人大附中初三年级数学练习压轴题

2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（八）2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（八）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． ．C 2．（4分）（2011•大兴区一模）截止到2011年4月9日0时，北京小客车指标申请累计收到个人申请491671个，3．（4分）（2011•大兴区一模）如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，若AD=5，CD=3，DE=4，则AB 的长为（ ）． C D ．4．（4分）（2007•宁夏）某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m ），这一小组的频率为5．（4分）（2011•大兴区一模）布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出． C D ．． C D ．7．（4分）（2010•乌鲁木齐）如图，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的弧DE 上，若AO=3，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为（ ）D．ππ8．（4分）（2011•大兴区一模）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2010•济宁）函数中，自变量x的取值范围是_________．10．（4分）（2013•玉溪）分解因式：ax2﹣ay2=_________．11．（4分）（2013•密云县二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=_________．12．（4分）（2011•大兴区一模）将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为_________，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为_________（用含n 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2012•相城区一模）计算：．14．（5分）（2010•乌鲁木齐）解不等式组15．（5分）（2011•大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．16．（5分）（2006•中山）直线y=k1x+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式．17．（5分）（2013•通州区一模）列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？18．（5分）（2011•大兴区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在一次函数y=﹣x+m的图象上，且AB=OB=5．求一次函数的解析式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2011•大兴区一模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，上底AD=8，AB=12，CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长．20．（5分）（2011•大兴区一模）如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处．请你判断∠x+∠y 的度数，并加以证明．21．（5分）（2010•崇左）2010年5月20日上午10时起，2010年广州亚运会门票全面发售．下表为抄录广州亚运（1）其中观看羽毛球比赛的门票有_________张；观看田径比赛的门票占全部门票的_________%．（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给部分员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小丽抽到艺术体操门票的概率是_________；（3）若购买的田径门票的总价钱占全部门票的，试求每张田径门票的价格．22．（5分）（2011•大兴区一模）一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积．要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B点重合；（2）写出画图步骤；（3）写出所画的平行四边形的名称．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F．（1）求OA，OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由．24．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角．（1）当∠A=∠B时，则CD与AB的位置关系是CD_________AB，大小关系是CD_________AB；（2）当∠A＞∠B时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论．25．（8分）（2011•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB 分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（八）参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．．C，再找到﹣的相反数即可．的倒数是﹣，﹣的相反数是2．（4分）（2011•大兴区一模）截止到2011年4月9日0时，北京小客车指标申请累计收到个人申请491671个，3．（4分）（2011•大兴区一模）如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，若AD=5，CD=3，DE=4，则AB的长为（）．C D．∴AB=．4．（4分）（2007•宁夏）某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63（单位：m），这一小组的频率为．5．（4分）（2011•大兴区一模）布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出．C D．种，所以概率为．6．（4分）下列图形中，阴影部分面积为1的是（）． C D ．S=，顶点坐标为（﹣，S=1=S=，（S=2；7．（4分）（2010•乌鲁木齐）如图，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的弧DE 上，若AO=3，∠1=∠2，则扇形ODE 的面积为（ ）． π π D的面积为8．（4分）（2011•大兴区一模）如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（）﹣x二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2010•济宁）函数中，自变量x的取值范围是x≥0．10．（4分）（2013•玉溪）分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．11．（4分）（2013•密云县二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=90°．1=∠2=（∠2=∠AOE+BOE==12．（4分）（2011•大兴区一模）将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．个图中，剩余图形的面积为或﹣故答案为：；三、解答题（本题共30分，每小题5分）=+1+，然后合并即可．﹣+1+14．（5分）（2010•乌鲁木齐）解不等式组15．（5分）（2011•大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．16．（5分）（2006•中山）直线y=k1x+b与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式．双曲线17．（5分）（2013•通州区一模）列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？18．（5分）（2011•大兴区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在一次函数y=﹣x+m的图象上，且AB=OB=5．求一次函数的解析式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2011•大兴区一模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，上底AD=8，AB=12，CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长．20．（5分）（2011•大兴区一模）如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处．请你判断∠x+∠y 的度数，并加以证明．AB=BF=AF=21．（5分）（2010•崇左）2010年5月20日上午10时起，2010年广州亚运会门票全面发售．下表为抄录广州亚运（1）其中观看羽毛球比赛的门票有30张；观看田径比赛的门票占全部门票的20%．（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给部分员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小丽抽到艺术体操门票的概率是；（3）若购买的田径门票的总价钱占全部门票的，试求每张田径门票的价格．100=．=22．（5分）（2011•大兴区一模）一块矩形纸片，利用割补的办法可以拼成一块与它面积相等的平行四边形（如图1所示）：请你根据图1作法的提示，利用图2画出一个平行四边形，使该平行四边形的面积等于所给的矩形面积．要求：（1）画出的平行四边形有且只有一个顶点与B点重合；（2）写出画图步骤；（3）写出所画的平行四边形的名称．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F．（1）求OA，OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形．那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由．CE=BE=，24．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠A、∠B均为锐角．（1）当∠A=∠B时，则CD与AB的位置关系是CD∥AB，大小关系是CD＜AB；（2）当∠A＞∠B时，（1）中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论．25．（8分）（2011•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB 分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．S=•可得点）由题意得•，，得y=+∴CE=，，y=x+=x+xx+x+﹣|﹣x+∴=，，﹣，∴=，，﹣）参与本试卷答题和审题的老师有：zxw；zhqd；CJX；zhxl；sd2011；lanchong；心若在；py168；lf2-9；ZHAOJJ；Linaliu；733599；gsls；zcx；thx；caicl；fxx；sjzx；kuaile；自由人；cair。

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题（含答案）1．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．（2）若=，求α的大小．（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②利用三角形的外角的性质计算即可；（2）只要证明△FCE∽△ACB，可得==，Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=，推出∠FCA=30°，即α=30°．（3）在Rt△ABC，和Rt△CBE中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：②∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α．（2）在△FCE和△ACB中，∠CFE=∠CAB=45°，∠FCE=∠ACB=90°，∴△FCE∽△ACB，∴=∵=∴=连结FA，∵∠FCA=90°﹣∠ACE，∠ECB=90°﹣∠ACE，∴∠FCA=∠BCE=α，在Rt△CFA中，∠CFA=90°，cos∠FCA=∴∠FCA=30°，即α=30°．（3）结论：AB2=2CF2+2BE2．理由：∵AB2=AC2+BC2=2BC2，BC2=CE2+BE2=CF2+BE2，∴AB2=2CF2+2BE2．【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．（1）当⊙O的半径为1时，①点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）中，⊙O的关联点有P1，P2．②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标x的取值范围．（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围．【分析】（1）①利用两圆的位置关系即可判断；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2）根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题；【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（1，），P3（0，3）∴OP1=，OP2=2，OP3=3，∴半径为1的⊙P1与⊙O相交，半径为1的⊙P2与⊙O相交，半径为1的⊙P3与⊙O相离1，∴⊙O的关联点是P1，P2；故答案为：P1，P2；②如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于 P1，P2两点．线段P1，P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此﹣≤x≤．（2）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点，∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，2﹣1 为半径的圆．综上所述，2﹣1≤r≤3．【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为xcm，BD长为ycm（当D与A重合时，y=4；当D与B重合时y=0）．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈ 2.9 ．（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为2.3 cm．【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．【解答】解：（1）根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得：（3）当DB=AE时，y与x满足y=x，在（2）图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．4．（7分）已知抛物线：y=mx2﹣2mx+m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）若直线l1经过（2，0）点且与x轴垂直，直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点，且l1与l2的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．（3）已知点A（0，2），点A关于x轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定P点坐标，然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可；（3）分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值，然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围．【解答】（1）解：∵y=mx2﹣2mx+m+1=m（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）；（2）易得直线l2的表达式为y=x，当x=2时，y=x=2，则P（2，2），把P（2，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2，解得m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2；（3）点A（0，2）关于x轴的对称点B的坐标为（0，﹣2），当抛物线过A（0，2）时，把A（0，2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2，解得m=1，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，0＜m≤1；当抛物线过B（0，﹣2）时，把B（0，﹣2）代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2，解得m=﹣3，结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时，﹣3≤m＜0；综上所述，m的取值范围是 0＜m≤1或﹣3≤m＜0．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．5．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， =．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．（1）求证：AC=CE．（2）若AE=8，sin∠BAF=求DF长．【分析】（1）连接BC，想办法证明AC=BC，EC=BC即可解决问题；（2）首先证明∠DBF=∠BAF，可得sin∠BAF=sin∠DBF==，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连结BC．∵AB是的直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°，∵=，∴AC=BC∴∠CAB=45°．∵AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴∠ABE=90°，∴∠AEB=45°，∴AB=BE，∴AC=CE．（2）在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AE=8，AE=BE ∴AB=8，在Rt△ABF中，AB=8，sin∠BAF=，解得：BF=6，连结BD，则∠ADB=∠FDB=90°，∵∠BAF+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBF=90°，∴∠DBF=∠BAF，∵sin∠BAF=，∴sin∠DBF=，∴=，∴DF=．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．8．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．9．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．11．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．。

2025届北京人大附中九年级数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分） 1．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个．A ．4B ．3C ．2D ．12．某同学推铅球，铅球出手高度是53m ，出手后铅球运行高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数表达式为2(4)3y a x =-+，则该同学推铅球的成绩为（ ）A ．9mB ．10mC ．11mD ．12m3．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣64．如图所示的工件，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，是中心对称的图形的是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．正五边形6．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口25万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至9万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意可列方程（ ） A ．25（1﹣2x ）＝9 B ．225(1)9x -= C ．9（1+2x ）＝25D ．225(1)9x +=7．若x=2y ，则xy的值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．138．如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A (4,2),B (3,0),以原点为位似中心,A'B'与AB 的相似比为12,得到线段A'B'.正确的画法是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A 点是反比例函数()0ky k x=≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO ∆的面积为3，则k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．下列命题错误的是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线相等D ．对角线相等的四边形是矩形11．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ,若5AC =，2BC =，则cos ACD ∠的值为（ ）A ．255 B ．53C ．52D ．2312．下列各选项的事件中，发生的可能性大小相等的是（ ） A ．小明去某路口，碰到红灯，黄灯和绿灯 B ．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”C ．小亮在沿着Rt △ABC 三边行走他出现在AB ，AC 与BC 边上D ．小红掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数” 二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数()2(1y x m m =--+是常数)，当02x ≤≤时，函数y 有最大值2-，则m 的值为_____．14．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()p kPa 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为31m 时，气压是__________kPa ．15．已知一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx的图象相交于A (4，2)，B (－2，m )两点，则一次函数的表达式为____________．16．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，同时一棵树在地面上的影子长12米，则树的高度为_____米．17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．18．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，某实践小组为测量某大学的旗杆BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1米的测角仪测得旗杆顶端H 的仰角30HDE ∠=︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走15米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角45GEF ∠=︒，点、、A B C 三点在同一水平线上，(参考数据：3 1.7≈)（1）计算旗杆BH 的高； （2）计算教学楼CG 的高．20．（8分）如图，已知ABC ∆的三个顶点坐标为()2,3A -，()6,0B-，()1,0C -.（1）将ABC ∆绕坐标原点O 旋转180︒，画出旋转后的A B C '''∆，并写出点A 的对应点A '的坐标 ； （2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒，直接写出点A 的对应点Q 的坐标 ； （3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标 . 21．（8分）如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点()2,0A ，点()4,3B -.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）点P 是线段AB 上的一点，当:2:3AOP AOB S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB 绕点A 顺时针旋转120︒，点B 落在点C 处，连结CP ，求APC ∆的面积，并直接写出点C 的坐标.22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间具有某种函数关系，其对应规律如下表所示 售价x （元/本） … 22 23 24 25 26 27 … 销售量y （件）…363432302826…（1）请直接写出y 与x 的函数关系式： ．（2）设该文店每周销售这种纪念册所获得的利润为W 元，写出W 与x 之间的函数关系式，并求出该纪念册的销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册每周所获利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡AB 的坡角为20︒，水平线12,, 1.5AC m CD AC CD m =⊥=.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到 0.1m ，参考数据：200.34sin ≈，200.94cos ≈，200.36tan ≈)．25．（12分）如图，矩形AOBC 放置在平面直角坐标系xOy 中，边OA 在y 轴的正半轴上，边OB 在x 轴的正半轴上，抛物线的顶点为F ，对称轴交AC 于点E ，且抛物线经过点A （0，2），点C ，点D （3，0）．∠AOB 的平分线是OE ，交抛物线对称轴左侧于点H ，连接HF ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26．某配餐公司有A，B两种营养快餐。

北京市人大附中2013年中考数学冲刺试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．（4分）﹣的绝对值是（）﹣小于解：∵﹣|=﹣（﹣）．2．（4分）据《北京日报》报道，去年北京批准约209亿元公积金贷款投入保障房建设，数3．（4分）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）4．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）5．（4分）下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，6．（4分）已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方7．（4分）为吸引顾客，石景山万达广场某餐饮店推出转盘抽奖打折活动，如图是可以自由转动的转盘，转盘被分成若干个扇形，转动转盘，转盘停止后，指针所指区域内的奖项可作为打折等级（若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），其中一等奖打九折，二等奖打九五折，三等奖赠送小礼品．小明和同学周六去就餐，他们转动一次转盘能够得到九折优惠的概率是（）=×45°，=8．（4分）已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD﹣EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP=2PB，GQ=QC，若将这个正方体纸盒沿折线AP﹣PQ﹣QH裁剪并展开，得到的平面图形是（）BF=DH CQ=CG=二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）将二次函数y=x2+6x+5配方为y=（x﹣h）2+k形式，则h= ﹣3 ，k= ﹣4 ．10．（4分）因式分解：x3﹣4xy2= x（x+2y）（x﹣2y）．11．（4分）已知：如图，AB，BC为⊙O的弦，点D在AB上，若OD=4，BC=10，∠ODB=∠B=60°，则DB的长为 6 ．OG=OE=212．（4分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B1、点C1的坐标分别为（1，0），，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2．将△OB2C2绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m 倍，使OB3=OC2，得到△OB3C3，如此下去，得到△OB n C n．（1）m的值是 2 ；（2）△OB2011C2011中，点C2011的坐标：（）．=）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）．14．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．，15．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC于E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D 在线段EC上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△AFD≌△AFB．（1）DF∥BC；（2）BF=DF．16．（5分）已知：2x2+6x﹣4=0，求代数式的值．（17．（5分）已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？中，=中，∴=27﹣；则反比例解析式为：）根据图象可得：或18．（5分）为继续进行旅游景区公共服务改造，某市今年预算用资金41万元在200余家A 级景区配备两种轮椅1100台，其中普通轮椅每台360元，轻便型轮椅每台500元．（1）若恰好全部用完预算资金，能购买两种轮椅各多少台？（2）由于获得了不超过4万元的社会捐助，问轻便型轮椅最多可以买多少台？，四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）已知：如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，∠CDA=60°，AB=AD，AB=4，DF=2，求BF的长．∴AH=ADsin60°=．．20．（5分）已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠ABE=，CD=2，求⊙O的半径．，，，，，，的半径为．21．（5分）远洋电器城中，某品牌电视有A，B，C，D四种不同型号供顾客选择，它们每台的价格（单位：元）依次分别是：2500，4000，6000，10000．为做好下阶段的销售工作，商场调查了一周内这四种不同型号电视的销售情况，并根据销售情况，将所得的数据制成统计图，现已知该品牌一周内四种型号电视共售出240台，每台的销售利润占其价格的百分比（1）请补全统计图；（2）通过计算，说明商场这一周内该品牌哪种型号的电视总销售利润最大；（3）谈谈你的建议．22．（5分）在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE与正方形EFCD的位置如图所示．（1）请你按下列要求画图：①连接BD交EF于点M；②在AE上取一点P，连接BP，MP，使△PEM与△PMB相似；（2）若Q是线段BD上一点，连接FQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，且满足，则的值为2，，1 ．点的三个可能的位置，分别计算的位置时，=的位置时，=，的位置时，=，五、解答题（本题满分7分）23．（7分）已知抛物线C：y=x2﹣（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．（1）求m的值；（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，且C1过点（n，3），求C1的函数关系式；（3）﹣3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（1，y0）．问在直线x=﹣1上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．，PM′的解析式为）六、解答题（本题满分7分）24．（7分）已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．同理可得，=七、解答题（本题满分8分）25．（8分）已知二次函数的图象与x轴交于点A（，0）、点B，与y轴交于点C．（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S 的最大值．（mxm=x x==2，二次函数图象的对称轴为直线OA=2，，QH=，NQ=A′Q==A′Qsin60°==，时，有最大值时，有最大值，综上：当PQA′C′落在第一象限内的图形面积有最大值是。

北京市人大附中中考数学期末二次函数和几何综合汇编一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于()()1, 0, 3, 0A B -两点，点C 为抛物线的顶点．点(0,)M m 为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B C 、旋转后的对应点分别记为’'B C 、．（1）若1a =，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形''BCB C 的面积为40时，求m 的值；（3）探究a 满足什么条件时，存在点M ，使得四边形' 'BCB C 为菱形?请说明理由．2．某数学兴趣小组在探究函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣12121 2 3 … y…632236…（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确的序号） A ．对称轴是直线x ＝1；B ．函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C ．当﹣1＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大；D ．当函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向下平移3个单位时，图象与x 轴有三个公共点；E ．函数y ＝（x ﹣2）2﹣2|x ﹣2|+3的图象，可以看作是函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象向右平移2个单位得到．②结合图象探究发现，当m 满足 时，方程x 2﹣2|x |+3＝m 有四个解． ③设函数y ＝x 2﹣2|x |+3的图象与其对称轴相交于P 点，当直线y ＝n 和函数y ＝x 2﹣2|x |+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P 所构成的三角形是等腰直角三角形，求n 的值．3．在正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，连接PM 、PB ，设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM ＋PB 长度为ycm .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如表： x/cm 0 1 2 34 5 y/cm6.04.84.56.07.4（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM ＋PB 的长度最小值约为______cm .4．如图，边长为5的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点()0,4M 为顶点的抛物线经过点()4,0N -，点P 是抛物线上第一象限内一点，过P 点作PF BC ⊥于点F ，点E 的坐标为()0,3．连接PE ．（1）求抛物线的解析式； （2）求PE PF -的值；（3）①在点P 运动过程中，当60EPF ∠=︒时，点P 的坐标为________；②连接EF ，在①的条件下，把PEF 沿y 轴平移（限定点E 在射线MO 上），并使抛物线与PEF 的边始终有两个交点，探究P 点纵坐标n 的取值范围是多少？5．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：x… -352--2 -1 0 1 252 3 …y (3)54m-1 0 -1 0 543 …其中，m =______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现：①方程220x x -=有______个实数根；②关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是______．6．综合与探究如图，已知二次函数()220y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线122y x =-+经过B ，C 两点（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．7．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由； （2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．8．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线． （2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求此抛物线的表达式：（2）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．问题呈现：已知等边三角形ABC 边BC 的中点为点D ，120EDF ∠=︒，EDF ∠的两边分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，现要探究线段BE ，CF 与等边三角形ABC 的边长BC 之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且DE AB ⊥，DF AC ⊥时，请直接写出线段BE ，CF 与BC 的数量关系：________；（2）问题解决：如图2，当点E 落在射线BM 上，点F 落在线段AC 上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE ，CF 与等边三角形ABC 的边长BC 之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点E 落在射线BA 上，点F 落在射线AC 上时，若2CD =，45CDF ∠=︒62sin CFD -∠=BE 的长和此时DEF ∆的面积． 12．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ACN ＝ °． 类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使AM ＝MN ，连接CN ．添加一个条件，使得∠ABC ＝∠ACN 仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．13．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图1，若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系____________________；②如图2，若B 、D ∠都不是直角，但满足180B D ∠+∠=︒，线段BE 、DF 和EF 之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，22AB AC ==D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，求DE 的长． 14．（阅读理解）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”． （深入探究）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，请说明：四边形ABCD 是“协和四边形”． （尝试应用）（2）如图2，四边形ABCD 是“协和四边形”，BD 为“协和线”，AB AD ⊥，60ADC ∠=︒，若点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，连接BE ，BF ，EF ．求： ①DEF 与BEF 的面积的比； ②EBF ∠的正弦值． （拓展应用）（3）如图3，在菱形ABCD 中，8AB =，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，点G 、K 分别在边AB 和CD 上，点N 为BE 与GF 的交点，点M 在EF 上，连接MN ，若四边形BGEF ，DHMK 都是“协和四边形”，“协和线”分别是GF 、HK ，求MN的最小值．15．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则线段BD 、CE 之间的数量关系是_________，CEB ∠=_________︒； （2）拓展探究：如图②，当ACB AED α∠=∠=时，点B 、D 、E 不在同一直线上，连接CE ，求出线段BD 、CE 之间的数量关系及BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由： （3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，10AC =2AE =CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AD 时，请你直接写出BD 的长．16．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，DEF 的顶点E ，F 分别在AB ，BC 上（可与点A ，B ，C 重合），且满足45EDF ∠=︒．DEF 的高线DG 交线段EF于点G （可与E ，F 重合），设DGk AD=．（1）求k的值．（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形ABCD”改为“长AD=的矩形ABCD”（其他条件不变）．8AB=、宽6（2）判断k的值是否改变．若改变，请求出k的取值范围；若不改变，请证明．（深入探究）在（模型构建）的基础上，设DEF的面积为S．（3）①求S的最小值；②当S取到最小值时，直接写出DG与GB的数量关系．17．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．如图，G，H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD 的中点求证：四边形EHFG是平行四边形证明：连接EF交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F分别是AB，CD的中点∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF请补全上述问题的证明过程．（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO 的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．18．综合与实践（1）问题发现：正方形ABCD 和等腰直角△BEF 按如图①所示的方式放置，点F 在AB 上，连接AE 、CF ，则AE 、CF 的数量关系为 ，位置关系为 ．（2）类比探究：正方形ABCD 保持固定，等腰直角△BEF 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α(0°<α ≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB = 2 BF = 4，在等腰直角△BEF 旋转的过程中，当CF 为最大值时，请直接写出DE 的长．19．综合与实践 动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上； ②B M '=_________；③DB C '为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB '面积的最大值为____________；②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．20．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，将△ACD 绕顺时针旋转，点C 对应点E ，设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当点C ，D ，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段BE 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．B解析：（1）2 23;y x x =--（2）416m m ==-或；（3）3a ≥M ，使得四边形''BCB C 为菱形，理由见解析【分析】（1）因为1a =，所以2y x bx c =++，将()()1, 0, 3, 0A B -代入得关于b 和c 的二元一次方程组，解方程组得到b 和c 即可求得原抛物线的解析式；（2）连接','CC BB ，延长BC 与y 轴交于点E ，根据题（1）可求出点B 、C 的坐标，继而求出直线BC 的解析式及点E 的坐标，根据题意易知四边形''BCB C 是平行四边形，继而可知()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆=-=⨯-⨯=，由此可知ME ＝10，继而即可求解点M 的坐标；（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，继而可证MOB CDM ∆∆，根据相似三角形的性质可得MO MD BO CD •=•代入数据即可求解．【详解】解：（1）∵1a =，∴2y x bx c =++将()()1, 0, 3, 0A B -代入得：10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴原抛物线的函数表达式为：2 23y x x =--；（2）连接','CC BB ，并延长BC 与y 轴交于点E ，二次函数2 23y x x =--的项点为(1,4,)-()1,4,C ∴-()3, 0,B∴直线BC 的解析式为： 2 6.y x =--()0,6E ∴-抛物线绕点M 旋转180︒','MB MB MC MC ==∴四边形''BCB C 是平行四边形，()1312BCM MBE MCE S S S ME ME ∆∆∆∴=-=⨯-⨯= 10ME416m m ∴==-或（3）如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D当平行四边形''BCB C 为菱形时，应有MB MC ⊥，故点M 在,O D 之间，当MB MC ⊥时，MOB CDM ∆∆，MO BO CD MD∴= 即MO MD BO CD •=•二次函数()()13y a x x =+-的顶点为()()()1,4,0,,3,0a M m B - 1,,4,3CD MO m MD m a ON ∴==-=+=，()43m m a ∴-+=，∴2430m am ，216120,0a a ∆-≥>32a ∴≥ 所以32a ≥时，存在点M ，使得四边形''BCB C 为菱形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、菱形的性质，难度较大，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质及二次函数的性质，注意挖掘题目中的隐藏条件．2．B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B 、D 、E ；②2＜m ＜3；③n ＝2或6．【分析】（1）把x ＝﹣12，0，12分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y ＝n 处于直线m 或m ′的位置时，由此即可求解．【详解】（1）把x ＝﹣12，0，12分别代入函数表达式得：y ＝94，3，94； 故答案为94，3，94； （2）描点确定函数图象如下：（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，点P和图象上的点构成等腰直角三角形，即n＝2或6．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．3．H解析：（1）5.0；（2）见解析；（3）x ＝2时，函数有最小值y ＝4.5【分析】（1）通过作辅助线，应用三角函数可求得HM +HN 的值即为x =2时，y 的值；（2）可在网格图中直接画出函数图象；（3）由函数图象可知函数的最小值．【详解】（1）当点P 运动到点H 时，AH =3，作HN ⊥AB 于点N ．∵在正方形ABCD 中，AB =4cm ，AC 为对角线，AC 上有一动点P ，M 是AB 边的中点，∴∠HAN =45°，∴AN =HN =AH •sin45°=323222⨯=，∴HM 22()HN AN AM =+-，HB 22()HN AB AN =+-，∴HM +HN =222232323232()(2)()(4)2222+-++-=136225122-+-≈4.5168.032+≈2.125+2.834≈5.0．故答案为：5.0；（2）（3）根据函数图象可知，当x =2时，函数有最小值y =4.5．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．F解析：（1）2144y x =-+；（2）0；（3）①()23,1；②32n -<≤ 【分析】（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，将N 点坐标代入，求出a 即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，故可求出PF 的长．在Rt PHE 中，利用勾股定理可求出PE 的长，即发现PF PE =，故0PE PF -=． （3）①由题意易求30EPH ∠=︒，即12EH EP =．结合（2）即可列出关于m 的方程，解出m 即可求出此时P 点坐标． ②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，把()40-，代入，20(4)4a =⨯-+， 解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2144y x =-+． （2）如图，过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ∴221154144PF m m ⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭ ∵在Rt PHE 中，222PE PH EH =+，即222222222211()=()34144P E H P E P PE x y y x y y m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+--+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2114PE m =+， ∴PF PE =，即0PE PF -=．（3）①由题意可知90HPF ∠=︒，∵60EPF ∠=︒，∴906030EPH ∠=︒-︒=︒，∴12EH EP =． 由（2）可知221134414E P EH y y m m ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭-=，2114PE m =+． ∴2211()211144m m +-=， 解得：122323m m ==-，（舍）．故2123(23)44P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，即()231P ，．②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前． Ⅰ当PEF 沿y 轴向上平移，且点E '与点M 重合时，如图，.∵431M E EM y y =-=-=,∴此时P 点向上平移1个单位得到P '，即1112P p y y '=+=+=．∵点E '与点M 重合时，抛物线与△PEF 的边有两个交点，即当2P y '=时抛物线与△PEF 的边有两个交点，∴2n ≤．Ⅱ当PEF 沿y 轴向下平移，且点F '与点P 重合时，如图，.∵514F P PF y y =-=-=，∴此时P 点向下平移4个单位得到P '，即4143P P y y '=-=-=-．∵点F '与点P 重合时，抛物线与△PEF 的边只有一个交点，即当3P y '=-时抛物线与△PEF 的边只有一个交点，∴3n >-．综上可知32n -<≤．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含30角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．5．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②10a -<<【分析】（1）那x =-2代入解析式，即可求得m 的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x 轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x 轴直线的交点个数为4个时对应y 的取值范围即可．【详解】（1）x =-2时，m =（-2）2-22⨯- =0；故答案为：0；（2）如图所示（3）①观察图象，可知22y x x =-与x 轴有三个交点，所以22||=0x x -有三个根，分别是2-、0、2；即答案为3；②∵关于x 的方程22||x x a -=有四个根，∴函数22y x x =-的图象与y =a 有四个交点，由函数图象知：a 的取值范围是10a -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．6．B解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出点B ，带入求解即可；（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；【详解】（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，令0x =，则2y =，∴()0,2C ，把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴12a =，52b =-， ∴215222y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵Q 为PD 中点，∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭， ∴213402t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），∴()2,1P ；（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，2,PD ∴=设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由2DM =可得：()221234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭整理得：()()51820,m m --= 解得：1218,2,5m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m = 1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===同理可得：4225,1555N ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭或45252,1.55N ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭②如图，当PD 为对角线时，由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，()0,0.N ∴综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫⎪⎝⎭； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．7．A解析：（1）点A 、B 在抛物线上，理由见解析；（2）1a =，2b =；（3）等腰直角三角形【分析】（1）BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，算出AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状． 【详解】（1）∵BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上， ∵:3AC y x =+，交y 轴于点()0,3．且抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求． ∴点A 、B 在抛物线上（2）代入A 、B 到23y ax bx =++．1a =，2b =∴223y x x =++ （3）()212y x =++ ()()210y x t t =+->∴()1,0D t -代入()1,4到()21y x t =+-，10t =（舍），24t =，∴()3,0D∴5AD =210BD =25AB =∴AD AB =，222AD AB BD +=， ∴90BAD ∠=︒．∴ABD △是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．8．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =； Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-， 中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．9．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)22PN m =-m ＝2时，PN 的最大值为3；（3）Q (1，3)或 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解．（3）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，当AC ＝AQ 时，构造直角三角形AMQ 利用勾股定理可求坐标，AC ＝CQ 时，先求BQ 再求MB ，即可得到坐标，CQ ＝AQ 时，联立解得不合题意． 【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13，则抛物线的表达式为211433y x x =-++，（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13m +4+m ﹣4（m ﹣2）2，∵0， ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为3． （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b得044k bb =+⎧⎨=⎩解得14k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4…①， 设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得034m nn =-+⎧⎨=⎩解得434 mn⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的表达式为：y＝43x+4，设直线AC的中点为K（﹣32，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣34，设过点K与直线AC垂直直线的表达式为y＝﹣34x+q把K（﹣32，2）代入得2=﹣34×（﹣32）+q解得q=7 8∴y＝﹣34x+78…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝2﹣5，则QM＝MB 852-，故点Q 52852-③当CQ＝AQ时，联立①②，43748y xy x=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q 的坐标为：Q （1，3）或Q【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）263PN =+，当2m =时，PN 有最大值，． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q，Q ⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可． 【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++． （2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ．将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩．所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+．∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒． ∴45PQN BQM ∠=∠=︒．∴2214sin 4523363PN PQ m m ⎫=︒=-+=-+⎪⎝⎭．22)m =-∵206-< ∴当2m =时，PN 有最大值，最大值为223． （3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得152m =252m = 此时，点52852Q -⎝⎭； ②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=． 解之，得1m =或0m =（舍） 此时，点()1,3Q ； ③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，52852Q -⎝⎭．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．二、中考几何压轴题11．（1）；（2）不成立，理由见解析；；（3），． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是，则可知△BDE 与△CDF 是含角的直角三角形，根据角所对直角边是斜边的一半即可得到结果； （2）解析：（1）12BE CF BC +=；（2）不成立，理由见解析；12CF BE BC -=；（3）BE =Δ1(92DEF S =+． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是60︒，则可知△BDE 与△CDF 是含30角的直角三角形，根据30角所对直角边是斜边的一半即可得到结果；（2）根据题意可证得BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，DG DH =，进而求出ΔΔDGE DHF ≅，得到EG FH =，在Rt DCH ∆中，2CD CH =，CF BE CD -=，即12CF BE BC -=．（3）过点C 作CN DF ⊥，可求得CF =，根据顶角为120︒的等腰三角形面积的算法可求出DEF ∆的面积， 【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴60B C ∠=∠=︒， 又∵DE AB ⊥，DF AC ⊥， ∴30BDE CDF ∠=∠=︒， ∴12BE BD =,12CF CD =, ∴()1122+=+=BE CF BD CD BC ． （2）不成立．理由如下：如图1，分别过点D 作DG AB ⊥于点G ，DH AC ⊥于点H ， 易证得BDG CDH ∆≅∆， 则BG CH =，DG DH =． ∵60A ∠=︒，90DGA DHA ∠=∠=︒， ∴120GDH ∠=︒． ∵120EDF ∠=︒， ∴FDH EDG ∠=∠， 则ΔΔDGE DHF ≅， ∴EG FH =，∴()CF FH CF EG CF BE BG CF BE BG CH -=-=-+=--=， 即2CF BE CH -=． 在Rt DCH ∆中，2CD CH =， ∴CF BE CD -=，即12CF BE BC -=．（3）622BE =+，Δ1(963)2DEF S =+．解法提示：如图2，过点C 作CN DF ⊥，可求得62CF =+． 同（2）可证12BE CF BC CD -==，可求得622BE CD CF =+=+． 在CDF ∆中可求出33DF =+，根据顶角为120︒的等腰三角形面积的算法可求出DEF ∆的面积为1(963)2+．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，准确理解三角形全等判定与性质、直角三角形的性质是解题的关键．12．（1）60；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN ，再利用SAS 可证明≌，继而得出结论；解析：（1）60；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN ，再利用SAS 可证明BAM ≌CAN △，继而得出结论； （2）也可以通过证明BAM ≌CAN △，得出结论，和（1）的思路完全一样； （3）当∠ABC ＝∠AMN 时，ABC ∽AMN ，利用相似的性质得到AB ACAM AN=，又根据∠BAM ＝∠CAN ，证得BAM ∽CAN △，即可得到答案． 【详解】 （1）证明：∵ABC 、AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN ， ∵在BAM 和CAN △中，AB AC BAM CAN AM AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴BAM ≌CAN △（SAS ），∴∠ABC=∠ACN ； ∵ABC 是等边三角形∴∠ABC=60° ∴∠ACN=∠ABC=60°． （2）结论∠ACN ＝60°仍成立． 理由如下：∵ABC 、AMN 都是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°， ∴∠BAM ＝∠CAN ， ∴BAM ≌CAN △，∴∠ACN ＝∠ABM ＝60°． （3）添加条件：∠ABC ＝∠AMN ． 理由如下：∵BA ＝BC ，MA ＝MN ，∠ABC ＝∠AMN ， ∴∠BAC ＝∠MAN ， ∴ABC ∽AMN ，∴AB ACAM AN=． 又∠BAM ＝∠BAC －∠MAC ，∠CAN ＝∠MAN －∠MAC ， ∴∠BAM ＝∠CAN ， ∴BAM ∽CAN △，∴∠ABC ＝∠ACN ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等的条件，利用全等的性质证明结论．13．（1）①EF=BE+DF ；②成立，理由见解析；（2）． 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，BE=DG ，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GA解析：（1）①EF=BE +DF ；②成立，理由见解析；（2）53DE =．【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，BE=DG ，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF=GF ，即可求出答案； ②根据旋转的性质把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，得出AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ，推出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，。

中国人民大学附属中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．4．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形． （3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值． 5．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．6．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC ；①如图1，是否存在点P ，使∠PBC ＝∠BCO ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N ，∠PAB ＝∠BCO ，点M 在第三象限抛物线上，连接MN ，当∠ANM ＝45°时，请直接写出点M 的坐标． 7．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．8．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 轴的一个交点的横坐标为6(1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 11．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ． (1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时，①求证：四边形DENM 是菱形； ②求证：BM ＝AB ；(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC ⋅AC ．12．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2my x=（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值； (3) 如图2，函数2my x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB的值.13．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．14．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D 的反比例函数(0)ky k x=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 2/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．18．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．19．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值； (3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．（1）如图，函数1F 为1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，①当bt b=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）213222y x x =--+（2）①12S S 的最大值是45，②﹣2或﹣2911.【解析】【分析】【详解】（1）解：根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过A 、C 两点， ∴ 1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∴ 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣12x 2﹣32x+2； （2）解：①令y=0，即213x x 2022--+=， ∴x 1=﹣4，x 2=1，∴B （1，0），如图1，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴ 12S S = DE BE = DM BN， 设D （a ，213222a a --+）， ∴M （a ，12a+2）， ∵B （1.0），∴N （1，52），∴ 12S S = DM BN = 21212552a a --=-（a+2）2+ 45； ∴当a=－2时，12S S 的最大值是45； ②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC=25 ，BC=5，AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2 ，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （﹣32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，情况一：如图，∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴∠CDG=∠BAC ，∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=12， 即12RC DR =， 令D （a ，213222a a --+）， ∴DR=﹣a ，RC=21322a a --， ∴ 2131222a a a --=-，∴a 1=0（舍去），a 2=﹣2，∴x D =﹣2，情况二，∵∠FDC=2∠BAC ，∴tan ∠FDC=43， 设FC=4k ，∴DF=3k ，DC=5k ，∵tan ∠DGC=312k FG =， ∴FG=6k ，∴CG=2k ，，∴k ，，﹣5， ∴ DR RC21322a a a ---， ∴a 1=0（舍去），a 2=2911-， 点D 的横坐标为﹣2或﹣2911． 2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P的坐标为(11),(1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++． 方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又C 点的坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P 的坐标为(11)-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=∴点P 的坐标为(1．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)-（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．∵点H 的坐标为450,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中， ()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174． ∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-．000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=． KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231或CM =123+【解析】【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C 在抛物线上， ∴103664b c =-⨯++， 得到6=9b c +，又∵对称轴2x =，∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =， ∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++； （2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0），∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32， 点M 的坐标为（32，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴EA=22(12)(50)m m --+--=221634m m -+，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED=22(14)(52)m m --+--=221634m m -+，∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时， 把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．4．（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3）221(06)2618(662)1[(6626x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩，s 的最大值为2． 【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分06x <≤、662x <、<6x <+x=6+s 与x 的函数关系式，然后再求最大值即可．【详解】 解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）证明：分别过点B 、D 作BE CD ⊥于点E 、DF CB ⊥于点F ，∴90BEC DFC ∠=∠=︒∵两张纸条等宽，∴6BE DF ==．在BCE 和DCF 中45BCE DCF ∠=∠=︒，∴BC DC ==∵两张纸条都是矩形，，∴//AB CB //BC AD ．∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵BC DC =，∴四边形ABCD 是菱形；（3）Ⅰ、如图：当06x <≤时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴212S x =， ∴018S <．最大值为218cm ．Ⅱ、如图：当662x <时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为cm x ，上底为(6)cm x -，∴()1666182S x x x =+-⋅=-，当62x =时，s 取最大值2(36218)cm -．Ⅲ、当62662x <<+2211=626(662)[(662)]36222S S S x x -=-+=--++五边形菱形三角形此时36218362S <<五边形．Ⅳ、当662x =+时，重叠部分为菱形， ∴2362cm S =菱形．∴221(06)2618(662)1[(662)]2(62662)2362(662)x x x x s x x x ⎧<⎪⎪-<⎪=⎨⎪--++<+⎪⎪=-⎩ ∴s 的最大值为2362cm ． 【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键． 5．（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m mb a a m =-+， 即：2263m mb m a a -=- ∵0b m ->， ∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m my x x m =-+， ∴顶点P （2，3m）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，3m）代入，得： 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m mm m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．6．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①存在，点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M （﹣43，﹣359） 【解析】 【分析】（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1），即可求解；（2）①分点P （P ′）在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR ≌△RHM （AAS ），则点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），利用点M 在抛物线上和AR ＝NR ，列出等式即可求解． 【详解】解：（1）y ＝ax 2+bx ﹣3＝a （x +3）（x ﹣1）， 解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3； tan ∠BCO ＝13，则cos ∠BCO①当点P （P ′）在点C 的右侧时，∵∠P′AB＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PBC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH1022 3110 +解得：CH＝53，则OH＝3﹣CH＝43，故点H（0，﹣43），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝43x﹣43②，联立①②并解得：58 xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝13，故设直线AP的表达式为：y＝13x s+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝13x+1，联立①③并解得：43139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点N（43，139）；设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM ＝45°时，则∠ARM ＝90°，设圆心R 的坐标为（m ，n ）， ∵∠GRA +∠MRH ＝90°，∠MRH +∠RMH ＝90°， ∴∠RMH ＝∠GAR ，∵AR ＝MR ，∠AGR ＝∠RHM ＝90°， ∴△AGR ≌△RHM （AAS ）， ∴AG ＝m +3＝RH ，RG ＝﹣n ＝MH ， ∴点M （m +n ，n ﹣m ﹣3），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：n ﹣m ﹣3＝（m +n ）2+2（m +n ）﹣3③， 由题意得：AR ＝NR ，即（m +3）2＝（m ﹣43）2+（139）2④， 联立③④并解得：29109m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M （﹣43，﹣359）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏． 7．（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12-x 2+2x 上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=2122 77 -=．∴存在n=27，抛物线向左平移． 【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．8．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =，PM PN ⊥ 故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③，当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝6E （-3，-46-3，-6 ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3，故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(346)--，或(346)--，或（1，−3）． ∴存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）6c a =-；（2）①2132y x =-；②2． 【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；（2）①先根据（1）可得抛物线的解析式和顶点D 的坐标，再设11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，从而可得直线AD 、BD 解析式中的一次项系数，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可得12k x x a+=，124x x =-，最后根据圆周角定理可得AD BD ⊥，从而可得1212144x x k a k a x x +⋅=-+，化简可求出a 的值，由此即可得出答案； ②先求出点B 、D 的坐标，再根据直线1l 与抛物线只有一个交点可得出2213,2q p x p --==，然后联立直线1l 与2l 求出点N 的坐标，最后利用三角形的面积公式分别求出12,S S ，由此即可得．【详解】（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++>，顶点D 在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，即0x =，0b ∴=，抛物线与x∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，(c a∴=， 即6c a =-；（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为26y ax a =-，顶点D 的坐标为(0,6)D a -，由题意，设点A 、B 的坐标分别为11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，且21x x >， 由点A 、D 的坐标得：直线AD 解析式中的一次项系数为11112064x a x x k x a k a -=-++， 由点B 、D 的坐标得：直线BD 解析式中的一次项系数为22222064x a x x k x a k a -=-++， 联立262y ax a y kx a⎧=-⎨=-⎩可得240ax kx a --=， 则1x 与2x 是关于x 的一元二次方程240ax kx a --=的两根， 由根与系数的关系得：1212,4k x x x x a+==-， 以AB 为直径的圆恒过点D ， 90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥， 则1212144x x k a k a x x +⋅=-+， 整理得：2164a =， 解得12a =或102a =-<（不符题意，舍去），。

2020-2021学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（8）1.下列几何体中，三视图完全相同的是()A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 三棱柱2.实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是()A. |a+b+c|B. |a+b−c|C. |a−b+c|D. |a−b−c|3.如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是()A. ∠1+∠3=∠ABC+∠DB. ∠1+∠3=180°C. ∠2=∠DD. ∠1+∠2+∠3=360°4.在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为()A. 5.5×103B. 5.5×106C. 5.5×107D. 5.5×10105.已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上.若∠A=40°，∠CED=35°，则以下说法正确的是()A. EF=EC，AE=FCB. EF=EC，AE≠FCC. EF≠EC，AE=FCD. EF≠EC，AE≠FC6.心理学家找了1000位受试者进行暗室实验.每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：看成数字 实际数字 689其他6 0.4 0.3 0.2 0.1 8 0.3 0.4 0.1 0.2 90.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1.根据表中的数据，下列说法中正确的是( )A. 如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B. 在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C. 如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D. 如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过347. 如图，锐角△ABC 中，点D 在BC 边上，∠B =∠BAD =∠CAD.现需在线段AD 上作点P ，使得∠APC =∠ADB ，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于点P ，点P 即为所求作点；乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点P(异于点D)，点P 即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是( )A. 两人都正确B. 两人都错误C. 只有甲正确D. 只有乙正确8. 如图，△ABC 中AB >BC >CA ，现将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使得点A′在BC 的延长线上，B 的对应点为B′.记旋转前后三角形的内心分别为I ，I′，旋转前后三角形的外心分别为O ，O′，则以下说法正确的是( )A. II′//BCB. OO′//BCC. IC//I′A′D. OC//O′A′9. 若1√x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______ ．10. 写出一个二元一次方程，使得{x =1y =2是该二元一次方程的一组解：______ ．⋅(2m+n)的值是______ ．11.如果n=4m≠0，那么代数式3m−n4m2−n212.将一次函数y=√3x的图象平移后经过点(0,3)，这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平______ ．13.如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为______ cm2.(结果保留一位小数)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=kx若x1−x2=4，则y1−y2的值为______ ．15.如图，点A的坐标是(1,1)，点B的坐标是(4,2)，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB=45°的整点C的个数为______ ．16.设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A>B>C>D.最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前.已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为______ .(写出一种满足条件的情形即可))−1+|√3−2|−(π−3.14)0+3tan30°．17.计算：(1418.解方程：2xx−2−8x2−2x=119.解不等式组：{8(x−1)>5x−17 x−6≤x−102．20.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21.下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．∴OA⊥AP，______⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．22.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点(不含端点)，点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．(1)证明：AF//BD；(2)若OG=1，OE=2.求BD的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b经过点(0,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=−x+b的值与函数y=kx−k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．24.一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩(百分制)如图所示．(1)若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线______ .(填“l1”或“l2”)(2)听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1______ x2，y1______ y2(填“>”“<”或“=”)．(3)下列推断合理的是______ .(填写所有合理推断的序号)①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．25.如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC=2，连接OC，AD．(1)求证：四边形OADC是平行四边形；(2)点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF=AD时，求OG的长．x2−x+c．26.已知抛物线C1：y1=12(1)直接写出抛物线C1的顶点坐标______ (用含c的式子表示)；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，若2<x≤m时y2≤x恒成立，求m的最大值．=k，点F在BC的延长线上，27.四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，BEEC且CF=CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．(1)如图1，∠B=90°，k=1，①依题意补全图形；②求DM的值；CN(2)写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，我们定义：d1(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|，d2(M,N)=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，我们将d1(M,N)，d2(M,N)分别称作两点M、N间的“Ⅰ型距离”和“Ⅱ型距离”．(1)已知A(−1,0)，B(0,√3)①A，B间的“Ⅰ型距离”是______ ；A，B间的“Ⅱ型距离”是______ ；②点M，N是直线AB上任意两点，求d1(M,N)的值；d2(M,N)(2)直线l：y=kx+b(k>0)和抛物线C：y=kx2+b在y轴右侧交于点P，若存在直线l上一点Q(x1,y1)(x1<1)和抛物线C上一点R(x2,y2)(x2>1)，使得d1(P,Q)=d1(P,R)且d2(P,Q)=d2(P,R)，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A 不符合题意；B.圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；C.球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；D.三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；故选：C．根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】B【解析】解：由题意可得：a<b<0<c，∴a+b−c的结果是最小的，其绝对值最大，故选：B．结合数轴及有理数加减法的运算法则和绝对值的意义分析求解．本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，利用数形结合思想解题是关键．3.【答案】A【解析】解：∵∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°，∴∠1+∠3=∠ABC+∠D，故A符合题意；∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，故B不符合题意；∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2=∠D，故C不符合题意；∵多边形的外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3<360°，故D不符合题意；故选：A．由平角的定义得到，∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，即∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，再根据四边形的内角和是360°，等量代换即可得解．此题考查了多边形的内角与外角，熟记四边形的内角和是360°是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：5500万=55000000=5.5×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∵∠A=40°，∠CED=35°，∴∠D=40°，∴∠ACB=40°+35°=75°，∴∠B=180°−40°−75°=65°，∴∠EFD=∠BCA=75°，∴EF=EC，∴BC=EF=EC，∴得不出AE=FC，故选：B．根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等得出边角关系解答．6.【答案】C【解析】解：由表得：A.如果可实际数字是8，则实际上就被看成8的概率是0.4<12，故此说法错误，不符合题意；B.在数字6、8、9中，6被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，8被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，9被误认的可能性是1−0.5=0.5，∴被误认的可能性以9最低，故此说法错误，不符合题意；C.如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性的概率是0.4<12，故此说法正确，符合题意；D.如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性是0.50.2+0.2+0.5=59<34，故此说法错误，不符合题意；故选：C．利用表格中的概率数据分析各个选项得出答案即可；此题主要考查了利用频率估计概率以及列表法求概率，正确分析表中数据是解题关键．7.【答案】A【解析】解：设∠B=∠BAD=∠CAD=α，根据甲的作法得到图1，∵P点在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，∴∠PCA=∠PAC=α，∴∠APC=180°−∠PAC−∠PCA=180°−2α，∵∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−2α，∴∠APC=∠ADB，所以甲的作法正确；根据乙的作法得到图2，∵CD=CP，∴∠CDP=∠CPD，∴∠APC=∠ADB，所以乙的作法正确．故选：A．设∠B=∠BAD=∠CAD=α，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，则∠PCA=∠PAC=α，则根据三角形内角和可证明∠APC=∠ADB，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰腰三角形的性质得到∠CDP=∠CPD，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】A【解析】解：如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′，连接II′．∵旋转前后三角形的内心分别为I，I′，∴ID=I′D′，∵ID//I′D′，∴四边形IDD′I是平行四边形，∴II′//BC，故选：A．如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′.证明四边形IDD′I是平行四边形，推出II′//BC，可得结论．本题考查三角形的内心，三角形的外心等知识，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．9.【答案】x >0【解析】解：根据题意，得{x ≥0x ≠0． 解得x >0．故答案是：x >0．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0求解可得．本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0．10.【答案】x +y =3(答案不唯一)【解析】解：例如1+2=3；将数字换为未知数，得x +y =3．答案不唯一．再如x −y =−1等等．故答案为：x +y =3(答案不唯一)．利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．此题是解二元一次方程的逆过程，是结论开放性题目．二元一次方程是不定解方程，一个二元一次方程可以有无数组解，解题的关键是明确一组解可以构造无数个二元一次方程．11.【答案】12【解析】解：3m−n 4m 2−n 2⋅(2m +n)=3m −n (2m +n)(2m −n)⋅(2m +n) =3m−n 2m−n ，当n =4m ≠0时，原式=3m−4m 2m−4m =−m −2m =12，故答案为：12．利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将n =4m ≠0代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．12.【答案】向左移动√3个单位【解析】解：设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，把(0,3)代入，得3=√3(0−a)，解得a=−√3．即将一次函数y=√3x的图象水平向左移动√3个单位后经过(0,3)，故答案是：向左移动√3个单位．设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，将(0,3)代入求得a的值即可．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b的值发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．13.【答案】5.0【解析】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，经测量DE=1.8cm，BC=2.8cm，S▱ABCD=BC⋅DE=2.8×1.8=5.04≈5.0(cm2)，故答案为：5.0．过点D作DE⊥BC于点E，测量出BC，DE的长，再利用平行四边形的面积公式即可求出▱ABCD的面积．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式．14.【答案】4关于直线y=−x对称，【解析】解：∵直线y=x+b与双曲线y=kx∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=−x对称，∴x1=−y2，y1=−x2，∵x1−x2=4，∴y1−y2=−x2−(−x1)=4；综上，y1−y2的值为4，故答案为4．利用反比例函数和一次函数y=x+b的性质判断点A和点B关于直线y=−x对称，然后根据关于直线y=−x对称的点的坐标特征得出x1=−y2，y1=−x2，即可求得y1−y2的值．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，得到A、B点的坐标之间的关系是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：如图，满足∠ACB=45°的整点C的个数有4个；故答案为：4．根据等腰直角三角形的锐角是45度，以AB为直角边画出等腰直角三角形可解答．本题考查的是等腰直角三角形的性质，新定义：整点，解题的关键是理解整点的意义，正确画出等腰直角三角形，进而求解．16.【答案】ABCD或ABDC【解析】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，由题意知，a>b>c>d，∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，B的偏好度为：a+b+2c，C的偏好度为：a+2b+d，D的偏好度为：b+c+2d，要使最终排序结果为ABCD，则，①第五张票可以是ABCD，此时A：3a+c+d>B：a+b+2c+d>C：a+2b+c+d>D：b+c+3d；②第五张票还可以是ABDC，此时A：3a+c+d>B：a+2b+2c>C：a+2b+2d>D：b+2c+2d；∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，故答案为：ABCD或ABDC．设出四个位置的偏好度，计算偏好度总和，根据最后排序判断第五张票的可能性．本题主要考查推理论证，设出偏好度给A，B，C，D四位候选人排序是解题的关键．17.【答案】解：原式=4+2−√3−1+3×√33=8−√3+√3=8．【解析】先进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的计算，再进行加减运算即可．此题考查的是负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的运算，准确进行计算是解决此题关键．18.【答案】解：去分母得：2x2−8=x2−2x，即x2+2x−8=0，分解因式得：(x−2)(x+4)=0，解得：x=2或x=−4，经检验x=2是增根，∴分式方程的解为x=−4．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：{8(x−1)>5x−17①x−6≤x−102②，解不等式①，得x>−3，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解为：−3<x≤2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】(1)证明：依题意，得△=[−(m+3)]2−4(m+2)=m2+6m+9−4m−8=(m+1)2．∵(m+1)2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥−1．∴m的最小值为−1．【解析】(1)先根据方程总有两个实数根列出关于m的代数式，判断△≥0即可；(2)根据题意得到x1=1和x2=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．21.【答案】OBP90 直径所对的圆周角是直角OB过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线【解析】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD=∠FAD，AE=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠ODA，∴∠FAD=∠ODA，∴AF//BD；(2)∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF//BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF=2OG=2×1=2，∴AE=2，∵OE=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴BD=AC=8．【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可得出结论；(2)根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长．23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+b经过点(0,2)，∴将点(0,2)代入y=−x+b，得b=2，∴一次函数的解析式为：y=−x+2．(2)令y1=−x+2，y2=kx−k，∴y1+y2=−x+2+kx−k=(k−1)x+2−k，∵当x<4时，(k−1)x+2−k>0，∴k−1<0，解得k<1，，解(k−1)x+2−k>0，得x<k−2k−1>4，∴k−2k−1∴解得k>2，3<k<1．综上，k的取值范围是23【解析】(1)根据点(0,2)在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；(2)根据题意列出不等式(k−1)x+2−k>0，因为不等式的解包含x<4，所以k−1<>4，求解即可．0、k−2k−1本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，要结合题意进行求解，必要时可以利用函数图象辅助完成．24.【答案】l1<<①③【解析】解：(1)由图可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近，∴合理的分类方式应为直线l1，故答案为：l1．(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大，即x1<x2，y1<y2，故答案为：x1<x2，y1<y2．(3)由图可知，30位应试者听说能力测试成绩的中位数介于60分到70分之间，他们读写能力测试成绩的中位数介于70分到80分之间，∴30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数，故①符合题意；由图可以看出应试者A听说能力强于应试者B的听说能力，他们两人之的读写能力差的不多，若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩高于应试者B，故②不符合题意；由图可以看出应试者C的听说能力在60分左右、其读写能力在90分左右，若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力，故③符合题意；由图可看出应试者其听说能力测试成绩集中在50分到60分，其读写能力测试成绩分布较听说能力成绩而言稍均匀，图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差小于听说能力测试成绩的方差，故④不符合题意；故答案为：①③．(1)观察矩形中30位应试者的成绩分布情况，横轴表示应试者读写能力测试成绩，纵轴表示听说能力测试成绩，可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近；(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大；(3)观察图像结合中位数、加权平均数及方差的意义进行推导，即可得出相关的结论．本题考查方差、加权平均数及中位数，要将方差、加权平均数及中位数的意义与实际数据相结合，解题的关键要从图入手．25.【答案】(1)解：连接OD，∵CB、CD为⊙O的切线，∴CD=CB，∵AB=4，BC=2，∴CB=BO=OD=CD=2，∴四边形OBCD是菱形，∴CD=OB=OA，CD//OA，∴四边形OADC是平行四边形；(2)解：过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，∵EF=AD，∴OM=ON=√2，∴OC=2OM，在Rt△COM中，sin∠OCM=OM OC =12，∴∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，则OK=GK=a，CG=2GK=2a，CK=√3a，∵CK+OK=OC，∴√3a+a=2√2，解得：a=√6−√2，∵△OGK为等腰直角三角形，∴OG=√2GK=√2a=√2(√6−√2)=2√3−2．∴OG的长为2√3−2．【解析】(1)连接OD，根据切线长定理得到CD=CB，证明四边形OBCD是菱形，得到CD=OB=OA，CD//OA，从而得到四边形OADC是平行四边形；(2)过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，证明∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，可得a+√3a=2√2，求出a的值，即可得出OG的长．本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形的知识解决问题．26.【答案】(1,2c−12)【解析】解：(1)∵y1=12x2−x+c=12(x−1)2+2c−12，∴抛物线C1的顶点坐标(1,2c−12)，故答案为：(1,2c−12)；(2)∵将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，∴a=12，∴抛物线C2：y2=12(x−ℎ)2，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，∵抛物线C2可以看作抛物线y=12x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，∴当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值，于是，将x0=2代入12(x−ℎ)2=x，有12(2−ℎ)2=2，解得：ℎ=4或ℎ=0(舍去)，∴y2=12(x−4)2，此时，y2=y3，得12(x−4)2=x，解得：x0=2，x0′=8，∴m的最大值为8．(1)把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2得出a=12，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值．本题考查二次函数与不等式的关系以及一般式与顶点式的转化，关键是利用数形结合的思想的应用．27.【答案】解：(1)①如图，图形即为所求．②∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∠B=∠BCD=∠ECN=90°，∵∠AEB=∠CEN，BE=EC，∴△ABE≌△NCE(ASA)，∴CN=AB，∴CN=CD，∵AD//CF，CF=CE=12BC=12AD，∴DMMC ADCF=2，∴DMDC =23，∴DMCN =23．(2)如图2中，设EC=CF=a．∵BE=kEC，∴BE=ka，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=(k+1)a，AD//BC，AB//CD，∴CNAB =CEBE=1k，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=k+11，∴DMDC =k+1k+2，∵DM=CN，AB=CD，∴1k =k+1k+2，∴k=√2或−√2(舍弃)．∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．理由：当k=√2时，∵CN//AB，∴CNAB =√22，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=1+√21，∴DMDC =√22+√2=√22，∴CNAB =DMCD，∵AB=CD，∴CN=DM，∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．【解析】(1)①根据要求作出图形即可．②首先证明AB =CN =CD ，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(2)当k =√2时，对于任意的平行四边形ABCD 总有DM =CN.再利用平行线分线段成比例定理，证明CN AB =DM CD ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．28.【答案】1+√3 2【解析】解：(1)①已知A(−1,0)，B(0,√3)，根据定义，∴d 1(A,B)=∣−1−0∣+∣0−√3∣=1+√3，d 2(A,B)=√(−1−0)2+(0−√3)2=√1+3=2．故答案为：1+√3，2．②设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A 、B 坐标代入得：{−k +b =0b =√3，解得：{k =√3b =√3． ∴直线AB 解析式为y =√3x +√3．∵M ，N 在AB 上，设M(a,√3a +√3)，N(b,√3b +√3)，∴d 1(M,N)=∣a −b ∣+∣√3a −√3b ∣=(1+√3)∣a −b ∣．d 2(M,N)=√(a −b)2+(√3a −√3b)2=√4(a −b)2=2∣a −b ∣．∴d 1(M,N) d 2(M,N)=(1+√3)∣a−b ∣2∣a−b ∣=1+√32．(2)联立{y =kx +b y =kx 2+b，解得：{x 1=0 y 1=b (此点在y 轴上，故舍去)，{x 2=1y 2=k +b ． 故交点P 坐标为(1,k +b)．由题可知点Q 在直线l 上，设点Q(x 1,kx 1+b)，R 在抛物线C 上，设点R(x 2,kx 22+b)，∴d 1(P,Q)=∣x 1−1∣+∣k(x 1−1)∣=(1+k)(1−x 1)，d 1(P,R)=∣ x 2−1∣+∣k(x 2+1)(x 2−1)∣=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]．∵d 1(P,Q)=d 1(P,R)，即(1+k)(1−x 1)=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]①，同理，由d 2(P,Q)=d 2(P,R)可得：(1−x 1)√1+k 2=(x 2−1)√1+k 2(x 2+1)2 ②，∵x1<1，x2>1，k>0，∴①②得：√1+k2=2√k2(x2+1)2+1，两边同时平方后得：(1+k)2 1+k2=[k(x2+1)+1]2k2(x2+1)2+1，∴1+2k 1+k2=1+2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴2k 1+k2=2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴1 1+k2=(x2+1)k2(x2+1)2+1，即k2(x2+1)2+1=(x2+1)(1+k2)，化简整理得：k2x22+k2x2−x2=0，∵x2>1，∴k2x2+k2−1=0，∴x2=1−k2k2>1，即1−k2>k2，∴2k2<1，解得：−√22<k<0或0<k<√22，∵k>0，故0<k<√22．(1)①根据新定义直接计算即可；②先求出直线AB的解析式为y=√3x+√3，再设M(a,√3a+√3)，N(b,√3b+√3)，根据定义分别计算出d1(M,N)=(1+√3)∣a−b∣，d2(M,N)=2∣a−b∣，即可得到d1(M,N) d2(M,N)的值；(2)联立直线l和抛物线C，求出点P坐标为(1,k+b).设点Q(x1,kx1+b)，点R(x2,kx22+b)，则d1(P,Q)=(1+k)(1−x1)，d1(P,R)=(x2−1)[k(x2+1)+1].由d1(P,Q)=d1(P,R)，可得(1+k)(1−x1)=(x2−1)[k(x2+1)+1]①，同理，由d2(P,Q)=d2(P,R)可得：(1−x1)√1+k2=(x2−1)√1+k2(x2+1)2②，然后①②并化简整理可得：k2x2+k2−1=0，继而可得x2=1−k2k2>1，解得0>k>−√22或0<k<√22，又k>0，故0<k<√22．本题考查了对新定义的理解与运用，以及用待定系数法求函数解析式，理解题目所给的定义、得到点P的坐标是解题的关键．。

数学初三九年级上册压轴解答题练习（Word版含答案）一、压轴题1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.2．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．3．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；（2）求证：BA⊥AC；（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．4．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求2AD BD CD2⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O的半径．5．已知，如图1，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OC交对角线BD于点F，延长AO 交BD于点E，OE=OF.（1）求证：BE=FD；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF，⊙O的半径25AO=ABCD的面积；（3）如图3，若AD=BC；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 6．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．7．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．8．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．9．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BA C=α，则sinα=13BCAB=，可设BC=x，则AB=3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=35，求sin2β的值．10．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O 、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若ED＝BE，求∠F的度数：（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．11．MN是O上的一条不经过圆心的弦，4MN=，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A,B（不与M,N重合），且AN BN=，连接,AM BM.（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，30ABM︒∠=，求CMO∠的度数；（2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.12．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，在☉0中，o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=AB ∴是☉0的直径.Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴∴☉0的半径是32(2)AB//ON证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,AQ AQ =, BQ BQ =,Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.又APQ BPQ ∠=∠,AOQ BOQ ∴∠=∠.在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =OPN OQP.∴∠=∠延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，NOQ 90O ∴∠=NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .AB//ON ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．2．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502BEFEBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠=∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，1005022BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠=∴//CF AB（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF由（1）可知：EB=EF=EC∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=12∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M∵8090BEF ∠=<∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．3．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解； （3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解． 【详解】解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5，∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5＝()()220+10a a -+-，∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）；（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝45 ，AC ＝25， ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2， ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ； （3）过定点， 理由如下：∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ， ∴CO ＝DO ， 又∵CO ＝BO ， ∴DO ＝BO ＝CO ， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠BDC ＝90°，如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ， ∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°， ∵BC ＝10，∴BH ＝CH ＝，OH ＝OB ＝OC ＝5， 设点H （x ，y ）， ∵点H 在第四象限， ∴x ＜0，y ＞0，∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50， ∴x ＝4，y ＝3， ∴点H （4，﹣3），∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．4．（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，见解析；（2）BD 2＝CD 2+2AD 2，见解析；（3）①，②最大值为4414 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD ＝CAE ，进而得出△ABD ≌△ACE ，得出BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ，再根据勾股定理得出DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2，即可得出结论；（2）同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ），得出BD ＝CE ，再用勾股定理的出DE 2＝2AD 2，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2，即可得出结论；（3）先根据勾股定理的出DE 2＝CD 2+CE 2＝2CD 2，再判断出△ACE ≌△BCD （SAS ），得出AE ＝BD ，①将AD ＝6，BD ＝8代入DE 2＝2CD 2中，即可得出结论；②先求出CD ＝，再将AD+BD ＝14，CD ＝代入2AD BD ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得出﹣（AD ﹣212）2+4414，进而求出AD ，最后用勾股定理求出AB 即可得出结论． 【详解】解：（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，理由：由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∴CD2+BD2＝2AD2；（2）BD2＝CD2+2AD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∴DE2＝2AD2，∵∠ADC＝45°，∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即：BD2＝CD2+2AD2；（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，∴∠DCE＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，∴CD＝CE，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，连接AC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠BDC＝45°＝∠ADC，∴AC＝BC，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，①AD＝6，BD＝8，∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，∴2CD2＝142，∴CD＝故答案为72；②∵AD+BD＝14，∴CD＝72，∴2AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭＝AD•（BD+22×72）＝AD•（BD+7）＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣212）2+4414，∴当AD＝212时，22AD BD CD⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值为4414，∵AD+BD＝14，∴BD＝14﹣212＝72，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝22710AD BD+=，∴⊙O的半径为OA＝12AB＝7104．【点睛】本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质. 5．（1）见详解；（2）5326【解析】【分析】（1）如图1中，作OH⊥BD于H．根据等腰三角形的性质以及垂径定理即可；（2）如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB，求出AC，BD，根据S四边形ABCD=12•BD•AM+1 2•BD•CM=12•BD•AC即可求解；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性质，完全平方公式等知识即可；②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，想办法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理构建方程即可．【详解】（1）证明：如图1中，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OH⊥EF，∴EH=HF，∵OH⊥BD，∴BH=HD，∴BE=DF；（2）解：如图2中，作OH⊥BD于H，连接OB．∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，∴∠OEF=∠OAC=45°，∴∠AME=90°，即AC⊥BD，连接OB．设OH=a，∵BE=EF，∴BE=2EH=2OH=2a，在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，∴a2+（3a）2=（25）2，∴a=2或-2（舍弃），∴BD=BE+EF+DF=6a=62，在Rt△AOC中，AC=2AO=210，∴S四边形ABCD=12•BD•AM+12•BD•CM=12•BD•AC=12×210×62=125；（3）①如图3中，连接OB，作OH⊥BD于H．∵OE=OF，OA=OC，∴∠EOH=12∠EOF=12（∠EAC+∠ACO）=12×2∠OAC=∠OAC，∴AC∥OH，∴AC⊥BD，∵AD=BC，∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，∴2BM，2DM，CM=DM，∴AB•CD+BC222DM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；②如图3中，连接OB，设DM=CM=x，∵∠BOC=2∠BDC=90°，∴26，∵AB•CD+BC2=BD2，AB•CD=AO2=12，∴12+24=BD2，∴BD=6（负根已经舍弃），在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，∴（6）2=（6-x）2+x2，∴3或3∴226．【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．(1)作图见解析；（2）49 .【解析】试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．试题解析：（1）如图所示：①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆心，以大于23GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，时⊙P的面积就是S的最大值，∵AC=1，BC=2，∴5设PC=x，则PA=AC-PC=1-x在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，∴（1-x）2=x2+5）2，∴5；②如图3，同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC=y ，则（2-y ）2=y 2+（5-1）2，∴y=512-； ③如图4，同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ，∵△APF ∽△PBE ，∴PF ：BE=AF ：PE ，∴， ∴z=49． 由①、②、③可知，49＞512-＞∴z ＞y ＞x ， ∴⊙P 的面积S 的最大值为π．考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．7．（1）详见解析；（2）①详见解析；②8【解析】【分析】（1）先得到90ADB ∠=︒，利用圆周角定理得到DBA DAC ∠=∠，即可证明AC 是切线；（2）①利用等弧所对的圆周角相等，得到BAE DAE ∠=∠，然后得到CFA CAF ∠=∠，即可得到结论成立；②设AC CF x ==，利用勾股定理，即可求出AC 的长度.【详解】（1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DBA DAB ∠+∠=︒，∵DEA DBA ∠=∠,DAC DEA ∠=∠，∴DBA DAC ∠=∠，∴90DAC DAB ∠+∠=︒，∴90CAB ∠=︒，∴AC 是⊙O 的切线；（2）① ∵点E 是弧BD 的中点，∴BAE DAE ∠=∠，∵CFA DBA BAE ∠=∠+∠，CAF CAD DAE ∠=∠+∠，∴CFA CAF ∠=∠∴CA CF =；② 设CA CF x ==，在Rt ABC ∆中，2BC x =+，CA x =，6AB =，由勾股定理可得222(2)6x x +=+，解得：8x =，∴8AC =.【点睛】本题考查了切线的判定，等角对等边，以及勾股定理，要证直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．8．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝25据此求出t 值.（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.【详解】解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，解得：1t ＝0，2t ＝2；当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，()15242t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．【点睛】本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.9．（1；（2）sin2β=sin∠MON=2425． 【解析】试题分析：（1）如图1中，⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ．利用面积法求出CD ，在Rt △COD 中，根据sin2α=CDOC ，计算即可．（2）如图2中，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR ⊥NO 于点R ．首先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt △QMN中，由sin β=35MN NQ =，设MN=3k ，则NQ=5k ，易得OM=12NQ=52k ，可得=4k ，由12•MN•MQ=12•NQ•MR，求出在Rt △MRO 中，根据sin2β=sin∠MON=MROM ，计算即可．试题解析：（1）如图1中，⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ．∴AC=22AB BC-=22(3)x x-=22x，∵12•AC•BC=12•AB•CD，∴CD=223 x，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠COB=2α，∴sin2α=CDOC =429．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．在⊙O中，∠NMQ=90°，∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，∵sinβ=35 MNNQ=，∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=12NQ=52k，∴22QN MN-=4k，∵1122NMQS MN MQ NQ MR∆==，∴3k•4k=5k•MR∴MR=12k 5，在Rt△MRO 中，sin2β=sin∠MON=122455252kMRkOM==．考点：圆的综合题．10．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．试题解析：（1）如图1，连接EO，∵∴∠BOE=∠EOD，∵DO∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵BO=EO，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，∵在△HBO和△COD中，∴△HBO≌△COD（AAS），∴CO=BH=a，∴BE=2a，∵DO∥BF，∴△COD∽△CBF，∴∴， ∴EF=；（3）∵∠COD=∠OBE ，∠OBE=∠OEB ，∠DOE=∠OEB ，∴∠COD=∠DOE ，∴C 关于直线OD 的对称点为P 在线段OE 上，若△PEB 为等腰三角形，设CO=x ，∴OP=OC=x ，则PE=EO-OP=4-x ，由（2）得：BE=2x ，①当PB=PE ，不合题意舍去；②当BE=EP ，2x=4-x ，解得：x=，③当BE=BP ，作BM ⊥EO ，垂足为M ，∴EM=PE=，∴∠OEB=∠COD ，∠BME=∠DCO=90°，∴△BEM ∽△DOC ，∴，∴，整理得：x 2+x-4=0，解得：x=（负数舍去）， 综上所述：当CO 的长为或时，△PEB 为等腰三角形． 考点：圆的综合题．11．（1）15°；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）先求得45AMN BMN ︒∠=∠=，再由OM OB =得到30OMB OBM ︒∠=∠=，于是可解；（2）连接,,OA OB ON .可证AON BON ∠=∠，ON AB ⊥，由//OD AB 可知90DON ︒∠=，在MON ∆中用内角和定理可证明；（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.证明AMN BM N '≅，得到'MM N ∆是等腰三角形，然后在MNE ∆中用勾股定理即可求出16AM MB AN NB ⋅+⋅=.【详解】（1）AB 是O 的直径，90AMB ︒∴∠=AN BN =45AMN BMN ︒∴∠=∠=OM OB =30OMB OBM ︒∴∠=∠=453015CMO ︒︒︒∴∠=-=（2）连接,,OA OB ON .AN BN =AON BON ∴∠=∠，ON AB ⊥//OD AB90DON ︒∴∠=OM ON =OMN ONM ∴∠=∠180OMN ONM MOD DON ︒∠+∠+∠+∠=290MOD DMO ︒∴∠+∠=（3）延长MB 至点M '，使BM AM '=，连接NM '，作NE MM '⊥于点E.设AM a =，BM b =.四边形AMBN 是圆内接四边形180A MBN ︒∴∠+∠=180NBM MBN '︒∠+∠=A NBM '∴∠=∠AN BN =AN BN ∴=(SAS)AMN BM N '∴≅MN NM '∴=，BM AM a '==，NE MM '⊥于点E.11()22ME EM MM a b ''∴===+， ()2222ME BN BE MN +-=22211()()1622a b BN b a ⎡⎤⎡⎤∴++--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简得216ab NB +=， 16AM MB AN NB ∴⋅+⋅=【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有圆周角定理和垂径定理以及圆内接四边形的性质，综合性质较强，能够做出相应的辅助线是解题的关键.12．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2【解析】【分析】（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，11x ∴=-，23x =，1m ∴=-，3n =，(1,0)A ∴-，(0,3)B ，把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，解得11x =-，23x =，∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，1OA ∴=，3OC =，∴对称轴为1312x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，∴BC = BD ==DC ==222CD DB CB =+，BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，∴112322S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），①在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，21t = )；或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．综上，1t =-或2t =．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．。

北京市人大附中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）.【详解】试题分析：(1)已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得,,,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM="PN," ∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形；（3）把绕点旋转到如图的位置，此时PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN，，所以面积的最大值为 .试题解析： （1）PM=PN ，；（2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得∠BAD=∠CAE ， 又AB=AC,AD=AE ∴△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ， ∵点，分别为，的中点∴PM 是△DCE 的中位线 ∴PM=CE ，且,同理可证PN=BD ，且∴PM="PN," ∠MPD=∠ECD ，∠PNC=∠DBC ， ∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD ， ∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN ，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°， 即△PMN 为等腰直角三角形. (3).考点： 旋转和三角形的综合题.2．ABC 和DCE 都是等边三角形，DCE 绕点C 旋转，连接,AE BD ．猜测发现 ：（1）如图1，AE 与BD 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．问题解决 ：（2）若B C E 、、三点不在一条直线上，且30,4,3ADC AD CD ∠=︒==，求BD 的长．拓展运用 ：（3）若B C E 、、三点在一条直线上（如图2），且ABC 和DCE 的边长分别为1和2，ACD △的面积及tan ADC ∠的值．解析：（1）AE =BD ，理由见解析；（2）5；（33tan ADC ∠3【分析】（1）根据等边三角形的性质，容易证明△BCD ≌△ACE ，从而问题即可解决；（2）根据∠ADC=30゜及△DCE 是等边三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，从而可计算出AE ，再由（1）即可得BD 的长；（3）过A 点作AF ⊥CD 于F ，根据ABC 和DCE 都是等边三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF 中利用三角函数知识可求得AF 的长，从而可求得△ACD 的面积；在△ACF 中还可求得CF 的长 ，从而可得DF 的长，这样在直角△ADF 中即可求得结论． 【详解】 （1）AE =BD ． 理由如下： ∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴,,60AC BC DC EC ACB DCE ==∠=∠=︒， ∴ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠， 即BCD ACE ∠=∠， 在BCD △和ACE 中，CD CEBCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴() ACE BCD SAS ≅△△， ∴AE BD =；（2）如图3，由（1）得：BD AE =， ∵DCE 是等边三角形，∴60,3CDE CD DE ∠=︒==， ∵30ADC ∠=︒，∴306090ADE ADC CDE ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 在Rt ADE △中，4,3AD DE ==， ∴2222435AE AD DE =++， ∴5BD =；（3）如图2，过A 作AF CD ⊥于F ， ∵B C E 、、三点在一条直线上， ∴180BCA ACD DCE ∠+∠+∠=︒， ∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴60BCA DCE ∠=∠=︒， ∴60ACD ∠=︒，在Rt ACF 中，sin AFACF AC∠=， ∴33sin 122AF AC ACF =⨯∠=⨯=，11cos 122CF AC ACF =⨯∠=⨯=， ∴113322222ACDSCD AF =⨯⨯=⨯⨯=，13222FD CD CF =-=-=， 在Rt AFD 中，3tan 3AF ADC DF ∠==． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，带有一定的综合性． 3．综合与实践 数学问题：（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，过斜边的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，则AB ，BE ，AF 之间的数量关系为______．问题解决：（2）如图2，在任意Rt ABC 内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；图2 拓展提升：（3）如图3，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，则MN ，AM ，BN 的数量关系为______．图3（4）在（3）的条件下，若3AC =，4BC =，则MN =______．解析：（1）)2AB AF BE +；（2）135°；（3）222MN AM BN =+；（4）2512【分析】（1）根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系及正方形的性质即可得出数量关系；（2） 延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ，根据正方形的性质易证DFP DEB △△≌，从而可得DP =DB ，进而可证ADP ADB △△≌，从而可得12DAC DAB CAB ∠=∠=∠，12ABD CBD ABC ∠=∠=∠，由三角形内角和定理即可求得∠ADB 的度数； （3）由正方形的对边平行的性质易得AM =DM ，BN =DN ，从而在Rt △MDN 中，由勾股定理即可得MN 、AM 、BN 的数量关系；（4）由（2）知FP =BE ，即可求得DE =DF =1，根据相似三角形的性质可分别求得EM 、FN 的长，从而可得DM 、DN 的长，在Rt △MDN 中，由勾股定理即可求得MN 的长． 【详解】 （1）∵ABC 是等腰直角三角形，且AB =AC ，∴2AB =，∠A =∠B =45°，∵四边形DECF 是正方形，且D 是AB 的中点，∴DF =FC =CE =DE ，∠DFA =∠DEB =90°，DF ∥BC ，DE ∥AC ， ∴∠ADF =∠B =45°，∠BDE =∠A =45°， ∴AF =DF ，BE =DE ，∴F 、E 分别是AC 、BC 的中点， ∴CF =BE ，∴AC =AF +CF =AF +BE ， ∴()2AB AF BE =+；（2）延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ．∵四边形DECF 是正方形， ∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒．∵FP BE =，90DFC DEB ∠=∠=︒，DF DE =， ∴()SAS DFP DEB ≌△△． ∴DP DB =．∵AB AF BE =+，AP AF FP =+，FP BE =， ∴AP AB =．又∵DP DB =，AD AD =， ∴()SSS ADP ADB ≌△△．∴12DAC DAB CAB ∠=∠=∠．同理可得：12ABD CBD ABC ∠=∠=∠． ∵90ACB ∠=︒， ∴90CAB CBA ∠+∠=︒． ∴()1452DAB ABD CAB CBA ∠+∠=∠+∠=︒． ∴()180135ADB DAB ABD ∠=︒-∠+∠=︒． （3）∵DF ∥BC ，DE ∥AC ，∴∠CBD =∠NDB ， ∠DAC =∠ADM ， ∵ABD CBD ∠=∠，DAC DAB ∠=∠， ∴∠ABD =∠NDB ，∠ADM =∠DAB ， ∴BN =DN ，AM =DM ．在Rt △MDN 中，由勾股定理得：22222MD DN MN AM BN ==++ 故答案为：222MN AM BN =+，（4）∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴由勾股定理得：AB =5， 设正方形DECF 的边长为x ，由（2）知，AP =AB =5，BE =FP ，CP =AP -AC =2， ∵FP =CP +CF ，BE =BC -CE ， 即4-x =2+x ，解得x =1， ∴BE =BC -CE =3，AF =AC -CF =2， ∵EM ∥AC ，FN ∥BC ，∴△BME ∽△BAC ，△AFN ∽△ACB ∴34ME BE AC BC ==，23FN AF BC AC ==， ∴94ME =，83FN =．∵DM =ME -DE =54，DN =FN -DF =53，222255254312MN DM DN ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：2512MN =． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，截长补短法作辅助线是本题的关键．4．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．（概念理解）（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”． ①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠=________；②若90B ∠=︒．且3,2AB AD ==时．则22CD CB -=_______； （拓展提升）（2）如图，四边形ABCD 是“对补四边形”，当AB CB =，且12EBF ABC ∠=∠时，图中,,AB CF EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系；（类比应用）（3）如图3，在四边形ABCD 中，,AB CB BD =平分ADC ∠； ①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”； ②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且12ACD ABCS S=时，求tan ACD ∠的值． 解析：（1）①90︒，②5；（2）AE CF EF +=，理由见解析；（3）①见解析，②2 【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合::3:2:1A B C ∠∠∠=，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由90B ∠=︒，得D ∠90=︒，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延长EA 至点K ，使得AK CF =，连接BK ，根据“对补四边形”的定义，可证明ABK CBF △≌△，继而证明BEK BEF △≌△，从而可得结论；（3）①过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒,可证Rt ABM Rt CBN △≌△，进而可证四边形ABCD 是“对补四边形”；②设,AD a DC b ==，则tan aACD b∠=根据222AC a b =+，再运用12ACD ABCS S=建立方程，解方程即可求得tan ACD ∠． 【详解】 （1）::3:2:1A B C ∠∠∠=，设3,2,A x B x C x ∠=∠=∠=， 根据“对补四边形”的定义， 180A C ∠+∠=︒，即3180x x +=︒， 解得45x =︒，290B x ∴∠==︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒．故答案为：90︒． ②如图1，连接AC ，90B ∠=︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，在Rt ABC 中22BC AC AB =-， 在Rt ADC 中222CD AC AD =-，22222222()CD CB AC AD AC AB AB AD ∴-=---=-， 3,2AB AD ==，2222325CD CB ∴-=-=，故答案为：5．（2）AE CF EF +=，理由如下：如图2，延长EA 至点K ,使得AK CF =，连接BK ，四边形ABCD 是“对补四边形”，∴180BAD C ∠+∠=︒，180BAK BAD ∠+∠=︒，∴BAK C ∠=∠，,AK CF AB CB ==，∴()ABK CBF SAS △≌△， ∴,ABK CBF BK BF ∠=∠=， ∴ABK ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠，即KBF ABC ∠=∠，12EBF ABC ∠=∠，∴12EBF KBF ∠=∠， ∴EBK EBF ∠=∠，,BK BF BE BE ==，∴()BEK BEF SAS △≌△,∴EK EF =，∴AE CF AE AK EK EF +=+==，即AE CF EF +=， 故答案为：AE CF EF +=．（3）①证明：如图3，过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒，BD 平分ADC ∠，BM BN ∴=，AB CB =，()Rt ABM Rt CBN HL ∴△≌△，BAM C ∴∠=∠， 180BAM BAD ∠+∠=︒，180C BAD ∴∠+∠=︒，BAD ∴∠与C ∠互补，∴四边形ABCD 是“对补四边形”；②由①可知四边形ABCD 是“对补四边形”， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，设AD a DC b ==，，则22222AC AD CD a b =+=+，AB BC =，2222211()22AB BC AC a b ∴===+， 1122ACD S AD CD ab ∴=⋅=△，222111()224ABC S AB BC AB a b =⋅==+△， 12ACDABC SS =， 22112=12()4ab a b ∴+， 整理得：2()410a a b b-⨯+=， 解得：23a b=±． 在Rt ABC 中，tan aACD b ∠=，∴tan ACD ∠=23±．【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键．5．情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CA C′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP .∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG ∽△EAP ，同理△ACG ∽△FAQ ，∵AB= k AE ，AC= kAF ，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH. ∴HE=HF6．[探究函数4y x x =+的图象与性质] （1）函数4y x x=+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下列四个函数图象中函数4y x x =+的图象大致是 ；（3）对于函数4y x x=+，求当x 0>时，y 的取值范围. 请将下列的求解过程补充完整.解：∵x 0>∴()2224y x x x x x x =+=+=+ ∵20x x ≥ ∴ y ≥ .[拓展运用]（4）若函数259x x y x-+=，则y 的取值范围 . 解析：（1）0x ≠；（2）C ；（3）4，4；（4）1y ≥【详解】试题分析：本题的⑴问抓住函数是由分式给定的，所以抓住是分母不为0,即可确定自变量的取值范围.本题的⑵问结合第⑴问中的0x ≠，即0x >或0x <进行分类讨论函数值y 的大致取值范围，即可得到函数的大致图象.本题的第⑶问根据函数的配方逆向展开即推出“（ ）”应填写“常数”部分，再根据配方情况可以得到当当0x >时，y 的取值范围.本题的⑷问现将函数改写为95y x x=+-的形式，再按⑶的形式进行配方变形即可求y 的取值范围.试题解析：（1）由于函数4y x x =+是分式给定的，所要满足分母不为0，所以0x ≠. 故填：0x ≠. （2）0x ≠即0x >或0x <；当0x >时，y 的值是正数，此时画出的图象只能在第一象限；当0x <时，y 的值是负数，此时画出的图象只能在第三象限；所以函数4y x x=+的图象只在直角坐标系的一、三象限.故其大致图象应选C. （3）∵2244x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴()()2224224y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故分别填：44，； （4） ∵0x >（这里隐含有y 首先是正数）∴()222259933551x x y x x x x x x x -+⎛⎫⎛⎫==-+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵230x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∴ 1y ≥.7．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点D 是射线BC 上一动点，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ，交直线AC 于点P ．（问题发现）（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系为_______；（类比探究）（2）如图2，若点D 在线段BC 上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系，并说明理由；（拓展应用）（3）当点E 为BP 的中点时，直接写出线段CD 的长度．解析：（1）BC AP CD =+；（2）AP BC CD =+，理由见解析；（3）CD 的长为22或222【分析】（1）通过证明BPC ADC ≅，可得CP CD =，再根据,AP CP AC BC AC +==，即可得证AP CD BC +=；（2）通过证明()ACD BCP ASA ∆∆≌，可得CD CP =，再根据AP AC CP =+，即可得证AP BC CD =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段BC 上时；②当点D 在线段BC 的延长线上时，求解即可．【详解】解：（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，且点E 在线段AD 上，AP ，CD ，BC 之间的数量关系为BC AP CD =+，理由如下90ACB ︒∠=9018090PBC BPC ACD ACB ︒︒︒∴∠+∠=∠=-∠=，BE AD ⊥，垂足为点E90BED ︒∴∠=90PBC ADC ︒∴∠+∠=BPC ADC ∴∠=∠在△BPC 和△ADC 中90BPC ADC BCP ACD BC AC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩BPC ADC ∴≅CP CD ∴=,AP CP AC BC AC +==AP CD BC ∴+=（2）AP BC CD =+．理由如下，如图∵90ACB ∠=︒，BE AD ⊥∴90P PAE ∠+∠=︒，90P PBC ∠+∠=︒，∴PAE PBC ∠=∠∵90ACB BCP ∠=∠=︒，AC BC =∴()ACD BCP ASA ∆∆≌∴CD CP =∵AP AC CP =+∴AP BC CD =+（3）CD 的长为222或222①当点D 在线段BC 上时∵()APE ABE SAS ∆∆≌，∴22==AP AB∴222CP AP AC=-=-∴222==-CD CP②当点D在线段BC的延长线上时CD CP AP AC==+=+222【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证3，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转90°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=2PA ，PC=P’B ，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P 2+BP 2=P’B 2，∴2PA 2+PB 2=PC 2．（3）k=3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’， 可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠===60APB ︒∠=90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC +=3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．9．问题背景 如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC ，求证：=AE BE DE DC．尝试应用 如图2，在▱ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求FC FD 的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出cos ∠AFE 的值．解析：（1）见解析；（2）12FC FD =；（3）cos ∠AFE =25． 【分析】(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE ∽△ECD 即可；(2) 在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE ，证△AGE ∽△ECF ，列比例式即可；(3) 作FM =FD ，FN ⊥AD ，同（2）构造△AMF ∽△FCE ，证△AEF ∽△FHD ，求出AM 长即可．【详解】解：（1）∵ AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC∴∠B =∠C =90° ，∠BAE +∠AEB =90°，∠CED +∠AEB =90°，∴∠BAE =∠CED ，∴△ABE ∽△ECD∴AE BE DE DC =． （2）在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE又∵∠B +∠C =180° ，∠BGE +∠AGE =180°∴∠AGE =∠C∵∠B =∠D =∠AEF又∵∠B +∠BAE =∠AEF +∠FEC∴∠BAE =∠FEC ，∴△AGE ∽△ECF∴FC EF EG AE =，即FC EG EF AE =∵EF =FD ， ∴FC EG FD AE = ∵GE =BE ，AE =BC =2BE ， ∴12FC BE FD BC == （3）cos ∠AFE =25如图：作FM =FD ，FN ⊥AD ，由（2）同理可证△AMF ∽△FCE ，∴3FM EC AM FC== 设AM =x ，FM =FD =3x ，则AD =CD =32x +，MD =22x +，ND =1x +∵∠AEF =∠FND =90°，∠AFE ＝∠D ，∴△AEF ∽△FND ，∴EF AF ND FD =，即EF ND AF FD =， ∵FC EF AM AF =， FC ND AM FD∴= ∴213x x x +=， 解得，5x =，经检验，是原方程的解；∴ cos ∠AFE =25EF FC AF AM ==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．10．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12．②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒， ∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴=AB AB '，=AC AC '， ∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌， ∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形， ∴1122AD B B C C ''==， 又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯． 故答案为：4． （2）12AD BC =， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =， ∴四边形AC MB ''是平行四边形， ∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒， ∴=BAC AB M '∠∠， ∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =， ∴12AD BC =． （3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒， ∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒， 在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴3CM =43DM =60M ∠︒，在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+==30MDC ∠︒， ∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-= ∵=63AD ∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =， 在Rt CDF ∆中， ∵=6CD ，=63CF ∴tan 3CDF ∠= ∴60CDF CPF =︒=∠∠， ∴FCP CFD ∆∆≌， ∴CD PF =， ∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形， ∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒， ∴ADP ∆是等边三角形， ∴==63PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒， ∴120BPC ∠=︒， ∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，63PD PA AD ===，132DQ CD ==，∴()2222=363313PQ DQ DP +=+=．【点睛】本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性． 11．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______． 解析：（1330°；（213339+13339-【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得3AE BE DF BF =BDF BAE ∠=∠，即可求解； （2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得3AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，3cos 2BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠， 又3BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴3AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒， 3BE ∴=，2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，2216313DE BD BE ∴=-=-=， 30DEA ∠=︒，11322DG DE ∴==， 由（2）可得：32AE BE DF BF ==， ∴32131AE =+， 3932AE +∴=， ADE ∴∆的面积11393131333922228AE DG ++=⨯⨯=⨯⨯=； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1139********22228AE DG --=⨯⨯=⨯⨯=； 故答案为：133398+或133398-． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 12．问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．解析：(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．【解析】试题分析：（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，S2=•（4）2=4，由此即可解决问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8，由S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得S1•S2=x•y=xy=12；（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；试题解析：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DE∥BC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，∴S1•S2=12，（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴，∴，∴xy=8，∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，∴S1•S2=x•y=xy=12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，∴S1•S2=（ab）2sin2α．考点：几何变换综合题．13．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P不可能在DE的上方；③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考点：二次函数综合题．14．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=1AB．2探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A31），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由见解析；（3）ED=EB；拓展应用：C（1，3【分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题.【详解】探究结论（1），如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=1AB=AE=EB，2∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为：EC=EB；（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE，∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为：ED=EB；拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA，∵A31），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB ， ∵CF ⊥OB ， ∴OF=FB=1，∴可以假设C （1，n ）， ∵OC=BC=AB ， ∴1+n 2=1+（3+2）2， ∴n=2+3， ∴C （1，2+3）． 【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键.15．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ． （2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）（拓展延伸） 如图3，120BOD =∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，13AB =，且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=，求OC 的长．解析：（1）CE CF BC +=（2）结论不成立．12CE CF BC +=（3）14【分析】（1）结论：CE CF BC +=．根据正方形性质，证()BOE COF ASA ∆≅∆，根据全等三角形性质可得结论；（2）结论不成立．12CE CF BC +=．连接EF ，在CO 上截取CJ CF =，连接FJ ．根据菱形性质，证180EOF ECF ︒∠+∠=，,,,O E C F 四点共圆，分别证EOF ∆是等边三角形，CFJ ∆是等边三角形，根据等边三角形性质证()OFJ EFC SAS ∆≅∆，根据全等三角形性质可得结论；（3）由2OB OA >可知BAO ∆是钝角三角形，90BAO ∠>，作AH OB ⊥于H ，设=OH x ．根据勾股定理，可得到21OA OH ==，由180COD ACD ︒∠+∠=，得,,,A C O D 四点共圆，再证ACD ∆是等边三角形，由（2）可知：OC OD OA +=，故可得OC ．【详解】（1）如图1中，结论：CE CF BC +=．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，OB OC =，45OBE OCF ︒∠=∠=， ∵90EOF BOC ︒∠=∠=， ∴BOE OCF ∠=∠， ∴()BOE COF ASA ∆≅∆， ∴BE CF =，∴CE CF CE BE BC +=+=． 故答案为CE CF BC +=．（2）如图2中，结论不成立．12CE CF BC +=．理由：连接EF ，在CO 上截取CJ CF =，连接FJ ． ∵四边形ABCD 是菱形，120BCD ∠=， ∴60BCO OCF ︒∠=∠=， ∵180EOF ECF ︒∠+∠=， ∴,,,O E C F 四点共圆， ∴60OFE OCE ︒∠=∠=， ∵60EOF ︒∠=， ∴EOF ∆是等边三角形， ∴OF FE =，60OFE ︒∠=， ∵CF CJ =，60FCJ ︒∠=，∴CFJ ∆是等边三角形，∴FC FJ =，60EFC OFE ︒∠=∠=， ∴OFJ CFE ∠=∠， ∴()OFJ EFC SAS ∆≅∆， ∴OJ CE =，∴12CF CE CJ OJ OC BC +=+==， （3）如图3中，由2OB OA >可知BAO ∆是钝角三角形，90BAO ∠>，作AH OB ⊥于H ，设=OH x ．在Rt ABH ∆中，2133BH x - ∵4OB =， ∴21334x x -=，解得32x =（舍弃）或12， ∴21OA OH ==， ∵180COD ACD ︒∠+∠=， ∴,,,A C O D 四点共圆， ∵OA 平分COD ∠， ∴60AOC AOD ︒∠=∠=， ∴60ADC AOC ︒∠=∠=， ∵60CAD ︒∠=， ∴ACD ∆是等边三角形， 由（2）可知：OC OD OA +=， ∴31144OC =-=． 【点睛】考核知识点：正方形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，圆的性质.综合运用各个几何性质定理是关键；此题比较综合. 16．实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽。

北京市人大附中九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.2．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25个单位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．5．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标； （2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．6．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ； （2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．7．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 8．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 6 (1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．11．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．12．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数； （2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）13．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ． (1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．14．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20ny n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； (III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．16．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．18．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．19．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标； （3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式； ②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．20．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 93，求线段AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。