苏教版必修二第二章《平面解析几何初步》word单元测试2

第二章章末总结一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1求圆心在圆(x－32)2＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2求与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0． 由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17． 所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0． 由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6． 所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧， 且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切， 所以a >－12． 所以r ＝a ＋12，r ＝|b |． 又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上， 所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎨⎧ r ＝a ＋12，r ＝|b |，(a －32)2＋b 2＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，r ＝1，b ＝±1. 所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1． 例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3，所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0．∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝⎛⎦⎤512，34解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34． 变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ， 利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2． 观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时， 直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。

本章测评(总分100分 时间90分钟)一、选择题(每小题4分,共36分)1.已知两点P(-2,m),Q(m,4),直线PQ 的斜率等于-2,那么m 的值为( )A.-8B.0C.4D.10思路解析：由两点间的斜率公式,224-=---mm . 答案：A2. 圆(x+2)2+y 2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y 2=5B.x 2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x 2+(y+2)2=5思路解析：因为对称的两圆半径相同,圆心对称,所以只需要求得原来圆心(-2,0)关于原点对称的点即可.由于(-2,0)关于原点对称的点的坐标为(2,0),所以所求的圆的方程为(x-2)2+y 2=5. 答案：A3.若方程(6a 2-a-2)x+(3a 2-5a+2)y+a-1=0表示平行于y 轴的直线，则a 为( )A.1或32B.32 C.1 D.不存在 思路解析：因为方程表示的直线平行于y 轴，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠--.0253,02622a a a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-≠≠.132,2132a a a a 或且所以a=1. 答案：C4.一束光线从点A(-1，1)出发，经过x 轴反射到圆(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是( ) A.24 B.4 C.23 D.3思路解析：因为入射光线与反射光线关于x 轴对称,所以可以转而考虑A 点关于x 轴对称点A 1与圆的关系,如图所示，最短距离为|A 1B|=|A 1C|-1，A 1(-1,-1),C(2,3)，所以5169||1=+=C A .∴|A 1B|=4.答案：B5. 圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是( )A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0思路解析：本题考查直线与圆相切.A 中圆心到直线的距离为12|)3(1|>--，即不对；B 中圆心到直线的距离为12|)3(1|<-+，即不对；C 中圆心到直线的距离为1，即正确；D 中圆心到直线的距离为13>，即不对.答案：C6.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在思路解析：由已知1||22=+b a c ,∴a 2+b 2=c 2.故以|a|、|b|、|c|为三条边长的三角形为直角三角形.答案：B7.圆x 2+y 2=16及圆(x-4)2+(y+3)2=k 2(k>0)在交点处的切线互相垂直,则k 等于( )A.5B.4C.3D.22思路解析：由题意和平面几何知识知两圆的交点和两圆圆心的连线构成一个直角三角形.因为两圆心间距离|O 1O 2|=5,又两圆半径分别为4和k,所以k 2+42=52,故k=3.答案：C8.已知定点P(x 0,y 0)不在直线l :f(x ，y)=0上，则f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示一条( )A.过P 点且与l 垂直的直线B.过P 点且与l 平行的直线C.不过P 点且垂直于l 的直线D.不过P 点且平行于l 的直线思路解析：点P(x 0，y 0)不在直线f(x ，y)=0上，则f(x 0，y 0)≠0.因为f(x ，y)=0与f(x ，y)=f(x 0，y 0)表示两条互相平行的直线，又把点P(x 0，y 0)代入f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0适合，所以点P 在直线f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0上,所以f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示过P 点且与l 平行的直线.答案：B9.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )A.2.4米B.3.5米C.3.6米D.2.0米思路解析：解决该题，需要将半圆形隧道的横截面所对应的圆的方程求出，再加以判断. 建立如图所示坐标系，A(3.6，0)，D(0.8，0)，易知圆的方程为x 2+y 2=3.62.设E(0.8,y)为圆上一点，代入方程可求得y≈3.51.故要使车能通过桥洞，蓬顶距地面的距离不得超过 3.5米.答案：B二、填空题(每小题4分,共20分)10. 若三点A(2,2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于_________.思路解析：本题考查利用过两点的直线的斜率公式判断三点共线问题，我们只需利用两点间的斜率相等建立方程即可.由题意可得4124222=⇒-=-==-=a k a k AC AB . 答案：411.过直线l 1:3x-y-5=0,l 2:x+2y-4=0的交点且与直线x+5y-1=0平行的直线方程是__________. 思路解析：由⎩⎨⎧=-+=--,042,053y x y x 可得交点坐标为(2，1).设所求直线方程为x+5y+c=0,将(2，1)代入方程可得c=-7.答案：x+5y-7=012.已知x 、y 为实数，且满足条件x 2+y 2=1,则2x+y 的取值范围是__________.思路解析：设2x+y=b,化为y=-2x+b.求2x+y 的范围,就是求b 的范围，就是求直线y=-2x+b 在y 轴上截距的取值范围.如图所示，设圆心O(0,0)到直线y=-2x+b 的距离为d.显然d=1时，直线y=-2x+b 在y 轴上的截距b 的绝对值最大.此时d=1，所以112||22=+-b ，解得5||=b ，再由图形可知|b|≤5.故b ∈［5-,5］.答案：［5-,5］13.过点P(2,1)总可以作圆x 2+(y +k)2=k+1的两条切线,则k 的取值范围是__________. 思路解析：由题意知点P(2，1)在圆的外部，∴22+(1+k)2>k+1,即k 2+k+4>0,显然恒成立.又考虑到k+1>0，即k>-1.∴k 的范围是k>-1.答案：k>-114.有下列叙述:①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定为(0,b,c)②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上的点的坐标一定为(0,b,c)③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标记作(0,0，c)④在空间直角坐标系中,在xOz 平面内的点的坐标记作(a,0,c)其中正确的有_____________.思路解析：①在x 轴上的点的坐标一定为(0,0,c),其余三个均正确.答案：②③④三、解答题(15—16题每题10分，17—18题每题12分，共44分)15.过点P(3,0)有一条直线l ,它夹在两直线l 1:2x-y-2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段恰好被点P 平分,求直线l 的方程.思路解析：欲求l 的方程，可有两种思路：一是求其斜率，二是求另一点坐标.解法1：设l 的方程为y=k(x-3),l 与l 1、l 2分别交于点A 、B.由⎩⎨⎧=---=,022),3(y x x k y 得x A =223--k k .由⎩⎨⎧=++-=,03),3(y x x k y 得x B =133+-k k .据P(3,0)为AB 的中点， ∴x A +x B =6,即6223133=--++-k k k k ,解之,得k=8.∴l 的方程为y=8(x-3). 解法2：设l 交l 1、l 2分别于A 、B 两点，且A 点坐标为(x 0,y 0),由于P(3，0)为AB 中点， ∴B(6-x 0,-y 0).将A 、B 两点坐标分别代入l 1、l 2方程可得2x 0-y 0-2=0,x 0+y 0-9=0.解之,得3110=x ,3160=y .l 的方程为y=8x-24. 16.求圆心在直线y=-2x 上,并且经过点A(2,-1)与直线x+y-1=0相切的圆的方程.思路解析：设圆的标准式，由题中有三个独立条件，可得出关于圆心和半径的三个关系式，解出圆心和半径.解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+--=r b a r b a a b 2|1|)1()2(,2222解得a=1,b=-2,r 2=2.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.17.已知直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a 、b 的值.(1)l 1⊥l 2且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2且原点到l 1、l 2的距离相等.思路解析：考查两直线平行和垂直的条件、点到直线的距离公式.直接利用结论即可. 解：(1)若l 1⊥l 2,则a(a-1)+(-b)×1=0,即a 2-a-b=0.又l 1过点(-3，-1)，∴-3a+b+4=0.解之,得a=2,b=2.(2)若l 1∥l 2,则b b a a 411≠-=-,即a a b -=1.又1)1(||4222+-=+a b b a ,解之,得a=2,b=-2或32=a ,b=2. 18.已知圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).(1)若点P(m,m+1)在圆C 上,求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任一点,则|MQ|的最大值、最小值分别是多少?(3)若N(a,b)满足关系:a 2+b 2-4a-14b+45=0,求23+-=a b t 的最大值. 思路解析：(1)将P 点代入圆C 的方程，可得出m 的值.(2)运用数形结合考虑，记圆心为C ，则|MQ|max =|QC|+r,|MQ|min =|QC|-r.(3)考虑到23+-a b 具有几何意义，即表示圆C 上的动点(a,b)与定点(-2，3)连线的斜率，故可用数形结合的方法.解：(1)由于P(m,m+1)在圆C 上，所以有m 2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解之,得m=4,∴P(4,5),从而k PQ =312435=+-. (2)圆C 的方程变为(x-2)2+(y-7)2=8.由于Q(-2,3)在圆C 外部,且22)37()22(||-++=QC 24=,如图，由平面几何知识可知|MQ|max =|QC|+r=262224=+,|MQ|min =|QC|-r= 222224=-.(3)由N(a,b)满足的条件可知，N(a, b)在圆C 上.又23+-a b 表示N(a, b)与Q(-2,3)两点连线的斜率.由图可知，t 的最大值为过Q(-2,3)的圆C 的两切线之一的斜率.设切线方程为y-3=k(x+2)，由圆心C(2，7)到其距离为22,知k=2±3.所以t max =2+3.。

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把答案填写在题中横线上)．直线：－＋＝的倾斜角为．【解析】：＝＋，＝，∴α＝°.【答案】°．过原点且倾斜角为°的直线被圆＋－＝所截得的弦长为．【解析】直线方程为＝, 圆的方程化为＋(－)＝，∴＝，圆心()到直线＝的距离为＝，∴半弦长为＝，∴弦长为.【答案】．直线：－＋－＝与圆：＋(－)＝的位置关系是．【解析】圆心()到直线的距离＝＝<＝.故直线与圆相交．【答案】相交．关于的方程＝(－)＋解的个数为个.【导学号：】【解析】作出＝和＝(－)＋＝＋的图象(略)．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】．若直线与直线＋－＝垂直，且它在轴上的截距为－，则直线的方程为．【解析】因为直线＋－＝的斜率为－，所以直线的斜率为.又直线在轴上的截距为－，即直线与轴的交点为(－)，所以直线的方程为－＝(＋)，即－＋＝.【答案】－＋＝．若曲线(－)＋(－)＝上相异两点，关于直线－－＝对称，则的值为．【解析】依题意得，圆心()在直线－－＝上，于是有－＝，解得＝.【答案】．已知点(，)在直线＋＝上，则的最小值为．【解析】的最小值为原点到直线＋＝的距离：＝＝.【答案】．空间直角坐标系中，点(－)和(，－)的距离为，则的值为．【解析】(＋)＋(－－)＋(－)＝，解得＝或－.【答案】或－．直线：＝＋和：＝＋将单位圆：＋＝分成长度相等的四段弧，则＋＝.【解析】依题意，不妨设直线＝＋与单位圆相交于，两点，则∠＝°.如图，此时＝，＝－.满足题意，所以＋＝.【答案】．在平面直角坐标系内，到点()，()，()，(，－)的距离之和最小的点的坐标是．【解析】设平面上的点为，易知为凸四边形，设对角线与的交点为′，则＋≥＝′＋′，＋≥＝′＋′，当且仅当与′重合时，上面两式等号同时成立，由和的方程解得′()．【答案】()．若直线：＋＋＝与：＋(＋)＋＝平行，则与距离为．【解析】由∥可知＝≠，解得＝－或＝(舍)，∴＝－.∴：－＋＋＝，即－－＝，：－＋＝，即－＋＝，∴与间的距离＝＝.【答案】．若圆：＋＝与圆：＋＋－＋＝关于直线对称，则直线的方程是．【解析】由圆的方程＋＋－＋＝可得圆心(－)，由题意知直线过的中点(－)，又直线的斜率为－，故直线的斜率为，所以直线的方程为－＝＋，即－＋＝.【答案】－＋＝。

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】2 33．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 47．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x 的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD 的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．【解析】由l1∥l2可知a2＝3a＋1≠11，解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0，l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________．【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，因为圆和直线相切，所以有|1－4－1|12＋－2＝5－m，所以m＝9 5 .16．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，设l：y＝kx，即kx－y＝0，则|4k－3|1＋k2＝3 2.解得k＝－6±3214.此时l的方程为y＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x；若l在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝－2＋12＋92＝91，所以其外接球的半径r ＝d 2＝912.所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫9123＝91π691.18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)，圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1. 所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)联立得⎩⎨⎧y ＝m x －＋1，x 2＋y －2＝5，消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝m 21＋m 2，y 0＝mx 0－＋1.消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝[2－－2＋－2＝42>22，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。

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2。

2 圆与方程一、填空题1. 已知点A（1,－1),B（－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是__________．【答案】x2＋y2＝2【解析】圆心是AB的中点坐标为（0,0），直径是AB两点之间距离是2，∴ 圆的方程为x2＋y2＝2.2. 已知A（－1，5），B（－2，－2）,C(5,5),则△ABC的外接圆的方程是__________．【答案】x2＋y2－4x－2y－20＝0【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.3。

若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】由D2＋E2－4F>0,得(－1)2＋12－4m〉0,即m〈。

4. 若方程x2＋y2＋ax－2ay＋a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r＞0)的圆,则该圆的圆心在第________象限．【答案】四【解析】将圆的方程化为标准方程:，故－3a＞0，即a＜0。

而圆心为，故圆心在第四象限．点睛：遇见圆的一般刚才时往往先转化为标准方程,便于利用圆心和半径。

对于，有。

只有当时，方程才表示为圆，圆心为，半径为。

章末过关检测卷(二)第2章 平面解析几何初步(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为(A )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为(x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.3．过点(3，4)且与两点(4，－2)、(－2，2)等距离的直线方程是(C )A ．2x ＋3y －18＝0和2x ＋y －2＝0B ．3x －2y ＋18＝0和x ＋2y ＋2＝0C ．2x ＋3y －18＝0和2x －y －2＝0D ．3x －2y ＋28＝0和2x －y －2＝04．(2013·重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为(B )A ．6B ．4C ．3D ．25．(2013·陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是(B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x 轴的对称点的坐标是(B )A ．(－2，1，－4)B ．(－2，－1，－4)C ．(2，－1，4)D ．(2，1，－4)7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是(D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：利用数形结合思想及圆的几何性质求解．方法一 如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，OA ＝1，则sin a ＝12，所以a ＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3.故选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3.8．以A (－2，－2)、B (－3，1)、C (3，5)、D (7，－7)为顶点的四边形是(D )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形9．(2013·广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是(A )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝010．(2013·天津卷)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝(C )A ．－12B ．1C ．2 D.12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)11．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________． 解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126. 答案：212612．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________. 解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：413．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，数形结合解答．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.答案：214．(2013·四川卷)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)、B (1，5)、C (3，6)、D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又kAC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又kBD ＝5－（－1）1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.∴M (2，4)． 答案：(2，4)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过A (－2，3)、B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解析：过A 、B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x－4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)， 斜截式为：y ＝－23x ＋53， 截距式为：x 52＋y 53＝1， 一般式为：2x ＋3y －5＝0.16．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0交于一点，求k 的值． 解析：l 1与l 2的相交，由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点坐标为(－1，－2)，此点在l 3上，故－1－2k ＝0，得k ＝－12.17．(本小题满分14分)(2013·江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解析：如图，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R .因为圆与直线y ＝1相切，所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52.所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.18．(本小题满分14分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解析：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点． ∴|3＋3－t |2≤ 6. ∴6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.19．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0，2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA→＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6，0)，过P (0，2)且斜率k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0.整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ＝2－4×36×(1＋k 2)＝42×(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA→＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得：x 1＋x 2＝－4（k －3）1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因为P (0，2)，Q (6，0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .20．(本小题满分14分)(2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．(1)解析：将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0得k 2＞3.所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2， 所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线上l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3可得5n 2－3m 2＝36，由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805.于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805．。

解析几何初步检测题 1班级 姓名一、填空题1. 已知直线通过点 A(0,4)和点 B（1，2），则直线 AB 的斜率为 -22．过点 3．已知点且平行于直线、，则线段的直线方程为 的垂直平分线的方程是4．通过两点（3，9）、（-1，1）的直线在 x 轴上的截距为5．已知圆心为 C（6，5），且过点 B（3，6）的圆的方程为6．不论 m 取任何实数，直线恒过必然点，则该定点的坐标是7. 已知圆 －4 －4＋ ＝0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 － －1＝0 的距离是8．圆与直线的位置关系是 相交9. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 y=2x 或 x+y-3=0；10．圆 C1:与圆 C2:的位置关系是 外切11．已知圆 －4 －4＋ ＝0 上的点 P（x,y）,求的最大值12．圆：上的点到直线的距离最小值是13．已知 A（1，-2，1），B（2，2，2），点 P 在 z 轴上，且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为 (0,0,3)14 ． 圆 心 在 直 线2)2+(y+3)2=5． 二、解答题15．已知圆上的圆 C 与 轴交于两点，， 则 圆 C 的 方 程 为 (x-和圆外一点，求过点 的圆的切线方程。

或16．求点 M(－1, 0)关于直线 x+2y－1=0 对称点 M’的坐标。

17．已知△ABC 三边所在直线方程为 AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0，求 AC 边上的高所在的直线方程.解：由解 得 交 点 B （ － 4 ， 0 ），. ∴ AC 边 上 的 高 线 BD 的 方 程 为.18．已知圆 C 同时知足下列三个条件：①与 y 轴相切；②在直线 y=x 上截得弦长为 23y=0 上. 求圆 C 的方程.解：设所求的圆 C 与 y 轴相切，又与直线交于 AB，∵圆心 C 在直线上，∴圆心 C（3a，a），又圆与 y 轴相切，∴R=3|a|. 又圆心 C 到直线 y－x=0 的距离；③圆心在直线 x－在 Rt△CBD 中，.∴圆心的坐标 C 别离为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.19. 设有半径为 3 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心动身，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与 B 相遇.设 A、B 两人速度必然，其速度比为 3：1，问两人在何处相遇？解：如图成立平面直角坐标系，由题意可设 A、B 两人速度别离为 3v 千米/小时 ，v 千米/小时，再设动身 x0 小时，在点 P 改变 方向，又通过 y0 小时，在点 Q 处与 B 相遇.则 P、Q 两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）. 由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2 知，………………3 分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6 分将①代入……………8 分又已知 PQ 与圆 O 相切，直线 PQ 在 y 轴上的截距确实是两个相遇的位置.设直线相切，则有……………………11 分答：A、B 相遇点在离村中心正北 千米处………………12 分20．已知方程.（1）若此方程表示圆，求 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于 M，N 两点，且 OM ON（O 为坐标原点）求 的值；（3）在（2）的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程. 26. 解：（1）D=-2，E=-4，F==20-（2）代入得，∵OM ON得出：∴∴（3）设圆心为,半径,圆的方程.。

2018-2019学年苏教版必修2 第2章 平面解析几何初步 单元测试1．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则ABP △面积的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =，点P 在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离， 故点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为则，故选A.2．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A3．直线经过定点，则点为 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】直线的方程可化为，当，时方程恒成立，直线过定点.故选.【名师点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线，解答的关键是将参数分离，化为的形式，令，即可解得答案.4．若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3 B ．0 C ．3-D ．03-或【答案】D5．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为 A ．(－4，0) B ．(－3，-1) C ．(－5，0)D ．(－4，-2)【答案】A【解析】设C (m ，n )，由重心公式，可得△ABC 的重心为，代入欧拉直线有：，整理得m －n ＋4＝0 ①.AB 的中点为(1，2)，k AB ＝＝－2，AB 的中垂线方程为y －2＝(x －1)，即x －2y ＋3＝0，联立可得：，所以△ABC 的外心为(－1，1)，外心与点B 的距离：，外心与点B 的距离与外心与点C 的距离相等，则：(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②， 联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去， 当m ＝－4，n ＝0时满足题意. 所以点C 的坐标为(－4，0)． 故选A. 6．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则 A ．至少存在两个点使得 B ．对于任意点都有C ．对于任意点都有D ．存在点使得【答案】C即至少存在两解，恒成立，所以至多存在一解，所以A 不成立．综合以上分析可得选项C 正确． 故选C ．【名师点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．7．在ABC △中，若sin sin sin 0a A b B c C +-=，则圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】因为sin sin sin 0a A b B c C +-=，所以2220a b c +-=. 故圆心()0,0C 到直线:0l ax by c ++=的距离1d r ===，故圆22:1C x y +=与直线:0l ax by c ++=相切，故选A ．8．若P 是圆()()22:331C x y ++-=上任一点，则点P 到直线距离的最大值是A ．B ． C．1D ．【答案】B（本题也可以由数形结合直接得出）9．已知点()1,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设(),P x y ，PQ 的中点为()00,M x y因为点()00,M x y 在圆()2211x y +-=上，所以2211122x y m -+⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()22124x y m -++-=. 将此方程与方程()()22244x a y a -+-+=比较可得()1242a a m =⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得4m =.故选D. 10．过直线:1l y x =+上的点P 作圆C :()()22162x y -+-=的两条切线1l 、2l ，当直线1l 、2l 关于直线:1l y x =+对称时，PC =A ．3B ．C ．1+D ．2【答案】B【名师点睛】解答本题的难点是如何理解两条切线12,l l 关于直线:1l y x =+对称，从而将问题转化为CP l ⊥，最终求得点()1,6C 到直线:1l y x =+的距离，即d =，从而使得问题获解.11．已知圆：224430x y x y ++--=，动点在圆：224120x y x +--=上，则12PC C △面积的最大值为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，所以1C =当时，12PC C △的面积最大，其最大值为max 142S =⨯=，应选B. 12．（2018天津卷）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．【答案】【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 13．（2018新课标I 卷）直线与圆交于两点，则．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果. 14．若直线与直线之间的距离是，则.【答案】0 【解析】直线与直线之间的距离是，，解得，（负值舍去）则.故答案为.15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．【答案】[-【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围． 16．设抛物线的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若，则圆的方程为 ．【答案】【解析】设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为.【名师点睛】待定系数法求圆的标准方程，先根据圆心的位置巧设圆心可以起到减元的作用，减轻解方程组的负担，根据题目的要求列出方程组解出圆心坐标和半径.直线和圆的位置关系问题是高考常见题，要学会利用圆心到直线的距离去解决直线与圆有关问题.17．（2018新课标II 理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．18．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.【答案】（1）见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+.故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =.由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=，故()()()()121244220x x y y --+++=，即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=. 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-.当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=.当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.（1）设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由斜率之积为1-可得OA OB ⊥，即得结论； （2）结合（1）的结论求得实数m 的值，分类讨论即可求得直线l 的方程和圆M 的方程. 19．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积 【答案】（1）（2）（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而，因为的斜率为3，所以的斜率为， 所以的方程为， 又，到的距离为，所以的面积为.【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立， 之间的关系；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．。

第2章 平面解析几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是________．解析：直线AB 的斜率为33－3－1－1＝－3，则直线AB 的倾斜角是120°. 答案：120°2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：ax ＋6y ＝5间的距离为________．解析：由l 1∥l 2得a 3＝64，a ＝92，所以l 2的方程为3x ＋4y －103＝0.l 1、l 2间的距离d ＝|－2＋103|5＝415. 答案：4153．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，得m ≠1.答案：m ≠14．直线l 经过l 1：x ＋y －2＝0与l 2：x －y －4＝0的交点P ，且过线段AB 的中点Q ，其中A (－1,3)，B (5,1)，则直线l 的方程是________．解析：法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y －4＝0，得点P (3，－1)，又线段AB 的中点Q (2,2)，则直线l 的方程为：y －－12－－1＝x －32－3，即为3x ＋y －8＝0. 法二：设直线l 的方程为x ＋y －2＋λ(x －y －4)＝0，又线段AB 的中点Q (2,2)，代入所设方程得2－4λ＝0，解得λ＝12，所以直线l 的方程为x ＋y －2＋12(x －y －4)＝0，即3x ＋y －8＝0.答案：3x ＋y －8＝05．设集合M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}，若M ∩N ＝N ，则实数r 的取值范围是________．解析：由题意得N ⊆M ，则圆(x －1)2＋(y －1)2＝r 2内切于圆x 2＋y 2＝4，或者内含于圆x 2＋y2＝4，由圆心距与半径长的关系可得1＋1≤2－r ，解得r ≤2－ 2.又r ＞0，所以实数r 的取值范围是(0,2－2]．答案：(0,2－2]6．对于任意实数λ，直线(λ＋2)x －(1＋λ)y －2＝0与点(－2，－2)的距离为d ，则d 的取值范围为________．解析：无论λ取何值，直线都过定点(2,2)，而点(2,2)与点(－2，－2)的距离为42，又点(－2，－2)不在已知直线上，故d ＞0，所以0＜d ≤4 2.答案：0＜d ≤4 27．圆x 2＋y 2－2x －3＝0与直线y ＝ax ＋1交点的个数为________．解析：直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，而02＋12－2×0－3＜0，即点在圆内，所以直线与圆相交，有两个交点．答案：28．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________． 解析：由题意知A 、B 两点在圆上，∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心．又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1.∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.y ＝－x ＋3与x ＝3联立得圆心C 的坐标为(3,0)， ∴r ＝BC ＝3－22＋0－12＝ 2.∴圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.答案：(x －3)2＋y 2＝29．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A 、C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标是________．解析：设B (x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1BC ＝AC ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－43－0·y －3x －3＝－1x －32＋y －32＝0－32＋4－32. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝6，∴B (2,0)或B (4,6)．答案：(2,0)或(4,6)10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x ＝4－y 2与直线x ＝m 有且只有一个公共点，则实数m 等于________．解析：∵曲线x ＝4－y 2，即为x 2＋y 2＝4(x ≥0)．其图形是如图所示的半圆．∴直线x ＝m 与半圆有且只有一个公共点时m ＝2.答案：211．直线x －y ＋1＝0与2x －2y －1＝0是圆的两条切线，则该圆的面积是________．解析：∵两平行直线间的距离即为圆的直径．∴2R ＝|1＋12|2＝324， ∴R ＝328， ∴S 圆＝πR 2＝932π. 答案：932π 12．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y＝x －5. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32， 解得x ＝1或x ＝277. 即点P 的坐标是(1，－4)或(277，－87)． 答案：(1，－4)或(277，－87)13．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，则半径R 的取值范围是________．解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y＝11的距离等于1，结合图形可知，半径R 的取值范围是1＜R ＜3.答案：(1,3)14．函数f (x )＝(x －2 012)(x ＋2 013)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个交点，则此圆与坐标轴的另一交点坐标是________．解析：依题意得，函数f (x )＝(x －2 012)(x ＋2 013)的图象与x 轴、y 轴的交点分别是A (－2 013,0)、B (2 012，0)、C (0，－2 012×2 013)．设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴的另一交点为D (0，y 0)，圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程的两根即为A 、B 两点的横坐标，∴F ＝－2 013×2 012.又令x ＝0，得y 2＋Ey －2 013×2 012＝0，此方程的二根就是C 、D 两点的纵坐标，∴y 0×(－2 012×2 013)＝－2 013×2 012，所以y 0＝1，即经过A 、B 、C 三点的圆与y 轴的另一个交点D 的坐标是(0,1)．答案：(0,1)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2014·绍兴检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3×－1＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分14分)(2014·高安高一检测)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (2,1)引圆的切线，求切线方程．解：当切线斜率存在时，设切线的方程为y －1＝k (x －2)即：kx －y －2k ＋1＝0， ∵圆心(0,0)到切线的距离是2，∴|－2k ＋1|1＋k2＝2，解得k ＝－34， ∴切线方程为－34x －y ＋32＋1＝0， 即3x ＋4y －10＝0.当切线斜率不存在时，又x ＝2与圆也相切，所以所求切线方程为3x ＋4y －10＝0和x ＝2.17．(本小题满分14分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相切，求实数m 的值．解：对于圆C 1与圆C 2的方程配方，得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2，圆C 1与圆C 2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切．(1)当圆C 1与圆C 2相外切时，有C 1C 2＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理，得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2；(2)当圆C 1与圆C 2相内切时，有C 1C 2＝|r 1－r 2|，即m ＋12＋m ＋22＝1，整理，得m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或m ＝－2.综上所述，当m ＝－5或m ＝－1或m ＝±2时，圆C 1与圆C 2相切．18．(本小题满分16分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，(1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l ：x ＋2y －4＝0与圆C 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故5－m ＞0，即m ＜5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线OM ，ON 的斜率显然都存在，由OM ⊥ON ，得y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.又因直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所以Δ＝162－20(m ＋8)＞0，得m ＜245，且y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85，所以x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝4m －165.代入①，得m ＝85，满足m ＜245. 所以m ＝85. 19．(本小题满分16分)已知圆C 经过两点P (－1，－3)，Q (2,6)，且圆心在直线x ＋2y －4＝0上，直线l 的方程为(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0.(1)求圆C 的方程；(2)证明：直线l 与圆C 恒相交；(3)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋9－D －3E ＋F ＝04＋36＋2D ＋6E ＋F ＝0－D 2＋2×－E 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20， ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.(2)证明：由(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0，得k (x －3)－(x －2y －5)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，即直线l 过定点(3，－1)， 由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内，∴直线l 与圆C 恒相交．(3)圆心C (2,1)，半径为5，由题意知，直线l 被圆C 截得的最短弦长为252－[2－32＋1＋12]＝4 5.20.(本小题满分16分)如图，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB ；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程；(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式．解：(1)如图所示，过点O 做OG ⊥AB 于G ，连结OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴OG ＝|0＋0－1|2＝22. 又∵r ＝22，∴GA ＝ 8－12＝152＝302， ∴AB ＝2GA ＝30.(2)当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴AB 的点斜式方程为y －2＝12(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.(3)设AB 的中点为M (x ，y )，当AB 的斜率存在时，设为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k x ＋1，y ＝－1k x ， 消去k ，得x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.。

2021年高中数学第二章平面解析集合初步单元测试苏教版必修21.若直线与直线互相垂直，那么的值等于；2.若点到直线的距离不大于3，则的取值范围是；3. 点关于直线对称点是；4.直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是；5.将直线绕点(1 , 0)顺时针旋转所得的直线方程是6.已知直线的斜率满足，则直线的倾斜角的范围是_____________；若已知直线的倾斜角满足，则直线的斜率的取值范围是_______7.经过两点和，并且圆心在轴上的圆的方程为8．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置是9. 两条曲线y=a|x|和y=x+a(a>0)有两个不同的公共点，则a的取值范围是10. 若动点分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为11. 动圆x2+y2－6mx－2(m－1)y+10m2－2m－24=0的圆心轨迹方程是12. 已知，，若，则的取值范围是；13. 一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是14．圆相交，则m的取值范围是15. 三条直线l1：2x－y－10=0，l2：4x+3y－10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一点，求a的值16.光线l过点P(1，－1)，经y轴反射后与圆C:(x－4)2+(y－4)2=1相切，求光线l所在的直线方程17. 已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程18. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．19．已知直线l：kx－y－3k=0，圆M：x2＋y2－8x－2y＋9=0（1）求证：直线l与圆M必相交；（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程20. 如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系（已帮你建好），求动点P的轨迹方程第38课时本章测试1、-22、3、4、5、 6、7、 8、圆外 9、 10、 11、12、 13、 4 14、15、(本来是想考能构成三角形的的范围的)16、设l与y轴的交点(即反射点)为Q,点P关于y轴的对称点为P′(－1，－1).由光学知识可知直线P′Q为反射线所在的直线，且为圆C的切线.设P′Q的方程为y+1=k(x+1)，即kx－y+k－1=0,由于圆心C(4，4)到P′Q的距离等于半径长，∴=1.解得k=或k=.由l与P′Q关于y轴对称可得l的斜率为－或－，∴光线l所在的直线方程为y+1=－(x－1)或y+1=－(x－1),即4x+3y－1=0或3x+4y+1=0.17、或18、设圆心为，半径为r，由条件①：，由条件②：，从而有：．由条件③：，解方程组可得：或，所以．故所求圆的方程是或．19、直线恒过点（3，0）在圆内，（2）20、以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），由已知，得。