-2005年全国初中数学竞赛试题及答案

2005年全国初中数学联赛山东赛区预赛暨2004年山东省初中数学竞赛试题2004年11月26日一、选择题（本题共8分，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，清江正确选项的代号填在题后的括号内.1. 已知n 是奇数，m 是偶数，方程组{20041128y nx y m+=+=有整数解x 0，y 0，则（ ）A.x 0,y 0均为偶数B. x 0,y 0均为奇数C. x 0是偶数,y 0是奇数D. x 0是奇数,y 0是偶数2. 若ab ≠0,则等式a = ） A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a<0,b<03. 设a, b, c, d 都是非零实数，则四个数：-ab, ac, bd, cd ( )A.都是正数B.都是负数C.是两正两负D.是一正三负或一负三正4. 如图，矩形ABCD 中，AB=a, BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM, E 为垂足，则DE= ( )A.B.C.D.5. 某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%（利润率=-售价进价进价），若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ ）A.25%B.20%C.16%D.12.5%6. 在△ABC 中，如图∠ABC =900，∠A=200,将△A BC 绕点A 按逆时针方向旋转角α到△A ′B ′C其中A ′，B ′分别是A, B 的对应点，B 在A ′B 交AB 于D ，则∠BDC 的度数为（ ）A.400B.450C.450D.6007. 若x 0是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根， 则判别式△=b 2-4ac 与平方式M=(2ax 0+b)2的大小关系是（ ）A.△>MB. △=MC. △<MD.不能确定8. 在△ABC 中，a, b, c 分别是∠A, ∠B, ∠C 的对边，若∠B=600，则c a a b c b+++的值为( )A.12C.1BCMD第4题图AB C 第6题图二、填空题（本题共4小题，每小题8分，满分32分），将答案直接填写在对应题目中的横线上9. 若x 1，x 2都满足条件|2x-1|+|2x+3|=4，且x 1<x 2，则x 1-x 2的取值范围为 . 10. 已知a, b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b ，c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根， 则m= .11. 在△ABC 中，D, E 分别在边AB, AC 上，且DE//BC, 过点A 作平行于BC 的直线分别交CD 和BE 的延长线于点M, N, 若DE=2, BC=6, 则MN= .12. 如图，在矩形ABCD 中，AB=5, BC=12, 将矩形ABCD 沿对角线AC 对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 .三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）13. 甲、一辆汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开始订购的汽车数量是乙订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所定的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍. 试问：甲、乙最后所购的汽车总数至多是多少辆？又至少是多少辆？14. 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求∠EBF+∠EBG15. 从1，2，3，……，2004中任选K-1个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的K 的最小值是多少？A M N C E DB 第11题图D 1D 第12题图C E F参考答案 一、选择题1. C2. B3. D4. A5. C6. D7. B8. C 二、填空题9. -2≤x 1-x 2<0 10. 0或3 11. 6 12.203548三、解答题13. 解：设甲、乙最后所购的汽车总数为x 辆在生产厂最后少提供的6辆车中，甲少要了y 辆（0≤y ≤6），乙少要了（6-y ）辆，则有34(x+6)-6-y=2[14(x+6)+6-(6-y)] 整理后得x=18+12y当y=6时，x 最大，为90；当y=0时，x 最小，为18. 所以甲、乙购的汽车总数至多微量，至少为8辆.14. 解：连结BH, 过H 作HL ⊥BG 于L. S △HBG =12H L ·BG =12AB·HG .设AB=HG=a, 则从而知HL=AB HG BG =g 又==. 所以13HL BL = 在△BEF 中，13EF BE =，从而有△BLH ∽△BEF, 得 ∠HBL=∠EBF, 所以∠EBF+∠EBG=∠HBG+∠EBG=∠HBC=45°15. 解：这个问题等价于在1，2，3，……，2004中选K-1个数，使其中任何三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的K 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当K=4时，最小的三个数是1，2，3. 由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数值和，所以，为使K 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597. ①共16个数，对符合上述条件的任一组数组，a 1, a 2, ……,a n , 显然总有a i 大于等于①中的第i 个数，所以n ≤16≤K-1,从而知K 的最小值为17.C DEF。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

江苏省第二十届初中数学竞赛试卷(第2试)(2005年12月18日上午8：30-11：00)一、选择题(共8题，每题8分，共64分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的括号内．1．定义运算符号“﹡”的意义为：a﹡b = (其中a、b均不为0 )．下面有两个结论：(1)运算“﹡”满足交换律； (2)运算“﹡”满足结合律．其中 ( )(A)只有(1)正确 (B)只有(2)正确 (C)(1)和(2)都正确 (D)(1)和(2)都不正确2．下面有4个正整数的集合： (1)1～10l中3的倍数； (2)1～101中4的倍数； (3)1～101中5的倍数； (4)l～10l中6的倍数．其中平均数最大的集合是 ( )(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D ) (4)3．下面有3个结论：(1)存在两个不同的无理数，它们的差是整数；(2)存在两个不同的无理数，它们的积是整数；(3)存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中正确的结论有 ( )(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个4．如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于 ( )(A) (a2 + b2) (B) (a2 + b2 ) (C) (a + b )2 (D) ab5．如果m、n是奇数，关于x的方程x2 + mx + n = 0有两个实数根，则其实根的情况是( ) (A)有奇数根，也有偶数根 (B)既没有奇数根也没有偶数根(C)有偶数根，没有奇数根 (D)有奇数根，没有偶数根6．如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系 (1) p = 2q；(2) q = r；(3) p + s= 180° 中，正确的是 ( )(A) 只有(1)和(2) (B) 只有(1)和(3) (C) 只有(2)和(3) (D) (1)、(2)和(3)第6题第8题7．有6个量杯A、B、C、D、E、F，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是 ( )(A) B、D (B) D、E (C) A、E (D) A、C8．如图，表示阴影区域的不等式组为 ( )2x +.y≥5， 2x + y≤5， 2x +.y≥5， 2x + y≤5，(A) 3x + 4y≥9， (B) 3x + 4y≤9， (C) 3x + 4y≥9， (D) 3x + 4y≤9，y≥0 y≥0 x≥0 x≥0二、填空题(共8题，每题8分，共64分)：9．设a、b、c是△ABC的三边的长，化简+ + 的结果是 .10．如图，DC∥AB，∠BAF =∠BCD，AE⊥DE，∠D= 130°，则∠B = .第10题第13题11．同时掷出七颗骰子后，向上的七个面上的点数的和是10的概率与向上的七个面的点数的和是a (a≠10)的概率相等，那么a = ．12．方程2x2 - x y - 3x + y + 2006 = 0的正整数解( x，y )共有对．13．如图，已知直角坐标系中四点A(- 2，4)，B(- 2，0)，C(2，-3)，D(2，0)．设P是x轴上的点，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标： .14．已知R、x、y、z是整数，且R> x > y > z，若R、x、y、z满足方程16(2R +2x + 2y +2z) = 330，则R = .15．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD = 14m，塔影长DE = 36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB = m．16．设2005的所有不同正约数的积为a，a的所有不同正约数的积为b，则b = .三、解答题(共4题，每题13分，共52分)17．某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图 (2)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作? 在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?18．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．(1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由． (2)若∠BAC= 30°，∠CAD= 45°，AC =4，求MN的长 .19．已知x、y为正整数，且满足xy - ( x + y ) = 2p + q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )20．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数是l，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k + 1个1之间插入k个2 (k = 1，2，3，．．．)．试问(1) 第2005个数是1还是2 ？(2)前2005个数的和是多少? (3)前2005个数两两乘积的和是多少?。

荆州市2004年初中数学竞赛2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。

初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。

满分均为120分。

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于 （ ）A ．－1B ．0C ．21 D ．12．如图1，已知∠CGE=120°，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点图3A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<16．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ ）A ．680B ．720C ．745D ．7609．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付 钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= . 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为 .12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE= . 14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则 .15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 元.17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 .18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 个. 三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD；连结AC，过A点作AE ⊥AC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AH⊥CD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值. 25．（初二），如图9，某古城护城河在CC′处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B 处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米？参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1．若n 满足(n －2004)2+(2005－n)2=1，则(2005－n)(n －2004)等于（B ）A ．－1B ．0C ．21 D ．1解答：设(2005－n)=a , (n －2004)=b a +b=1 a 2+b=1,02)()(222=+-+=∴b a b a ab 故选B. 2．如图1，已知∠CGE=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= （ C ）A ．150°B ．210°C ．240°D ．270°解答：连结AG ，则∠AGC=∠B+∠BAG , ∠AGE=∠F+∠FAG , ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120°即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C 3．设x 、y 、z 均为正实数，且满足 xz yz y x y x z +<+<+，则x 、y 、z 三个数的大小关 系是（ A ）A ．z<x <yB ．y<z<xC ．x <y<zD ．z<y<x解答：∵x 、y 、z 为正实数，则有yxz x z y z y x +>+>+， 从而yzy x x z y x z z y x ++>++>++即得z<x <y.故选A. 4．（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A 点和B 点（如图2）；A 点 和B 点之间的距离是100米，陈洁离开A 以每秒8米的速度沿着与AB 成60°角的直线 上滑行，在陈洁离开A 点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B 点， 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是（ B ） A ．18秒 B ．20秒C ．22秒D ．3100秒 解答：如图：过C 作CD ⊥AB 于点D设满足题设的时间为t 秒，则有AC=8t ，BC=7t ，又∠A=60°.t CD t AD 34,4==∴ 由勾股定理知310020)34()4100()7(222==+-=t t t t t 或解得（舍）故选B. 5．（初三）二次函数y=ax 2+b x +c(a ≠0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点（－1，0）两点，则S=a +b+c 的值的变化范围是（ B ）A ．0<S<1B ．0<S<2C ．1<S<2D ．－1<S<1解答：分别令x =0, y=1和x =－1, y=0. 求得c=l , a =b －1 ∴S=a +b+c=2b.由题设知02>-ab，且a <0，可以推知2b>0又由b=a+1及a <0可以推知2b<2. ∴0<S<2故选B.6．（初三）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0||||50||||522x y y y x x 在实数范围内解的组数为（ A ）A ．多于5组B ．5组C ．3组D ．1组解答：设|x |=a , |y|=b ,，则原方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-050522a b b b a a两式相减并化为(a －b)(a +b －6)=0∴a －b=0或a +b －6=0由此可得⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=-=+-060500522b a b a a b a b a a 或 前者解得（a , b ）=（0，0），（4，4）后者解得，（a ,b ）=（3+3，3－3）或（3－3，3+3）因此（a ,b ）的第一组解推得（x , y ）=（0，0）；其它三组解分别可推得的4组解，所以原方程组有13组不同的实解.故选A.7．（初二）已知a 、b 都是正整数，那么a 、b 和8为边组成的三角形有 （ D ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个解答：对于a =b>4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.8．（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为 （ C ）A ．680B ．720C ．745D ．760解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S 五边形=S 长方形－S 三角形=31×25－21×5×12=745 故选C. 9．（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱 （ A ）A ．8元B ．6元C ．5元D ．4元解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x 、y 、z 元，由题设知⎩⎨⎧=++=++)2(4224)1(642 z y x z y x （1）×2+（2）得8x +4y+10z=16即4x +2y+5z=8，故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10．已知p, q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则p+q= 15 .解答：因为5p 2+3q 为奇数，故p, q 必为一奇一偶，而 p , q 均为质数，故p ，q 中有一个为2.若q 为2，则 5p 2=553，不合题意，舍去；若p 为2，则q=13即p+q=15. 11．如图3，G 是边长为4的正方表ABCD的边BC 上一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=5，则FG 的长为516. 解答：连结AG ∵S △ADG =21S 正方形ABCD =21S 长方形DEFG =16 ∴FG=516，注：利用△AED ∽△GDC 亦可. 12．若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 961 人.解答：设有x 辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y 人，有30x +1=y(x －1) 从而131301130-+=-+=x x x y 所以x =2（不合题意）；x =32. 因此游客数为30×32+1=961人.13．（初三）已知△ABC 是非等腰直角三角形，∠BAC=90°，在BC 所在直线上取两点D 、E 使DB=BC=CE ，连结AD 、AE ；已知∠BAD=45°，那么tan ∠CAE=41. 解答：分别过B 、C 两点作BM//AC ，CN//AB分别交AD 、AC 于M 、N ；容易知道AC=2BM ， AB=2CN 又tan ∠BAD=BM, tan ∠ACCNCAE = 从而tan ∠BAD ·tan ∠CAE=41又tan ∠BAD=1 即tan ∠CAE=41.14．（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC ，在劣弧BC 上有一点P ，若 AP 与BC 交于点D ，且PB=21， PC=28，则PD= 12 . 解答：由△ABD ∽△CPD 知CP AB DP BD =又由△ACD ∽△BPD 知 BPACDP DC =二式相除得43==CP BP DC BD （注：此处用角平分线定理亦可直接得出） ∵△ABD ∽△CPD 知ABCPBD PD =122873=⨯=⋅=⋅=∴CP BC BD CP AB BD PD15．（初三）四条直线y=x +10，y=－x +10，y=x －10, y=－x －10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 221 .（注：若x ，y 为整数，则(x 、y)为整点） 解答：如图：分4个三角形考虑：△AOB（仅不含BO 边），△BOC （仅不含CO 边） △COD （仅不含DO 边）△DOA （仅不含 AO 边）每个三角形内所含整点的个数均为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有55×4+1=221.16．（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一解答：设盈利25%的成本价为x 元, 亏损25%的成本价为y 元,则有90－x =25%x ， 90－y=－25%y 解得x =72，y=120.从而利润为：(x +y)－180=－12元17．（初二）方程|x －2y －3|+|x +y+1|=1的整数解的个数是 1 .解答：由题设知⎩⎨⎧=++=--⎩⎨⎧=++=--0|1|1|32|1|1|0|32|y x y x y x y x 或从而得到—F 面四个方程组：①⎩⎨⎧=++=--11032y x y x ②⎩⎨⎧-=++=--11032y x y x ③⎩⎨⎧=++=--01132y x y x ④⎩⎨⎧=++-=--01132y x y x 解以上方程组，得惟一整数解⎩⎨⎧-==11y x . 18．（初二）已知点A （1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P 使△AOP 为等腰三角形.则符合条件的点P 共有 8 个.解答：①当P 在x 轴上若OA 为腰时，由OA=OP 得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；由OA=AP得P 3(2, 0); 若OA 为底时，得P 4（1，0）有4个点.②当P 在y 轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.三、（本大题满分15分）19．（初三）已知k 是整数，且方程x 2+k x －k+1=0有两个不相等的正整数根，求k 的值. 解：设方程两个不相等的正实数根为a ,b （不妨设a <b ）于是a +b=－k, a b=－k+1.消去k 有ab －a －b=1，即(a －1)(b －1)=2……（10分） 只有a －1=1，b －1=2.即a =2，b=3.进而k=－5.……………………（15分）20．（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入3×3的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x 的值并说明理由.解：x =5.………………（5分）其理由是：按如图所示填字母a , b, c, d, e ,f , g , h ,有: a +b+c+d+x +e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++15151515e x d g x b f x c h x a 四式相加得(a +b+c+d+x +e+f+g+h)+3x =60从而3x =15即x =5.………………（15分）四、（本大题满分15分）21．某出版公司为一本畅销书价如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)49(10)4825(11)241(12)(n n n n n n n C这里的n 表示订购书的数量，C(n )是订购书所付的钱款数（单位：元）（1）有多少个n ，会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花的钱少？（2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？解：（1）由C （25）=275，C （24）=288，C （23）=276，C （22）=264；有C （25）<（23）<C （24）由C(49)=490, C(48)=528, C(47)=517, C(46)=506, C(45)=495, C(44)=484, 有C(49)<C(45)<C(46)<C(47)<C(48);故共有6个n （即23，24，45，46，47，48）出现买多于n 本书比恰买n 本所花的钱少.……（5分）（2）设两人共购买a 本和b 本共付钱S 元，不妨设a ≤b ，由a +b=60知道1≤a ≤30 （i ）当1≤a ≤11时，49≤b ≤59，S=12a +10b=10(a +b)+2a =600+2a 602≤S ≤622 （ii ）当12≤a ≤24时，36≤b ≤48 S=12a +11b=660+a 672≤S ≤684（iii ）当25≤a ≤30时，30≤b ≤48 S=11a +11b=660故出版公司最少赚602－60×5=302元，最多赚684－60×5=384元……（15分）五、（本大题满分15分）22．（初三）如图6：已知AC 、BD 是圆O 的内接四边形ABCD 的对角线，且BD 垂直平分半径OC ；在AC 上取一点P 使CP=OC ，连结BP 并延长交AD 于点E 交圆O 于点F.求证PF 是EF 和BF 的比例中项.证明：连结OB 、AF.∵BD 垂直平分半径OC ，∴BO=BC又OB=OC=CP ∴CP=CB 从而∠PBC=∠BPC ；又∵∠PBD=∠PBC －∠CBD∠ABP=∠BPC －∠BAC而已知OC ⊥BD 得到点C 是弧BD 中点∴∠BAC=∠DAC=∠CBD因此∠PBD=∠ABP 即P 为△ABD 的内心.……（10分）这样一来，∠EAF=∠ABF ，∠F=∠F ，∴△AEF ∽△BAF 即得AF 2=EF ·BF又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD∠FPA=∠ABF+∠BAC由内心可知，∠CAD=∠BAC ，∠FAE=∠ABF所以∠FAP=∠FPA 即PF=AF …………………………（15分）因此PF 2=EF ·BF 结论成立.23．（初二）如图7：已知在四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥AD ；连结AC ，过A 点作AE⊥AC ，且使AE=AC ；连结BE ，过A 点作AH ⊥CD ，垂足为H ，且交BE 于点F ，求证BF=EF.证明：过B 点作BM ⊥AH ，过E 点作EN ⊥AH ，交AH 或其延长线分别于点M 、N∵AB ⊥AD ∴∠BAM+∠ABM=90°又∵AH ⊥CD ∴∠DAH+∠ADH=90°∴∠BAM=∠ADH 而∠AMB=∠AHD=90°，AB=AD∴Rt △ABN ≌Rt △DAH∴BM=AH …………………………（5分）同理可证明Rt △EAN ≌Rt △ACH 得到EN=AH ………………（10分）在Rt △BMF 和Rt △ENF 中，有EN=AH ，∠BFM=∠EFN ，∠BMF=∠ENF=90° ∴Rt △BMF ≌Rt △ENF因此BF=EF ……………………………………………………（15分）六、（本大题满分15分）24．（初三）如图8，已知矩形ABCD ，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN ，P 在CD 上移动，AP 与DM 交于点E ，PN 交CM 于点F ，设四边形MEPF 的面积为S ，求S 的是大值. 解：连结PM ，设DP=x ，则PC=4－x ，∵AM//OP11211+=∴=⋅==+=+=∴=∴∆∆∆∆x x S AD AM S PA PE S S x x PA PE AM PD PD PA PE AM PD EA PE MPE APM APM MEP 且又即 同理可求xx S MPF --=∆54……………………（8分） 因此5462511125412++--=--+-=--++=x x x x x x x x S 343229)2(622=-≤--+=x ………………（13分） 当x =2时，上式等号成立.………………………（15分）25．（初二），如图9，某古城护城河在CC ′处起直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短.这个最短路程是多少米？解：如图所示，作AA ′⊥CD ，AA ′⊥DD ′；BB ′⊥CE ，BB ′⊥EE ′，则折线ADD ′E ′EB 的长度等于折线AA ′D ′E ′B ′B 的长度，等于折线A ′D ′E ′B ′以线段A ′B ′最短.…………………………（10分）故题目所示最短路程S=A ′B ′+10.而A ′，B ′在东西方向上相距65－5=60米，南北方向上相距85－5=80米，从而由勾股定理知A ′B ′=228060 =100米，故S=110米.………………（15分）。

2005年全国初中数学联赛初赛试卷3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30一、选择题:（每小题7分，共计42分）1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（）（A）a＞b⇒a2＞b2; (B)a≠b⇒a2≠b2; (C)|a|＞b⇒a2＞b2; (D)a＞|b|⇒a2＞b22、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（）（A）0 (B) 3 (C) 22005(D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（）块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22方程x2－(2m－4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（）（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个6、如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0二、填空题:（每小题7分，共计28分）1、已知：x为非零实数，且1122x x-+= a,则2x1x+=_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。

2005年全国初中数学联合竞赛试题第一试（上午8﹕30——9﹕30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。

A、78.5B、97.5C、90D、1023、设r≥4，a＝11r r+1－，b，c，则下列各式一定成立的是＿＿。

A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。

A B C D5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|A、p>qB、p＝qC、p<qD、p、q6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则2222212345x+x+x+x+x的未位数字是＿＿。

A、1B、3C、5D、7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2，则x ＝＿＿＿。

3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。

4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。

一、（本题满分20分）a 、b 、c 为实数，ac ＜0，证明：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有大于34而小于1的根锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ 四条直线相交于一点。

辽府函〔2019〕103号辽源市人民政府关于认真做好2019年度人大代表建议和政协提案办理落实工作的通知各县、区人民政府，辽源经济开发区管委会，市政府各委、办、局，各直属机构，驻市各中省直单位：市人大、市政协八届四次会议结束后，市政府共收到市人大和市政协转来代表建议80件、政协提案118件，全年总承办任务198件。

按照市人大、市政府、市政协领导同志关于建议提案办理工作的讲话精神和《辽源市人民政府办公室关于自觉接受市人大法律监督、工作监督和市政协民主监督的实施意见》（辽府办发〔2016〕36号），现就做好2019年建议提案办理工作相关要求通知如下：一、知责明责、履职尽责，切实扛起办理任务各县区政府、各承办部门和单位要站在讲政治、顾大局的高度，将建议提案办理工作作为重点工作来抓，高度重视，精心安排，实行有人抓、有人管、有人办的“三级负责制”，明确主管科室，落实责任人。

要制定切实可行的实施方案，建立办理台账，完善工作流程，健全工作机制和制度，有力有序有效推进办理工作。

二、精心组织、统筹推进，切实推进办理工作的制度化、规范化、法治化一是全力抓好建议提案分办工作。

市政府办公室按照市政府分管领导的批示意见，结合建议提案内容和承办部门职责，对2019年建议提案进行了分办。

各县区政府、各承办部门和单位签收建议提案后，对拟办意见没有异议的，将建议提案承办任务表送至市政府办公室议案科（主要领导签字、加盖公章）；对主办、分办、协办任务有异议的，请于2019年4月15日前向市政府办公室议案科说明情况并填写《建议提案调整承办部门申请单》，逾期未说明的视为同意。

二是规范答复内容和格式。

答复内容要认真诚恳、实事求是，按照全省统一样式执行，做到准确规范、表述清晰扼要、要件齐全（承办部门答复文件格式在辽源市政府门户网站互动交流栏目“建议提案”中下载）。

办理答复情况要按以下分类注在答复件首页右上角：（1）所提问题己经解决或基本解决的，用“A”标明；（2）所提问题正在解决或列入计划逐步解决的，用“B”标明；（3）所提问题因目前条件限制或其他原因需待以后解决的，用“C”标明；（4）所提问题留作参考的，用“D”标明。

一、选择题(满分30分)1.如图a，ABCD是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E是AD上一点，且AE=6cm，操作：⑴将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；⑵将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c，则△GFC的面积为( )A.2B.3C.4D.52.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13(x，y是实数)，则M的值一定是( )A.正数B.负数C.零D.整数3.已知点I是锐角△ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。

若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.设，则与A最接近的正整数是( )A.18B.20C.24D.255.设a、b都是正数，且满足56≤a＋b≤59，0.9<a/b<0.91，则b2－a2等于( )A.171B.177C.180D.182二、填空题(满分30分)6.在一个圆形的时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为两针的旋转中心)。

若现在时间恰好是12点整，则经过_____秒后，△OAB的面积第一次达到最大。

7.在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B的两点。

若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m=_____.8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。

某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_________9.已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。

连结AD 和BE，它们交于点P。

过P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积的比是________10.已知x1,x2,x3,…x40都是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，x12+x22+x32+…+x402的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_________。

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

）1、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6。

将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8答：A解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6，∠DAE ＝∠CEF ＝45°，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，S △CEF ＝22、若M ＝136498322++-+-y x y xy x （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数解：因为M ＝136498322++-+-y x y xy x ＝222)3()2()2(2++-+-y x y x ≥0 且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M ≥0 3、已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是 点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。

若点B 在△A 1B 1C 1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 答：C解：因为IA 1＝IB 1＝IC 1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A 1B 1C 1的外接圆的圆心，设IA 1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA 1＝2ID ， 所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°4、设A ＝)41001441431(48222-++-+-⨯Λ，则与A 最接近的正整数为（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25答：D解：对于正整数mn ≥3，有)2121(414n 12+--=-n n ，所以A ＝)1021101110019914131211(12)10216151()981211(4148----+++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+++⨯ΛΛ ＝)102110111001991(1225+++⨯- 因为)102110111001991(12+++⨯＜99412⨯＜21，所以与A 最接近的正整数为25。