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北京市九年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
） (共10题；共40分)1. （4分）(2018·河南模拟) 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（）A .B .C .D .2. （4分）已知⊙O 的半径为6，点A在⊙O内部，则（）A . OA<6B . OA>6C . OA<3D . OA>33. （4分）(2019·吉林模拟) 如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠A=75°-∠C，则∠AOC的度数为（）A . 120°B . 135°C . 140°D . 150°4. （4分）已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为（）A .B .C .D .5. （4分）(2016·聊城) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°6. （4分）正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A .B .C .D . 27. （4分） (2019九上·乌拉特前旗期中) 如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=40°，则∠ACB=（）．A . 70°B . 80°C . 110°D . 140°8. （4分）(2019·宁波模拟) 如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝m，则图中阴影部分的面积是（）A . m2B . m2C . m2D . m29. （4分） (2019八下·合肥期末) 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（）A . 8B . 9C . 10D . 210. （4分）如图，已知圆O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则在圆O上，到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） (共6题；共30分)11. （5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则的度数为________.12. （5分）从﹣2，﹣1，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为（x，y），若点N 为（0，3），则在平面直角坐标系内直线MN经过过四象限的概率为________.13. （5分） (2017九上·宛城期中) 如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为________．14. （5分）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB=6cm．当油面宽AB为8cm时，油上升了________ cm．15. （5分） (2020八下·哈尔滨月考) 如图，在矩形中，为对角线，过点作，交于点E，点F在上，交于点G，且，，则线段的长为________．16. （5分） (2019八上·瑞安期末) 如图，已知线段，P是AB上一动点，分别以AP，BP为斜边在AB同侧作等腰和等腰，以CD为边作正方形DCFE，连结AE，BF，当时，为________.三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小 (共8题；共80分)17. （8分） (2018九上·汉阳期中) 如图，是等边三角形.（1）作的外接圆；（2）在劣弧上取点，分别连接，并将绕点逆时针旋转；（3）若，直接写出四边形的面积.18. （8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求、的度数．19. （8分） (2019七下·北京期末) 如图，中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数．20. （8分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m （m≥1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．（1）若A为必然事件，则m的值为________；（2）若A发生的概率为，则m的值为________．21. （10分） (2016九上·蕲春期中) 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．22. （12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧的长．23. （12分） (2016八上·海盐期中) 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．24. （14.0分） (2018八上·句容月考) 如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A 到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．（1）求A′到BD的距离；（2）求A′到地面的距离．参考答案一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
2019-2020学年度第一学期初三年级数学练习 1一、选择题(本题共24分，每小题3分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A. (1,3)B. (1,3)-C. (1,3)-D. (1,3)--2. 一次函数y= -5x+3的图象不经过的象限是 （ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，与AB 交于点F ，则DF 的长为（ ）A. 5B. 6C. 22D. 34. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ( ) A. x 2+2＝0B. （x ﹣1）2＝0C. x 2+2x ﹣1＝0D. x 2+x+5＝05. 在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量己居于世界前列．2015 年和2017年我国能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为 （ ）A. ()45.112172.9x -=B. ()45.112172.9x +=C. ()245.11172.9x -=D. ()245.11172.9x +=6. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否互相垂直平分 C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等7. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. 0a >，函数值y 有最大值B. 该函数的图象关于直线1x =对称C. 当3x =-和1x =时函数值y 都等于0D. 当2y =-时，自变量x 的值等于08. 运算能力是一项重要的数学能力，王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩，(气泡圆的圆心横，纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高)；以下说法中： ①甲同学的第一次测试成绩高于乙同学的第一次测试成绩； ②5位同学中，第一次测试成绩比第二次测试成绩高的有2人； ③五位同学的前两次测试成绩之和均超过了100 分； ④同学的第三次测试成绩高于乙同学． 其中合理的是 （ ）A. ①③B. ③④C. ②③D. ①④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 将二次函数y=2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是__________． 10. 如图，在ABCD 中，BC=7，CD=4，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，则DE 的长为__________．11. 若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝_____．12. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，3)，B(4，3)，若一次函数y=x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是__________．13. 若m是方程x2 +x-3= 0的一个根，则代数式(m+1)2 +(m+1)(m-1)的值为__________．14. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝80°，则∠ECF的度数是________．15. 已知二次函数y=x2+ bx的最小值为-4，若关于x的方程x2+bx-2m=0有实数根，则m的取值范围__________．16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是射线AC上一动点(不与A，C重合)，点F在正方形ABCD的外角平分线CM上，且CF=AE，连接BE，EF，BF下列说法：①的值不隨点E的运动而改变②当B，E，F三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E在线段AC上运动时，点C到直线EF的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．三、解答题 (本题共60分，第17-19 越，每小题5分，第20-23 趣，每小题6分，第2426趣，每小题7分)17. 解方程：2410x x --=．18. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=-x 2 +bx +c 的对称轴为x=1，且它经过点A(3， 0)． (1)求该二次函数的解析式；(2)在坐标系中画出该二次函数的图象(不用列表)．19. 如图，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AC= AD ， E ， F 分别是AC ， CD 的中点，连接BE ， EF ， BF ．求证：∠1=∠2．20. 己知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-3)x-3=0(m ≠0)． (1)求证：不论m为何值，这个方程都有两个实数根．(2)若此方程的两根均为整数，求正整数m 的值，21. 如图，△ABC 中， AB=BC ，过A 点作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． (1)求证：四边形ABCD 菱形；(2)连接AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 与BC 的延长线交于E 点，连接EO ，若CE=3， DE=4，求OE 的长．22. 平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与直线y=kx 交于点A ，与y 轴交于点B ． (1)求点B 的坐标；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点，记△AOB 内部(不含边界)的区域为w ． ①当12k =-时， 根据函数图象，求区域W 中的整点个数； ②若区域W 中恰好没有整点，结合图象，直接写出k 的取值范围．23. 某学校七，八两个年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七，八年级举行了一次冬奧知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩(百分制)，分别从两个年级各随机抽取20名学生的成绩，进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息； a ．七、八年级的样本成绩分布如下：b ．七年级成绩在60-69 - - 组的是:61， 62，63， 6S ， 66，68，69 ．c ．七，八年级成绩的平均数、中位数、优秀率，合格率如下：根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m 的值；(2)小军成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是年级的学生(选填“七”或“八”)；(3)可以推断出年级的竞赛成绩更好，理由是(至少从两个不同的角度说明)；(4)根据样本数据，可以估计八年级全体学生的优秀人数为人．24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2- 4ax+ 3a-3的顶点为点A．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)(2)点B的坐标为(-1，2)，将线OB沿x轴向右平移5个单位得到O'B'①直接写出点O'和B'的坐标②若抛物线y= ax2 -4ax+ 3a-3与四边形BOO'B'恰有4个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25. 如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM，AN上的点，满足AB=BC，点P为射线AB上的动点，点D为点B关于直找AC的对称点，连接PD交AC于点E；交BC干点F．(1)图1中补全图形．(2)求证：∠ABE=∠EFC．(3)当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AB=BQ，此时DECQ是否是一个定值，若是请求出该定值，者不是在请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．已知直线y＝12x＋b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）；（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．。
北京人大附中2019届九年级上学期12月月考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．53．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．104．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣126．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．188．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝度．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为单位长度，△A′B′C′的面积为平方单位．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．（7分）如图，∠MON＝α（0＜α＜90°），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转β角，其中2α+β＝180°，所得到的射线与直线OM交于点Q这个问题中，点的位置和角的大小都不确定，在这里我们仅研究两种特殊情况，一般的情况留给同学们深入探索（1）如图1，当α＝45°时，此时β＝90°，若点P在线段OC的延长线上①依题意补全图形；②求∠PQA﹣∠PBA的值；（2）如图2，当α＝60°，点P在线段CO的延长线上时，用等式表示线段OC，OP，AQ之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙C和点P，给出如下定义若在⊙C上存在一点Q，使得△PCQ是以CQ为底边的等腰三角形且底角∠PCQ≤60°，则称点P为⊙C的“邻零点”，（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣2，0），P2（1，﹣1），P3（0，3）中，⊙O的“邻零点”是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的“邻零点”，求点P的横坐标x P的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为4，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上的点都是⊙C的“邻零点”，直接写出圆心C的横坐标t的取值范围．2018-2019学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7∴当x＝5时，y有最小值7．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．3．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质可计算出AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．4．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣12【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为3，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AB＝AO，△ABO的面积为6，＝|k|＝3，∴S△ADO又反比例函数的图象位于第一、三象限，k＞0，则k＝6．故选：A．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了等腰三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．6．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．18【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【解答】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴，即，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝45度．【分析】根据sin45°＝解答即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴锐角A＝45°．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为6．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∵AB＝CD，△AMB的周长为2∴，∴△CMD的周长为6，故答案为：6【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的周长之比等于相似比解答．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】直接把点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）代入反比例函数y＝，求出y1，y2的值，并比较大小即可．【解答】解：∵P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣，y2＝＝﹣2．∵﹣＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是y＝（x+1）2．【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．【解答】解：∵将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位，∴y＝（x+1）2．故得到的抛物线的函数关系式为：y＝（x+1）2．故答案为：y＝（x+1）2．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝25°．【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数．【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝130°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是0＜k≤9．【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．【解答】解：由题意，可得B（3，3），当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，又k＞0，所以k的取值范围是0＜k≤9．故答案为0＜k≤9．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，正方形的性质．理解反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值是解题的关键．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为x2＝100（100﹣x）．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2＝100（100﹣x），故答案为：x2＝100（100﹣x）．【点评】本题考查了黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是①③④（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，∵∠DCB﹣∠DCA＝∠ACB＝45°，显然∠ABD≠∠ACD，故②错误，∵CE﹣BE＝BD＝BE＝DE＝AD，故③正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故①正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．∴BE2+CD2＝2（AD2+AB2），故④正确，故答案为①③④【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×﹣4××＝3﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为3单位长度，△A′B′C′的面积为9平方单位．【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）如图所示：B'C'的长度＝＝3；∵A′C′＝3，∴△A′B′C′的面积为＝×3×6＝9平方单位，故答案为：3，9．【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴ACD∽△ABC；（2）解：∵ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝12，解得，AAC＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．【分析】（1）根据判别式的意义得到（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，然后解不等式得到m的范围；（2）取满足条件的最大整数代入方程，再解方程即可．【解答】解：（1）根据题意知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＜；（2）当m＝1时，方程为x2+x＝0，解得x1＝﹣1，x2＝0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．【分析】（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2即可得到结论；（2）把抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）代入抛物线的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2，即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝9x+15；②下降阶段：当x＞5时，y＝．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．【分析】（1）证明△COB≌△COD，得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据切割线定理求出DF，根据勾股定理求出CB，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）由切割线定理得，BE2＝EF•ED，即42＝8EF，解得，EF＝2，∴FD＝DE﹣EF＝6，∴AB＝DF＝6，在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，即82+BC2＝（4+BC）2，解得，BC＝6，∴AC＝＝6．【点评】本题考查的是切线的判定定理，切割线定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；（2）①根据中心对称的性质即可求得；②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，通过证得△APC∽△BPD，得出＝＝2，求得B的横坐标坐标，代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，令x＝0，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）把（6，1）代入反比例函数解析式，得1＝，∴m＝6；（2）①由于直线过原点，该函数为正比例函数，∵正比例函数和反比例函数图象都是关于原点中心对称的，∴两图象的交点关于原点成中心对称．∴点B、点A关于原点成中心对称．∵A点的坐标为（6，1），∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）．②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，∵AC∥BD，∴△APC∽△BPD，∴＝，∵AP＝2PB，∴AC＝2BD，∵AC＝6，∴BD＝3，∴B的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入y＝得y＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（6，1），B（﹣3，﹣2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P的坐标为（0，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式是本题的关键．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为 2.4或3.3cm．【分析】（1）（2）根据题意测量、作图即可；（3）满足AE＝AD条件，实际上可以转化为正比例函数y＝【解答】解：（1）根据题意，测量得1.2∴故答案为：1.2（2）根据已知数据，作图得：（3）当AE＝AD时，y＝，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD＝2.4或3.3故答案为：2.4或3.3【点评】本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）直接根据对称轴公式x＝﹣求解可得；（2）将解析式配方成顶点式得其顶点A坐标（1，3﹣a）及对称轴与x轴交点B坐标（1，0），由△AOB 为等腰直角三角形即OB＝AB可得1＝3﹣a，求得a＝2，据此可得答案；（3）先根据抛物线对称性知x1+x2＝2且y1＝y2＞1，由直线L与双曲线交于点R知y3＞1，即＞1，据此得x3＜6；依据知点R一定位于对称轴x＝1上或右侧，即x3≥1，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，故答案为：x＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴顶点A坐标为（1，3﹣a），。
北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试卷一、单选题1．一元二次方程2230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，3 B ．2，1，3- C ．−2，1，3 D ．2，1-，3- 2．巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．抛物线2(4)5y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．开口向下，(4,5)-B ．开口向上，(4,5)-C ．开口向下，(4,5)--D ．开口向上，(4,5)--4．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是( )A ． ()222x +=B ．(()222x -=C ．()222x -=-D ．()226x -= 6．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）A ．0a <B ．0c >C ．0b >D ．20a b +>7．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．已知点()()()1212,2024,,2024P x Q x x x ≠在二次函数21y ax bx =++的图象上，则当12x x x =+时，y 的值为（ ）A ．1B ．2025C ．1-D ．2024二、填空题9．方程25x x =的解是．10．点()1,2P -关于原点的对称点的坐标为．11．如果关于x 的方程2310kx x +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 12．将抛物线223y x =-向右平移2个单位，向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2),(1,0)-，将线段AB 绕点(2,2)逆时针旋转α角()0180α︒<<︒，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则α为，点B 的对应点B '的坐标为．14．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =1，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点1E AE =，寸，10CD =寸，求直径AB 的长．小宇对这个问题进行了分析：（1）由直径AB CD ⊥于E ，可得5CE DE ==，其依据是．（2）连接OC ，则有OC OA =，在COE V中利用勾股定理列方程可求得OC 的长，从而得到直径AB 长为寸．16．如图，菱形ABCD 的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD 的对称中心O 处，此时这个直角的两边分别交边,BC CD 于M ，N ，若ON CD ⊥，且2ON =，则MN 的长为．三、解答题17．解方程：233x x x -=+．18．如图，ABC V 是等边三角形，点D 在边AC 上，以CD 为边作等边CDE V ．连接BD ，AE ．求证：BD AE =．19．已知1x =是关于x 的方程2230x mx m -+=的根，求代数式2(2)(3)(1)m m m -+-+的值． 20．已知二次函数2y x bx c =++的图象过点(0,3),(1,0)A B ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个函数的图象；(3)写出当13x -<<时，函数值y 的取值范围．21．判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明）(1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧；(2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．22．已知关于x 的一元二次方程22230x mx m --=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程恰有一个实根大于1-，求m 的取值范围．23．如图，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =．动点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P ，Q 到达终点C ，B 时，运动停止．设运动时间为t （单位：秒）．(1)①当运动停止时，t 的值为______.②设P ，C 之间的距离为y ，则y 与t 满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”）(2)设PCQ △的面积为S ，①求S 的表达式（用含有t 的代数式表示），并写出t 的取值范围；②S 是否可以为7？若可以，请求出此时t 的值，若不能，请通过计算说明理由． 24．如图，MPN α∠=，点A ，B 在射线PN 上，以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆交射线PM 于点C ，D ．(1)如图1，当30α=︒时，若,AB 10CD 6==，求AP 的长；(2)如图2，若PC OB =，且AB ，求α的值．25．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O 点的水平距离为x （单位：m ）时，它距地面的竖直高度为y （单位：m ）．(1)经过对拱门进行测量，发现x 与y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求y 与x 满足的函数关系式．(2)在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度y （单位：m ）与它到O 点的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.187.30y x h =--+，若记原拱门的跨度为1d ，新拱门的跨度为2d ，则1d ______2d （填“>”，“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11x y ，，()21a y +，在抛物线22y x ax c =-+上．(1)抛物线的对称轴为______（用含a 的式子表示），当01a <<时，2y 与c 的大小关系为2y ______c （填“>”“<”或“=”）；(2)若110x -<<，且对于每个1x ，都有12y y >成立．①求a 的取值范围；②若抛物线还过点()33a y ，，求证：如果1230y y y <，那么()2130y y y ->．27．如图，在ABC V 中，90,45,ACB BAC D ∠=︒∠<︒为边AC 上一点（不与点A ，C 重合），点D 关于直线AB 的对称点为E ，连接BD ，将线段BD 绕点B 旋转，使点D 的对应点F 恰好在线段AE 的延长线上．(1)求证：12ABC DBF ∠=∠； (2)连接DF ，过点C 作AB 的垂线，分别交,AB DF 于点G ，H ．①依题意补全图形；②用等式表示DH 与HF 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a b ，对于点M 给出如下定义：将点M 向右（0a ≥）或向左(0)a <平移a 个单位长度，得到点M '，点M '关于点P 的对称点为N ，称点N 为点M 关于点P 的“联络点”．(1)若点(2,0)M -，点(1,1)P ，则点M 关于点P 的“联络点”的坐标为______；(2)如图，若点M 与点P 关于原点O 对称，点M 关于点P 的“联络点”为点N ，①求作：点M '和点N （尺规作图，保留作图痕迹）；②连接MN ，在MN 上取点T ，使PT x ∥轴，连接OT ，求证：14OT M N '=；(3)已知点C 是直线2y x =+上的动点，点D 是直线y x =-上的定点，点C 关于点D 的“联络点”为点E ，若线段CE 长的取值范围是CE ≥D 的横坐标D x 的取值范围．。
2019-2020学年度第一学期初三年级数学练习1 2019.8一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1、二次函数2(1)3y x =−− 的图象的顶点坐标是（ ） A 、（1,3） B 、（1，-3） C 、（-1,3） D 、（-1，-3） 2、一次函数53y x =−+的图象不经过的象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、（第四象限3、如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，DF ⊥AE,与AB 交于点F ，则DF 的长为（ ）A 、5B 、6C 、22D 、3 4、下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A 、220x += B 、21)0x −=（ C 、2+210x x −= D 、2++50x x =5、在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列，2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示，设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x,依题意，可列方程为：（ ）A 、45.112)172.9x −=（ B 、45.11+2)172.9x =（ C 、245.11)172.9x −=（ D 、245.11+)172.9x =（6、要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ） A 、测量两组对边是否分别相等 B 、测量两条对角线是否互相垂直平分 C 、测量其中三个内角是否都为直角D 、测量两条对角线是否相等7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示，以下结论正确的是（ ）A 、0a > ，函数值y 有最大值；B 、该函数的图象关于直线x=1对称；C 、当y=-2时，自变量x 的值等于0；D 、当x=-3和x=1时函数值y 都等于0.8、运算能力是一项重要的数学能力，王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试，下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低，气泡越大平均分越高。
2018-2019学年北京市人民大学附属中学九年级第一学期月考数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆【答案】C【解析】【分析】切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线，即可求.【详解】由切线的性质定理可知：答案为C.【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，解题关键是熟记切线的定义及性质.2.二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为(b, c) 判断即可.【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2,故选:A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质.3.下列k的值中,使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据判别式的意义得到Δ= >0, 然后解不等式即可.【详解】解：关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,Δ=>0,解得k<4.k的值可以是3,故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.4.利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】解：A.此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故此选项错误;B.此图形是中心对称图形, 不是轴对称图形, 故此选项正确;C.,此图形不是中心对称图形, 但是轴对称图形, 故此选项错误;D.图形是中心对称图形, 也是轴对称图形, 故此选项错误.故选:B.【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，中心对称图形的定义是旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义把此图形沿着某一条直线折叠，两边能完全重合的图形.5.用配方法解方程x2-4x-2=0,配方正确的是A. (x-2)2=2B. (x+2)2=2C. (x-2)2=6D. (x+2)2=6【答案】B【解析】x2-2x-2=0，x2-2x+1-1-2=0，x2-2x+1=3，(x-1)2=3;故选B。
2019～2020学年度第一学期初三年级数学练习2一、选择题1.下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A . B.C.D.2.二次函数()2234y x =--+的顶点坐标是( ) A .()3,4B .()3,4-C .()3,4-D .()3,4--3.如图，在O ☉中，AB 为O ☉的直径，C 为圆上一点，若23CAB ∠=︒，则ABC ∠的度数为( )A .23︒B .46︒C .57︒D .67︒4.关于x 的一元二次方程2240kx x +-=的一个根是1，则k 的值是( ) A .1- B .2- C .1 D .25.如图，四边形ABCD 内接于O ☉，过B 点作BH AD ⊥于点H ，若135BCD =︒∠，4AB =，则BH 的长度为( )A B .C .D .不能确定6.用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是( ) A .()232x +=B .()232x -=C .()237x +=D .()237x -=7.一幅三角板如下图1放置(有一条边重合)，如下图2把含45︒的直角三角板ACD 绕点A 顺时针旋转30︒得到''AC D △，若2BC =，则'BCC △的面积为( )A .3B .3C .6D .6-8.北京海淀区某中学经过食堂装修后重新营业，同学们很高兴品尝各种美食菜品，某同学想要得到本校食堂最受同学欢迎的菜品，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的菜品②去食堂收集同学吃饭时选择的菜品名称和人数 ③绘制扇形图来表示各个种类菜品所占的百分比 ④整理所收集的数据并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( )A .②→③→①→④B .③→④→①→②C .①→②→④→③D .②→④→③→①二、填空题9.在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4-关于原点对称的点的坐标为__________.10.如图，在ABC △中，AB AC =，作A D B C ⊥于点D ，以点A 为圆心，AD 为半径画A ☉，则点B 与A ☉的位置关系为__________.(填“在圆内”，“在圆上”或“在圆外”)11.若点()12,A y -，()23,B y 在抛物线22y ax ax b =-+上，若12y y >，请写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a =__________，b =__________. 12.如图，O ☉的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，点F 为O ☉上一点，且满足22.5AFC =︒∠，8AB =，则CD 的长为__________.13.若二次函数224y x x c =+-与x 轴的一个交点是()1,0，则关于x 的一元二次方程222xx c +-的根为__________. 14.在一次期末数学测试中，某中学同年级人数相同的A 、B 两个班的成绩统计如下表：数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下： ①这次数学测试成绩中，A 、B 两个班的平均水平相同； ②A 班学生中数学成绩95分及以上的人数少； ③B 班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；上述评估中，正确的是_________________.(填序号)15.如图，点(),P a b 为直线143y x =-上的一个动点，点P 绕原点逆时针旋转90︒后，恰好落到图中阴影区域(包括边界)内，则a 的取值范围是_____________.16.如图，线段AB 为O ☉的一条弦，以AB 为直角边作等腰直角ABC △.直线AC 恰好是O ☉的切线，点D 为O ☉上的一点，连接DA 、DB 、DC ，若3DA =，4DB =，则DC 的长为__________.三、解答题17.解方程：()358x x x =+-.18.如图，点D 是等边ABC △的边BC 上的点，以AD 为边作等边ADE △，连接CE . (1)求证：ABD ACE △≌△；(2)若20BAD =︒∠，求AEC ∠的度数.19.已知关于x 的一元二次方程()222210x a x a -+++=. (1)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个实数根.(2)若该方程两个根12,x x 满足22120x x -=，求a 的值.20.如图，点C 是半圆O 上的一点，AB 是O ☉的直径，D 是AC 的中点，作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ，求证：AF DF =.下面是小明的解法，请帮他补充完整(包括补全图形)解：补全半圆O 为完整的O ☉，连接AD ，延长DE 交O ☉于点H (补全图形) ∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，∵DE AB ⊥，AB 是O ☉的直径，∴AD AH =(_________________)(填推理的依据) ∴AH CD =.∴ADF FAD =∠∠(__________________)(填推理的依据) ∴AF DF =(___________)(填推理的依据)21.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+相交于()1,0A -，()3,4B 两点.(1)请分别求出抛物线解析式和直角的解析式； (2)直接写出12y y -的最小值.22.如图，在ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 延长线于点F . (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若45ABC =︒∠，2BC =，求EF 的长.23.某学校在9月下旬进行了初三体育中考模拟测试.该学校初三年级男女生共590人，女生290人，为了解该年级学生的体育成绩情况，随机抽样调查20名男生的体育成绩.过程如下，请将有关问题补充完整.注：体育总成绩(满分30分)=跑步(满分10分)+球类(满分10分)+引体向上或者实心球(满分10分)，各单项及总分均为0.5的整数倍. 收集数据：a .该20个男生跑步成绩情况如下b .该20个男生总成绩和球类成绩情况统计图：注：该20名男生的体育总成绩平均分为26分，跑步平均成绩为8.8分 分析问题：(1) 这20名男生中跑步成绩的中位数是_________分.(2) 若在体育总成绩和球类成绩情况统计图中A 同学的跑步成绩是8分，则A 同学的引体向上(实心球)成绩是__________分.(3) 据有经验的体育老师估计现在体育总成绩大于等于24的男生正常情况下有望体育中考满分，则估计该年级体育中考满分的男生约有___________人. (4) 下列推断合理的是___________.①在体育总成绩和球类成绩情况统计图中B 同学的跑步和引体向上(实心球)成绩均为满分②在体育总成绩和球类成绩情况统计图中C 同学，可能是球类失误得了0分，但他的跑步和引体向上(实心球)成绩都是满分，只要把球类练好了中考体育有望满分.③对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说跑步相对其他两项是最弱项. ④对于这次体育模拟，男生的体育三项中，总体来说引体向上(实心球)是最强项.24.如图，AB 是O ☉的直径，过点A 的直线PC 交O ☉于A 、C 两点，AD 平分PAB ∠.射线AD 交于点D ，过点D 作DE PA ⊥于点E . (1)求证：ED 为O ☉的切线；(2)若10AB =，2ED AE =，求AC 的长.25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x ax a a=-+-的对称轴与x 轴交于点A . (1)求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；(2)若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，且2PQ =，求抛物线的解析式；(2)点B 的坐标为110,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.26.如图，ABC △是等边三角形，平面上的动点P 满足PC AB ⊥，记APB a =∠. (1)如图1，当点P 在直线BC 上方时，直接写出PAC ∠的大小(用含a 的代数式表示)(2)过点B 作BC 的垂线BD ，同时作60PAD =︒∠，射线AD 与直线BD 交于点D . ①如图2，判断ADP △的形状，并给出证明.②连接CD ，若在点P 的运动过程中，CD =，直接写出此时a 的值.27.在平面中，对于给定的线段AB 和点C ，若平面上的点P (可以与点C 重合)满足： APB ACB =∠∠，则称点P 为点C 关于线段AB 的联络点. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A ，()0,2B ，()2,0C -.(1) 在()12,2P ，()21,0P ，()31P 三个点中，是点O 关于线段AB 的联络点的是______________________.(2) 若点P 既是点O 关于线段AB 的联络点，同时又是点B 关于线段OA 的联络点，求点P 的横坐标m 的取值范围. (3) 直线()0y x b b =+>与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，若在线段BC 上存在点N 关于线段OM 的联络点，直接写出b 的取值范围.。
2019-2020学年人大附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2 2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1 4．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+3）2+25．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．38．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二．填空题（共8小题）9．方程x2﹣2x＝0的根是．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于．11．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为．12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形（1）请写出抛物线C2的解析式：．（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝．三．解答题（共12小题）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②），（填推理的依据）19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标，．22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表刹车时车速（千0510********米/时）刹车距离（米）00.10.30.61 1.6 2.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝，则GE的长为，并简述求GE长的思路．28．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出对称轴是x＝h．【解答】解：∵抛物线的顶点式为y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴是x＝1．故选：B．2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x+2）2＝7D．（x+2）2＝1【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．【解答】解：x2+4x+4＝7，（x+2）2＝7．故选：C．4．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）A．y＝（x+3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x﹣3）2﹣2D．y＝（x+3）2+2【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得y＝（x+3）2﹣2．故选：A．5．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°．故选：D．6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解答】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t＝＝4.84，故本选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）9．方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．故答案为x1＝0，x2＝2．10．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：211．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．【分析】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是24．【分析】设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，证明△AEC∽△BF A，利用相似比得到BF＝x，CE＝x，在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+（x）2＝82，则x2＝，然后根据三角形面积公式计算Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和．【解答】解：设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，∵AE∥BD，∴∠CAE＝∠B，而∠AEC＝∠AFB＝90°，∴△AEC∽△BF A，∴＝＝，即＝＝，∴BF＝x，CE＝x，在Rt△ACE中，x2+（x）2＝82，∴x2＝，∴Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和＝•x•x+•x•x＝x2＝×＝24．故答案为24．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．【分析】根据图形中的数据即可解答本题．【解答】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，∴凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性．，故答案为：小于．14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a＜b（填“＜”或“＝”或“＞”）．【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答．【解答】解：y＝2x2﹣5的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．故答案为＜．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，得到图形（1）请写出抛物线C2的解析式：y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）．（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝0.75．【分析】（1）利用交点式得到A1（2，0），利用旋转的性质得A2（4，0），然后利用交点式写出抛物线C2的解析式；（2）利用4037.5＝2018×2+1.5可判断点P在抛物线C2019上，而它的解析式为y＝（x ﹣4036）（x﹣4038），然后计算把x＝4037.5对应的函数值即可．【解答】解：（1）抛物线C1的解析式为y＝x（x﹣2），则A1（2，0），根据旋转的性质得A1A2＝OA1＝2，则A2（4，0），抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；（2）∵4037.5＝2018×2+1.5，∴点P（4037.5，a）在抛物线C2019上，而抛物线C2019的解析式为y＝（x﹣4036）（x﹣4038）把x＝4037.5代入得a＝（4037.5﹣4036）（4037.5﹣4038）＝0.75．故答案为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；0.75．三．解答题（共12小题）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如图，①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①直径所对的圆周角是直角），（填推理的依据）连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②直角三角形两锐角互余），（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据圆周角定理，等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：（1）△ABC即为所求．（2）在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°（①直径所对的圆周角是直角），连接OC∵OA＝OC＝AC，∴∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°（②直角三角形两锐角互余）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余．19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣2时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜﹣2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会主义核心价值观的基本内容．其中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是；（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数为8，所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率＝＝．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）以原点O为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1和B1的坐标（﹣8，2），（﹣6，0）．【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示，A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；故答案为：（2，8），（6，6）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1和B1的坐标分别为（﹣8，2），（﹣6，0）．故答案为：（﹣8，2），（﹣6，0）．22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值．【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值为﹣1．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD 到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF＝AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠ADF＝∠BCE，在△ADF和△BCE中，∵∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，∴EF＝AB＝6，∵DE＝2，∴DF＝CE＝4，∴CF＝4+4+2＝10，Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF ＝AC ＝．24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表0510********刹车时车速（千米/时）刹车距离（米）00.10.30.61 1.6 2.1（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．【分析】（1）通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；（2）由函数图象，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由待定系数法求出其解即可；（3）将x＝100代入（2）的解析式求出其值，再与130作比较即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数，∵图象经过原点，∴设二次函数的表达式为：y＝ax2+bx（x≥0），选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝x2+x（x≥0），（3）∵当x＝100时，y＝21＜40，∴汽车已超速行驶．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y/cm 1.7 1.3 1.10.90.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为0.7cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．【分析】（1）先构造出全等三角形，判断出DE＝BD'＝y，再利用三角函数求出BC，AC，进而得出CE，进而利用三角函数求出EF，CF，进而得出DF，最后用勾股定理即可得出结论；（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；（3）方法1、利用图象和表格即可得出结论；方法2、利用（1）的方法得出的y＝，即可得出y的最小值，再令y＝x求出x的值，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，在AC上取一点E使AE＝AB＝2，由旋转知，AD＝AD'，∠DAD'＝50°＝∠BAC，∴∠DAE＝∠D'AB，在△DAE和△D'AB中，，∴△DAE≌△D'AB（SAS），∴DE＝BD'＝y，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝40°，∴∠BAC＝50°，AC＝＝≈＝3.13，BC＝＝≈≈2.40∴CE＝AC﹣AE＝3.13﹣2＝1.13，过点E作EF⊥BC于F，在Rt△CEF中，EF＝CE•sin C＝1.13×sin40°≈0.72，CF＝CE•cos C＝1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，当x＝1时，BD＝1，∴DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣1﹣0.88＝0.52，在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y＝DE＝≈0.9，故答案为：0.9．（2）函数图象如图2所示．（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，∵BD'≥BD，∴y≥x，由图象知，0≤x≤0.9，故答案为：0.7，0≤x≤0.9．（3）方法2、由（1）知，BC＝2.4，CF＝0.88，EF＝0.72，DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣x﹣0.88＝1.52﹣x，根据勾股定理得，y＝＝，∵0≤x≤2.40，∴x＝1.52时，y最小＝0.72≈0.7，当BD'＝BD时，DE＝y＝x在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（1.52﹣x）2+（0，72）2，∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．故答案为：0.7，0≤x≤0.9．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x+a和l2：y＝﹣x+b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；（2）①根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线l2过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y＝mx2﹣2mx+n，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B关于直线x＝1对称．∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（4，0）．∵抛物线y＝mx2﹣2mx+n过点B，直线y＝x﹣4m﹣n过点B，∴，解得：，∴直线所对应的函数表达式为y＝x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+4．②联立两函数表达式成方程组，，解得：，．∵点B的坐标为（4，0），∴点C的坐标为（﹣3，﹣）．当直线l2：y＝﹣x+b1过点B时，0＝﹣4+b1，解得：b1＝4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴点P1的坐标为（1，3）；当直线l2：y＝﹣x+b2过点C时，﹣＝3+b2，解得：b2＝﹣，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝﹣x﹣，当x＝1时，y＝﹣x﹣＝﹣，∴点P2的坐标为（1，﹣）．∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣≤t≤3．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1．①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝，则GE的长为，并简述求GE长的思路．【分析】（1）①依题意补全图形，如图1所示，②判断出△BAD≌△CAF即可；（2）先判断出△BAD≌△CAF，得到BD＝CF，BG⊥CF，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：①依题意补全图形，如图1所示，。
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ）A ．以PA 为半径的圆B ．以PB 为半径的圆C ．以PC 为半径的圆D ．以PD 为半径的圆2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ）A ．（x-2）2=2B ．（x+2）2=2C ．（x+2）2=6D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题：甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦．下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错8．下表时二次函数y=ax 2+bx+c 的x ，y 的部分对应值：x … －1212 1 32 2 52 … y … 14 －1 －74 m －74 －1 n … 则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm ，这张光盘的半径是 cm 10题14题15题16题16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：x …-5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 -2 -1.5 0 2.5 …进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n（n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
