x 2+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 21+2x 1）的切线方程是：y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 21 ①函数y=－x 2+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是 即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 22+a . ②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，{1222121x x x x a +=--=+∴消去x 2得方程 2x 21+2x 2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－21时解得x 1=－21，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －41. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－21时C 1和C 2有两条公切线 设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）. 其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1, y 1+y 2=x 21+2x 1+(－x 22+a)= x 21+2x 1－(x 1+1)2+a=－1+a . 线段PQ 的中点为).21,21(a +--同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).21,21(a+-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.2．已知f(x)=x 2+ax+b, g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且()()f x g x ''=，f(5)=30,则求g(4)。

高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。

$y=x^3$B。

$y=|x|+1$C。

$y=-x^2+1$D。

$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。

不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。

在$[-1,0]$上是增函数B。

在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。

在$[1,0]$上是减函数D。

在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。

$f(1)>f(2)$B。

$f(1)>f(-2)$C。

$f(-1)>f(-2)$D。

$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

高考数学必考题型：函数的奇偶与单调性_随着高考的不断临近，高三年级学习的气氛也不断地变得紧张起来，大部分同学仍旧埋头于题海之中，很少有时间抬头往前看看，由于数学成绩没有明显的提高或者仍旧徘徊在原地而变得迷茫起来，其实没有必要！没有必要迷茫，没有必要埋于题海，更没有必要灰心丧气，题目有千千万，但是只要你把基础知识打扎实，高考120分不成问题，如果你从题目中学会了思考，做题后有一定的反思，最后做到融会贯通，那恭喜你，你可以迈进135分以上的高手阶段了，我会陆续地把整理好的文档发布出来，这些题目涵盖了高考所有的考点，更为重要的是：这些题目都是数学成绩在135分以上的同学笔记中记录下来的题目，可谓精题，所以我们要好好练习，无需多少时间，你会有不一样的收获，在高考渐渐向我们走来的日子里，我们心平气和，学会总结、思考问题，同学们，加油！题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( )A.－1B.1C.－2D.2解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.∵f(x＋1)是偶函数，f(x＋1)＝f(－x＋1)，a－2＝2－a，即a＝2.答案：D3.若函数f(x)＝x2＋a/x(a R)，则下列结论正确的是 ( )A.a R，f(x) 在(0，＋ )上是增函数B.a R，f(x)在(0，＋ )上是减函数C.a R，f(x)是偶函数D.a R，f(x)是奇函数解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋16/x，f (x)＝2x－16/x^2，令f (x)＞0得x＞2.f(x)在(2，＋ )上是增函数，故A、B错.当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.D显然错误，故选C.答案：C题组二函数奇偶与单调性的应用4.已知函数f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 ( )A.1B.－7C.4D.－10解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x (0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )A.－2B.2C.－98D.98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数， f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2 12＝2， f(7)＝－2.故选A.答案：A6.设函数f(x)(x R)为奇函数，f(1)＝1/2，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝ ( )A.0B.1C.D.5解析：由f(1)＝1/2，对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2).又∵f(x) 为奇函数， f(－1)＝－f(1).于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝3/2，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝5/2.。

高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)必修一：函数的单调性与奇偶性总结一、单调性1、定义：对于函数y=f(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当x1f(x2))，那么就说函数y=f(x)在这个区间上是增（或减）函数。

例1、讨论函数f(x)=x+a，a>0的单调性。

解：由f(x)为奇函数，令x>0.任取x1>x2，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-a)。

令x2>a，得x1>x2>a。

单调递增区间为：(a。

+∞)，单调递减区间为：(-∞。

-a)∪ (-a。

a)。

小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断x1x2-a的符号时，可令x1=x2=x，即x-a；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。

当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。

但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）记住两个特殊函数的图像。

其中g(x)=ax+2、h(x)=ax2.2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

）例2、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是(B)A.y=-3x+1B.y=x+2C.y=2/(x+2)D.y=x2-4x+3小结：熟练掌握常见函数的图像，是研究函数性质的关键。

例1．已知函数f (x)=的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。

(1) 求m , n 的值；(2)（2）试用单调性的定义证明：()f x 在区间[2,2]-上是单调函数.例2．设 f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,22(25)(21)f a a f a a -+-<++求实数a 的取值范围。

例3．判断下列函数的奇偶性：例4．（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为T, 则)2(Tf -的值为（2）定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(0)0f ≠，且(1)0f =，则()f x 是以 为一个周期的周期函数.（3）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，当x ∈[－4，0]时，f (x )的表达式为.___________练习题一、选择题1．若函数1()21xf x =+, 则该函数在(,)-∞+∞上是 A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(¥,2)B．(2,¥)C ．(¥,2)U (2,¥) D ． (2,2)3．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2 ]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b=f (7.5)，c= f (-5),则a 、b 、c 的大小是A ．a > c > bB ．a >b>cC ．b>a > cD ．c> a >b5．若f (x )是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数, 又(3)0f -=，则x ·f (x )＜0的解集是 A ．{x |-3＜x ＜0或x ＞3} B ．{x |x ＜-3或0＜x ＜3} C. {|33}x x x -<>或 D.{|303}x x x -<<<<或06．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是 A ．)1()43(2+-≥-a a f f B ．)1()43(2+-≤-a a f f C ．)1()43(2+-=-a a f f D ．以上关系均不确定7．)(x f 是定义在R 上，以2为周期的偶函数，]0,1[,)(,]3,2[-∈=∈x x x f x 则当时 时,)(x f 的表达式为A ．4+xB ．x +-2C ．2|1|++xD ．3|1|++-x8．对于函数f x ()=1gxx-+11的奇偶数性，下列判断中正确的是 A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 9．奇函数y = f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）= x -1，则函数f （x -1）的图象为10．设f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，均有f (x +4)=f (x )，已知f (-1)=3，则f (-3)等于A ．3B ．-3C ．4D ．-4 11．设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1，则 A ．a ＜23 B ．a ＜23且a ≠-1 C ．a ＞23或a ＜-1 D.-1＜a ＜2312．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ．()sin f x x = B ．()1f x x =-+ C ．()1()2x x f x a a -=+ D ．2()ln 2xf x x-=+ 二、填空题13．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 14．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 . 15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a =16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4)+ f (5)=_________.三、解答题17．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)(1x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。