2.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用

乘法公式的常用方法和技巧一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 ②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 ④系数变化，(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2=x2y2-(z+m)(z+m)=(x-y)(x-y)-z2=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2-xy-xy+y2-z2=x2y2-z2-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=(x2-y2)(x2+y2)=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=x4-y4=2x(-2y+2z)二、乘法公式的用法=-4xy+4xz(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时提高观察能力。

例1. 计算：()() 53532222 x y x y+-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两种以上公式解题。

（同一个公式不会超过2次）例2计算：()()zyxzyx523523-+--+()()()2222492332++-aaa(三)、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例3. 计算：()()22875875cbacba+---+(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2(四)、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ） A ．9995 B ．9896 C ．9996 D ．99972．计算20152－2014×2016的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 3．计算：(1)512＝____________； (2)298×302＝____________. 4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值 6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b的值为（ ）A ．－12 B.12C ．1D ．27．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9D ．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ）A ．10B ．23C ．25D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为1.10．(2016·巴中中考)若a ＋b ＝3，ab ＝2，则(a －b )2＝__________.11．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)899964．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋13⎝⎛⎭⎫40－13＝402－⎝⎛⎭⎫132＝159989； (2)原式＝10002（250＋2）2－（250－2）2＝100022502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）＝100022000＝500. 5．解：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B 9.1 10.111．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.(2)∵a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，∴(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

乘法公式的灵活运用宇文皓月一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变更，x y y x x2y2②符号变更，x y x y x2y2 x2y2③指数变更，x2y2x2y2x4y4④系数变更，2a b2a b4a2b2⑤换式变更，xy z m xy z mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2⑥增项变更，x y z x y zx y2z2x y x y z2x2xy xy y2z2x22xy y2z2⑦连用公式变更，x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变更，x y z2x y z 2x y zx y z x y zx y z2x 2y2z4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++=-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。

乘法公式的灵活应用骆付安（陇西县崇文中学，甘肃 定西 748000）平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 是初中数学的重要公式，应用广泛.运用这两个乘法公式解题时，要熟悉公式形式，根据题目特点灵活运用，使运算简便快捷.现从下面几方面举例说明.一、直接套用公式弄清题目中的哪些数或式可以看作公式中的a 、b ，对号入座，套用公式.例1 计算)2)(2(y x y x ---.分析: 两因式中的y -相同,x 2-与x 2互为相反数,因而运用平方差公式计算,y -是公式22))((b a b a b a -=-+中的a ,x 2是公式中的b .解: 22224)2()()2)(2(x y x y y x y x -=--=---. 例2 计算22)2(y x +-.分析: 若运用公式2222)(b ab a b a ++=+,则把x 2-看作公式中的a ,2y 看作b ；若把原式变形为22)2(x y -，则运用公式2222)(b ab a b a +-=-，可把2y 看作公式中的a ，x 2看作b .解: 22)2(y x +-=()()2222)2(22y y x x +⋅-⋅+-=42244y xy x +- ， 22)2(y x +-=()222x y -=2222)2(22)(x x y y +⋅⋅-=22444x xy y +-.二、连续运用公式连续使用一个或两个及两个以上的乘法公式解题.例3 计算))()()((4422y x y x y x y x +++-.解: ))()()((4422y x y x y x y x +++-=))()((442222y x y x y x ++-=))((4444y x y x +-88y x -=.例4 计算22222)()()(y x y x y x ++-.分析: 顺向考虑,若每个因式先平方再相乘,运算非常繁琐；若逆向考虑，利用2222)(abc c b a =，再利用乘法公式计算则非常简便. 解: 22222)()()(y x y x y x ++-=[]222))()((y x y x y x ++-=[]22222))((y x y x +-=[]244)(y x -=84482y y x x +-. 三、扩充使用公式就是把公式中的字母扩充为一个代数式，形成“整体”代入的动态模式，从而解决问题.例5 计算)52)(52(++-+-+z y x z y x .分析: 两个因式中的x 2与5分别相同,而y 与z 符号相反,因而可将原式适当变形,使之便于用平方差公式计算.解: )52)(52(++-+-+z y x z y x =[])()52(z y x -++[])()52(z y x --+=22)()52(z y x --+=222225204z yz y x x -+-++.四、逆向运用公式就是把公式左右两边交换位置，得到公式的逆向形式，然后运用其解决问题.例6 计算22)32()32(z y x z y x -+-+-.分析: 先平方展开,再合并同类项,这样计算会很繁琐,逆用平方差公式计算,消去一些项,则会使运算简化.解: 22)32()32(z y x z y x -+-+-=[])32()32(z y x z y x -+++-[])32()32(z y x z y x -+-+-=)64(2z y x +-xz xy 128+-=.五、正逆联用公式即在同一题目中使用公式的正向和逆向形式.例7 已知0))((4)(2=----z y y x z x ,求证:y z x 2=+.证明: ∵0))((4)(2=----z y y x z x∴ []0))((4)()(2=----+-z y y x z y y x∴ 0))((4)())((2)(22=----+--+-z y y x z y z y y x y x∴ 0)())((2)(22=-+----z y z y y x y x∴ []0)()(2=---z y y x , 即()022=+-z y x∴ 02=+-z y x ，y z x 2=+.乘法公式运用比较广泛，涉及的题型比较多，只有多做多练，才能熟 练掌握、灵活应用。

乘法公式的常用方法和技巧乘法公式是数学中常用且重要的计算方法之一，它能够帮助我们在进行乘法运算时更加高效和准确。

下面，将为大家详细介绍乘法公式的常用方法和技巧。

一、乘法公式的基本原理乘法公式是指两个或多个数相乘的计算规则。

在进行乘法运算时，我们往往需要根据这些基本原理进行计算。

1.乘法的交换律：a×b=b×a交换律可以帮助我们改变两个数的位置，使乘法运算更加方便。

例如，3×2=2×3=62.乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)结合律指的是，当多个数相乘时，它们的乘积不受括号的位置影响。

例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c分配律适用于当一个数与多个数的和相乘时，可以先将这个数与每个加数分别相乘，再将乘积相加。

例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14二、基本的乘数口诀为了在进行乘法运算时更加快速和准确，我们可以掌握一些基本的乘数口诀。

下面列举了几个常用的口诀：1.小学生口诀：小学生口诀是一种简单易记的乘法口诀，通常用于计算两个一位数相乘的结果。

例如，2×3=6，可以快速记忆为“脸上三毛”。

2.九九口诀：九九口诀是指九九乘法口诀表，其中列举了所有1-9的乘法结果。

学习并熟记九九口诀可以帮助我们快速计算两个一位数相乘的结果。

三、乘法的近似计算在实际应用中，我们有时候需要对两个较大的数进行乘法运算，这时候我们可以使用一些近似计算的方法，以减小计算量和提高计算速度。

1.精确数的近似：当两个数中至少有一个数很大时，我们可以对其中一个数取舍近似的值，以减小计算量。

例如，计算142×8时，我们可以近似后计算140×8=1120。

2.分割数的近似：对于两个较大的数相乘，我们可以将其中一个数分解成较小的数的和，再进行计算。

乘法公式的常用方法和技巧乘法公式是数学中常用的计算技巧之一，它能够简化乘法运算，提高计算效率。

本文将介绍乘法公式的常用方法和技巧，帮助读者掌握乘法运算的技巧，提高计算速度。

一、乘法的基本规律乘法的基本规律是：两个数相乘，积不变。

即a×b=b×a。

二、乘法的交换律乘法的交换律是：两个数相乘，乘积不变。

即(a×b)×c=a×(b×c)。

三、乘法的结合律乘法的结合律是：三个数相乘，不论先乘哪两个结果都相同。

即(a×b)×c=a×(b×c)。

四、乘法的分配律1.乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。

例如：2×(3+4)=2×3+2×4=142.乘法对减法的分配律：a×(b-c)=a×b-a×c。

例如：2×(4-3)=2×4-2×3=2五、乘法的特殊情况1.任何数与0相乘，结果都为0。

即a×0=0。

2.任何数与1相乘，结果都等于该数本身。

即a×1=a。

3.一个数与-1相乘，结果的符号相反。

即a×(-1)=-a。

4.一个数与一个小数相乘，可以将小数化成分数，再进行乘法运算。

六、乘法口诀乘法口诀是一种记忆乘法结果的技巧，可以快速计算乘法。

1×1=1，1×2=2，1×3=3，1×4=4，1×5=5，1×6=6，1×7=7，1×8=8，1×9=9；2×2=4，2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，2×7=14，2×8=16，2×9=18；3×3=9，3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21，3×8=24，3×9=27；4×4=16，4×5=20，4×6=24，4×7=28，4×8=32，4×9=36；5×5=25，5×6=30，5×7=35，5×8=40，5×9=45；6×6=36，6×7=42，6×8=48，6×9=54；7×7=49，7×8=56，7×9=63；8×8=64，8×9=72；9×9=81七、乘法运算技巧1.数字9的乘法技巧：-乘法表中，数字9的乘法结果以递减方式排列。

.乘法公式的灵敏运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，精确灵敏运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．2=+ba ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

乘法公式的灵巧应用一.温习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式,精确灵巧应用公式：①地位变更,x y y x x2y2②符号变更,x y x y x2y2 x2y2③指数变更,x2y2x2y2x4y4④系数变更,2a b2a b4a2b2⑤换式变更,xy z m xy z mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2⑥增项变更,x y z x y zx y2z2x y x y z2x2xy xy y2z2x22xy y2z2⑦连用公式变更,x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变更,x y z2x y z2x y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值.解：∵=+2)(b a 222b ab a ++∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值.解：∵=+2)(b a 222b ab a ++=-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：盘算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好相符平方差公式. 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值. 〖解析〗此题可用完整平方公式的变形得解. 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2,y-z=2,x+z=14.求x 2-z 2的值.〖解析〗此题若想根据现有前提求出x.y.z 的值,比较麻烦,斟酌到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只请求出x-z 的值即可.解：因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56.例6：断定（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接盘算是不成能盘算出一个数字的答案,故有必定的纪律可循.不雅察到1=（2-1）和上式可组成轮回平方差.解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时刻,这个数的随意率性正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6.例7．应用公式轻便盘算（1）1032（2）1982解：（1）10321003 2 10022100332100006009 10609（2）19822002 2 2002220022240000800 4 39204例8．盘算（1）a4b3c a4b3c（2）3x y23x y2解：（1）原式a3c4b a3c4b a3c24b2a26ac9c216b2（2）原式3x y23x y29x2y24y49x2y24y4例9．解下列各式（1）已知a2b213,ab6,求a b2,a b2的值.（2）已知a b 27,a b 24,求a2b 2,ab 的值.（3）已知a a 1a 2b2,求222a b ab +-的值.（4）已知13x x -=,求441x x +的值.剖析：在公式a b2a 2b 22ab 中,假如把a b ,a 2b 2和ab分离看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个.解：（1）∵a2b 213,ab 6a b 2a 2b 22ab 132625 a b2a 2b 22ab 13261（2）∵a b27,a b24a 22ab b 27 ①a 22ab b 2 4 ②①②得 2a 2b 211,即22112a b +=①②得 4ab3,即34ab =（3）由a a 1a 2b 2 得a b 2（4）由13x x -=,得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-=22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++=441119x x +=例10．四个持续天然数的乘积加上1,必定是平方数吗？为什么？ 剖析：因为1234125522345112111234561361192……得猜测：随意率性四个持续天然数的乘积加上1,都是平方数.解：设n,n1,n2,n3是四个持续天然数则n n1n2n3 1 n n3n1n2 1n23n22n23n1n23n n23n2 1 n23n12∵n是整数, n2,3n都是整数 n23n1必定是整数n23n1是一个平方数四个持续整数的积与1的和必是一个完整平方数.例11．盘算（1）x2x12（2）3m n p2解：（1）x2x12x22x2122x2x2x212x1x4x212x32x22xx42x33x22x1（2）3m n p23m2n2p223m n23m p2n p9m2n2p26mn6mp2np剖析：两数和的平方的推广a b c2a b c2a b22a b c c2a22ab b22ac2bc c2a2b2c22ab2bc2ac 即a b c2a2b2c22ab2bc2ac几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍. 二.乘法公式的用法(一).套用:这是最初的公式应用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的前因后果,精确地控制其特点,为辨认和应用公式打下基本,同时能进步学生的不雅察才能.例1. 盘算：()()53532222xyxy+- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y(二).连用:持续应用统一公式或连用两个以上公式解题.例2. 盘算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a例3. 盘算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x三.逆用:进修公式不克不及只会正向应用,有时还须要将公式左.右双方交流地位,得出公式的逆向情势,并应用其解决问题.例4. 盘算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c 四.变用: 标题变形后应用公式解题. 例5. 盘算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424五.活用: 把公式本身恰当变形后再用于解题.这里以完整平方公式为例,经由变形或从新组合,可得如下几个比较有效的派生公式： 灵巧应用这些公式,往往可以处理一些特别的盘算问题,造就分解应用常识的才能.例6. 已知a b ab -==45，,求a b 22+的值.解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 盘算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22例8. 已知实数x.y.z 知足x y z xy y +==+-592，,那么x y z ++=23（）解：由两个完整平方公式得：()()[]ab a b a b =+--1422从而()[]z x y y 2221459=--+-三.进修乘法公式应留意的问题（一）.留意控制公式的特点,认清公式中的“两数”．例1 盘算(-2x 2-5)(2x 2-5)剖析：本题两个因式中“-5”雷同,“2x 2”符号相反,因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ,而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2盘算(-a 2+4b )2剖析：应用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时,“-a 2”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ;若将标题变形为(4b -a 2)2时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）.留意为应用公式创造前提 例3盘算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．剖析：粗看不克不及应用公式盘算,但留意不雅察,两个因式中的“2x ”.“5”两项同号,“y ”.“z ”两项异号,因而,可应用添括号的技能使原式变形为相符平方差公式的情势．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕=(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4盘算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2剖析：若先用完整平方公式睁开,运算十分繁冗,但留意逆用幂的运算轨则,则可应用乘法公式,使运算轻便．解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2=[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1例5盘算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．剖析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项（2-1）,则可应用公式,使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）.留意公式的推广盘算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可论述为：多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍．例6盘算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）.留意公式的变换,灵巧应用变形公式例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;(2)已知：x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值．剖析：粗看似乎无从下手,但留意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简略．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知前提代入得100=103-3xy·10,∴xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8盘算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．剖析：直接睁开,运算较繁,但留意到由和及差的完整平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题轻易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）.留意乘法公式的逆应用例9盘算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．剖析：若按完整平方公式睁开,再相减,运算庞杂,但逆用平方差公式,则能使运算轻便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10盘算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2剖析：此题可以应用乘法公式和多项式的乘法睁开后盘算,但逆用完整平方公式,则运算更为轻便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．四.如何闇练应用公式：（一）.明白公式的构造特点这是精确应用公式的前提,如平方差公式的构造特点是：符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完整雷同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是雷同项的平方减去相反项的平方．明白了公式的构造特点就能在各类情形下精确应用公式．（二）.懂得字母的普遍寄义乘法公式中的字母a .b 可所以具体的数,也可所以单项式或多项式．懂得了字母寄义的普遍性,就能在更普遍的规模内精确应用公式．如盘算（x +2y －3z ）2,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了.（三）.熟习罕有的几种变更有些标题往往与公式的尺度情势不相一致或不克不及直接用公式盘算,此时要根据公式特点,合理调剂变更,使其知足公式特色．罕有的几种变更是：1.地位变更 如（3x +5y ）（5y －3x ）交流3x 和5y 的地位后即可用平方差公式盘算了．2.符号变更 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变成－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思虑：不变或不如许变,可以吗？）3.数字变更 如98×102,992,912等分离变成（100－2）（100+2）,（100－1）2,（90+1）2后就可以或许用乘法公式加以解答了．4.系数变更 如（4m +2n ）（2m －4n ）变成2（2m +4n ）（2m －4n ）后即可用平方差公式进行盘算了．5.项数变更 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变成（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再恰当分组就可以用乘法公式来解了．（四）.留意公式的灵巧应用有些标题往往可用不合的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使盘算更轻便．如盘算（a 2+1）2·（a 2－1）2,若分离睁开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方轨则后再进一步盘算,则异常轻便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）应用是远远不敷的,还要留意逆向（从右到左）应用．如盘算（1－221）（1－231）（1－241） (1)291）（1－2101）,若分离算出各因式的值后再行相乘,不但盘算繁难,并且轻易出错．若留意到各因式均为平方差的情势而逆用平方差公式,则碰巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011．有时有些问题不克不及直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式重要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ,a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7,mn =－18,求m 2+n 2,m 2－mn + n 2的值． 面临如许的问题就可用上述变式来解,即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85,m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103． 下列各题,难不倒你吧？！ 1.若a +a1=5,求（1）a 2+21a ,（2）（a －a1）2的值．2.求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23;（2）21．2. 6 ）五.乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2,(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2,(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特点,模拟公式进行直接.简略的套用． 例1盘算(2)(－2x －y)(2x －y)．(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y 2－4x 2．第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向应用． 例2盘算(1)19982－1998·3994＋19972;解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972=(1998－1997)2=1第三层次──活用 ：根据待求式的构造特点,探寻纪律,持续重复应用乘法公式;有时根据须要创造前提,灵巧应用公式．例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．剖析直接盘算繁琐易错,留意到这四个因式很有纪律,假如再增加一个因式“2－1”即可持续应用平方差公式,从而问题水到渠成．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．例4盘算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)剖析细心不雅察,易见两个因式的字母部分与平方差公式邻近,但常数不符．于是可创造前提─“拆”数：－1=2－3,5=2＋3,应用公式巧解．解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四层次──变用：解某些问题时,若能闇练地控制乘法公式的一些恒等变情势,如a2＋b2=(a＋b)2－2ab,a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等,则求解十分简略.明快．例5已知a＋b=9,ab=14,求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解：∵a＋b=9,ab=14,∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106,a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351第五层次──分解后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2分解,可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2);(a＋b)2－(a－b)2=4ab;等,合理地应用这些公式处理某些问题显得新鲜.简捷．例6盘算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．解：原式=14[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-14[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六.精确熟习和应用乘法公式1.数形联合的数学思惟熟习乘法公式：对于进修的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2.完整平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2;(a-b)2=a 2-2ab+b 2,可以应用数形联合的数学思惟办法来区分它们.假设a.b 都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来熟习乘法公式.如图1,两个矩形的面积之和（即暗影部分的面积）为(a+b)(a-b),经由过程阁下两图的对比,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2;图2中的两个图暗影部分面积分离为(a+b)2与(a-b)2,经由过程面积的盘算办法,即可得到两个完整平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2.2.乘法公式的应用技能：①提出负号：对于含负号较多的因式,平日先提出负号,以防止负号多带来的麻烦.例1、 应用乘法公式盘算：（1）(-1+3x)(-1-3x); （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x 2.（2） (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m 2+4m+1.②转变次序：应用交流律.联合律,调剂因式或因式中各项的分列次序,可以使公式的特点加倍显著.例2、 应用乘法公式盘算：（1）(13a-14b)(-14b-a 3); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 解：（1）(13a-14b)(-14b-a 3)=(-14b+13a)(-14b-13a) =(14b- 13a )(14b+13a )=(14b)2- (13a)2= 116b2- 19a2 (2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2+1/4)=(x 2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比方逆用平方差公式,得a 2-b 2 =(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得a n b n =(ab)n ,等等,在解题时常会收到事半功倍的后果.例3、 盘算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2 解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.（2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2 =[(a-1/2)(a 2+1/4)(a+1/2)] 2 =[(a-1/2) (a+1/2)(a 2+1/4)]2 =[(a 2-1/4) (a 2+1/4)] 2 =(a 4-1/16) 2 =a 8-a 4/8+1/256.④合理分组：对于只有符号不合的两个三项式相乘,一般先将完整雷同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完整平方公式进行盘算.盘算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2=1-(x 2+2xy+y 2)= 1-x 2-2xy-y 2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七.巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容,是往后进修的基本,应用极为普遍.尤其多项式乘多项式,运算进程庞杂,在解答中,要细心不雅察,卖力剖析标题中各多项式的构造特点,将其恰当变更,找出纪律,用乘法公式将其睁开,运算就显得轻便易行.一. 先分组,再用公式例1. 盘算：()()a b c d a b c d -+-----简析：本题若以多项式乘多项式的办法睁开,则显得异常庞杂.经由过程不雅察,将整式()a b c d -+-应用加法交流律和联合律变形为()()--++b d a c ;将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ,则从个中找出了特色,从而应用平方差公式即可将其睁开. 解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c二. 先提公因式,再用公式例2. 盘算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪简析：经由过程不雅察.比较,不难发明,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,并且消失雷同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变成244x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪,则可应用乘法公式.解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪24444x y x y三. 先分项,再用公式例3. 盘算：()()232236x y x y ++-+简析：两个多项中似乎没多大接洽,但先从雷同未知数的系数着手不雅察,不难发明,x 的系数雷同,y 的系数互为相反数,相符乘法公式.进而剖析若何将常数进行变更.若将2分化成4与-2的和,将6分化成4与2的和,再分组,则可应用公式睁开.解：原式=[]()()[]()()24232423x y x y +--++-四. 先整体睁开,再用公式例4. 盘算：()()a b a b +-+221简析：乍看两个多项式无接洽,但把第二个整式分成两部分,即[]()a b -+21,再将第一个整式与之相乘,应用平方差公式即可睁开. 解：原式[]=+-+()()a b a b 221五. 先补项,再用公式例5. 盘算：331313131842+++++()()()() 简析：由不雅察整式()31+,不难发明,若先补上一项()31-,则可知足平方差公式.多次应用平方差公式慢慢睁开,使运算变得轻便易行. 解：原式=+++++-331313131312842()()()()() 六. 先用公式,再睁开例6. 盘算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪… 简析：第一个整式1122-⎛⎝ ⎫⎭⎪可暗示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,由简略的变更,可看出整式相符平方差公式,其它因式相似变更,进一步变换成分数的积,化简即可. 解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪11211211311311411411101110…七. 乘法公式瓜代用 例7. 盘算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222 简析：应用乘法交流律,把第一个整式和第四个整式联合在一路,把第二个整式与第三个整式联合,则可应用乘法公式睁开.解：原式[][]=+++-+-()()()()x z x xz z x xz z x z 222222八.中考与乘法公式1. 结论凋谢例1.（02年济南中考）请你不雅察图1中的图形,根据图形面积的关系,不须要添加帮助线,即可得到一个你异常熟习的公式,这个公式是______________.剖析：应用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22或()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2222 在上述公式中随意率性选一个即可.例2.（03年陕西中考）如图2,在长为a 的正方形中挖失落一个边长为b 的小正方形（a b >）,把余下的部分剪成一个矩形,如图3,经由过程盘算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________.剖析：应用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-2. 前提凋谢例 3.（03年四川中考）多项式912x +加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完整平方,则加上的单项式可所以____________（填上你以为精确的一个即可,不必斟酌所有的可能情形）.剖析：解答时,可能习惯于按教材上的完整平方公式,得出 ()9163122x x x ++=+ 或()9163122x x x +-=-只要再动点头脑,还会得出9191222x x +-= 故所加的单项式可所以±6x ,或8144x ,或-1,或-92x等.3. 找纪律例4. （01年武汉中考）不雅察下列各式：由猜测到的纪律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________.剖析：由已知等式不雅察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…4. 推导新公式例5.在公式()a a a +=++12122中,当a 分离取1,2,3,……,n 时,可得下列n 个等式将这n 个等式的阁下双方分离相加,可推导出乞降公式： 123++++=…n __________（用含n 的代数式暗示）剖析：不雅察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式阁下双方分离相加,得：()n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222… 移项,整顿得：。