2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则AB =（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +=故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17（B ）π18（C ）π20 （D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C ）（D【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b >⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， F ny y n x x =-+=,21ny x ,,输入开始结束y x ,输出1+=n n ?3622≥+y x 是否α平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31【解析】：如图所示：111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。

2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）c c ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）y （10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 点．已知24=AB ，52=DE ，则C （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年高考全国Ⅰ卷第21题的命题分析阮飞;王志刚【摘要】对两道高考函数与导数压轴题的命题细目表、命制过程、解题思路进行了分析.【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】6页(P44-49)【关键词】高考命题;函数与导数;数学思想;核心素养【作者】阮飞;王志刚【作者单位】安徽省太和中学;安徽省阜阳市教研室【正文语种】中文近两年高考数学全国Ⅰ卷的函数与导数解答题，突出主干知识，通过创新试题情境巧妙组合考点，注重对函数和方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活运用，重点考查学生的推理论证、运算求解能力，突出对理性思维的测试，体现对数学核心素养的考查.本文给出2016年高考数学全国Ⅰ卷理科和文科第21题的命题分析，与同行交流. 文科第21题：已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.（1）讨论 f(x)的单调性；（2）若 f(x)有两个零点，求a的取值范围.理科第21题：已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.（1）求a的取值范围；（2）设x1,x2是 f(x)的两个零点，证明：x1+x2＜2.文科第21题可以看作是理科第21题第（1）小题的拆解变式，下面的命题猜想以理科第21题为主.以理科第21题为例.下表为理科第21题命题细目表，该题将函数、导数、函数的零点与不等式知识结合，考查函数的零点的概念、导数公式和导数运算法则，考查学生灵活运用导数工具分析和解决问题的能力，综合考查学生的推理论证能力、运算求解能力、创新意识，以及分类讨论和转化化归的思想.1.源于教材，落实课程标准（1）借助工具，画图探究.函数y=x+多次出现在高中教材中，是高考题和模拟题的明星函数.例如，人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》中的例题“判断函数y=x+的奇偶性”；人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》的练习“x＞0，当x取什么值时，x+的值最小？最小值是多少？”北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）》的例题“已知y=x+，证明|y|≥2”；北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—2）》的习题“讨论函数 f(x)=x+的单调性”.指数函数y=ex同样多次出现在高中教材中，可以利用几何画板软件画出函数y=ex和函数y=x+的图象，它们的图象有一个交点，如图1所示.再画与对号函数关于y轴对称的函数的图象，其图象与函数y=ex的图象没有交点，如图2所示.接着把的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数y=-(x-2)--2的图象，其图象与函数y=ex的图象有两个交点，如图3所示.最后，我们引入参数a(a∈R)，可以得到函数y=利用几何画板软件画图发现：当a＞0时，其图象与函数y=ex的图象有两个交点，可以显示这两点的横坐标x1，x2，并计算x1+x2，在实数a(a＞0)变化的过程中x1+x2＜2恒成立，图4就是其中的一种情况；当a＜0时，其图象与函数y=ex的图象有一个交点，图5就是其中的一种情况；当a=0时，其图象与函数y=ex的图象没有交点.综上所述，当且仅当a＞0时，方程有两个不等于2的实根x1，x2.又因为x≠2，即当且仅当a＞0时，函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不等于2的零点x1，x2，且x1+x2＜2.图6 为a=0.03时函数 f(x)的图象，参数a变化时，几何画板软件可以动态演示函数 f(x)的图象的变化情况.（2）利用导数，证明结论.易得：当a＞0时，该函数在(-∞,1)上是递减的，值域为(0,+∞)；在(1,2)上是递增的，值域为(0,+∞)，且当x＞2时，y＜0.如图4，其图象的对称中心为(2,-2a)，两条渐近线为直线y=-ax和x=2.当a＜0时，如图5，该函数在(2,3)上是递减的，值域为(-4a,+∞)；在(3,+∞)上是递增的，值域为(-4a,+∞),且当x＜2时，y≤0.不难得出，当且仅当a＞0时，的图象与函数y=ex的图象有两个交点，即函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不等于2的零点x1，x2成立；两边取自然对数，得所以假设不成立，故x1+x2＜2.（3）创新情境，隐藏题源.至此我们找出了文科第21题和理科第21题的源头，命题人又是如何设计试题的呢？以理科第21题为例，试题分步设问，第（1）小题讨论函数 f(x)存在两个零点的条件，为第（2）小题做铺垫，逐步推进.第（2）小题将函数与不等式有机结合，为学生的解答提供广阔的想象空间.试题的设置使得学生不能求出 f(x)的零点，从而需要打破常规思路，利用转化与化归的思想，将x1+ x2＜2转化为 f(x1)＞f(2-x2)，进而通过构造辅助函数、研究辅助函数的单调性使问题得到证明.可见，该题源于教材，落实课程标准，而命题人是否还有其他目的呢？2.高于教材，考查潜能函数与导数压轴题要考查学生继续学习的潜能，有利于高校选拔人才，故其往往有数学分析的背景.下面我们先给出试题的部分解法，再指出其背景.（1）巧解理科第21题第（1）小题.又见洛必达法则.因为 f(1)=-e，所以函数 f(x)有两个零点等价于关于x的方程-a=有两个相异实根.当x∈(-∞，1)时，u′(x)＜0，u(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，u′(x)＞0，u(x)单调递增.函数u(x)的图象如图7所示.所以当-a＜0时，关于x的方程有两个相异实根，即函数 f(x)有两个零点时，实数a的取值范围是(0,+∞).背景1：洛必达法则.就文科第21题和理科第21题而言，由洛必达法则可得以下解题过程.（2）妙解理科第21题第（2）小题，功在拉格朗日中值定理.背景2：拉格朗日中值定理.定理：若函数 f(x)满足： f(x)在区间[m，n]上连续； f(x)在区间(m，n)内可导.则∃ξ∈(m，n)，使得取ξ=m+λh，h=n-m，得 f(n)-f(m)=f′(m +λh)h，0＜λ＜1. 一般地，称x0=m+λh为相对于左端点m的偏移点，而λh(0 ＜λ＜1)则定义为偏移点相对于左端点的偏移量.当ξ=m+λh为极值点，且当λ=时，函数f(x)的图象关于x=ξ对称.否则，函数 f(x)的图象不关于x=ξ对称.就该题而言，f′(x)=(x-1)(ex+2a)，易知x=1为极值点，但λ≠，所以 f(x)的图象关于x=1不对称.事实上，在拉格朗日中值定理中，取n=1+x，m=1-x，h=2x，从而 f(x)的图象关于x=1不对称.（3）再探理科第21题的第（2）小题，巧用对数平均值.同上文x1+x2＜2的证明，还有如下解法.可见，理科第21题由浅入深，背景丰富，对计算难度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，区分度较高，使学生个体理性思维的广度和深度得到了充分展示，较好地考查了学生进一步学习的潜能，突出了试题的选拔功能.以理科第21题为例.1.第（1）小题第（1）小题设计了不同的思维路径.思路1：由f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，求得f′(x)的零点，进而对参数a进行分类讨论，得到f(x)的单调性，从而得到y=f(x)的大致图象，进而得到 f(x)存在两个零点的条件.思路2：由于x=1不是 f(x)的零点，从而 f(x)=0等价于故 f(x)有两个零点等价于直线y=-a与曲线有两个交点.设过程见该小题另解.2.第（2）小题第（2）小题要求证明 f(x)的两个零点x1，x2满足x1+x2＜2，将函数与不等式有机结合.试题的设置使得学生不能求出 f(x)的零点，从而需要学生打破常规思路，以此实现对学生创新意识的考查.思路1：将x1+x2＜2转化为 f(x1)＞f(2-x2), 或u(x1)＞或v(x1)＞v(2-x2)（设v(x)=进而通过构造辅助函数，研究辅助函数的单调性使问题得到证明.该思路涉及到的数学核心素养分析如下.（1）直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.例如，学生为利用函数 f(x)证明x1+x2＜2，先将其转化为x1＜2-x2，借助函数 f(x)的图象和单调性再转化为 f(x1)＞f(2-x2)，进而建立了数与形的联系.（2）数学建模是对现实问题进行数学抽象，再用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.本文主要指构造新的数学模型解决数学问题的过程.例如，学生利用 f(x1)=0消元把 f(x1)＞f(2-x2)转化为 f(2-x2)＜0，由于 f(2-x2)=-x2e2-x2+ a(x2-1)2,而 f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，消去参数a得f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,然后构造函数 g(x)=-xe2-x-(x-2)ex.（3）逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例如，学生在分析和解决如何证明x1+x2＜2的过程中处处体现了逻辑推理素养.（4）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.例如，学生在上述转化和运用导数研究函数g(x)的性质的过程中处处体现了数学运算素养.上述基于高中数学核心素养的解题流程如图8所示.思路2：将x1+x2＜2转化为f(1+m)＞f(1-m)(m＞0)或u(1+m)＞u(1-m)(m＞0)，具体过程见该小题另解1.思路3：利用a＞b＞0时， a+b＞ a-b，结2 lna-lnb合函数 f(x)或u(x)或v(x)，具体过程见该小题另解2.可见，理科第21题在对核心素养进行考查时，设置了多种思维路径，使得不同能力层次的学生都有发挥的空间，同时也能有效测试学生的核心素养发展水平.【相关文献】［1］陈昂，任子朝.高考中的推理论证能力研究［J］.中学数学教学参考（上旬），2016（8）：2-4，12.［2］教育部考试中心.突出实践性和创新性实现高考的选拔功能：2016年高考数学试题评析［J］.中国考试，2016（7）：12-15，57.［3］任子朝，陈昂.加快高考内容改革，增强基础性和综合性［J］.数学通报，2016（6）：1-3.。

2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设集合{}0342<+-=x x x A ，{}032>-=x x B ，则=B A（A ）（3-，23-） （B ）（3-，23） （C ）（1，23） （D ）（23-，3）（2） 设yi x i +=+1)1(，其中x ,y 是实数，则=+yi x（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3） 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （5） 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m 的取值范围是 （A ）（1-，3） （B ）（1-，3） （C ）（0，3） （D ）（0，3）（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （7） 函数xe x y -=22在[]22，-的图象大致为 （A ） （B ） （C （D ）（8） 若1>>b a ，10<<c ，则（A ）c c b a < （B ）cc ba ab <（C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9） 执行右图的程序框图，如果输入的0=x ,1=y ,1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5=（10） 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点，交C 的准线于D ,E 两点．已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（11） 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α∥平面11D CB ，α∩平面m ABCD =，α∩平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

极值点偏移（部分）极值点偏移问题的两种常见解法之比较在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点1202x x x +=，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点1202x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x <⇔<；若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递减，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x <⇔>. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,,a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩(,)2a bL a b +≤，（此式记为对数平均不等式）下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ①ln ln a b a b --ln ln a ba b-<-，只须证：ln a b <1x =>，只须证：12ln ,1x x x x≤-> 设1()2ln ,1f x x x x x=-+>，则22221(1)()10x f x x x x -'=--=-<，所以()f x 在(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0f x f <=，即12ln x x x<-，ln ln a ba b -<-①再证：ln ln 2a b a ba b -+<- 要证：ln ln 2a b a ba b -+<-，只须证：1ln21a ab b a b-<+令1a x b =>，则只须证：1ln 12x x x -<+，只须证2ln 1112x x x -<>+，设2ln ()112xg x x =--+，1x >，则22221(1)()0(1)22(1)x g x x x x x --'=-=<++ 所以()g x 在区间(1,)+∞内单调递减，所以()g(1)0g x <=，即2ln 112xx -<+， 故ln ln 2a b a ba b -+<- 综上述，当0,0a b >>(,)2a bL a b +≤≤例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅰ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．（附解答）例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴交于A B 、两点，A B 、中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<（附解答）例3 （2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数21()1xx f x e x -=+ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1212()(),f x f x x x =≠时，求证：120x x +<（附解答）例4 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数()(),xf x e ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0(()f f x ''<为函数()f x 的导函数）（附解答）总结从以上四个例题可以看出，两种方法解决的问题相同，即若12,x x 是函数()f x 的两个零点，而0x x =是函数()f x 的极值点，证明1202x x x +<（或1202x x x +>），根据函数单调性求解的步骤是：一、构建函数0()()(2)h x f x f x x =--，二、判断函数()h x 的单调性，三、证明()0h x >（或()0h x <）即0()(2)f x f x x >-（或0()(2)f x f x x <-），四、故函数()f x 的单调性证1202x x x +<（或1202x x x +>）.根据对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出1212ln ln x x x x --及，二、通过等式两边同除以12ln ln x x -构建对数平均数1212ln ln x x x x --，三、利用对数平均不等式将1212ln ln x x x x --转化为122x x +后再证明1202x x x +<（或1202x x x +>）. 两种方法各有优劣，适用的题型也略有差异，考生若能灵活驾驭这两种方法，便能在考场上发挥自如，取得理想的成绩.讲义：极值点偏移一（纯偏型）一、学习目标1.了解极值偏移的两种类型2.掌握两种极值偏移的处理方法 二、学习过程【定义】什么是极值点偏移？我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点0x ，若f(x)=c 的两根的中点为221x x +，则刚好有221x x +=0x ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；而函数x ex x g =)(的极值点0x =1刚好在两根的中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（A ）1 （B（C（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）43 （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c< （D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面A 11ABB =n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 2 (B )2(C)3 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)5(2x 的展开式中，x 3的系数是. （用数字填写答案）（15）设等比数列满足}{a n 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n的最大值为。

2016年全国卷Ⅰ（理科）数学试卷一、选择题（每小题5分）1. 设集合{}034|2<+-=x x x A ，{}032|>-=x x B ，则=B A （ ）A.)23,3(--B. )23,3(-C.)23,1(D.)3,23( 2. 设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则=+yi x （ ） A.1 B.2 C.3 D.23. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a （ ） A.100 B.99 C.98 D.974. 某公司的班车在7: 30，8 :00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.31 B.21 C.32 D.43 5. 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A.)3,1(-B.)3,1(-C.)3,0(D.)3,0(6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） A.17π B.18π C.20π D.28π7. 函数xex y -=22在[﹣2，2]的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8. 若1>>b a ，10<<c ，则（ ） A.ccb a < B.ccba ab < C.c b c a a b log log < D.c c b a log log <9. 执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出x ，y 的值满足（ ） A.x y 2= B.x y 3= C.x y 4= D.x y 5=10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点，已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，11D CB 平面∥α，m ABCD =平面 α n A ABB =11平面 α，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.23 B.22 C.33 D.31 12. 已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ≤），4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.5二、填空题（每小题5分）13. 设向量)1,(m a =→，)2,1(=→b +=，则=m _______ 14. 5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是_______（用数字填写答案）15. 设等比数列{}n a 满足1031=+a a ，542=+a a ，则n a a a 21的最大值为________ 16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时. 生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为____________元三、解答题17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2（1）求C （2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长18. （本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=，=∠AFD 90°，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是60°（1）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC （2）求二面角A BC E --的余弦值19. （本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 （1）求X 的分布列（2）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E （1）证明：EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围21. （本小题满分12分）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 （1）求a 的取值范围（2）设1x ，2x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB ∆是等腰三角形，=∠AOB 120°，以O 为圆心，OA 21为半径作圆（1）证明：直线AB 与⊙O 相切（2）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1c 的参数方程为⎩⎨⎧+==ta y ta x sin 1cos （t 为参数，0>a ）. 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2c ：θρcos = （1）说明1c 是哪种曲线，并将1c 的方程化为极坐标方程；（2）直线3c 的极坐标方程为：0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1c 与2c 的公共点都在3c 上，求a24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数321)(--+=x x x f（1）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像 （2）求不等式1)(>x f 的解集答案单选题1. D2. B3. C4. B5. A6. A7. D8. C9. C 10. B 11. A 12. B 填空题 13.14.15.16.简答题17.18.19.见解析20.21.22.1923.24.（）25.26.；27.见证明。

高考理数2016年高考新全国1卷理数试题解析（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）【答案】D 【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. （2）设，其中x，y是实数，则（A）1 （B）（C）（D）2 【答案】B 【解析】试题分析：因为所以故选B. 【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略, 所以做复数题时要注意运算的准确性. （3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，所以故选C. 【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. （4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,) 【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. （7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D 【考点】函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. （8）若，则（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. （9）执行下面的程序框图，如果输入的，则输出x，y的值满足（A）（B）（C）（D）【答案】C 【解析】试题分析：当时，，不满足；，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选 C. 【考点】程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解此类问题只需按照程序逐步列出运行结果. （10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 【答案】B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B. 【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. （11）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A）（B）（C）（D）【答案】A 【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. （12）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，则的最大值为9.故选B. 【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】【解析】试题分析：由，得，所以，解得. 【考点】向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则. （14）的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数. （15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an 的最大值为. 【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值. 【考点】等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【答案】【解析】试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题意得约束条件目标函数. 约束条件等价于①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时，取得最大值. 解方程组，得的坐标为. 所以当，时，. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 【考点】线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长．【答案】（I）；（II）. 【解析】试题分析：（I）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C；（II）根据．及可得．再利用余弦定理可得，从而可得的周长为．试题解析：（I）由已知及正弦定理得，由已知及余弦定理得，．故，从而．所以的周长为．【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”. （18）（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值．【答案】（I）见解析；（II）【解析】试题分析：（I）证明平面，结合平面，可得平面平面．（II）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（II）过作，垂足为，由（I）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以为二面角的平面角，．从而可得．所以，，，．设是平面的法向量，则【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决. （19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）见解析；（II）19；（III）. 【解析】试题分析：（I）先确定X的所有可能取值，然后求相应的概率，可得X的分布列；（II）通过概率大小进行比较；（III）分别求出n=19，n=20的期望，比较即可. 试题解析：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；；；；；；. 所以的分布列为16 17 18 19 20 21 22 （II）由（I）知，，故的最小值为19. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选. 【考点】概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性，但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. （20）（本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l 过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】（I）（）；（II）【解析】试题分析：（I）利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。