2020年云南省高等职业技术教育招生考试数学(标准)模拟卷

2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合S ＝{x|2x ＝1}，T ＝{x|ax ＝1}．若S ∩T ＝T ，则常数a 的值为（ ） A.0或2 B.0或12C.2D.122. 已知i 为虚数单位，若(2+3i)z ＝1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 为得到函数y ＝6sin (2x +π3)的图象，只需要将函数y ＝6cos 2x 的图象（ ）A.向右平行移动π6个单位B.向左平行移动π6个单位C.向右平行移动π12个单位D.向左平行移动π12个单位4. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ） A.60种 B.30种 C.120种 D.24种5. 执行如图所示的程序框图．若输入的S ＝0，则输出的S ＝（ ）A.20B.40C.62D.776. 一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（ ）A.32−4πB.32−2πC.64−4πD.64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z ＝2x +y 的最大值等于（ ）A.10B.12C.16D.228. 已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，经过点Q(−1, 0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为（ ） A.√33B.√22C.12D.19. 已知tan (π−α)＝2，则sin 4αsin (π2+2α)=( )A.±85B.85C.−85D.−6510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3．若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为（ ） A.36π B.32πC.36√3πD.32√3π11. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3 B.√52C.√31−12D.√33−1212. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →=λAB →+56AD →，则|AF →|的最小值为（ ）A.√11B.3C.√7D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在(√x 3−√x)8的二项展开式中，x 的系数等于________（用数字作答）．已知离散型随机变量X的分布列如下：若X的数学期望等于4118，则a＝________．已知f(x)=13x3+m2x2−6x+1在(−1, 1)单调递减，则m的取值范围为________．在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c．若a2+b(b−√3a)＝1，c＝1，则√3a−b的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]．（1）请完成下面的列联表（单位：人）：（2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n＝a+b+c+d．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝a n+1，设b n=S n(1+S n)(1+S n+1)，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：T n<13．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB＝AC，M、N、D分别是A1B1、A1C1、BC的中点．（1）求证：AD⊥MN；（2）若三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，AB＝AA1，∠ABC=π6，求二面角M−AD−N的正弦值．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ax2−(a+1)x(ln x−1)，g(x)＝e x2−ax2．（1）若a＝e，求曲线y＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）若g(x)在(−1, 0)单调递增，判断函数f(x)是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为√32，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，点P在椭圆E上，以线段F1F2为直径的圆经过点P，线段F1P与y轴交于点B，且|F1P|⋅|F1B|＝6．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→⋅ON→=0．在平面直角坐标系xOy中，是否存在定圆Q，动直线l与定圆Q都相切？若存在，求出圆Q所有的方程；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos 2θ−sin2θ．（1）直接写出曲线C2的普通方程；（2）设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．（1）求m；（2）若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．参考答案与试题解析2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据S∩T＝T可得出T⊆S，并得出S={12}，从而可讨论a是否为0:a＝0时，显然满足条件；a≠0时，可得出1a =12，从而可得出a的值．【解答】∵S∩T＝T，∴T⊆S，且S={12}，T＝{x|ax＝1}，∴ ①a＝0时，T＝⌀，满足T⊆S；②a≠0时，T={1a }，则1a=12，解得a＝2，综上得，a的值为0或2．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案．【解答】由(2+3i)z＝1+i，得z=1+i2+3i =(1+i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=513−113i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(513,−113)，位于第四象限．3.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由诱导公式先将y＝6cos2x转化成y＝6sin2x，然后在将y＝6sin2x平移得到y＝6sin(2x+π3)，先向右平移π4，再向左平移π6，即向右平移π12．【解答】∵y＝6cos2x，∴6cos2(x−π4)＝6cos(2x−π2)＝6cos(π2−2x)＝6sin2x∴y＝6cos2x先向由平移π4个单位得到y＝6sin2x，∵y＝6sin(2x+π3)＝6sin2(x+π6)是将y＝6sin2x向作平移π6个单位，综上所述将y＝6cos2x向右平移π12个单位得到y＝6sin(2x+π3)，4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先计算五门课程任意排列的情况数目，又由数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，据此分析可得答案．【解答】根据题意，把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，将五门课程任意排列，有A55＝120种情况，其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，则数学比历史先上的排法有1202=60种；5.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和．套公式计算即可．【解答】由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n}、{n}求前4项的和，∴S=2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．6.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4．再由棱柱与圆柱的体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π． 7.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z ＝2x +y 可行域内的点A 时，从而得到z ＝2x +y 的最值即可． 【解答】如图：作出可行域，目标函数：z ＝2x +y ，则y ＝−2x +z ， 当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25 解得A(5, 2)Z max ＝2x +y ＝12．故z ＝2x +y 的最大值为：12； 8.【答案】 B【考点】 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系 【解析】设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可． 【解答】设AB 的斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x +1)，与抛物线y 2＝4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2＝1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4， 点F 在以AB 为直径的圆上，FA →⋅FB →=0， 可得(x 1−1, y 1)⋅(x 2−1, y 2)＝0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2＝0， 即1+2k 2−4k 2+1+4＝0，解得k ＝±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22． 9.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】由已知利用诱导公式可求tan α，进而根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解． 【解答】∵ tan (π−α)＝−tan α＝2， ∴ tan α＝−2， ∴sin 4αsin (π2+2α)=2sin 2αcos 2αcos 2α=4sin αcos α=4sin αcos αsin 2α+cos 2α=4tan α1+tan 2α=4×(−2)1+(−2)2=−85．10.【答案】 A【考点】球的体积和表面积 【解析】由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2＝r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求． 【解答】解；设正△ABC 的外接圆半径r ， 由正弦定理可得，2√3sin 60=2r ，故r ＝2， 由球的性质可知，R 2＝r 2+d 2＝4+5＝9， 所以球的表面积S ＝4π×9＝36π． 11.【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 【解答】 双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|＝5a ．若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形， 可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2， 可得：8a 2＝c 2+ac ，e 2+e −8＝0，e >1， 解得e =√33−12． 12.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理 【解析】可根据条件得出AF →=λAE →+(56−12λ)AD →，然后根据E ，F ，D 三点共线即可得出λ=13，从而得出AF →=13AB →+56AD →，然后根据条件可得出|AB →||AD →|=18，从而可得出AF →2=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5，然后根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可求出|AF →|的最小值． 【解答】如图，连接AE ，则：BE →=12AD →，AE →=AB →+12AD →，∴ AF →=λ(AB →+12AD →)+(56−12λ)AD →=λAE →+(56−12λ)AD →，且E ，F ，D 三点共线，∴ λ+56−12λ=1，解得λ=13， ∴ AF →=13AB →+56AD →，∵ 平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，∴ |AB →||AD →|sin2π3=√32|AB →||AD →|=9√3，∴ |AB →||AD →|=18， ∴ AF →2=19AB →2+2536AD →2+59|AB →||AD →|cos2π3=(13|AB →|)2+(56|AD →|)2−5≥2⋅13⋅56⋅|AB →||AD →|−5=59×18−5=5，当且仅当13|AB →|=56|AD →|，即|AB →|=52|AD →|=3√5时取等号，∴ |AF →|的最小值为√5．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】 28【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为2求出展开式中x 2项的系数． 【解答】根据二项式定理(√x 3√x )8的通项为T r+1＝C 8r ⋅(−1)r ⋅x16−5r6，16−5r 6=1，即r ＝2时，可得T 3=∁82x ＝28x ；即x 项的系数为28，【答案】754【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据数学期望的计算方法求得b 的值，再根据分布列的性质，即概率和为1，即可求得a 的值． 【解答】由分布列的性质可知，a +13+112+b +512=1，数学期望E(X)=0×a +1×13+2×112+3×b +4×512=4118，解得，b =127,a =754，【答案】[−5, 5] 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】f′(x)＝x 2+mx −6，根据f(x)在(−1, 1)单调递减，可得f′(x)≤0在(−1, 1)上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】f′(x)＝x 2+mx −6， ∵ f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1, 1)单调递减， ∴ f′(x)＝x 2+mx −6≤0在(−1, 1)上恒成立．{m ≤01+m −6≤0 ，{m ≥01−m −6≤0 ， 解得：−5≤m ≤5，则m 的取值范围为[−5, 5]． 【答案】 (1, √3) 【考点】 余弦定理 【解析】先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把√3a −b 转化为2(√3sin A −sin B)，再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论． 【解答】因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ．∵ a 2+b(b −√3a)＝1，c ＝1⇒a 2+b 2−√3ab ＝c 2⇒2cos C =√3⇒cos C =√32⇒C ＝30∘，∴ csin C =asin A =bsin B =1sin 30=2； ∴ a ＝2sin A ，b ＝2sin B ；∴√3a−b＝2(√3sin A−sin B)＝2[√3sin A−sin(150∘−A)]＝2[√3sin A−(12cos A+√32sin A)]＝2(√32sin A−12cos A)＝2sin(A−30∘)；∵0∘<A<90∘，0∘<B<90∘，A+B＝150∘；∴60∘<A<90∘；∴30∘<A−30∘<60∘⇒2sin(A−30∘)∈(1, √3)；故√3a−b∈(1, √3)；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【答案】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式可得S n＝2n，再由a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n−S n−1，计算可得所求通项公式；（2）求得b n=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】S n＝a n+1，即为S n＝S n+1−S n，即S n+1＝2S n，则S n＝S1⋅2n−1＝a1⋅2n−1＝2n；又a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1，则数列{a n}的通项公式为a n={2,n=12n−1,n≥2,n∈N∗；证明：由（1）可得S n＝2n，b n=S n(1+S n)(1+S n+1)=2n(1+2n)(1+2n+1)=11+2n−11+2n+1，则T n=11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n−11+2n+1=13−11+2n+1，由n为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13，则T n<13．【答案】证明：∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∵M，N分别是A1B1、A1C1的中点，∴MN // B1C1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC // B1C1，∴MN // BC，∴AD⊥MN．如图，设AA1＝2，作AH // BC，由（1）知AD⊥BC，∴AD⊥AH，由已知得AH，AD，AA1两两互相垂直，由∠ABC=π6，得∠BAH=π6，∠BAD=π3，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0, 0, 0)，A1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B1(√3, 1, 2)，C(−√3, 1, 0)，C1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)，AD→=(0, 1, 0)，AM→=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)，设平面ADM的一个法向量为n→=(x, y, z)，则{n→⋅AD→=y=0n→⋅AM→=√32x+12y+2z=0，取z=−√3，得n→=(4, 0, −√3)，设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出AD ⊥BC ，MN // B 1C 1，BC // B 1C 1，从而MN // BC ，由此能证明AD ⊥MN ．（2）设AA 1＝2，作AH // BC ，由AD ⊥BC ，得AD ⊥AH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出二面角M −AD −N 的正弦值． 【解答】证明：∵ D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴ AD ⊥BC ， ∵ M ，N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，∴ MN // B 1C 1， 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1， ∴ MN // BC ，∴ AD ⊥MN ． 如图，设AA 1＝2，作AH // BC ， 由（1）知AD ⊥BC ，∴ AD ⊥AH ， 由已知得AH ，AD ，AA 1两两互相垂直， 由∠ABC =π6，得∠BAH =π6，∠BAD =π3，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(√3,1,0)，B 1(√3, 1, 2)， C(−√3, 1, 0)，C 1(−√3, 1, 2)，M(√32, 12, 2)，N(−√32, 12, 2)， AD →=(0, 1, 0)，AM →=(√32, 12, 2)，AN→=(−√32, 12, 2)， 设平面ADM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AD →=y =0n →⋅AM →=√32x +12y +2z =0，取z =−√3，得n →=(4, 0, −√3)， 设平面ADN 的法向量m →=(a, b, c)，则{m →⋅AD →=b =0m →⋅AN →=−√32a +12b +2c =0 ，取c =√3，得m →=(4, 0, √3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cos θ|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1319，∵ 0<θ<π，∴ sin θ=√1−cos 2θ=8√319， ∴ 二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．【答案】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)ln a+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增． ∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）若a ＝e ，可得y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)，由x ＝1时，k ＝y′|x ＝1＝0，即可求得曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程；（2）依题意，g(x)在(−1, 0)单调递增⇒a ≥e x 2，由f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0，设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，通过求导后，对x 分0<x <a+12a，x >a+12a及x =a+12a三类讨论，可求得[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a，再进一步分析即可得到函数f(x)没有零点．【解答】若a ＝e ，y ＝f(x)g(x)＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)，∴ y′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](e x 2−ex 2)′＝[ex 2−(e +1)x(ln x −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(ln x −1)](2xe x 2−2ex)， ∴ 当x ＝1时，y′＝0，…2分∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线的斜率k ＝0， ∴ 曲线y ＝f(x)g(x)在点(1, 0)处的切线方程为y ＝0...4分 函数f(x)没有零点．∵ g(x)在(−1, 0)单调递增，∴ 当x ∈(−1, 0)时，g′(x)＝2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴ a ≥e...6分由f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)得f′(x)＝2ax −(a +1)ln x 且x >0， 设ℎ(x)＝2ax −(a +1)ln x ，则ℎ′(x)＝2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴ 当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； ∴ 当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a )＝a +1−(a +1)lna+12a⋯9分∵ a ≥e ，∴a+12a<a+a 2a，即0<a+12a<1，∴ [ℎ(x)]min ＝ℎ(a+12a)＝a +1−(a +1)ln a+12a>0．∴ ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴ f(x)在定义域(0, +∞)单调递增．∵ f(1)＝2a +1>0， ∴ 当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(ln x −1)<0，f(x)＝ax 2−(a +1)x(ln x −1)>0． ∴ 当x ∈(0, +∞)时，f(x)>0，∴ f(x)＝0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分 【答案】设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2，∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =c a=√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0， ∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =√k 2+1=√24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）作图，根据条件结合圆的性质可证得△F 1BO ∽△F 1F 2P ，则可得2c 2＝6，再结合离心率可得a 的值； （2）考虑当直线l 的斜率不存在或者为0时，Q 存在，此时Q 的方程为x 2+y 2=45，下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，利用根与系数关系已经点到直线距离证明即可． 【解答】 设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|＝2c ，∵ ∠BF 1O ＝∠PF 1F 2，∠F 1OB ＝∠F 1PF 2=π2， ∴ △F 1BO ∽△F 1F 2P ，∴ |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|＝|F 1O||F 1F 2|＝2c 2＝6，∴ c =√3，根据e =ca =√32，解得a ＝2，所以b 2＝a 2−c 2＝1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y ＝r ，y ＝−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x ＝r 和x ＝−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r, r)在椭圆E 上，∴ r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴ 若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，即kx −y +m ＝0， M(x 1, kx 1+m)，N(x 2, kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4＝0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，∵ 动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴ △＝64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1 ， ∵ OM →⋅ON →=0，∴ OM →⋅ON →=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)＝(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2＝0，∴ k 2+1=5m 24，∵ 圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =|m|√k 2+1=|m|√5m24=2√55=r ，∴ 直线l 与圆Q:x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．【考点】圆的极坐标方程 圆的参数方程 【解析】1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值． 【解答】曲线C 2的极坐标方程ρ=√2．整理得：3ρ2+3ρ2cos 2θ＝4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos αy =sin α （α为参数）．转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，所以该曲线是以C(2, 0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cos θ, 2sin θ)，则|BC|=√(cos θ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cos θ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cos θ+8 =√−3(cos θ+23)2+283，当cos θ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ， ∴ 1a +1b =√3， ∴ 1b =√3−1a ， ∴ 1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴1a2+2b 2≥2=m ．【考点】不等式的证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m ＝2； （2）根据题意1b =√3−1a ，进而1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，由此得证．【解答】由绝对值不等式的性质得f(x)＝|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|＝2， 又∵ f(−1)＝2， ∴ m ＝2；证明：∵ a >0,b >0,a +b =√3ab ，∴ 1a +1b=√3，∴ 1b=√3−1a，∴1b 2=1a 2−2√3a +3，∴ 1a 2+2b 2=3a 2−4√3a+6=(√3a −2)2+2≥2，∴ 1a 2+2b 2≥2=m ．。

2020年云南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={x|2x =1}，T ={x|ax =1}.若S ∩T =T ，则常数a 的值为( )A. 0或2B. 0或12 C. 2 D. 12 2. 已知i 为虚数单位，若(2+3i)z =1+i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 为得到函数y =6sin(2x +π3)的图象，只需要将函数y =6cos2x 的图象( )A. 向右平行移动π6个单位 B. 向左平行移动π6个单位 C. 向右平行移动π12个单位D. 向左平行移动π12个单位4. 某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有( ) A. 60种 B. 30种 C. 120种 D. 24种 5. 执行如图所示的程序框图．若输入的S =0，则输出的S =( )A. 20B. 40C. 62D. 77 6. 一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的体积为( )A. 32−4πB. 32−2πC. 64−4πD. 64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z =2x +y 的最大值等于( )A. 10B. 12C. 16D. 228. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，经过点Q(−1,0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为( )A. √33B. √22C. 12D. 19. 已知tan (π−α)=2，则sin4αsin (π2+2α)=( )A. ±85B. 85C. −85D. −6510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3.若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 32π C. 36√3π D. 32√3π 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √52C. √31−12D. √33−1212. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. √11B. 3C. √7D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(√x 3−√x )8的二项展开式中，x 的系数等于______(用数字作答)． 14. X1234P a 13112b512若X的数学期望等于4118，则a=______．15.已知f(x)=13x3+m2x2−6x+1在(−1,1)单调递减，则m的取值范围为______．16.在锐角△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若a2+b(b−√3a)=1，c=1，则√3a−b的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩(单位：分)，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．成绩优良人数成绩非优良人数总计男生30女生20总计50附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87918.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=a n+1，设b n=S n(1+S n)(1+S n+1)，数列{b n}的前n项和为T n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：T n <13．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，M 、N 、D 分别是A 1B 1、A 1C 1、BC 的中点．(1)求证：AD ⊥MN ；(2)若三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，AB =AA 1，∠ABC =π6，求二面角M −AD −N 的正弦值．20. 已知e 是自然对数的底数，函数f(x)=ax 2−(a +1)x(lnx −1)，g(x)=e x 2−ax 2．(1)若a =e ，求曲线y =f(x)g(x)在点(1,0)处的切线方程； (2)若g(x)在(−1,0)单调递增，判断函数f(x)是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，线段F 1P 与y 轴交于点B ，且|F 1P|⋅|F 1B|=6．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.在平面直角坐标系xOy 中，是否存在定圆Q，动直线l与定圆Q都相切？若存在，求出圆Q所有的方程；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos2θ−2θ．(1)直接写出曲线C2的普通方程；(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．23.已知f(x)=|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．(1)求m；(2)若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵S ∩T =T ，∴T ⊆S ，且S ={12}，T ={x|ax =1}， ∴①a =0时，T =⌀，满足T ⊆S ； ②a ≠0时，T ={1a }，则1a =12，解得a =2， 综上得，a 的值为0或2． 故选：A ．根据S ∩T =T 可得出T ⊆S ，并得出S ={12}，从而可讨论a 是否为0：a =0时，显然满足条件；a ≠0时，可得出1a =12，从而可得出a 的值．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：D解析：解：由(2+3i)z =1+i ，得z =1+i2+3i =(1+i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=513−113i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(513,−113)，位于第四象限．故选：D ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.答案：C解析：解：∵y =6cos2x ，∴6cos2(x −π4)=6cos(2x −π2)=6cos(π2−2x)=6sin2x ∴y =6cos2x 先向由平移π4个单位得到y =6sin2x ，∵y =6sin(2x +π3)=6sin2(x +π6)是将y =6sin2x 向作平移π6个单位， 综上所述将y =6cos2x 向右平移π12个单位得到y =6sin(2x +π3)， 故选：C ．由诱导公式先将y =6cos2x 转化成y =6sin2x ，然后在将y =6sin2x 平移得到y =6sin(2x +π3)，先向右平移π4，再向左平移π6，即向右平移π12．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．解析：解：根据题意，把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午， 将五门课程任意排列，有A 55=120种情况，其中数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的， 则数学比历史先上的排法有1202=60种；故选：A ．根据题意，先计算五门课程任意排列的情况数目，又由数学排在历史之前和数学排在历史之后的情况数目是相同的，据此分析可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及倍分法的使用，属于基础题． 5.答案：B解析：解：由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和， ∴S =2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．故选：B ．本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和．套公式计算即可． 本题考查了程序框图与数列求和问题，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力．难度不大． 6.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π．故选：C ．由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4.再由棱柱与圆柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7.答案：B解析：解：如图：作出可行域，目标函数：z =2x +y ，则y =−2x +z ， 当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25解得A(5,2)Z max =2x +故z =2x +y 的最大值为：12； 故选：B ．先根据约束条件画出可行域，设z =2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z =2x +y 可行域内的点B 时，从而得到z =2x +y 的最值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 8.答案：B解析：解：设AB 的斜率为k ，直线方程为：y =k(x +1)，与抛物线y 2=4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2=1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4，点F 在以AB 为直径的圆上，FA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得(x 1−1,y 1)⋅(x 2−1,y 2)=0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0， 即1+2k 2−4k 2+1+4=0，解得k =±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22．故选：B ．设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：∵tan (π−α)=−tanα=2， ∴tanα=−2， ∴sin4αsin (π2+2α)=2sin2αcos2αcos2α=4sinαcosα=4sinαcosαsin2α+cos2α=4tanα1+tan2α=4×(−2)1+(−2)2=−85．故选：C ．由已知利用诱导公式可求tanα，进而根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10.答案：A解析：解；设正△ABC 的外接圆半径r ， 由正弦定理可得，2√3sin60°=2r ，故r =2，由球的性质可知，R 2=r 2+d 2=4+5=9，所以球的表面积S =4π×9=36π． 故选：A ．由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2=r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求．本题主要考查了球的性质及球的表面积公式的简单应用，属于基础试题． 11.答案：D解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形， 可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2， 可得：8a 2=c 2+ac ，e 2+e −8=0，e >1， 解得e =√33−12．故选：D ．椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题． 12.答案：D解析：解：如图，连接AE ，则：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(56−12λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(56−12λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且E ，F ，D 三点共线， ∴λ+56−12λ=1，解得λ=13， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin2π3=√32|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗|=9√3，∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=18， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2536AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+59|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 2π3=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2−5≥2⋅13⋅56⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |−5=59×18−5=5，当且仅当13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5时取等号， ∴|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√5． 故选：D ．可根据条件得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(56−12λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据E ，F ，D 三点共线即可得出λ=13，从而得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据条件可得出|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=18，从而可得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2−5，然后根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可求出|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值． 本题考查了向量加法、数乘的几何意义，三点A ，B ，C 共线，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，可得出λ+μ=1，三角形的面积公式，向量数量积的运算及计算公式，不等式a 2+b 2≥2ab 的应用，考查了计算能力，属于中档题． 13.答案：28解析：解：根据二项式定理(√x 3√x )8的通项为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅x 16−5r6，16−5r 6=1，即r =2时，可得T 3=∁82x =28x ；即x 项的系数为28， 故答案为：28．利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为2求出展开式中x 2项的系数． 本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．14.答案：754解析：解：由分布列的性质可知，a +13+112+b +512=1， 数学期望E(X)=0×a +1×13+2×112+3×b +4×512=4118， 解得，b =127,a =754， 故答案为：754．先根据数学期望的计算方法求得b 的值，再根据分布列的性质，即概率和为1，即可求得a 的值． 本题考查分布列的性质和数学期望的计算方法，考查学生的运算能力，属于基础题． 15.答案：[−5,5]解析：解：f′(x)=x 2+mx −6， ∵f(x)=13x 3+m 2x 2−6x +1在(−1,1)单调递减，∴f′(x)=x 2+mx −6≤0在(−1,1)上恒成立． {m ≤01+m −6≤0，{m ≥01−m −6≤0， 解得：−5≤m ≤5，则m 的取值范围为[−5,5]． 故答案为：[−5,5]．f′(x)=x 2+mx −6，根据f(x)在(−1,1)单调递减，可得f′(x)≤0在(−1,1)上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.答案：(1,√3)解析：解：因为在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ． ∵a 2+b(b −√3a)=1，c =1⇒a 2+b 2−√3ab =c 2⇒2cosC =√3⇒cosC =√32⇒C =30°，∴c sinC=a sinA=b sinB=1sin30∘=2；∴a =2sinA ，b =2sinB ；∴√3a −b =2(√3sinA −sinB)=2[√3sinA −sin (150°−A)]=2[√3sinA −(12cosA +√32sinA)]=2(√32sinA −12cosA)=2sin(A −30°)；∵0°<A <90°，0°<B <90°，A +B =150°；∴60°<A <90°；∴30°<A −30°<60°⇒2sin(A −30°)∈(1,√3)； 故√3a −b ∈(1,√3)； 故答案为：(1,√3).先根据余弦定理求得角C ，结合正弦定理把√3a −b 转化为2(√3sinA −sinB)，再结合AB 之间的关系求出角A 的范围，与正弦函数相结合即可求得结论．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．(2)根据列联表中数据，计算K 2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．解析：(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：(1)S n =a n+1，即为S n =S n+1−S n ，即S n+1=2S n ，则S n =S 1⋅2n−1=a 1⋅2n−1=2n ；又a 1=S 1=2，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n−1， 则数列{a n }的通项公式为a n ={2,n =12n−1,n ≥2,n ∈N ∗；(2)证明：由(1)可得S n =2n ， b n =S n(1+Sn )(1+S n+1)=2n(1+2n )(1+2n+1)=11+2n −11+2n+1， 则T n =11+2−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n −11+2n+1=13−11+2n+1，由n 为正整数，可得11+2n+1>0，即13−11+2n+1<13， 则T n <13．解析：(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式可得S n =2n ，再由a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项公式；(2)求得b n =2n(1+2n )(1+2n+1)=11+2n −11+2n+1，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：∵D 是BC 的中点，AB =AC ，∴AD ⊥BC ， ∵M ，N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，∴MN//B 1C 1， 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1， ∴MN//BC ，∴AD ⊥MN ．(2)解：如图，设AA 1=2，作AH//BC ， 由(1)知AD ⊥BC ，∴AD ⊥AH ，由已知得AH ，AD ，AA 1两两互相垂直， 由∠ABC =π6，得∠BAH =π6，∠BAD =π3，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，A 1(0,0，2)，D(0,1，0)，B(√3,1,0)，B 1(√3,1，2)， C(−√3,1，0)，C 1(−√3,1，2)，M(√32,12,2)，N(−√32,12,2)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,2)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,2)， 设平面ADM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y +2z =0，取z =−√3，得n ⃗ =(4,0，−√3)， 设平面ADN 的法向量m⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗ =b =0m ⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a +12b +2c =0，取c =√3，得m⃗⃗ =(4,0，√3)， 设二面角M −AD −N 的平面角的大小为θ， 则|cosθ|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=1319， ∵0<θ<π，∴sinθ=√1−cos 2θ=8√319， ∴二面角M −AD −N 的正弦值为8√319．解析：(1)推导出AD ⊥BC ，MN//B 1C 1，BC//B 1C 1，从而MN//BC ，由此能证明AD ⊥MN ．(2)设AA 1=2，作AH//BC ，由AD ⊥BC ，得AD ⊥AH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出二面角M −AD −N 的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)若a =e ，y =f(x)g(x)=[ex 2−(e +1)x(lnx −1)](e x 2−ex 2)， ∴y′=[ex 2−(e +1)x(lnx −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(lnx −1)](e x 2−ex 2)′=[ex 2−(e +1)x(lnx −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(lnx −1)](2xe x 2−2ex)， ∴当x =1时，y′=0，…2分∴曲线y =f(x)g(x)在点(1,0)处的切线的斜率k =0， ∴曲线y =f(x)g(x)在点(1,0)处的切线方程为y =0…4分 (2)函数f(x)没有零点．∵g(x)在(−1,0)单调递增，∴当x ∈(−1,0)时，g′(x)=2xe x 2−2ax ≥0，即a ≥e x 2． ∴a ≥e …6分由f(x)=ax 2−(a +1)x(lnx −1)得f′(x)=2ax −(a +1)lnx 且x >0， 设ℎ(x)=2ax −(a +1)lnx ，则ℎ′(x)=2a −a+1x=2a(x−a+12a)x，∴当0<x <a+12a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x >a+12a时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；∴当x =a+12a时，ℎ(x)取得最小值，即[ℎ(x)]min =ℎ(a+12a )=a +1−(a +1)ln a+12a…9分∵a ≥e ，∴a+12a<a+a2a，即0<a+12a<1，∴[ℎ(x)]min =ℎ(a+12a )=a +1−(a +1)lna+12a>0．∴ℎ(x)>0，即f′(x)>0，∴f(x)在定义域(0,+∞)单调递增．∵f(1)=2a +1>0， ∴当a >1时，f(x)>0，当0<x <1时，x(lnx −1)<0，f(x)=ax 2−(a +1)x(lnx −1)>0． ∴当x ∈(0,+∞)时，f(x)>0，∴f(x)=0无实根，即函数f(x)没有零点．…12分解析：(1)若a =e ，可得y′=[ex 2−(e +1)x(lnx −1)]′(e x 2−ex 2)+[ex 2−(e +1)x(lnx −1)](2xe x 2−2ex)，由x =1时，k =y′|x=1=0，即可求得曲线y =f(x)g(x)在点(1,0)处的切线方程； (2)依题意，g(x)在(−1,0)单调递增⇒a ≥e x 2，由f′(x)=2ax −(a +1)lnx 且x >0，设ℎ(x)=2ax −(a +1)lnx ，通过求导后，对x 分0<x <a+12a，x >a+12a及x =a+12a三类讨论，可求得[ℎ(x)]min =ℎ(a+12a )=a +1−(a +1)lna+12a，再进一步分析即可得到函数f(x)没有零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，突出考查等价转化思想、分类讨论思想的应用，考查了抽象思维、逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题． 21.答案：解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|=2c ，∵∠BF 1O =∠PF 1F 2，∠F 1OB =∠F 1PF 2=π2， ∴△F 1BO∽△F 1F 2P ，∴|F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，即|F 1P||F 1B|=|F 1O||F 1F 2|=2c 2=6，∴c =√3，根据e =ca =√32，解得a =2，所以b 2=a 2−c 2=1，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；(2)当动直线l 的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆Q 存在，则圆心Q 只能为原点O ，设圆Q 的半径为r ，则斜率为0的动直线l 有两条，方程分别为y =r ，y =−r ， 斜率不存在的动直线l 有两条，方程分别为x =r 和x =−r ，这四条直线与定圆Q 都相切， 则点(r,r)在椭圆E 上，∴r 24+r 2=1，解得r 2=45，解得r =2√55， ∴若满足条件的定圆Q 存在，则其方程只能是x 2+y 2=45， 下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0，M(x 1,kx 1+m)，N(x 2,kx 2+m)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得x 2+4(kx +m)2−4=0，即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∵动直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，∴△=64k 2m 2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，即4k 2+1−m 2>0，且{x 1+x 2=−8km4k 2+1x 1x 2=4m 2−44k 2+1， ∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(4m 2−4)4k 2+1−8m 2k 24k 2+1+m 2=0，4∵圆心Q 即原点O 到直线l 的距离d =√k 2+1=√5m 24=2√55=r ，∴直线l 与圆Q ：x 2+y 2=45相切，综上，存在一个定圆Q ，动直线l 都与圆Q 相切，且圆Q 的方程为x 2+y 2=45．解析：(1)作图，根据条件结合圆的性质可证得△F 1BO∽△F 1F 2P ，则可得2c 2=6，再结合离心率可得a 的值；(2)考虑当直线l 的斜率不存在或者为0时，Q 存在，此时Q 的方程为x 2+y 2=45，下面证明方程为x 2+y 2=45的圆满足题设要求，①当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 与圆x 2+y 2=45相切，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，利用根与系数关系已经点到直线距离证明即可． 本题是直线与椭圆、圆的综合，涉及圆的相关性质，直线与椭圆相交，直线与圆相切等知识点，属于中档偏难题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程ρ=√3+cos2θ−2θ.3ρ2+3ρ2cos 2θ=4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．(2)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =sin α(α为参数).转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，所以该曲线是以C(2,0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cosθ,2sinθ)，则|BC|=√(cosθ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cosθ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cosθ+8 =√−3(cosθ+23)2+283，当cosθ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．解析：(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：(1)由绝对值不等式的性质得f(x)=|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|=2，又∵f(−1)=2， ∴m =2；(2)证明：∵a >0,b >0,a +b =√3ab ， ∴1a +1b =√3，b a∴1b2=1a2−2√3a+3，∴1a2+2b2=3a2−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，∴1a2+2b2≥2=m．解析：(1)利用绝对值不等式的性质可得m=2；(2)根据题意1b =√3−1a，进而1a+2b=3a−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，由此得证．本题考查绝对值不等式的性质，以及利用配方法证明不等式，考查了换元思想，函数思想的运用，属于基础题．。

15cm D ． c2013 年云南省高等职业技术教育招生考试试题6. 二次函数 y = -11(x -6)2+ 8 的顶点坐标，对称轴分别为（ ）数学一．单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目A ． (-6,8) ,C ． (6,8) ,x = -6y = 8B ． (6,8) ,D ． (-6,8) ,x = 6y = 8要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

本大题7. 定义域为 R 的任意偶函数 f (x ) 对任何 x ∈ R 都有共 20 小题，每小题 4 分，共 80 分）1．集合 A={(x , y ) x + y = 1} ，集合 B={(x , y ) 2x - y = 5}，则 A ⋂ B = ( )A ． f (x ) + f (-x ) ≥ 0C ． f (x ) f (-x ) ≥ 0B ． f (x ) + f (-x ) ≤ 0D ． f (x ) f (-x ) ≤ 0A ．{(1,0)}B ．{(3,1)}C ． {2,-1}D ．{(2,-1)}8. 圆的半径为 2cm ，圆心角为60︒ 时，对应的弧长为（ ）2．设a + a -1= 3,则a 2+ a -2= （ ） A ．120cm B ．60cm C ． 2m 3 39．如果< < 3，那么 1 1 - cos 2应为（ ）A ．3B ．7C ．9D ．112 tan3. 已知 a < 2, b < 2,则a + b + b - a 为（ ）A. cosB. - c osC. sinD. - sin10．函数 y = 2 s in( x + x) 的最小正周期为（ ）A ．=1B ． > 4C ． < 4D ．以上结论都不对3 44. 设函数是反比例函数，且 f (-1) > 0 ，则( )A. 2B. 3C. 6D. 2A. 函数 y =f (x )在(-∞.0) ⋃ (0,+∞+) 是调增函数11．过点M (-2,3), 斜率为- 5 的直线方程是（ ）B. 函数 y =f (x )在(-∞.0) ⋃ (0,+∞+) 是调减数A ． y + 5x + 7 = 0B ． y + 5x + 1 = 0C ． y - 5x - 7 = 0D ．C ．函数 y =f (x )在(-∞.0) ⋃ (0,+∞+) 既不是调增函数，也不是调减函数 5 y + x + 4 = 0→ → → →D ．函数 y = f (x )在(-∞.0) 上调增函数，在(0,+∞) 是调减函数12． a = (1,- 3), b = (0,1), 且则〈a , b 〉 =（ ）A ． 30︒B ． 60︒C ．120︒D ．150︒5. 函数 y =的定义域为（ ）13．点 A(6,4)到直线4 y - 3x + 1 = 0 的距离等于（ ）A. - log 2 (2x + 3) 3 < x ≤ 3B. - 3 < x ≤ 3 且 x ≠ -1 A. 135B. 12C. 13 25D. 1252 C ． -3 < x < 3 且 x ≠ -1 2 D ． -9 - 3 ≤ x ≤ 3 且 x ≠ -114. 圆方程 x 2+y2+ 4x - 8 y + 5 = 0 对应的圆心和半径分别为（ ）2 2A ． (-2,4),15B ． (-2,-4),5C ． (-2,-4),D ．27 - 3x2 22 n134(-2,4), 22．复数3 - 3 3i 的指数形式是。

2024年云南高等职业技术教育数学模拟试题数学部分题目一、选择题1.已知全集U=N，集合A={x∈N|x>5}，则C U A=A.{x|x<5}B.{x|x≤5}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4}2.不等式x2≤4的解集是A.[2,+∞)B.(−∞,±2)C.[−2,2]D.(−∞,−2]∪[2,+∞)3.如果角α是第三象限的角，则√cos2α=A.cosαB.−cosαC.sinαD.−sinα4.已知角α终边上的一点P(3,4)，则sinα+cosα+tanα=A.4115B.3915C.1541D.1539,α∈(0,π)，那么tanα=5.如果sinα=35A.43B.34C.±34D.±436.函数y=log a(x+2)+3的图像一定经过点A.(1,0)B.(−2,−3)C.(−1,3)D.(0,3)7.已知α,β为锐角，且cosα>sinβ，则有A.0<α+β<π2B.α+β>π2C.α+β=π2D.π2<α+β<π8.已知两点A(0,3),B(−7,6)，则线段AB的中点坐标为A.(72,−92)B.(−72,9 2 )C.(−72,3 2 )D.(−7,9)9.已知两点A(0,a),B(1,−2)，且|AB|=√10，则a=A.5或1B.−5或−1C.5或−1D.−5或110.已知直线l的倾斜角为450，且经过点(0,3)，则l的方程为A.x+y−3=0B.x+y+3=0C.x−y−3=0D.x−y+3=011.倾斜角为π3，在y轴上的截距为4的直线的方程是A.y=√33x−4B.y=√3x+4C.y=√33x+4D.y=√3x−412.直线x−y=0与圆x2+(y−3)2=25的位置关系是A.相交且过圆心B.相交且不过圆心C.相切D.相离13.圆心为点C(−5,3)，且与x轴相切的圆的方程为A.(x−5)2+(y+3)2=25B.(x+5)2+(y−3)2=25C.(x−5)2+(y+3)2=9D.(x+5)2+(y−3)2=914.长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为A.2√3B.√14C.6D.515.已知圆的半径为2，圆心角450，则此圆心角所对的弧长为A.π4B.45C.π2D.9016.正方体的内切球和外接球的半径之比为A.√3:1B.√3:2C.2:√3D.1:√317.已知a,b∈R,(a−1)+2i=(1−3a)+(1−b)i，则A.b=−2aB.b=2aC.a=−2bD.a=2b)的图像经过_____的操作可以得到y=2sin2x的图像18.把函数y=2sin(2x+π6A.向左平移π个单位12个单位B. 向右平移π12C. 向左平移π个单位6个单位D. 向与右平移π619.已知sinθ+sin2θ=1，则cos2θ+cos4θ=A.1B.2C.√2D.√320.在ΔABC中，已知A=300，a=8,b=8√3，SΔABC=A.32√3B.16C.32√3或16D.32√3或16√3二、填空题21.函数y=sin x cos x的最小正周期是=22.若tanα=2，则2sinα+cosαsinα−cosα23.圆x2+y2+8x−6y=0的圆心坐标为24.复数z=−√3−i的三角形式是25.如果向量a⃗=(3,2),b⃗⃗=(−1,2)，则(2a⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=三、解答题26.求过点A(2,3)且垂直于直线l:2x+y−5=0的直线方程，并化成一般方程27.位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。

2020年云南省高等职业技术教育招生考试试题一、选择题（本大题共20个小题，每小题2分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的。

）1.若实数b a 、在数轴上的位置如右图所示，则化简=--2a b a . A.b - B.b a -2 C.b D.b a +22.已知两数的和为6，这两个数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是 .A.0862=+-x xB.0762=--x xC.0862=-+x xD.0762=++x x3.已知命题甲：“x >3”，命题乙：“x >3”，则甲是乙的 .4.若54-a >56-a ，则a 的取值范围是 .A.0<a <1B.a >0C.a >1D.a <15.函数()431ln 2+--+=x x x y 的定义域为 .A.()1,4--B.](1,4-C.()1,1-D.](1,1-6.已知()21312+=-x x f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛32f . A. 5 B. 3 C.1 D.217.设集合{}R x x x M ∈=,1<<0,{}R x x x N ∈=,2<,则下面选项中，正确的是 .A. M N M =B. N N M =C. M N M =D. R N M =8.一钟（表）的时针经过40分钟所转过得角是 .A.π34B. π34-C.9πD.9π-9.已知△ABC 中，125tan -=A ,则=A cos . A.1312 B.135 C.1312- D.135- 10.已知,542cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ则()=-απ2cos . A. 257 B. 257- C.2524 D.2524- 11.已知βα、为锐角，且βαcos >cos ，则有 .A.2<<0πβα+ B. 2>πβα+ C.2πβα=+ D. πβαπ<<2+12.在△ABC 中，∠B=45°，∠C =60°,1=c ，则最短的边长等于 . A.23 B.26 C.21 D.36 13.直线042=--y x 绕它与x 轴的交点，沿逆时针方向旋转4π，所得的直线方程是 .A. 042=+-y xB. 063=+-y xC. 042=-+y xD.063=-+y x13.圆0202422=-+-+y x y x 被直线5=x 所截，截得的弦长等于 .A. 4B. 6C. 8D. 1014.圆0202422=-+-+y x y x 被直线5=x 所截，截得的弦长等于 .A. 4B. 6C. 8D.1015.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象可将函数x y 2sin 3=的图象作 变换得到.A. 向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位 16.如果双曲线上的一点P 到两个焦点()()0,20,2、-的距离之差是2，则此双曲线方程是 .A. 1322=-y xB. 1322=-x yC.1322=-x yD.1322=-y x 17.已知数列{}n a 中，1331=-+n n a a ，且11=a ，则=31a .A. 10B. 11C. 12D.1318.已知向量()y a ,3-= ，()7,x b = ，b a ⊥，则=yx . 19.根据欧拉公式：θθθi e i =+sin cos ，可将复数()θθsin cos i r +表示成ϑi re 的指数形式，那么将i 31-表示成指数形式为 . A.π352i e B.32πi e C. π352i e D.32πi e20.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥A -BCD 的体积是 . A. 3123a B.3122a C.3121a D.361a 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。

2020年高职高考数学试卷一、选择题，2分每题1.若实数,a b在数轴上的位置如图所示，则化简___a b -=.A b - .2B a b - .C b .2D a b +2. 已知两数的和为6，这两数的差的绝对值为8，那么以这两个数为根的一元二次方程是___2.680A x x -+= 2.670B x x --=2.680C x x +-= 2.670D x x ++=3.已知命题甲：“3x >”，。

命题乙：3x >”，则命题甲是乙的_______.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若46--55aa >则a 的取值范围是____________ .01A a << .0B a > .1C a > .1D a <5.函数y =的定义域为____________ ().-4-1A ， .(4,1]B -- ().1,1C - .(1,1]D -6.已知1(21)32f x x -=+则2()3f =____________ .5A .3B .1C 1.2D 7.已知集合{}{}01,,2,M x x x R N x x x R =<<∈=<∈则下面选项中正确的是______ .A M N M ⋂= .B M N N ⋂= .C M N M ⋃= .D M N R ⋃=8. 一钟（表）的时针经过40分钟所转过的角是_______4.3A π 4.3B π- .9C π .9D π- 9.已知ABC 中，5tan 12A =-则cos A =____________ 12.13A 5.13B 12.13C - 5.13D - 10.已知4cos()25πα-=，则()cos 2πα-=____________ 7.25A 7.25B - 24.25C 24.25D -11.已知αβ，是锐角，且cos sin αβ>则有____________.02A παβ<+< .2B παβ+>.2C παβ+= .2D παβπ<+<12.在ABC 中，45,60,1,B C c ∠=∠==则最短边的长为____________2A .2B 1.2C 3D 13.直线240x y --=绕它与x 轴的交点，沿逆时针方向旋转4π，所得直线方程是_______ .240A x y -+= .360B x y -+= .240C x y +-= .360D x y +-=14.圆2242200x y x y +-+-=被直线5x =所截，截得的弦长等于__________A B 1.2C D 15.函数3sin(2)3y x π=+的图象可将函数3sin2y x =的函数图象作______变换得到.6A π向左平移个单位 .6B π向右平移个单位 .3C π向左平移个单位 .3D π向右平移个单位 16.如果双曲线上的一点P 到两个焦点()()2,0,2,0-的距离之差是2，则双曲线的方程是___ 22.13x A y -= 22.13y B x -= 22.13x C y -= 22.13y D x -= 17.已知数列{}n a 中，111,331n n a a a +=-=则31a =____________.10A .11B .12C .13D18.已知向量()()3,,,7,,a y b x a b =-=⊥则x y=____________7.3A - 3.7B - 3.7C 7.3D 19.根据欧拉公式：cos sin i i e θθθ+=，可将复数(cos sin )r i θθ+，表示成i e θ的指数形式，那么将1-表示成指数形式为___________53.2i A e π 3.2i B e π 53i C π 3i D π20.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 使,BD a =则三棱锥A BCD -的体积是___3.12A 3.12B a 31.12C a 31.6D a 二、填空题（每题3分）21.不等式3112x x-≥-的解集是______________ 22.已知函数2()22(1)f x x x x =++<，则1(2)f-=______________ 23.已知圆柱的轴截面积为210cm π，则此圆柱的侧面积是___________24.若椭圆22214x y m +=，过点(-，则其焦距为_______________ 25.若1log 38a =，则a =_______________ 三、解答题（9分每题） 26.已知二次函数2(0,0)y x bx kb k =++≠≠的图像交x 轴于,M N 两点，2MN =，函数y kx b =+的图像经过线段MN 的中点，求,b k 的值及该二次函数的解析式.27. 一圆锥的母线与底面所成的角为30，它的侧面积是2，求该圆锥的体积28.已知1sin sin 446ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin4α的值. 29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4121315,0,0,a S S =><求公差d 的取值范围。

数学试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第1题：已知集合{}10，=S ，集合{}0=T ，Φ表示空集，那么=T S （A ）Φ（B ）{}0（C ）{}10，（D ）{}010，，本题考查集合的概念和运算.解: ∵{}10，=S ，{}0=T ， ∴=T S {}10，. 故选C ．第2题：抛物线281x y =的焦点坐标为 （A ）)2,0( （B ）)321,0(（C ）)0,2(（D ）)0,321(本题考查抛物线的标准方程. 解: ∵281x y =, ∴y y x 4282⨯==. ∴281x y =的焦点坐标为)2,0(. 故选A.答题分析：解答本题首先要把抛物线的方程281x y =化为标准方程28x y =，这样才能得出正确答案.这也是考生容易出错的地方.第3题：一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4本题考查等比数列的概念及其相关运算.解:设此数列的公比为q ，根据题意得0>q ，且q q a q q a --=--1)1(51)1(2141， 解得2=q . 故选B.答题分析：考生容易忽视条件“一个由正数组成的等比数列”，如果改为填空题，考生容易得出错误答案2q =±.第4题：已知平面向量)2,1(=，)1,(x =，如果向量2+与-2平行，那么与的数量积⋅等于（A ）2-（B ）1-（C ）23（D ）25 本题考查向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积. 解:∵)2,1(=，)1,(x =，∴)4,212x +=+（,)3,2(2x -=-.∵ 2+与-2平行，∴0)2(4)21(3=--+x x ,解得21=x . ∴)1,21(=.∴⋅25=. 故选D.第5题：如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为1的半圆，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积等于 （A ）π4（B ）34π（C ）32π（D ）3π 本题以半球为载体，考查由三视图还原几何体的能力.正视图俯视图侧视图解: 由三视图知几何体是半球，体积为32314213ππ=⨯⨯. ∴故选C ．第6题：曲线x x x x y ln 3)2)(1(---=在点)0,1(处的切线方程为 （A ）044=--y x （B ）044=-+y x（C ）033=--y x（D ）033=-+y x本题考查导函数的求法，考查曲线上一点处的切线方程的求法. 解: ∵xx x x x x y 3])2)(1[()2)(1(-'--+--=' xx x x x x x 3)1()2()2)(1(--+-+--=， ∴当1=x 时，4-='y .∴曲线x x x x y ln 3)2)(1(---=在点)0,1(处的切线方程为044=-+y x .∴故选B.答题分析：1.题中涉及三项乘积的导数的求法，一些考生不能把它转化为两项乘积的导数来求解.2.也可以把三项的乘积展开后再求导数，即[](1)(2)x x x '--()()23223232362x x x x x x x x ''⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦. 第7题：已知i 是虚数单位，如果复数z 满足i z z +=+1，那么=z （A ）i（B ）i -（C ）i +1（D ）i -1本题考查复数，考查复数的基本运算，考查方程的思想方法. 解: 设yi x z +=，x 、y 都是实数，则yi x y x z z +++=+22， ∵i z z +=+1，∴⎩⎨⎧=++=1122x y x y ，解方程得⎩⎨⎧=++=1122x y x y .∴=z i . ∴故选A.答题分析：本题解题方法是利用复数相等条件来列等式，求出未知数．复数 不能比较大小，但复数可以相等．本题体现了这一思想．第8题：已知直线l 经过点)3,2(M ，当l 截圆9)3()2(22=++-y x 所得弦长 最长时，直线l 的方程为 （A ）042=+-y x（B ）01843=-+y x（C ）03=+y （D ）02=-x 本题考查直线和圆的基本知识.解: ∵l 截圆9)3()2(22=++-y x 所得弦长最长，∴直线l 经过圆9)3()2(22=++-y x 的圆心)3,2(-. 由已知得直线l 经过点)3,2(M 和圆心)3,2(-. ∴直线l 的方程为02=-x . ∴故选D.第9题：从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被 取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和 为偶数的概率为 （A ）54 （B ）2516（C ）2513（D ）52 本题考查概率的古典概型，考查用枚举法求概率.解: 从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，总的情况为： )2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)1,2(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)1,3(，)2,3(，)4,3(，)5,3(，)1,4(，)2,4(，)3,4(，)5,4(， )1,5(，)2,5(，)3,5(，)4,5(共20种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：)3,1(，)5,1(， )4,2(，)1,3(，)5,3(，)2,4(，)1,5(，)3,5(共8种情况.∴从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率52208==P . 故选D.第10题：已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）),2(]1,21(∞+（D ）)2,21()81,0( 本题综合考查函数的奇偶性、单调性. 解:∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ,∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数.∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >. ∴,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧-><x x 解得121≤<x 或21<<x . ∴221<<x . 故选B ．.答题分析：1.本题首先要看出函数)(x f 在),0[∞+上是减函数. 2.根据函数的单调性“去f ”：∵3)log (481>x f , ∴43)log (81>x f , 即)31()log (81f x f >，但这个不等式并不等价于181log 3x <，原因是函数)(x f 在),0[∞+上是减函数，但在(),0-∞上却是增函数.事实上，∵)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，∴上式可化为181log 3f x f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即181log 3x >，接下来分类讨论去绝对值即可.。