【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第7讲 植树问题 人教版(含答案)

植树问题三年级上册及答案习题一难度：中难度有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米.如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株?可栽月季花多少株?两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米?解答：在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等于分成的段数.由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，所以栽月季花的株数等于2乘以段数的积.要求两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米?需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽2株月季花，就是说这4株花之间有3段相等的距离.以6米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：120÷6=20(株)，栽月季花的株数是：2×20=40(株)，每段上丁香花和月季花的总株数是：2+2=4(株)，4株花栽在6米的距离中，有3段相等的距离，每两株之间的距离是：6÷(4-1)=2(米).习题二1.有一条2000米的公路，在路一边每相隔50米埋设一根路灯杆，从头到尾需要埋设路灯杆多少根?答：41根.2000÷50+1=41(根)2.某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨，可以栽白杨多少棵?答：248棵.(1000÷8-1)×2=124×2=248(棵)3.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株?答：150÷3=50(棵).4.一根木料截成5段要16分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟?答：每截一次需要：16÷(5-1)=4(分钟)，截成7段要4×(7-1)=24(分钟).5.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶?答：每一层楼梯的台阶数为：48÷(4-1)=16(级)，从1楼到6楼共走：6-1=5(段)楼梯，16×5=80(级)台阶.6.马路的每边相隔7米有一棵国槐，小军乘无轨电车3分看到马路的一边有国槐151棵，无轨电车每小时行多少千米?答：21千米.先求出无轨电车3分行驶的路程，再求每分行驶的路程，最后求每小时行的路程.7×(151-1)÷3×60÷1000或7×(151-1)×(60÷3)÷1000=7×150÷3×60÷1000=7×150×20÷1000=21(千米)=21(千米)习题三1.有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。

引出我们今天所要学习的植树问题
1
例 1 有一行树，从第一课树到最后一棵树的距离是 120 米，并且每两棵树之间的距离为 3 米，求这行树共有多少棵？
【练一练】 在一条长 240 米的水渠边植树，每隔 30 米植一棵树，两端栽树，共植树多少颗？
【拓展】 马路一边，相隔 8 米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到 150 棵 树共花了 4 分钟，小强从家到学校共做了半小时车，问：小强家离学校有多远的距离？
例 2 在一条长 1200 米的公路的一旁，每隔 4 米栽一棵杨树，一端栽树，要栽多少棵杨树？
【练一练】 学校计划要在一条小道旁每隔 5 米放一个垃圾桶，如果小道的另一端不放，一共可以 放 15 个垃圾桶，问这条小道有多长？
2
【拓展】 一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第 11 棵树用了 11 分钟，这位老爷爷如果走 24 分钟，应走到第几棵树？
6
课后作业 【练习 1】 国庆节在校门口挂彩灯， 从头到尾一共挂了 100 只， 每两只彩灯之间相距 8 厘米， 问校门宽多少厘米？
家长监督
【练习 2】一个淡水湖周长是 3600 米，沿湖周长每隔 4 米载一颗柳树，每两棵柳树中间栽 一棵桃树，求柳树和桃树共栽了多少棵？
【练习 3】有一栋高楼共 24 层，小明从一楼走到四楼，共走了 48 个台阶，问这栋大楼总共 有多少台阶？
180 3 1 59 （个） 180 4 1 44 （个） 180 12 1 14 （个） 59 44 14 89 （个） ． 89 1 90 （段）
【巩固拓展】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有 300 级台阶的山坡，爸爸每步上 3 级台阶，儿 子每步上 2 级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？

第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题1.植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离。

2.两端都栽：棵数=间隔数＋1。

知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1。

知识点三：封闭图形的植树问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。

一端栽一端不栽：棵数=间隔数。

考点一：植树问题【例1】一根绳子长18米，每3米剪成一段，需要剪几次？（1）求这根绳子一共可以剪几段。

（2）画图表示这根绳子被剪成的段数。

从图中可知，需要剪次。

1.在一个正方形的花坛的四周摆放16盆花，怎样摆放可以使每边摆放的花盆数都是5盆？（4分）（1）请画出示意图。

（用O表示花盆）（2）已知花坛的边长是2.4米，平均每盆花之间的距离是多少米？2.史冬鹏是我国著名的男子110米栏运动员，多次代表中国参加奥运会等重要体育赛事。

下面是男子110米栏赛道的示意图。

问：每两栏之间的距离是多少米？3.公路旁每隔2.5米栽一棵树，丽丽从第1棵树跑到第40棵树，妈妈说丽丽跑了100米，丽丽说没有100米。

你认为谁说的对？请说明你的理由。

一．选择题（共5小题）1．小区花园是一个长50米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。

一共要栽（）棵树。

A．18B．36C．37D．402．同学们围着圆桌吃午饭。

每张圆桌的周长是3米，如果每隔50厘米坐一人，一张圆桌一共可以坐（）人。

A．7B．5C．63．在一条环形跑道上，等距离插着8面红旗，这条跑道被平均分成（）段。

A．8B．7C．94．锯一根木头，锯一次需要n分钟，把这根木头锯成7段，需要用（）分钟。

A．7n B．6n C．8n5．在300米长的道路一边种树（两端都种），每20米一棵，一共要种（）棵。

A．15B．16C．17二．填空题（共5小题）6．把6米长的木料锯成每2米一段的短木料，每锯一段需要15分钟，这根木料全部锯完需要分钟。

例3、大人上楼的速度为小孩的2倍。

小孩从一楼到四楼要6分钟，大人从一楼到六楼要几分钟？
如右图所示，红球现在所在位置是一楼，
从一楼到二楼只需要爬一层即可。

那么，从一层到四层，就是爬三层。

可以
让小朋友回忆下自己爬楼梯的情景。

我们可以这样认为：线段表示两层楼之间
的高度，点表示楼层数。

因此，建立本题的数学模型如下：
由线段图很容易发现，这是一个无头有尾的线段图。

从一楼到四楼，要爬三层，小孩用时6分钟，即每层2分钟。

因为大人比小孩爬得快，所以大人每爬一层用时1分钟。

从一楼到六楼，只要爬五层，
所以，用时5分钟。

例4：一根木料截成5段要16分钟，如果每截一次的时间相等，那么
截7段要几分钟？
【分析】这是一个切木料的问题，按数学模型，也可以归类为植树
问题。

先画图如下：用线段表示木料，用点表示切割位置。

要把木料截为若干段，头和尾显然不用切割，即这是一个无头无尾
的植树问题，所以点比线段少1。

根据题目意思，每次截所用的时
间相同，那么我们只要知道每次截的时间和需要截的次数，就能得
到所需时间。

截成5段，即需要切割4次，则每截一次需要：16÷(5-1)=4(分钟) 截成7段需要切割6次，则需要时间为：4×(7-1)=24(分钟)。

植树问题——含答案先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。

树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。

(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。

(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”-1。

(4)封闭线上，“点数”=“段数”。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。

又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。

肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。

再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。

再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。

如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。

许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。

例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。

这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。

这段路长为50×(10-1)＝450(米)。

答：这段路长450米。

例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)。

走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需25×6＝150(秒)。

植树问题1、在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽棵。

2、在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点一共插了10面。

这条道路长米。

3、圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装盏灯.4、一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树棵.5、在一条大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了26棵，已知相邻两棵树之间的距离都是40米，这条路长米6、在公园一条长25米的小路两侧放椅子，从起点到终点等距离放了12把椅子，相邻两把椅子之间相距米。

7、把一根圆木锯成3米长的小段，一共花了15分钟，已知每锯下一段需要3分钟，这根圆木长米。

8、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到17楼，乙跑到楼。

9、一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。

每隔12米栽一棵杉树，两棵杉树之间又等距离栽了3棵柳树。

杉树载了棵，柳树栽了棵。

10.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔9米栽一棵柳树,每两棵柳树中间放2盆花,湖泊周围栽柳树棵,放盆花.11.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,棵距6米,三个角上各有一棵,共植树棵.12.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两端都种,共种棵树.13.两棵柳树相距480米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔米.14.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟米.15.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队全长米。

车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要分钟.16.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟？17.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树？18.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树？。

第七讲：植树问题【知识要点】：确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。

还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。

先介绍四类最简单、最基本的植树问题。

为使其更直观，我们用图示法来说明。

树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：①非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。

②非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。

③非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”-1。

④封闭线上，“点数”=“段数”。

【例1】在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。

这段路长多少米？【思路导航】这是【知识要点】中的第______种情形，所以“段数＝______ ”，这段路长为：______【课堂反馈1】1、在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了10面。

这条道路有多长？2、在学校走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆。

这条走廊长多少米？【例2】在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？【思路导航】这是【知识要点】中的第______种情形，每隔______米挂一个气球，则一共有[ ]÷[ ]＝[ ]段，因为两端都有“点”，所以“点数＝______ ”，一共可以挂气球数为：______答：一共可挂气球______个。

【课堂反馈2】1、有一条2000米的公路，每相隔50米埋设一根路灯杆，从头到尾需要埋设路灯杆多少根？2、某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨，可以栽白杨多少棵？【例3】在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。

相邻两把椅子之间相距多少米？【思路导航】根据“在路的两侧从起点到终点共放了______把椅子”这个条件，我们可以先求出一侧放了[ ]÷[ ]＝[ ]把椅子，那么从第______把椅子到第______把椅子之间有[ ]－[ ]＝[ ]个间隔。

植树问题-数学三年级上册思维拓展一、选择题1．在一条马路的一侧种了8棵香樟树，每相邻两棵香樟树之间都有2棵冬青树，冬青树有（）棵。

A．14 B．16 C．182．一根木头锯成3段要6分钟，如果要把它锯成5段需要（）分钟。

A．10 B．12 C．83．学校门口有一条30米长的直道，在直道一边每隔2米放了一盆花，一共要放14盆花。

正确的放法是（）。

A．两端都放B．只放一端C．两端都不放4．一叠打印纸共420张，每5张纸之间夹一块硬塑纸，一共要准备（）张硬塑纸。

A．83 B．84 C．855．在一条长800米的街道一旁安装路灯（两端都不安），每隔40米安一盏，一共需要安装（）盏。

A．20 B．19 C．216．小明从一楼走到三楼用了8秒，照这样，他从一楼走到六楼用（）秒。

A．16 B．20 C．24二、填空题7．(1)如图，这段木料一共锯了( )次，被锯成了( )段，锯成的段数比锯的次数多( )。

(2)像这样锯10次，这根木料要被锯成( )段。

要锯成同样长的10小段，这根木料要锯( )次。

8．10棵柳树排成一排，每两棵柳树之间栽1棵梅花，一共栽( )棵梅花。

9．如果有10只猴子排成一排去做操，每两只猴子之间相距1米，这个队伍有( )米。

10．学校教室门前插了一排彩旗，一共24面，每相邻两面彩旗中间放一盆鲜花，一共放了( )盆鲜花。

11．秦淮河一侧的河堤上栽了50棵柳树，每两棵柳树中间放一张休闲长椅，放了( )张长椅。

12．体育课上，36个同学在操场上围成一个圆圈做游戏，每相邻两个同学之间相距1米，这个圆圈的周长是( )米。

13．希望小学举行“太空知识竞赛活动”。

场地前方有一条长200米的小路，小路一侧每隔5米插一面旗子，两端都插，一共插了( )面旗子。

14．为庆祝香港回归25周年，希望小学在校园小路的两侧各摆放了25盆花（两端各摆放一盆），每两盆花之间摆放1盆绿植，小路两侧共摆放了( )盆绿植。

三、解答题15．操场上有12名男同学站成一排玩游戏，这时又来了几名女同学。

植树问题知识结构一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．例题精讲一、不封闭植树问题【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长500米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：500÷4+1=126（棵）.【答案】126棵【巩固】在一条长200米的路上植树，每隔5米植1棵。

两端都植，共植树多少棵？【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】200÷5+1=41（棵）【答案】41棵【例 2】从小猫家到小鹿家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).【答案】13棵【巩固】从甲地到乙地每隔30米安装一根电线杆，加上两端共31根；现在改成每隔45米安装一根电线杆．求还余下多少根电线杆?【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?30×（31-1）=900 (米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?900÷45=20(根)，20+1=21（根）③还需要下多少根电线杆?31-21=10(根)【答案】10根【例 3】小亮上楼，从第一层走到第三层需要走20级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答【解析】 题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?20÷（3-1）=10(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?10×（6-1）=50(级)【答案】50级【巩固】 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的距离，所以丁丁跑了1535÷=（个）三层的距离，爸爸同时跑了5个两层的距离．所以爸爸跑到了52111⨯+=（层）． 【答案】11层【例 4】 有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续2秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要42秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【考点】直线上的植树问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 每次敲完以后，声音持续2秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是42-2=40（秒），而这之间只有615-=（个）间隔，所以每个间隔时间是4058÷=（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和2秒的持续时间，一共需要时间是：11×8+2=90（秒）．【答案】90秒【例 5】 元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300（分米）【答案】300分米【巩固】 校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【考点】直线上的植树问题【难度】1星 【题型】解答【解析】 从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=（盆）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3--=（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532--=（盆）．【答案】2盆【例 6】 裁缝有一段20米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1．因此，只要看20米里有几个2米，问题就可以解决了．20米中包含2米的个数：20÷2=10（个）剪去最后一段所用的天数：10-1=9（天），所以裁缝第9天剪去最后一段．【答案】9天【巩固】 一根木料在25秒内被锯成了6段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 锯的次数总比锯的段数少1．因此，在25秒内锯了6段，实际只锯了5次，这样我们就可以求出锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成5段；实际上锯了4次，这样锯成5段所用的时间就可以求出来了．所以锯一次所用的时间：25÷（6-1）=5（秒），锯5段所用的时间：5×（5-1）=20（秒）． 【答案】20秒【例 7】 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【考点】直线上的植树问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯312-=次，锯3根木料要236⨯=次，问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?312-=(次)②锯开三根木料要多少次?236⨯=(次)③锯三根木料要多少时间?3618⨯=(分钟)综合算式：3[(31)3]18⨯-⨯=(分钟)或3(31)318⨯-⨯=(分钟)【答案】18分钟二、封闭植树问题【例 8】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。

十一、植树问题（A卷）年级班姓名得分一、填空题1.有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来棵杨树苗?2.在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15米坚一根电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长米.3.红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距米.4.在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线杆根.5.在一条公路上每隔16米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆54根,这条公路全长米.6.红领巾公园一条长200米的甬道两端各有一株桃树,现在两棵桃树之间等距离栽种了39株月季花,每两株月季花相隔米.7.学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备面彩旗?8.在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插面彩旗?9.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长米?10.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距米.二、解答题11.一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?12.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?13.一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?14.明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?———————————————答案——————————————————————一、填空题1. 此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种,并要求植树线路的两端都要植树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是:棵数=全长÷间隔长+1全长=间隔长×(棵数-1)间隔长=全长÷(棵数-1)只要知道其中两个,就可求出第三个量.1250是全长,25是间隔长求棵数,列式是:1250÷25+1=50+1=51(棵).答:需运来51棵树苗.2. 此题与题1类型相同,所求不同.15是间隔长,86是棵数,求全长.列式是:15×(86-1)=15×85=1275(米)答: 这条绿荫大道全长1275米.3. 已知全长800米,棵数是41个,求间隔长.列式是:800÷(41-1)=800÷40=20(米)答:每两个垃圾桶相距20米.4. 此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的两端都不植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数=全长÷间隔长-1全长=间隔长×(棵数+1)间隔长=全长÷(棵数+1)只要知道其中两个,就可以求出第三个量.2500米是全长,50米是间隔长,求棵数.列式是:2500÷50-1=50-1=49(根)答:共需电线杆是49根.5. 此题与题4类型相同,所求不同.已知间隔长16米,又知棵数54根,求全长.列式是:16×(54+1)=16×55=880(米)答:这条公路全长880米.6. 此题与题4类型相同,所求不同.已知全长200米,棵数39株,求间隔长.列式是:200÷(39+1)=200÷40=5(米)答:每两棵月季花相隔5米.7. 此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:棵数=全长÷间隔长全长=间隔长×棵数间隔长=全长÷棵数只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树.列式是:100÷10=10(面)答:还需准备10面彩旗.8. 此题也属于植树问题中植树线路不封闭的,并要求植树线路的两端都要植树.与题1类似,但又要求在线路的两旁,而不再是一侧.解法一:50÷5+1=10+1=11(面)…先求出一侧的,再求两旁.11×2=22(面)答:一共要插22面彩旗.解法二:把线路两旁转化成一侧.50×2=100(米),100÷5+1=20+1=21(面).在转化成一侧时,有两棵重叠了,所以还需加+1=22(面)答:一共要插22面彩旗.9. 此题与题7类型相同,所求不同.已知间隔长12米,棵数是25棵,求全长.列式是:12×25=300(米)答:这条甬路长300米.10. 此题与题8类型相同,所求不同.解法一:82棵是甬道两旁的,先求出一旁栽的棵数.82÷2=41(棵),再求间隔长.200÷(41-1)=200÷40=5(米)答:每两棵美人蕉相距5米.解法二:可以把两旁转成一侧.200×2=400(米),转化成一侧后两棵美人蕉重叠,所以共植82-1=81(棵),再求间隔长,400÷(81-1)=400÷80=5(米)答:每两棵美人蕉相距5米.二、解答题11. 此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.所以全长、间隔长、棵数三量之间的关系是:棵数=全长÷间隔长全长=间隔长×棵数间隔长=全长÷棵数只要知道其中两个,就能求出第三个量.已知全长300米,间隔长5米,求棵数.列式是:300÷5=60(株)答:需要树苗60株.12. 此题与题11类型相同,所求不同.已知间隔长2米,又知棵数40棵,求全长.列式是:2×40=80(米)答:水池的周长是80米.13. 此题类型与题11相同,所求不同.已知全长200米,棵数25棵,求间隔长.列式是:200÷25=8(米)答:隔8米种一棵才能都种上.14. 由顺口溜可知,植树线路是封闭的,所以棵数与间隔数相等.共栽桃树杏树3000÷6=500(棵).由于“一株杏树一株桃”,所以桃、杏的棵数相等,都是500÷2=250(棵).答:桃树、杏树各250棵.。

三年级数学提升奥数-植树问题及例题讲解在公路的一边沿途等距离种树，就会产生公路的总长、树与树之间的距离和植树的总棵数这三个数量关系，它们之间的关系是：总段数=总距离÷每个间距长度研究这三者之间关系的应用题我们称之为“植树问题”。

不同的植树情况，段数与植树总棵数之间的关系也是不同的。

按植树线路，将“植树问题”分为不封闭线路(如：直线、折线、半圆等)和封闭路线(如：圆、长方形、正方形等封闭图形)棵数与段数关系1、不封闭线路1) 两端都种：棵数=段数+12) 两端都不种：棵数=段数-13) 一端种一端不种：棵数=段数2、封闭线路棵数=段数需要注意：什么时候+1，什么时候-1，两端都种+1，两端都不种-1与植树问题相对应的经典问题还有：爬楼梯、锯木头、敲钟、排队等。

【例题解析】1. 植树节到了，同学们来到一条长50米的小路一边植树，从头到尾每隔5米种一棵，一共要种多少棵树？【解析】根据题意可知属于两端都种的情况，棵数=段数+1，如图段数=全长÷每段长度，把一棵树和一段长组合成1组，一共就有10组，除了这10组外还要多一棵数，所以要加1，得到植树的棵数。

解：段数：50÷5=10(段)棵数：10+1=11(棵)答：一共要种11棵树。

2. 两栋建筑之间的公路长300米，沿公路一边每隔10米种一棵树，需要种多少棵树？【解析】根据题意，公路两端都有建筑物，所在两端都不用种树，棵数=段数-1，如图同样我们先求段数，把一段长和一棵树组合成1组，一共有29组，还剩下1段上没有树，所以需要减1，得到植树的棵数。

解：段数：300÷10=30(段)棵数：30-1=29(棵)答：需要种29棵树。

3. 在一个周长为80米的水池，每隔2米放一盆花，一共需要多少盆花？【解析】不论水池是什么形状，种的树都是一个封闭图形，如图可以看出图形中有几段，就可以放几盆，即：段数=盆数假如我们把封的图形从其中一盆花的位置断开，就变成了一端放一端不放的情况,可以看出这种情况也是，段数=盆数解：80÷2=40(盆)答：一共需要40盆花。

三年级奥数植树问题完整版三年级奥数植树问题植树问题可以分为以下三种情况：1.如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分得段数多1，即：棵数=段数+1.2.如果植树的线路的一端植树，另一端不植树，那么植树的棵数应与要分得线段数相等，即：棵数=段数。

3.如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数应比要分的线段数少1，即：棵数=段数-1.在封闭线路上植树，植树的棵数与要分的线段相等，即：棵数=段数。

1.小朋友们在植树时，先植一棵树，然后每隔三米植一棵树。

现已经植了九棵树，第一棵和第九棵树相距多少米？2.在一条路的一侧插彩旗，每隔五米插一面彩旗，从这条路的起点到终点共插了十面彩旗。

这条路有多长？3.在学校的走廊两边，每隔四米放一盆菊花，从这条走廊的起点到终点一共放了十八盆菊花。

这条走廊长多少米？4.在一条二十米长的绳子上挂气球，从一端起每隔五米挂一个气球。

四个气球能挂满这条绳子吗？5.在一条三十六米长的走廊的一侧摆花，两端都摆，平均每隔两米摆一盆花。

一共需要摆多少盆花？6.在马路的一侧竖电线杆，平均每隔五米竖一根电线杆。

如果两端都竖，一百米长的马路一共要竖多少根电线杆？7.在长五十米的跑道的一侧插彩旗，平均每两米插一面彩旗。

如果两端都插彩旗，一共需要多少面彩旗？8.在跑道的一侧每隔三米植一棵树。

如果两端都植，那么七十五米长的跑道一共要植多少棵树？9.在一条长四十米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了二十二棵树，已知相邻两棵树之间的距离都相等。

相邻两棵树之间的距离是多少米？10.在一条三十二米长的公路一侧插彩旗，从起点到终点共插了五面彩旗，相邻两面彩旗之间的距离都相等。

相邻两面彩旗之间相距多少米？11.在公园里一条二十五米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了十二把椅子，相邻两把椅子之间的距离相等。

相邻两把椅子之间相距多少米？12.要把一根木料锯成八段，已知每锯开一段需要两分钟，把这根木料全部锯完需要多少分钟？13.在一条五十米长的马路的一侧植树，每隔五米植一棵树，如果两端都不植树，一共需要植多少棵树？14.在六十米长的围墙上安装宣传栏，每隔两米安装一个宣传栏，如果两端都不安装宣传栏，一共需要安装多少个宣传栏？15.在一条长度为70米的绳子上，每隔2米打一个结，不包括两端。

保密★启用前小学奥数思维训练-植树问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．小学生广播操队列中，其中一列纵队26米，相邻两个学生之间的距离是2米．这列纵队一共有几个学生？属于（）A．两端种B．一端种C．两端不种2．为迎接六一儿童节，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端不放），相邻两盆花之间的距离3米．一共需要几盆花？属于（）A．两端种B．一端种C．两端不种3．一根木头，要把它平均分成5段．每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？属于（）。

A．两端种B．一端种C．两端不种二、解答题4．有一个窗框长1米60厘米，准备安装7根铁栏杆，栏杆的距离是多少厘米？5．在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？6．电梯坏了，小红要步行走回在10楼的家，她从1楼出发到达4楼后看了一下时间，发现自己用去了2分钟，如果小红以不变的速度走上10楼，她一共用了多少时间？7．时钟4点钟敲4下，用12秒敲完．那么6点钟敲6下，多少秒种敲完．8．一个圆形的花坛，周长是180米。

每隔6米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。

可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？9．有一根长3米的钢管，从一端开始，先30厘米锯一段，再20厘米锯一段，这样长短交替锯成小段，可锯出30厘米长的多少段？20厘米长的多少段？若每锯一段要8分钟，锯完一段休息2分钟，全部锯完需要多少分钟？10．一根绳子长20米，把它剪成每2米一段做跳绳，要剪几次？11．一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？12．一个时钟，几点钟就敲几下，4点时敲4下，用12秒敲完。

那么8点钟敲8下，几秒钟可以敲完？13．9路公共汽车在早上乘车高峰期加开车辆方便人民，起点站每4分钟就要发一辆车，这样一小时要发多少辆车？14．一块菜地的一边长是800米，要沿边做一道栅栏，需从头到尾等距离栽41个木杆，每两个木杆之间相距多少米？15．一根木材，截成3段要10分钟，如果每截一段的时间相等，那么截成9段需要用多少分钟？16．一个小朋友以相同的速度在路上行走，从第一棵树走到第十七棵树需要16分钟。

专题7-植树问题（知识梳理+专项训练）一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1．2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数．3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1．4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二．二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数．三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数=（每边的棵数-1）×边数．非封闭线路上的植树问题主要可分为以下情形：（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：株数=段数+1=全长÷株距+1全长=株距×（株数-1）株距=全长÷（株数-1）（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数．一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）在学校一条长50米的跑道两旁，从头到尾每隔5米插一面彩旗，一共要插()面彩旗。

A．22 B．20 C．11 D．102．（2分）一根木料锯成5段要用16分钟，照这样计算，把这根木料锯成10段要用多长时间？如果设需要用的时间为x分钟，用比例解，列式正确的是()A．16510x=B．51610x=C．1651101x=--D．1651101x=--3．（2分）公园里有一个池塘，四周一共长有94棵柳树，每两棵柳树中间有一个供游人休息的座椅．这个池塘的周围一共有()个座椅．A．93 B．94 C．95 D．964．（2分）要在一个水池周圆种树，已知这个水池的周长为245m，计划要种49棵树，相邻两树之间距离相等，相邻两树之间相距()米。

A．4.9 B．5 C．5.1 D．65．（2分）在一段长960米的路两侧每隔6米栽一棵树（两端都栽），一共需要栽()棵树。

三年级奥数专题：植树问题绿化工程是造福子孙后代的大事.确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”.还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解.先介绍四类最简单、最基本的植树问题.为使其更直观，我们用图示法来说明.树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题.显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1.(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”.(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”-1.(4)封闭线上，“点数”=“段数”.最简单、最基本的植树问题只有这四类情形.例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵).又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米.肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵).再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵).再例如，一个圆形水池的围台圈长60米.如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆).许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解.例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根.这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9.这段路长为50×(10-1)＝450(米).答：这段路长450米.例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒).走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需25×6＝150(秒).解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒).答：还需150秒.例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米.这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-1＝29(个)，每个间隔5米，所以，间隔的总长为(30-1)×5＝145(米)，而车身的总长为30×4＝120(米)，故这列车队的总长为(30-1)×5+30×4＝265(米).由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒.答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒.例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形.它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示.关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米).根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为6×(5-1)＝24(毫米)，又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长40×5-6×(5－1)＝176(毫米).同理，十个铁环连在一起的长度为40×10-6×(10-1)=346(毫米).答：五个铁环连在一起的长度为176毫米.十个铁环连在一起的长度为346毫米.例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶.从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个).解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为300÷2＝150(个)，父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个).由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50(个).所以父子俩共踏了台阶150＋100-50＝200(个).答：父子俩共踏了200个台阶.练习101.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树.每隔3米栽一棵.(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树.共种了多少棵树？3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？4.测量人员测量一条路的长度.先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆.当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？5.学校举行运动会.参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米.这个仪仗队共排了多长？6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树).已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树.还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒.已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？答案与提示练习101.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵.2.132棵.解：(100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)，264÷2＝132(棵).3.9次.4.360米.5.34米80厘米.解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米).6.200个；100个.解：原有坑1200÷6＋1=201(个)，现有坑1200÷4＋1=301(个)，其中重复而不需要新挖的坑有1200÷12＋1=101(个)，需要新挖的坑有301－101=200(个)，需要填上的坑有201-101=100(个).7.20辆.解：车队长5×100-210=290(米)，共有车(290-5)÷(5＋10)＋1=20(辆).。

三上数学思维训练教程第7讲与植树问题有关的解决问题姓名成绩悄悄话：小朋友，张开手，五个手指人人有，手指之间几个“空”，请你仔细看一看？这样的例子有很多，我们一起找一找。

教室里面有几组，中间空了几条道？……看了这些，你有什么新发现？（一）植树问题[想一想]：小朋友在一段马路的一边种树。

每隔2米种一棵，两头都种，一共种了10棵，你可知道这段马路有多长？[练一练]：在20米的校园小道一边装路灯，每隔5米装一盏（两端都装）。

想一想，一共要装几盏灯？（二）锯木问题[想一想]：一根木头锯6段，要锯几次？如果一次需用3分钟，一共要用几分钟？[练一练]：一根木头锯6段，一共用去10分钟，每锯一次用了几分钟？（三）爬楼梯问题[想一想]：丁丁每跑一层平均要用9秒钟，他从一楼跑到七楼要用几秒钟？[练一练]：奶奶买菜回家走楼梯，一楼走到三楼用了6分钟，一楼走到五楼要用几分钟？（四）敲钟问题[想一想]：时钟敲6下，用了30秒钟，平均每隔几秒敲一下？[练一练]：三点钟时，挂钟敲响三下，用了12秒。

到六点钟时，挂钟敲响6下要用几秒钟？练习七1．一队男生有8人，老师要在每2名男生中间插进3名女生，共可插进名女生。

2．小冬用12张纸订成了一个本子，从头数起，每隔3张纸夹进一片树叶，这个本子共放进了片树叶。

3.在两座教学楼中间有一条长30米的小路，每隔5米放一盆米兰花，每盆米兰花3元钱。

一共要花多少元钱？4. 一根木头长20米，要把它锯成每段长5米的木料，锯一次要用3分钟，一共要用几分钟才能锯完？5．在一条20米长的小路两旁种松树，如果每隔4米种一棵，而且两头都种，这段小路上共种了多少棵树？6．小明也把10块橡皮放在桌上，并且围成一个圆圈，每两块之间的距离是3厘米，从第一块到第十块之间的距离一共是多少厘米？7. 在一个边长是10米正方形花坛的周围摆了一些菊花，已知每两盆菊花之间的距离是2米，并且花坛的四个角各摆有一盆菊花。

那么，这个花坛四周一共有多少盆菊花？备战希望杯1. 钱江新城新栽了100棵行道树，相邻两棵树之间的距离相等，为了便于管理，按1，2，3，4，……的顺序编上了序号，张师傅从第1棵走到第5棵树用了10分钟，照这样计算，他从第17棵走到第37棵需要分钟。