几种不规则图形面积的解题方法

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.B C思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

小升初：数学不规则图形面积计算10大经典例题（含做题方法）第一题图示例题：要在一个直径为10米的花园周围铺一条2米宽的小路，请问小路的面积是多少？答题方法：算出大圆(直径为10+12)的面积，再减小圆（直径为10）的面积即可。

二、四分之一圆减三角形第二题图示例题：已知图中三角形为等腰直角三角形，一条直角边长度是2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出四分之一的圆（半径为2），再减去三角形面积即可。

三、正方形减四分之一圆第三题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出正方形面积（边长为2），再减去四分之一圆（半径为2）即可。

四、正方形减圆形第四题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出正方形面积（边长为2），再减去四个四分之一圆（半径为2）即可。

五、四分之一圆减面积的复杂题型第五题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：画一条正方形的对角线使之穿过阴影部分，再按照第二题的方法求出二分之一阴影面积，最后正方形面积减阴影部分面积即可。

六、割补型第六题图示例题：已知图中每个正方形的边长均为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：经观察发现，图中阴影部分面积正好等于空白部分的面积，因此，可以把两边的阴影合并在一起，阴影面积就是1个正方形的面积。

类似的题型还有如下图：第六题附1题图示七、扇形叠交相减型第七题图示例题：图中OA、OB分别是两个小圆的直径，且OA=OB=2，∠BOA为直角，求图中阴影部分的面积。

答题方法：根据题意，过O点作∠BOA的角平分线，连接AB，观察可发现，示意图中的阴影部分面积正好是三角形ABO的面积。

八、圆形减扇形的类型第八题示意图例题：已知图中圆形的半径为2，三角形的一条边为16，求图中阴影部分的面积。

答题方法：如图，作2条辅助线，即可发现三角形外的阴影部分正好等于三角形内与红色辅助线围成的面积相等，因此，只需求出高是2，底是（16÷2）的两个三角形面积即可。

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算般我们称这样的图形为不规则图形那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（△ ABG、△ BDE、△ EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ ABE、△ ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形AECF的面积与△ ABE、△ ADF的面积都等于正方形1 ABCD的1。

3在△ ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=，2∴△ ECF的面积为2×2÷ 2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ ECF=12-2=1（0 平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和6 厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积思路导航：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=，4∴阴影部分面积=S△ ABG-S△BEF=25-8=1（7 平方厘米）例4 如右图，A 为△ CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ ABC阴影部分）面积为5平方厘米.求△ ABD及△ ACE的面积.思路导航：取BD 中点F，连结AF.因为△ ADF、△ ABF和△ ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ ACD的面积等于15 平方厘米，△ ABD的面积等于10平方厘米。

图形面积问题方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII图形面积问题方法总结：1. 相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

2. 相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

3. 直接求法: 这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，直接求三角形的面积。

4. 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

5. 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：44221=⨯⨯。

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

专题训练(七) 求不规则图形面积的两种方法 求与圆有关的阴影面积的问题中，阴影部分往往是不规则的图形，初看时，感觉这种问题令人费解，但是根据图形特点，采取灵活的方法，通过适当的变换，就能轻松求解．下面就教给大家几种解题方法！方法一 作差法作差法是把平面不规则图形的面积，直接转化为规则图形面积的和差，从而求得面积．1．[2019·丽水]如图7－ZT －1，C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是( )A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.2π3－ 3D.2π3－32图7－ZT －1 图7－ZT －22．[2019·重庆]如图7－ZT －2，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E .若E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．2－π4 B.32－π4 C ．2－π8 D.32－π8图7－ZT －33．[2019·盘锦]如图7－ZT －3，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AB ＝4 cm ，分别以点B ，C 为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 分别于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是________cm 2.方法二 割补法割补法是通过把不规则图形进行分割、补图，转化成规则图形，从而求得不规则图形的面积．4．[2019·山西]如图7－ZT －4是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD .若AC ＝10 cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为( )A ．5π cm 2B ．10π cm 2C ．15π cm 2D ．20π cm 2图7－ZT －4 图7－ZT －55．如图7－ZT －5，半圆O 的直径AB ＝2，弦CD ∥AB ，∠COD ＝90°，则图中阴影部分的面积为________．6．如图7－ZT －6，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ， ∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．图7－ZT －6 图7－ZT －77．如图7－ZT －7，已知点A (2 3，2)，B (2 3，1)，将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A ′(－2，23)的位置，则图中阴影部分的面积为__________．8．如图7－ZT －8，以BC 为直径，在半径为2、圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)图7－ZT －8教师详解详析1．A [解析] 连接OC .∵C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，∴∠ACB ＝90°，∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°，∴∠ABC ＝30°，△AOC 为等边三角形．∵AC ＝2，∴AO ＝2，∴OB ＝2.过点O 作OH ⊥BC 于点H ，则OH ＝1，BH ＝3，∴BC ＝2 3.∴阴影部分的面积为S 扇形－S △OBC ＝120·π×22360－12×23×1＝43π－ 3. 故选A.2．B [解析] ∵矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBF ＝45°，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBF ＝45°，∴AB ＝AE ＝1，BE ＝ 2.∵E 是AD 的中点，∴AD ＝2，∴图中阴影部分的面积为S 矩形ABCD －S △ABE －S 扇形EBF ＝1×2－12×1×1－45π×（2）2360＝32－π4. 故选B.3.⎝⎛⎭⎫23＋2－32π [解析] ∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∵∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝2 cm ， ∴BD ＝42－22＝23(cm)．∵∠C ＝45°，∴∠DAC ＝45°，∴AD ＝CD ＝2 cm ，∴BC ＝(23＋2)cm ，∴S 阴影＝12×(23＋2)×2－30π×12360－45π×4360＝23＋2－32π. 故答案为⎝⎛⎭⎫23＋2－32π. 4．B [解析] ∵AC 与BD 是⊙O 的两条直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴△ABO 与△CDO 的面积的和为△AOD 与△BOC 的面积的和，∴图中阴影部分的面积为S 扇形AOD ＋S 扇形BOC ＝2S 扇形AOD .∵OA ＝OB ，∠BAC ＝36°，∴∠BAC ＝∠ABO ＝36°，∴∠AOD ＝72°，∴图中阴影部分的面积为2×72π×52360＝10π. 故选B.5. π4[解析] 由半圆O 的直径AB ＝2，得半圆O 的半径为1.∵弦CD ∥AB ， ∴S △ACD ＝S △OCD ，∴S 阴影＝S 扇形COD ＝90π×12360＝π4. 6.53π [解析] 在Rt △ABO 中，∠ABO ＝90°，OA ＝2，AB ＝1， ∴OB ＝OA 2－AB 2＝3，sin ∠AOB ＝AB OA ＝12，∴∠AOB ＝30°. 同理，可得OD ＝1，∠COD ＝60°.∴∠AOC ＝∠AOB ＋(180°－∠COD )＝30°＋180°－60°＝150°.在△AOB 和△OCD 中，∵⎩⎨⎧AO ＝OC ，AB ＝OD ，BO ＝DC ，∴△AOB ≌△OCD (SSS)．∴S 阴影＝S 扇形AOC .∴S 阴影＝150360πR 2＝150360π×22＝53π. 故答案为53π. 7.34π [解析] 如图，∵A (2 3，2)，B (2 3，1)， ∴OA ＝4，OB ＝13.∵由点A (2 3，2)旋转到点A ′(－2，2 3)，∴∠A ′OA ＝∠B ′OB ＝90°，根据旋转的性质可得S △AOB ＝S △A ′OB ′，S 扇形BOC ＝S 扇形B ′OC ′，∴易知阴影部分的面积等于S 扇形A ′OA －S 扇形C ′OC ＝14π×42－14π×(13)2＝34π，故答案为34π. 8．解：连接CD ，由题意，可得△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，所以CD ＝DB ，所以弓形CD 和弓形BD 的面积相等，所以阴影部分的面积为扇形ABC 的面积减△ACD 的面积．∵AC ＝2，CD ⊥AB ，∠CAB ＝45°，∴AD ＝CD ＝2，∴S 阴影＝90π×22360－12×2×2＝π－1，即阴影部分的面积为π－1.。

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怎么计算组合图形的面积？
1、分图形：用分割法或添补法把不规 则图形分成我们会计算的简单图形。 2、找条件：分别计算简单图形的面积。 3、算面积：最后求和或差。
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利用新知识解决生活中的问题
新丰小学有一块菜地，形状如下图，这块菜 地的面积是多少平方米？
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小结
方法：一.分图形、二.找条件、三.算面积
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方法二：
把组合图形添补成一个长方形减去一个梯形
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方法三：
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把组合图形分解成一个三角形加一个梯形
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一块长方形草坪，中间有一条小路， 求草坪的面积。
关键：学会运用“分割”与“添补”的方法 计算不规则图形的面积。
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2、某工厂有一种用铁皮剪成的零件。 请计算做一个这样的零件要用多少铁皮?
先仔细观察图形，然后用你熟悉的方法去完成这道题。
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方法一：
把组合图形分割成一个长方形加一个梯形
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图一
图二
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图三
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不规则图形面积怎样计算？

六年级数学培优专题-不规则图形面积计算不规则图形面积计算（1）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积. 思路导航: ∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航:在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积. 思路导航:取BD 中点F ，连结AF.因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD 的面积等于15平方厘米，△ABD 的面积等于10平方厘米。

形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的 。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
一、 相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

求不规则面积的数学方法一、分割法。

1.1 原理阐述。

求不规则面积的时候啊，分割法是个挺不错的法子。

就是把那个不规则的图形啊，分割成咱们熟悉的图形，像三角形、长方形、正方形啥的。

这就好比把一个大难题啊，拆成一个个小问题，各个击破嘛。

就拿一块奇形怪状的地来说，咱们可以想象着用几条线把它切成几块规整的形状，就像切蛋糕似的。

1.2 实际例子。

比如说有个不规则的多边形，看着乱得很。

咱们仔细瞅瞅，从几个合适的点连线，把它分成了三个三角形和一个长方形。

三角形的面积公式咱都知道，底乘高除以二嘛，长方形面积就是长乘宽。

把这几个小图形的面积都算出来，然后一加，这个不规则多边形的面积就出来了。

这就像是把一群散兵游勇，按照不同的队伍编排好，再把每个队伍的人数一加，总数就清楚了。

二、填补法。

2.1 原理剖析。

填补法呢，和分割法有点相反。

要是遇到个不规则的图形，咱就想办法给它补上一块或者几块，让它变成一个咱们能轻松算面积的规则图形。

这就好比一个人衣服破了个洞，咱们补上一块布，让它完整起来。

等算出这个完整的规则图形的面积之后呢，再把咱们补上的那部分面积减掉，剩下的就是原来不规则图形的面积了。

2.2 举例说明。

就像有个图形，缺了一角，看着像个残缺不全的正方形。

咱们就给它补上那缺的一角，让它变成一个完整的正方形。

先算出这个正方形的面积，然后再算出补上的小三角形的面积。

正方形面积减去三角形面积，得嘞，原来那个不规则图形的面积就到手了。

这就像先把一个不完整的东西补全，再把多出来的部分去掉，就得到原本的东西了。

三、方格纸估算。

3.1 操作方法。

方格纸估算这个方法也很实用。

把这个不规则的图形画在方格纸上，每个方格的大小是一样的。

然后咱们就数这个图形占了多少个方格。

对于那些不满一格的，咱们就大概估算一下，是半格呢还是三分之一格之类的。

这就有点像咱们过日子，有时候大概估摸一下东西的数量。

3.2 实际操作。

比如说有个不规则的树叶形状的图形画在方格纸上。

⼩学数学不规则图形⾯积计算⽅法 在⼩学⼏何图形的教学中，特别是组合图形的⾯积和周长教学中，利⽤数学的转化思想将原有的图形切割、平移、旋转、拼接等，把不规则的图形转化成规则的图形，可以轻松解决⼀些⽐较困难的图形题。

我们曾经学过的三⾓形、长⽅形、正⽅形、平⾏四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，⼀般称为基本图形或规则图形。

基本图形的⾯积及周长都有相应的公式直接计算。

如下表： 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，⽽是由⼀些基本图形组合、拼凑成的，它们的⾯积及周长⽆法应⽤公式直接计算。

⼀般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的⾯积及周长怎样去计算呢?我们可以通过实施割补、剪拼等⽅法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

请看下⾯的例题。

例1 如右图，甲、⼄两图形都是正⽅形，它们的边长分别是10厘⽶和12厘⽶.求阴影部分的⾯积。

分析：阴影部分的⾯积等于甲、⼄两个正⽅形⾯积之和减去三个“空⽩”三⾓形(△ABG、△BDE、△EFG)的⾯积之和。

例2 如右图，正⽅形ABCD的边长为6厘⽶，△ABE、△ADF与四边形AECF的⾯积彼此相等，求三⾓形AEF的⾯积. 分析：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的⾯积彼此相等，都等于正⽅形ABCD⾯积的三分之⼀，也就是12厘⽶. 解： S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12 在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF的⾯积为2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平⽅厘⽶)。

例3 两块等腰直⾓三⾓形的三⾓板，直⾓边分别是10厘⽶和6厘⽶。

如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的⾯积。

分析：阴影部分⾯积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三⾓形 总结：对于不规则图形⾯积的计算问题⼀般将它转化为若⼲基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.。

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。

一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例题分析例1、如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2、如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。

一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12平方厘米。

解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12（平方厘米）在△ABE中，因为AB=6厘米，所以BE=4厘米，同理DF=4厘米，因此CE=CF=2厘米，∴△ECF的面积为2×2÷2=2（平方厘米）。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

一句话：阴影部分面积=S△A BG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决求面积十大方法1.>>>相加法<<<这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积2.>>>相减法<<<这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。

一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。

例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ， 由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O CD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。

连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O M D S S 43601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。

例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴CDB 11S CD BD 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。

解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，AB AE =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ＝ 1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ CD ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。

4-2-6.不规则图形的面积例题精讲本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)499349934993 4993图1图2图3【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375(平方厘米)．图2的面积是：(94)39475(平方厘米)．(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975(平方厘米)．【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)40303020【解析】这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；403030202030204030303040图一图二图三（3040）120014002600(平方米)方法一：如图一，304020（2030）60020002600(平方米)方法二：如图二，203040（4030）（2030）303035009002600(平方米)方法三：如图三，【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD的周长和面积．A D4 10A D410HFEG C FEGC【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD的周长和面积可以求出．而正方形的边长GC DC DG AB DG1046(厘米)，长方形的宽BE CE1064(厘米)，所求图形的周长102624440(厘米)面积S长方形ABCD S正方形CEFG1046676(平方厘米)方法二：可以将线段GF、DG向外平移，得一个新的图形ABEH，因为D G H F，GF DH，所以图形ABEH的周长就是图形ABEFGD的周长．而AB BE10(厘米)，所以图形ABEH是边长为10厘米的正方形．所求图形的周长正方形ABEH的周长10440(厘米)面积S正方形ABEH S长方形DGFH10106476(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．B10B103645【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448，五边形面积1684342．2【答案】42【例2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，（280300）242000(平方厘米)．它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400(平方厘米)．【答案】14400【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？2米2米8米2米2米8米【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；[162）2]（[82）2]7321(平方米)每一块地的面积是：（方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[168（2168222）]4（12844）421(平方米)16米16米方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：（[162）（82）]484421(平方米)【答案】21【例4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924(平方厘米)．【答案】24【例5】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.20－55820820【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20520)82140(平方厘米)．【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.ADBO32ECF【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037(厘米)，面积为2(710)2217(厘米).所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

求不规则图形面积的五种方法
1、相加法
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。

2、相减法
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

3、直接求法
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

4、重新组合法
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。

5、辅助线法
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。

小学数学图形与几何：复杂图形面积的计算常用的基本方法有：一、相加法这种方法是将不规则图形分解成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积.一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.三、直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如：下图，求阴影部分的面积。

一句话：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图。

五、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形成若干个基本规则图形，再采用相加、相减法解决即可例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积。

一句话：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理）可用三角形丁的面积替换丙的面积，组成一个大三角ABE，这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.六、割补法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如：下图，若求阴影部分的面积。

一句话：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如：下图，求阴影部分的面积。

一句话：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如：下图（1）求阴影部分的面积。

一句话：左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如：下图，求阴影部分的面积。

总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。