力学3-动量与角动量概论
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第三章动量与角动量01概论
解：
P
I mg
I T
P mv mv
I总
o
l
2
1
mv mv
2
1
P 0
Pm
P 0
I mg
t1t2mgdt
t 2
t 1
2
o
l
I mg(t t )
mg
2
1
P m
2
I mg
mg
I总
I mg
I T
由动量定理
2
I mg
T
I总 P 0
例2. 一质量为m 质点开始处于静止状态， 试计算在力 F 3t 2iˆ 2tˆj(N )作用下，
判断题：
1. 冲量的方向就是合外力的方向。 （×） 2. 冲量的方向就是动量的方向。 （×）
3. 冲量的方向就是动量增量的方向。（√ ）
例1. 一长为l 的细绳一端系一质量为m 的小球， 另一端固定在o 点，现小球以角速度ω 在水 平面内作圆周运动，绳与竖直方向夹角为θ 。
计算：从 P点开始转一周的
定义: 由有相互作用的若干质点组成的系统
内力: 系统内质点之间的相互作用力
外力: 系统以外的其它物体对系统内任一 质点的作用力
内力记作 f
ij
由于内力总是成对出现的，
并且互为作用力和反作 用力，由牛顿第三定律有
f ij
0
i j
外力记作 F i
表示第i 个质点所受外力的合力
F 称作质点系所受合外力 i
t2 t1 t
尤其当： Δt 非常短时，对应于有限大的冲量，
会得到非常大的力 ——冲力
二. 动量定理
It2 t1F来自(t)dtP 2
第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
三第3讲 动量与角动量1-2010
v v
dm
v F
m
x
11
以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv +dm⋅ 0 t+dt 时刻 增量
= mv
mv + dm⋅ v = (m+ dm)v
dp = (m + dm)v − mv = dm⋅ v
Fdt = dp = dm⋅ v
根据动量定理， 根据动量定理，
dm ∴F = v = 500×3 =1.5×103 N dt
16
静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 例1 静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 一个新的原子核，已知电子的动量为1.2×10-23kg.m/s,中微子的 一个新的原子核，已知电子的动量为 中微子的 动量为6.4×10-23kg.m/s，且它们的运动方向相互垂直 动量为 ，且它们的运动方向相互垂直. 求:新原子核的动量的值和方向. 新原子核的动量的值和方向. 解：原子衰变前后系统动量守恒
t
t +dt
火箭体质量为M 火箭体质量为
r 速度 V
M + dM
喷出的气体 dm
r r 速度 u +V
r r V +dV
v pe
v v v pe + pν + pN = 0
v v 2 2 pe 与 pν 垂直： pN = pe + pν 垂直： 因为
v pN
θ
(
)
α
1/ 2
v pν
pe 1.2×10−23 所以： 所以： α＝ = = 61.9o arctg 6.4×10−23 pν
θ＝ o－ o =118.1o 180 61.9
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
力学3动量角动量
0t Mdt Lt L0
（（注21意））或:是ML普遍rr规FP律0,宏恒观矢Fr、量//微F—0，观—均r角适动0用量。守力恒F心定r律F r
（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。
质点对力心的角动量守恒。 r / / F
（4）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒.
（5）角动量守恒, 不见得动量守恒. 如:匀速圆周运动.
今用手提起链的一端使之以匀速v 铅直上升。
求: 从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？
F
v
y
பைடு நூலகம்
解: t时刻铁链的动量为：
P0 yv
t+dt时刻铁链的动量为：
P y dyv
l
动量的变化为：
gy
dP P P0 vdy
dt时间内合外力的冲量为：
根据动量定理：
dI F gydt
dI dP F gydt vdy
u
u
v
dv
m
dm u
dt时间内系统动量增量 dP (m dm)(v dv) mv mdv dmv
(
dm)v
'
mv
dmdv dmv
'
地面
mv
m dv vdm v'dm
由动量定理 F合外dt dP F合外
F合 外
d(mv )
dt
v'
dm dt
dP dt
m
dv
dm
P mv dv ?
v gL
P m + dmv dv
dt时间内动量的变化:
dP P P0
m + dmv dv mv
mdv + vdm dmv
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
3-1 动量与角动量
冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的， 冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的 ， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化，若作用力小， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化 ， 若作用力小 ， 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？ 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第四章动量和角动量概论
第四章 动量和角动量
§4.1单个质点的 动量定理
一、动量
1. 冲量
我们把 Fdt 称作冲量。
Fdt 表示力在时间上的累积，叫dt时间内合外力
F
的冲量。
2、动量定理
（1F） 微d分P形式Fdt
dP
——动量定理的微分式
dt
它表明∶一定时间内，质点所受合外力的冲量等于该时间内质
点动量的增量。
（2）积分形式 对上式作积分，即
F13 F31
F32
m3
N个质点的质点系m1、m2、......mN，第i个质点的位矢为
ri
F3
受力为 fi 即
动量为 Pi
fi fi内
mi
dri dt
fi外
，则动力学方程为
dPi dt
fi
dPi dt
对N个质点的动力学方程求和，得:
N
因为
fi内 0
N
i 1
fi内
N i 1
三、质点系的动量定理
1、动量定理
由F动力dP学 方程：
Fdt
dP
dt
——动量定理的微分式
它表明∶一定时间内，系统所受合外力的冲量等于该时间内系
统动量的增量。
对上式作积分，即
令
I
t
2
Fdt
t1t2Fdt来自d p2pt1
p1
则有 I P2 P1 ——动量定理的积分式
四、 质点系的动量守恒定律
对质点系，由
F
dP
知，当 F 0 时
dP 0
dt
P Constant
dt
N N
Pi mivi Constant
—— 动量守恒定律
§4.1单个质点的 动量定理
一、动量
1. 冲量
我们把 Fdt 称作冲量。
Fdt 表示力在时间上的累积，叫dt时间内合外力
F
的冲量。
2、动量定理
（1F） 微d分P形式Fdt
dP
——动量定理的微分式
dt
它表明∶一定时间内，质点所受合外力的冲量等于该时间内质
点动量的增量。
（2）积分形式 对上式作积分，即
F13 F31
F32
m3
N个质点的质点系m1、m2、......mN，第i个质点的位矢为
ri
F3
受力为 fi 即
动量为 Pi
fi fi内
mi
dri dt
fi外
，则动力学方程为
dPi dt
fi
dPi dt
对N个质点的动力学方程求和，得:
N
因为
fi内 0
N
i 1
fi内
N i 1
三、质点系的动量定理
1、动量定理
由F动力dP学 方程：
Fdt
dP
dt
——动量定理的微分式
它表明∶一定时间内，系统所受合外力的冲量等于该时间内系
统动量的增量。
对上式作积分，即
令
I
t
2
Fdt
t1t2Fdt来自d p2pt1
p1
则有 I P2 P1 ——动量定理的积分式
四、 质点系的动量守恒定律
对质点系，由
F
dP
知，当 F 0 时
dP 0
dt
P Constant
dt
N N
Pi mivi Constant
—— 动量守恒定律
动量与角动量
分析：以t 时间内落在 传送带上的煤粉 m作为 研究对象。 y v v0 p0
A
h
v
p
初： 末：
p0 x 0 p0 y v0 m px vm py 0
p
x
解1：煤粉自料斗下落接触传送带前具有竖直向下的 速度
v0 2 gh
设传送带对煤粉的平均作用力为 f，由动量定理得：
v0 x
在 t 时刻，当绳索提高 x 时系统的动量为：
m m m p xv0 (l x) 0 xv0 l l l
在 t + dt 时刻，绳索提起 x + dx，系统的动量为：
m m m p ( x dx) v0 [l ( x dx)] 0 ( x dx) v0 l l l
Ft2 m2v2 m2v1
Ft1 Ft1 Ft2 v1 , v2 m1 m2 m1 m2 m2
注：子弹对木块的推 力是木块对子弹的阻 力的反作用力。
运用动量定理解题时应注意：
1. 找准研究对象（质点 or 质点系）
2. 写出研究对象的初，末动量的表达式
3. 分清外力和内力，并找到真正起作用的外力。
Mg
f y t m v0 qmv0
例3-2-2 一颗子弹水平的穿过并排放置在光滑水平桌面的木块， 以知两个木块的质量分别为 m1 和 m2，子弹穿过它们的时间分 别为 Δt1 和 Δt2，设子弹在木块中所受的阻力恒为F。 求：子弹穿过后，两木块分别以多大速度运动？ 解：子弹穿过第一块木块时， 两木块速度相同，均为v1， Ft1 (m1 m2 )v1 子弹穿过第二块木块时，第 二块木块速度为v2，
2. 动量是一个状态量，具有即时性。
第3章 动量与角动量2009版
★ 质点系动量定理的数学表达式是矢量方程， 直角坐标系中的分量式为：
t
t0
n i 1
Fix
dt
n i 1
mivix
n i 1
mi vi 0 x
t
t0
n i 1
Fiy
dt
n i 1
miviy
n i 1
mivi0 y
t
注 也可用分量式求解。
意
t
(2)
I x
t0 t
Fxdt
px
mvx mv0x
I y
t0 t
Fy dt
p y
mvy mv0 y
I z t0 Fzdt pz mvz mv0z
冲量在任一方向的分量只能改变自己方向上
的动量分量，而不能改变与它相垂直的其他
F2
在相互作用过程中,
质点m1受外力F1和m2的作用力f12 ; 质点m1受外力F2和m2的作用力f21
选取适当的惯性参照系，对
两质点分别运用动量定理：
t
t0
t
F1
f12 dt m1v1 m1v10
t0 F2 f21 dt m2v2 m2v20
内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳
以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它
dp
dx
dx dt
dt dt
的动量变化率为：
根据动量定理，桌面 对柔绳的冲力为：
F ＝dp dt
dx dx dt ＝－v2
第3章动量与角动量.ppt
udM
0
( dm dM ) 质量比
v
M
dv u
dM
v0
M0 M
v v0
u ln
M0 M
u ln N
提高火箭速度的途径有二：
对应的措施是：
第一条是提高火箭喷气速度u
选优质燃料
第二条是加大火箭质量比
采取多级火箭
M0/终M速度为：v u1 ln N1 u2 ln N2 u3 ln N3
角动量定理
r M
v dL
dt
质点所受合外力矩 = 质点角动量对时间的变化率
r M
和
Lv都是相对惯性系中同一定点定义的。
积分形式：
t2 t1
M
dt
L2
L1
t2 Mdt —冲量矩，力矩的时间积累。
t1
§3.7 角动量守恒定律
M
0
L
常矢量
若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 此质点对该固定点的角动量矢量保持不变，即角动量的大小 和方向都保持不变。
m
rv
r sin
2m
1 2
rv
r sin
2m
S
const
t
t
t
所以，面速度为常数
讨论
1）角动量守恒定律的条件 M 0
2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律 动量不守恒
如行星运动 角动量守恒
3）有心力: 力始终过某一点。
M 0 角动量守恒
o
F
行星在速度和有心力所组成的平面内运动
第3章 动量和角动量
t2
Fdt ΔP
t1
动量定理 dP F dt
角动量定理 dL M dt t
2
Mdt ΔL
t1
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。 从动量定理变换到角动量定理，只需将相应 的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称 头上长角 尾部添矩）
m1
r1
rN
Z
直角坐标系中的分量式为：
xc
m x
i i
i
m
yc
m y
i i
i
m
zc
m z
i i
i
m
对于连续体：
直角坐标系下： Y c rc dm
r
O Z X
质心的位置矢量与坐标的选择有关， 但是质心相对于质点系内各质点的相对 位置是不会随坐标系的选择而变化的。
3.4 角动量与角动量定律 §3.4.1 质点的角动量 一、力对定点的力矩 定义： t 时刻 如图 M r F 即力对定点O 的力矩
f12 f21
(
t t0
Fi外 )dt P P0 P
质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。
三、 动量守恒定律
动量守恒定律 三大 守恒定律 机械能守恒定律 角动量守恒定律
物理学大厦 的基石
动量守恒定律
若 Fi外 0 则有
i 1 n m i v i 2 m i v i1 0 n i 1
大小： M r F sin
(为矢径与力之间的夹角)
O
M
r F
F d 中学就熟知：力矩等于力乘力臂
力学动量与角动量
力学动量与角动量在物理学中，力学动量和角动量是两个重要的概念。
它们描述了物体或系统的运动特性，并且在许多物理问题的分析中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨力学动量和角动量的定义、性质以及在力学中的应用。
一、力学动量力学动量是描述物体线性运动状态的物理量。
它由物体的质量和速度决定，可以用数学公式p = mv来表示，其中p表示动量，m表示质量，v表示速度。
动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s），在国际单位制中被广泛采用。
动量具有一些重要的性质。
首先，动量是矢量量，具有大小和方向。
其次，根据牛顿第一定律（惯性定律），一个物体的动量在不受外力作用的情况下保持恒定。
第三，根据牛顿第二定律（力学定律），物体所受外力等于动量的变化率，即F = dp/dt，其中F表示力，t表示时间。
力学动量在力学中具有重要的应用。
例如，在碰撞问题中，动量守恒定律指出，碰撞前后物体的总动量保持不变。
这个定律帮助我们理解物体碰撞时的运动情况。
此外，在运动过程中，动量变化率可以帮助我们分析物体所受的力和物体的运动轨迹。
二、角动量角动量是描述物体旋转运动状态的物理量。
它由物体的质量、速度和距离旋转轴的距离决定，可以用公式L = Iω表示，其中L表示角动量，I表示质量关于旋转轴的转动惯量，ω表示角速度。
角动量的单位是千克·米^2/秒（kg·m^2/s^2）。
角动量也具有一些重要的性质。
与动量类似，角动量也是矢量量，具有大小和方向。
在没有外力矩作用的情况下，角动量守恒，即角动量的大小和方向保持不变。
对于刚体的旋转运动，由于质量分布的不同，转动惯量会有所变化，从而影响角动量的大小。
角动量在力学中也有广泛的应用。
例如，在天体力学中，角动量守恒定律有助于我们研究行星和卫星的运动。
此外，在旋转体的稳定性分析、陀螺仪的原理以及核物理中的粒子自旋等问题中，角动量也发挥着重要的作用。
三、力学动量与角动量的关系力学动量和角动量之间存在一定的联系。
3动量与角动量
d( miri m)
dt
mivi
m
vC
是质点系“平均”速度
质心动量
mv C
mivi
系统总动量 P
质点系的总动量
i
P mvC
由
F外
dP dt
d dt
(mvC )
m
dvC dt
有
F外 maC
— 质心运动定理
质心的运动如同一个在质心位置处的质点的
dt
dt
v'2 yg 3yg
根据牛顿第三定律，已落地的绳子对地面的压力 N’=3yg，向下。
方法三:将整条绳子视为质点系（质点组）
在竖直向下方向建坐标（如图）。
设绳长为 l， 地面支持力为N。 根据质心运动定理，则有
l g N l a C
(1)
aC
dvC dt
l -y
二 . 动量守恒与质心的运动
质点系动量守恒
若合外力为零，则
aC
0 vC
常矢量
质点系分动量守恒 若合外力分量为0，则
相应的质心分速度不变
如： Fix 0
i
v Cx 常量
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
三. 质心（参考）系（frame of center of mass） 1. 质心系
（微观） … 我们往往只关心过程中力的效果
——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应：
平动
冲量
动量的改变
转动
冲量矩
角动量的改变
力在空间上的积累效应 功
能量改变
动量与角动量
注：质心位矢rc 与坐标系的选择有，
其相对于质点系内各质点的相对位 置是不会随坐标系的选择而变化的， 即质心是相对于质点系本身的一个 特定位置。
i
m
二. 质心的计算
z
C
rC
y x
图3.4 N个质点组成的质点系
质量连续分布的物体 (微元?)
xdm xC m ydm yC m zdm zC m
y
dm
0
x
y
b
xC
xdm
m
O
x dx
动力学30
a
x
例3.9一段均匀铁丝弯成半圆形，其半 径为R，求半圆形铁丝的质心。
作业：3.12
3.5 质心运动定理
一、质心运动定理
rC
mi ri
i
m
dri mi drc dt i vc dt m
mi vi
矢量法
I F t (mv1 ) 2 (mv2 ) 2 2mv1mv2 cos120 3mv
3mv 3 0.14 40 F 8.1103 N t 1.2 103
例3.3一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒 落入车厢的煤为△m=500kg。如果使车厢的速率保持 不变，应用多大的牵引力拉车厢？
以F 表示喷出气体对火箭体推力
根据动量定理： Fdt ( M dm) (v dv) v Mdv
又由 udM Mdv 0 可得Mdv udM udm dm F u dt 上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率
(dm / dt )及喷出气体的相对速度u成正比。
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常矢量
i
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。
3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
12
4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这 些过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
mi ri
i 1
m
mi
i 1
质点系
mi
ri c质心
rc
o
【思考】写出上式的分量形式
17
对连续分布的物质，分成N 个小质元计算
N
rc rimi m rdm m
2、质心的速度
i 1
vC
drc dt
N mivi
i 1
m
3、质心的动量
Pc
mvc
N
mi
vi
N
pi
P
i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系
的总动量。
4、质心的加速度
ac
dvc dt
N miai
i 1
m
18
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
书P125
F
dP dt
mac
（惯性系）
f2外
p2
m2
m1
p
f1外
p
1
3
m3
f3外
和内力为零！
P
F
m 质心
m m1 m 2 m 3
1、提高气体喷射速度u； 2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
v u1 ln N1 u2 ln N2 u3 ln N3 16
§ 3.5 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
N N
rc
mi ri
i 1 N
ac
0
vc
常矢量
若某个方向合外力为零，则该方向动量守恒
【例】已知1/4 圆 M，m
由静止下滑，求t1→t2 过 程 M 移动的距离 S .
解：选（M+m）为体系 水平方向合外力=0，水平方向质心静止。
Pc p1 p2 p3 F f1外 f2外 f3外 19
系统内力不会影响质心的运动，例如：
▲ 在光滑水平面上滑动 的扳手，其质心做匀 速直线运动
▲ 做跳马落地动作的运 动员尽管在翻转，但 其质心仍做抛物线运动
▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，
但其质心仍在做抛物线运动
20
质点系动量守恒
若合外力为零，则
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv dm(v u) (M dM)(v dv)
dM(v u) (M dM )(v dv) 15
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv vi
u
Mi
dM M
vf
vi
u ln
Mi Mf
设火箭质量比 N Mi Mf ，火箭增加的速度为
vf vi u ln N 提高速度的途径：
8
§ 3.2 质点系的动量定理 一、质点系 由N个质点构成的系统
i, j 1,2,, N
1、内力和外力 内力：fij f ji 外力：fi , fj
fi
ri
mi f ij
f ji
o 惯性系rj
mj fj
2、过程中包括的质点不变
9
二、质点系的动量定理
质点系总动量的时间F变＝化dd率Pt 等于所受合外力
mv2
mg t
60o
mv1
打击力冲量 F t
Ft mv2 mv1
7
Ft
mv2
mv 1
mv2
F t
v2 v1 v
F 2mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
20.1440cos 30 1.210 3
8.1103(N)
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过
程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
3 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量 动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定律 §3.4 火箭飞行原理 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 质心参考系 §3.7 质点的角动量 §3.8 角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量定理 §3.10质心参考系中的角动量定理
fi
pi
ri
mi f ij
f ji
mj
pj
o 惯性系rj
fj
fij
i, j( i)
i
fi
d dt
i
pi
,
i,
fij
j(i)
0（合内力为零）
i
fi
d dt
i
pi
,
即 F＝ddPt（惯性系）
11
§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量不随时
间改变
P
pi
2
能量、动量和角动量是最基本的物理量。 它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适 用范围远远超出了牛顿力学。
动量描述平动，角动量描述转动。 力的时间积累（冲量）引起动量的变化； 力矩的时间积累引起角动量的变化。 从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义， 推导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力 学中的应用。下一步讨论能量。
【例】在 衰变中，中微子的发现
A Z
XZ A1Y
e-
1930年 泡利 中微子假说 1956年 实验观测到中微子
13
§3.4 火箭飞行原理 “神州”号飞船升空
14
书
v
P49
(u) v dv
M t 时刻
dm M dM
(t dt) 时刻
dm dM
u ：dm相对火箭体喷射速度，定值。
质点系选：(M+dM , dm)
3
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为 冲量（impulse）：
dI Fdt
t
I F(t)dt t0
牛顿第二定律质点的动量定理：
dI Fdt dp
t
I
F(t)dt
t0
p
p0
动量定理常用于碰撞过程。 4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I t t0
F＝
fi
：合外力
i
P＝ pi
：总动量
i
内力可改变各质点的动量，
但合内力为零，对总动量无影
fi
pi
mi
ri
fij
f ji
mj
pj
响。应用质点系动量定理不必 o 惯性系rj
考虑内力。
fj
10
证明：对第
fij
j i
iБайду номын сангаас
fi
个质点
d dt
pi
对质点求和
i
j i
fij
fi
d dt
i
pi
t t
Fdt
0
t t0
p p0 t t0
5
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设 棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
60o
v1
6
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻 力的冲量可以忽略。