理科小综合——解析几何

解析几何综合问题引例：已知)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(2F ，离心率为e ； （1）若e=23，求椭圆的方程； （2）设直线kx y=与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段AF 2,BF 2的中点，若坐标原点O 在以直线MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围例1：椭圆C ：1422=+y x ，过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E 、F ，根据以下条件，尝试把几何关系转化为代数关系：（1）设B （0，41-），若BE=BF ，求直线l 的斜率；（2）A 是椭圆的右顶点，且∠EAF 的角平分线是x 轴，求直线l 的方程；（3）以线段OE 、OF 为邻边作平行四边形OEFP ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求O 到直线l 距离最小值；（4）若以EF 为直径的圆过原点，求直线l 的斜率；（5）点M 为直线y=21x 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

例2：设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+Q F F F ,若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G 、H 两点，（点G 在M 、H 之间）（1）求椭圆方程；（2）设直线l 1的斜率k>0,在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得PG 、PH 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由。

小结：（1）借助几何直观，把几何条件准确代数化，尽量减少变量个数；（2）明确算理，注意量与量的关系；（3）要有坚强的毅力，只要目标明确，坚持比方法重要。

高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。

高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。

其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。

试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。

一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

2．会简单应用空间两点间的距离公式。

四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。

5．理解数形结合思想。

了解圆锥曲线的简单应用。

四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。

理科解析几何求最值问题（一）27．（本小题满分13分）已知动点M 到点F （1，0）的距离，等于它到直线1x =-的距离. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l 分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N.设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求△FPQ 面积的最小值.8．（13分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 9．（本小题满分13分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1,0), 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ,B 两点. （Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.A FMNyxl10.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0=⋅OB OA ,求AOB ∆面积的最小值； （Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.11．如图，椭圆22:13620x y C +=的左顶点、右焦点分别为,A F ，直线l 的方程为9x =，N 为l 上一点，且在x 轴的上方，AN 与椭圆交于M 点（1）若M 是AN 的中点，求证：MF MA ⊥.（2）过,,A F N 三点的圆与y 轴交于,P Q 两点，求||PQ 的范围.12．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设()4,0P -，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，当线段MN 的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围.答案： 7．（本小题满分13分）解：（1）设动点M 的坐标为（x ，y ），由题意得，|1|)1(22+=+-x y x ，化简得.42x y =所以点M 的轨迹C 的方程为.42x y =………………4分 （2）设A 、B 两点坐标分别为),,(),,(2211y x y x 则点P 的坐标为).2,2(2121y y x x ++由题意可设直线l 1的方程为)0)(1(≠-=k x k y ， 由.0)42(),1(,422222=++-⎩⎨⎧-==k x k x k x k y x y 得016164)42(2422>+=-+=∆k k k 因为直线1l 与曲线C 交于A 、B 两点，所以.4)2(,422121221k x x k y y kx x =-+=++=+ 所以点P 的坐标为).2,21(2kk +由题知，直线2l 的斜率为.1k -同理可得点Q 的坐标为).2,21(2k k -+当1±≠k 时，有222121k k +≠+，此时直线PQ 的斜率.1212122222k k k kkk k PQ -=--++=所以直线PQ 的方程为).21(1222k x kk k y ---=+整理得.0)3(2=--+y k x yk 于是，直线PQ 恒过定点E(3,0). 当1±=k 时，直线PQ 的方程为3=x ，也过点E(3,0).综上所述，直线PQ 恒过定点E （3,0）.……………………………………10分 （3）因为.4|)|||1(2|)|2||2(||21S ,2||≥+=+=∆=k k k k FE FPQ FE 面积则 当且仅当1±=k 时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4.………13分 8．（13分）解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在且不得0， 则可设直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24,1x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，显然216160k ∆=+>. 所以124x x k +=，124x x =-. ………………………………………………2分由24x y =，得214y x =，所以'12y x =，所以，直线AM 的斜率为112AM k x =， 所以，直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=-，又2114x y =，所以，直线AM 的方程为 112()x x y y =+①。

理科解析几何求最值问题（一）11．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0,2)F ，且长轴长与短轴长的比是2:1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．2.（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.3.（本小题共14分）已知直线l ：1+=kx y 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 相交于B A ,两点．（Ⅰ）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，)(k S 表示OAB ∆的面积，13)]([)(22++=k k S k f ，求)(k f 的最大值.FMxyO PQ4.（本小题共14分）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点． （Ⅰ）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求ANB ∆面积的最小值；（Ⅲ）当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：① 直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ② ANB ∆面积的最小值是多少？ 5．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．6．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，长轴长为32，直线m kx y l +=:交椭圆于不同的两点A 、B 。

2012年—2017年新课标全国卷Ⅰ理科数学试题分类汇编9．解析几何一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅< ，则0y 的取值范围是（ ）A ．(33-B ．(,)66-C ．(33-D ．(33- 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m【2014，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A ．72B ．52C ．3D ．2【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【2013，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8【2011，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3 二、填空题【2017，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2015，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．【2011，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．三、解答题【2017，20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2 ），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【2016，20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【2015，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【2014，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【2013，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2011，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2012年—2017年新课标全国卷Ⅰ理科数学试题分类汇编9．解析几何（解析版）一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-， 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ． 【2016，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ） A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．F【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅< ，则0y 的取值范围是（ ）A．(33-B．(,)66- C．(33- D．(33- 解析：从120MF MF ⋅< 入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12FF 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，1112M F M F -=-12F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得0||y =，则M 在双曲线的 12M M 或 34M M 上运动，0y∈(，故选A ．.【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 AB .3 CD .3m【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C的一条渐近线的距离d =A. 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ，∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±，∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 【2013，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 解析：选D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2aF Q c =-， 所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ．【2012，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B两点，||AB =，则C 的实轴长为（ ）AB．C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B 二、填空题【2017，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．（15）【解析】如图，OA a =，AN AM b ==， ∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =，∴tan AP OP θ==tan b a θ=b a =，解得223a b =，∴e = 【法二】如上图可知(,0)A a 到渐进线0bx ay -=的距离为abd AP c===， 1,60,cos cos302ab AP AMN a c AN AM b AMN AN b c e∠==∠=∴=====又，e ∴= 【法三】如图在等边三角形AMN ∆中,,AP FH b == 由OAP OFH ∆∆知2aa e cbc =⇒==； 【法四】如图，由等面积法可得，在三角形OAN 中，12223ab c c e a =⇒==；【法五】因为,AM b OA a ==且渐进线bxy a=可得三角形OAN 为 双曲线三角线（即三边分别为,,a b c ），有几何意义易得30MAP MOA ∠=∠=tan 33b MOA e a ∴∠====；【2015，14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-；（方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=.（方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. 【2014，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 【解析】选C ，过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 【2011，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ．解析：由2416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a=4.c=从而b=8,221168x y ∴+=为所求． 三、解答题【2017，20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1有三点在椭圆C 上．|MN （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点，将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，， 联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=， 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-= 222228888144414kb k kb kbk b k--++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠，21b k ⇒=--，此时64k ∆=-， 存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，． 【2016，20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；四边形【解析】Q ∴⑵ 1C()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+ 【2015，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.解：（Ⅰ）当0k =时，点)M a和()N a -，2xy '=，故x =y a x --0y a --=；同理，x =-y a x -=+0y a ++=.（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.【2014，20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF 的O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c，由条件知2c =c =又c a =， 所以a=2 ，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. …….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =从而12214PQ x k =-=+，又点O 到直线PQ的距离d =，所以∆OPQ的面积12OPQ S d PQ ∆==t =，则0t >，244144OPQt S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，k =0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l的方程为：2y x =-或2y x =-. ……12分【2013，20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点． （1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值． 【解析】（1）若∠BFD =90°，则△BFD 为等腰直角三角形，且|BD|=2p ，圆F的半径||r FA =， 又根据抛物线的定义可得点A 到准线l 的距离||d FA ==．因为△ABD 的面积为24，所以1||2BD d ⋅⋅=122p ⋅= 所以24p =，由0>p ，解得2p =．从而抛物线C 的方程为24x y =，圆F 的圆心F （0，1），半径||r FA == 因此圆F 的方程为22(1)8x y +-=． （2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 则AB 为圆F 的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得1||||||2AD FA AB ==，所以30ABD ∠=︒，从而直线m或当直线mm的方程为2p y x =+，原点O 到直线m的距离1pd =．依题意设直线n的方程为y x b =+，联立22y x b x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得220x px pb -=， 因为直线n 与C 只有一个公共点，所以24803p pb ∆=+=，从而6pb =-． 所以直线n的方程为36p y x =-，原点O 到直线n的距离2pd =． 因此坐标原点到m ，n 距离的比值为12236p dpd ==．当直线m的斜率为m ，n 距离的比值也为3．【2011，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -. 所以(),1,MA x y =--- ，()0,3,MB y =-- ，(),2AB x =-.再由题意可知()0MA MB AB +⋅= ，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2124y x =-.（II ）设()00,P x y 为曲线21:24C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x .因此直线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=.则O 点到l的距离d . 又200124y x =-，所以2014122x d +⎫=≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2.2012年—2017年新课标全国卷ⅡⅢ理科数学试题分类汇编11．解析几何一、选择题（2017·9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）A ．2BCD （2016·4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34- C D ．2（2016·11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）A B ．32C D ．2（2015·7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10 （2015·11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D （2014·10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332 D ．94（2013·11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x = （2013·12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .1(1)2C .1(1]3D .11[,)32（2012·4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.21 B.32 C.43 D.54 （2012·8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ） A.2 B. 22 C. 4 D. 8 （2011·7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3 二、填空题（2017·16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2014·6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·14）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 过F 1的直线l交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 . 三、解答题（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = .（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·20）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当t =4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.（2015·20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .（2013·20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.（2012·20）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 面积为24，求p 的值及圆F 的方程； （Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.（2011·20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0, -1)，B 点在直线y =-3上，M 点满足//MB OA u u u r u u r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuur uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值 .2012年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编11．解析几何（逐题解析版）一、选择题（2017·9）A 【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，根据直线与圆的位置关系可求得=2e =. 解法二：设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =.（2016·4）A 解析：圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（2015·7）C 解析：由已知得，，所以k AB k CB =-1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1, -2)，半径为5，所以外接圆方程为(x -1)2+(y +2)2=25，令x =0，得，所以，故选C.（2016·11）A 解析：离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．（2015·11）D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，|AB |=|BM |，∠ABM =120º，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |=a，||MN ，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得a 2 = b 2 = c 2 -a 2，即c 2 = 2a 2，所以e =故选D.（2014·10）D 解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB的方程为3)4y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得||12AB =，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离0038d --==，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=. 【另解】直线AB的方程3)4y x =-代入抛物线方程得：2490y --=，∴12y y +=，1294y y ⋅=-，∴139244OAB S ∆=⨯.（2013·11）C 解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p.又点F 的坐标为(,0)2p ，所以以MF 为直径的圆的方程为220525()()224y x y -+-=.将x ＝0，y ＝2代入得2002404y y -+=，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得162(5)2pp =-，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 故选C.（2013·12）B 解析：由题意知b ∈(0, 1)，当直线过点(-1, 0)时，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点11(,)22，此时有-a +b =0且1122a b +=，解得13b =；当a =1时，直线y =ax +b 平行于直线AC ，要将△ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的1b =.（2012·4）C 解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22ac c -=， 所以34c e a ==.（2012·8）C 解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.（2011·7）B 解析：通径|AB |=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，故选B.二、填空题 （2017·16）6【解析】∵ 点M 为线段NF 的中点，∴ 1M x =，∴ 23M MF x =+=，∴ 26NF MF ==． （2014·6）[1,1]-解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM=∠∠，∴sin OMONM =∠，即OM ONM =∠，∵0O N M π≤∠≤，∴OM ≤，即≤011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||s i n 4O A O M =o =||12OM ≤，解得||OM ≤M (x0, 1)，所以||OM =，解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.（2011·14）221168xy ∴+= 解析：由416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a =4，c =b =8，221168x y ∴+=.三、解答题（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设()00,M x y ，()0,0N x ,(),P x y ，则：()0,NP x x y =-,()00,NM y = .又NP =,所以：())00,0,x x y y -=，则：00,x x y =.又()00,M x y 在椭圆C 上，所以：220012x y +=，所以：222x y+=. 解法二： 椭圆C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.设),sin M θθ，),0N θ,(),P x y ，则：(),NP x y θ= ,()0,sin NM θ=. 又NP=,所以：()),0,sin x y θθ=，则：,x y θθ==.则：222x y +=.（Ⅱ）解法一：设)Pθθ，()13,Q y -,()1,0F-,则)OP θθ=，()13,OQ y =-,()13,y PQ θθ=-，()1,PF θθ=-. 又1OP PQ ⋅=,所以：)()22113,y 2cos sin 2sin 1θθθθθθθθ⋅-=---=即：12s 2s i n 3θθ=-.那么：()()11,3,y 3sin 0PF OQ θθθθ⋅=-⋅-=+= .所以：PF OQ ⊥. 即过P 垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F 。

浅谈解析几何部分在高考中的重要地位发布时间：2021-06-17T16:16:44.610Z 来源：《文化研究》2021年7月下作者：李庆亮[导读] 解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。

提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。

黑龙江省实验中学黑龙江省哈尔滨市李庆亮 150001解析几何在高中数学中占有重要地位，是高考考察的重点内容，有一定的综合性。

提高解析几何复习的有效性，是一轮复习重点思考的内容。

首先教师要通过研究教材、课程标准、高考评价体系等提高自身的学科素养，从本质上把握该部分的重点和主次，有效的指导学生进行有效训练。

一、解析几何的本质和研究的重点问题（一）解析几何的本质平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科。

它的学科思想是用代数方法解决几何问题。

解析几何课教学的根本任务就是要引导学生能深刻领会“平面解析几何”的学科思想，把握“平面解析几何”这门学科的思维逻辑。

（二）解析几何中的研究的重点问题1.曲线与方程（1）如何求曲线方程。

对于形状已知的曲线，主要用定义法或待定系数法求解方程，用待定系数法求解方程，主要分三个步骤，先定位，再定型，最后再进行定量计算。

而对于形状未知的曲线，主要分直接法和间接法，直接法包括直译法、定义法；间接法，包括转移代入法、参数法、交轨法等。

（2）利用方程研究曲线的性质。

利用方程研究曲线的性质、用方程研究直线和曲线的位置关系。

2.点与坐标交点坐标相关问题，包括可求出的交点坐标问题（两条直线的交点、方程中没有参数、有一个坐标已知、直线过原点）；设而不求的交点坐标问题，韦达定理判别式、坐标代入方程。

（三）解析几何的逻辑结构图（代数和几何的结合）解析几何具有代数和几何双重特征，解析几何的主要研究对象有直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，其中圆锥曲线还包括椭圆、双曲线、抛物线。

解析几何研究方法，主要是对几何对象的研究，几何对象主要有几何图形、曲线方程和数值，通过几何特征对几何性质和位置关系进行研究，以及将几何问题代数化的重要方法。

《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。

6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。

空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。

本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。

学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。

三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。

主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。

第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。

第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。

第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。

第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。