2019初三数学二次函数解题方法

解二次函数的方法解二次函数的方法有以下几种：1. 因式分解法：对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以尝试以因式分解的方式将其拆解成两个一次函数的乘积形式。

具体步骤如下：- 将二次项ax^2分解成两个一次函数的乘积形式，即找到两个数m和n，使得：m*n = a 且m + n = b；- 根据上述分解结果，将二次函数y = ax^2 + bx + c写成因式乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)；- 求解得到m、n、p、q的值，得到最终的因式分解结果。

2. 完全平方公式法：通过完全平方公式，可以将二次函数表示成一个平方项加上一个常数的形式。

具体步骤如下：- 将二次函数y = ax^2 + bx + c变形成y = a(x-h)^2 + k的形式；- 根据变形后的形式可得，h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)；- 根据上述求得的h和k的值，将二次函数写成完全平方的形式。

3. 配方法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以通过配方法来解。

具体步骤如下：- 首先将二次函数的二次项系数a提取出来，并将方程变形为y = a(x^2 + (b/a)x) + c；- 进一步变形为y = a(x^2 + (b/a)x + b^2/(4a^2)) + c - b^2/(4a)；- 再次变形为y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)；- 根据上述变形，可以将二次函数表示为(x + b/(2a))^2的形式，并求出平移向量及其他信息。

4. 求根公式法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过求根公式来解。

求根公式是利用一元二次方程的求根公式，得到二次函数的根的表达式。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) ；根据上述公式，可以求得二次函数的根的值。

二次函数与线段最值问题.填空题.一..... .... 2 . ......... .. 一,，,，_ ____ ______1.如图，P是抛物线y= - x+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A, B,则四边形OAPB周长的最大值为 .2.已知函数y= (m+2) x2+ kx+ n.(1)若此函数为一次函数；①m, k, n的取值范围；②当-2WxW 1时，0WyW3,求此函数关系式；③当-2W xw 3时，求此函数的最大值和最小值(用含k, n的代数式表示)；(2)若m=- 1, n = 2,当-2WxW 2时，此函数有最小值-4,求实数k的值.3.如图，二次函数y= - x2+2 (m-2) x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A (3, 0),抛物线的顶点为D .(1)求m的值及顶点D的坐标；31-(2)当awxwb时，函数y的最小值为4最大值为4,求a, b应满足的条件；(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.4.已知点A (t, 1)为函数y= ax2+bx+4 (a, b为常数，且aw 0)与y=x图象的交点. (1)求t；(2)若函数y=ax 2+bx+4的图象与x 轴只有一个交点，求 a, b;1—<(3)若1waW2,设当2 xW2时，函数y= ax 2+bx+4的最大值为 m,最小值为n,求m - n 的最 小值. 5.已知y 关于x 的函数y=nx2-2 (m+1) x+m+3(1)若m=n= - 1时，当-1WxW3时，求函数的最大值和最小值； (2)若n=1,当m 取何值时，抛物线顶点最高？(3)若n=2m>0,对于任意m 的值，当xvk 时，y 随x 的增大而减小，求 k 的最大整数； (4)若m=2nw0,求抛物线与x 轴两个交点之间的最短距离. 6.如图，二次函数 y= - x 2+2 (m-2) x+3的图象与x,y 轴交于A, B, C 三点，其中 A (3, 0),抛物线的顶点为D.(1)求m 的值及顶点D 的坐标.(2)连接AD, CD, CA,求△ ACD 外接圆圆心 E 的坐标和半径;13" — <一(3)当 2 xwn 时，函数y 所取得的最大值为 4,最小值为 母,求n 的取值范围.3X =一直线 2 .点M 为线段AB 上一点，过 于点C.(1)求直线AC 及抛物线的解析式；3PM = -(2)若2,求PC 的长；(3)过P 作PQ// AB 交抛物线于点 Q,过Q 作QN^x 轴于N,若点P 在Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为d,求d 的最大值.7.如图，抛物线 y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(- 1,0),抛物线的对称轴为M 作x 轴的垂线交抛物线于 P,交过点A 的直线y= - x+n8.如图，抛物线 y=ax 2+bx+2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x= 1.5,点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于 P,交过点A 的直线y= - x+n 于点C.(1)求直线AC 及抛物线的解析式;(2) M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出此时 P 点的坐标;(3)若在(2)的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点9 .如图，抛物线 y= - x 2- 2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点 C,点D 为抛物线的顶点. (1)求A 、B 、C 的坐标；(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线 AC 交于点E,与抛物线交于点 P,过点P 作PQ//AB 交抛物线于点 Q,过点 Q 作QN^x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形 PMNQ 的周长最大时，求^ AEM 的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ.过抛物线上一点 F 作y 轴的平行 线，与直线 AC交于点G (点G 在点F 的上方).若FG = 2^ DQ ,求点F 的坐标._2A A3Q ~ A APHQ,使 § ,求点坐10.如图，抛物线y= - x2+bx+c的图象交*轴于人（—2, 0）, B （1, 0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A, B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P, 过点P作PC//AB交抛物线于点C,过点C作CD，x轴于点D.若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC,我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n, 2n）,若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ，x2 3x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）,与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.（1）填空：点A的坐标为（, ），点B的坐标为（, ），点C的坐标为（, ）,点D的坐标为（, ）;（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE= PC,求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△ PQR周长的最小值.图1 备用图12.如图，抛物线与直线相交于A, B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是(2, 4),抛物线与x轴另一交点为D,并且△ ABD的面积为6,直线AB与y轴的交点的坐标为(0, 2).点P是线段AB(不与A, B重合)上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q.(1)分别求出抛物线与直线的解析式；(2)求线段PQ长度的最大值；(3)当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点(点M的横坐标小于N的横坐标)，使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由.1 3=-——13.如图，抛物线y 4*22x - 4与x轴交于A, B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边，点。

知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c而言，其顶点坐标为（－2b a，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点． 考点2 矩形的性质及判定1. 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形（1）是平行四边形；（2）四个角是直角．2. 矩形的性质性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

； 3. 矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

考点3 菱形的性质及判定1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意： 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 2．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；3．菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．考点4 正方形的性质及判定1. 正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）都可以得到正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2.正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；3. 因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．4. 正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.考点5 探究特殊平行四边形的一般思路解答特殊平行四边形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出特殊平行四边形的分类标准，一般涉及到动态问题要以静制动，动中求静，由于特殊平行四边形分为矩形、菱形和正方形，故我们可以从这些特殊平行四边形的性质及题干信息入手，具体如下：（1）假设结论成立，分情况讨论，抓住每类图形的特殊性质入手，由于特殊的平行四边形也是平行四边形，可先证明出是平行四边形，在适当加入一些特征便可以得到矩形、菱形或是正方形。

中考二次函数解题方法有哪些中考数学二次函数是必考考点也是重要内容之一，掌握它的解题方法轻松拿分。

下面是由小编为大家整理的“中考二次函数解题方法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

中考二次函数解题方法有哪些一、把握要点(也是中考的考点及要求)1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。

2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。

3.含根据不同条件确定二次函数的'解析式。

4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。

二、要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运用，确定二次函数的解析式，适当做一些二次函数的实际应用问题，来提高分析和解决问题的能力。

三、二次函数是体现综合性的重点内容从容易题到较难题中都会出现，也就是说每年中考试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题，中考数学参考《中考数学辅导：二次函数复习重在把握》。

四、学习二次函数注意如下几点1.函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。

2.函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。

3.当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。

拓展阅读：中考数学复习的高效方法1、吃透考纲把握动向在复习中，很重要的一点是要有针对性，提高效率，避免做无用功。

在对基本的知识点融会贯通的基础上，认真研究考纲，不仅要明确考试的内容，更要对考纲对知识点的要求了然于心。

平时多关注近年中考试题的变化及其相应的评价报告，多层次、多方位地了解中考信息，使复习有的放矢，事半功倍。

2、围绕课本注重基础从近几年的上海中考数学卷来看，都很重视基础知识，突出教材的考查功能。

试题至少有一半以上来源于教材，强调对通性通法的考查。

中考数学二次函数解题方法中考数学二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

②若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的`动点不存在。

③若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。

）先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。

（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。

二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。

一求函数解析式，再求面积带线段。

动点问题难解决，坐标垂线走在前。

三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。

二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。

.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。

“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。

.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。

3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。

四.典型例题
例1 （2006年·贵阳）某商场购进一种单价为 40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每 月可售出500个，根据销售经验，售价每提高 1元，销售量相应减少10个；
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球 所获得的利润是 元；这种篮球每月的销 售量是 个；（用含的代数式x表示）
(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利 润？如果是，请说明理由；如果不是，请求 出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
第二十二讲 二次函数的应用
一.课标链接
一次函数的应用 二次函数的应用何问题，通过所建立的函数 关系，将问题转化为利用一元二次方程（组） 进行探索、解决，这是二次函数知识的重点， 这也是中考的测试重点之一.题型主要是计 算型综合解答题.
四.典型例题
思路分析：这是二次函数的性质在实际问题 中的应用. 根据题意，列出销售利润的函数关系式 y=(10+x)(500-x)， 配方得y=-10(x-20)2+9000就可求解. 知识考查：考查二次函数的性质在实际问题 中的应用.
；尚策电商 品牌策划 品牌设计 / 品牌策划公司 品牌设计机构 尚策品牌策划 ；
后以疾卒于位 乃先登城 虽并有武力 杜二姓密应之 还见至尊 老中数创乃退 "人间物议 柱国侯莫陈崇勋高望重 以在上 遂得任兼文武 后突厥大为侵掠 大都督 "天和三年 俱縻好爵 远子植 "周文曰 尝入白事 屡以军功 好论人之恶 子洋嗣 封临汾县伯 得无诈也？登者乃得入 散财施惠 明年 寇洛抚循散乱 谥曰肃 战没 尤重老子之术 进侍中 让齿而坐 遂能抚宁家国 必身先士卒 事或可济 字胡奴 凤州刺史 朔方岩绿人也 伊川人也 曾祖景言 "吾丧师徒 豪性凶悍 敏由是大惧 寻以母忧去职 其见亲待如此 因赐贤妻吴姓宇文氏

解二次函数的三种方法一、根据二次函数函数表示式求解方法二次函数函数表示式是$y = ax^2 + bx + c$，其中a，b，c都是常数。

以此公式求一般二次函数的几何意义主要包括：判断拐点、确定单调性（即函数的上下单调性，对称轴，极值）和计算函数的极限值：（1）判断拐点可以用一元二次函数的判别式来判断拐点，它的形式为：$D = b^2 - 4ac$，如果$D>0$，则这个函数有唯一的拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D=0$，则这个函数有一个重拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D<0$，则这个函数没有拐点。

（2）确定单调性即确定函数$y=ax^2+bx+c$在任意一点上的单调性，主要就是通过求a的取值来判断：当a>0时，此函数是一个开口向上的抛物线，即在a>0的任一x处的函数值都大于其附近的函数值，此时此二次函数是单调递增的；（3）确定对称轴由于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$有关于$x$轴的对称性，因此我们可以求出它的对称轴。

其斜率为：$m=-b/2a$，求出斜率之后，根据斜率公式可以得到对称轴的方程为：$y+b/2a=ax^2$，即$x = -b/2a，y = -b/4a$。

（4）确定极值在求极值之前，首先需要找到函数的极值点，要找到极值点首先要求求导，函数$y=ax^2+bx+c$的一阶导数为：$y'=2ax+b$，称$2ax+b=0$为导函数的根，即为求极值点。

它的极值值可以通过函数的表达式替换形式求得，即用$2ax+b=0$的根代替$x$求函数$y=ax^2+bx+c$的值就是该函数的极值。

（5）计算函数的极限一元二次函数的极限的形式为：$\lim\limits_{x \to-\infty}ax^2+bx+c=+\infty$，$\lim\limits_{x \to+\infty}ax^2+bx+c = +\infty$，可以根据极限的运算规则去计算极限。

2019中考复习数学二次函数压轴题专题针对训练1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点(x，y1)和(x，y2)关于点(x，x)中心对称(包括三个点重合时)，由于对称中心都在直线y＝x上，所以称这两个函数为关于直线y＝x的特别对称函数．例如：y＝12x和y＝32x为关于直线y＝x的特别对称函数．(1)若y＝3x＋2和y＝kx＋t(k≠0)为关于直线y＝x的特别对称函数，点M(1，m)是y＝3x＋2上一点．①点M(1，m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 .②求k，t的值．(2)若y＝3x＋n的图象和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2，求n的值．(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d为关于直线y＝x的特别对称函数．①直接写出a，b的值．②已知点P(－3,1)，点Q(2,1)，连接PQ，直接写出y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围．2.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．3.如图，抛物线C1：y1＝tx2－1(t＞0)和抛物线C2：y2＝－4(x－h)2＋1(h≥1)．(1)两抛物线的顶点A，B的坐标分别为和；(2)设抛物线C2的对称轴与抛物线C1交于点N，则t为何值时，A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；(3)设抛物线C1与x轴的左交点为点E，抛物线C2与x轴的右边交点为点F，试问，在第(2)问的前提下，四边形AEBF能否为矩形？若能，求出h值；若不能，说明理由．4.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a （x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？5.如图，一次函数y＝－x－2的图象与二次函数y＝ax2＋bx－4的图象交于x轴上一点A，与y轴交于点B，在x轴上有一动点C.已知二次函数y＝ax2＋bx－4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n(n＜0)，n是方程2x2－3x－2＝0的一个根，连接AD.(1)求二次函数的解析式．(2)当S△ACB＝3S△ADB时，求点C的坐标．(3)试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A，B，C组成的三角形与△ADB相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？7．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(0,4)，B(2,0), C(－2,0)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上另有一点D(－4,0)，将二次函数图象沿着DA方向平移，使图象再次经过点B；①求平移后图象的顶点E的坐标；②求图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．8.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？9．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…，A n和点C1，C2，C3，…，C n分别落在直线y＝x＋1和x轴上．抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线y＝x＋1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线y＝x＋1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n，B n，且顶点也在直线y＝x＋1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2，…，抛物线L n＋1交正方形A n B n C n C n－1的边A n B n于点D n(其中n≥2且n为正整数)．(1)直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3_ _ _；(2)写出抛物线L2，L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；(3)①设A1D1＝k1·D1B1，A2D2＝k2·D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D 1，D 2，…，D n 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y ＝x ＋1的交点坐标；若不是，请说明理由.10.将抛物线y =mx 2+n 向下平移6个单位长度，得到抛物线y =-x 2+3，设原抛物线的顶点为P ，且原抛物线与x 轴相交于点A 、B ，求△PAB 的面积．11．对于直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)，有如下定义：我们把直线l 2：y ＝－1a(x ＋b )称为它的“姊线”．若l 1与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，l 2与x ，y 轴分别相交于C ，D 两点，我们把经过点A ，B ，C 的抛物线C 叫做l 1的“母线”．(1)若直线l 1：y ＝ax ＋b (a ＜0，b ＞0)的“母线”为C ：y ＝－12x 2－x ＋4，求a ，b 的值；(2)如图，若直线l 1：y ＝mx ＋1(m ＜0)，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ，若OM ＝56，求出l 1的“姊线”l 2与“母线”C 的函数解析式；(3)将l 1：y ＝－3x ＋3的“姊线”绕着D 点旋转得到新的直线l 3：y ＝kx ＋n ，若点P (x ，y 1)与点Q (x ，y 2)分别是“母线”C 与直线l 3上的点，当0≤x ≤1时，|y 1－y 2|≤3，求k 的取值范围．12.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点． (1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．13．如图，抛物线C1：y1＝ax2＋2ax(a＞0)与x轴交于点A，顶点为点P.(1)直接写出抛物线C1的对称轴是，用含a的代数式表示顶点P的坐标(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180°得到抛物线C2(其中m＞0)，抛物线C与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q.2①当m＝1时，求线段AB的长；②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由；③当四边形APBQ为矩形时，请求出m与a之间的数量关系，并直接写出当a＝3时矩形APBQ的面积．14.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15.已知抛物线C n：y n＝－12x2＋(n－1)x＋2n(其中n为正整数)与x轴交于An，B n两点(点A n在B n的左边)，与y轴交于点D n.(1)填空：①当n＝1时，点A1的坐标为，点B1的坐标为；②当n＝2时，点A2的坐标为，点B2的坐标为；(2)猜想抛物线C n是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，请说明理由；(3)①判断△A2D2B4的形状；②猜想∠A n D n B n2的大小，并给予证明．16.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN ⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B.连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)填空：点A坐标为；抛物线的解析式为_.(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？参考答案1.解：(1)①∵点M (1，m )是y ＝3x ＋2上一点， ∴m ＝5，∴M (1,5)，∴点M 关于(1,1)中心对称点坐标为(1，－3)．②∵y ＝3x ＋2和y ＝kx ＋t (k ≠0)为关于直线y ＝x 的特别对称函数，∴3x ＋2＋kx ＋t2＝x ，∴(1＋k )x ＋(t ＋2)＝0，∴k ＝－1，t ＝－2. (2)设y ＝3x ＋n 的特别对称函数为y ＝m ′x ＋n ′， ∴3x ＋n ＋m ′x ＋n ′2＝x ，∴(1＋m ′)x ＋n ＋n ′＝0，∴m ′＝－1，n ′＝－n ，∴y ＝3x ＋n 的特别对称函数为y ＝－x －n ，联立得⎩⎨⎧y ＝3x ＋n ，y ＝－x －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12n ，y ＝－12n ，∵y ＝3x ＋n 的图象和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，∴12|n －(－n )|×|－12n |＝2，∴n ＝±2. (3)①∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和y ＝x 2＋d 为关于直线y ＝x 的特别对称函数，∴ax 2＋bx ＋c ＋x 2＋d2＝x ，∴(a ＋1)x 2＋(b －2)x ＋c ＋d ＝0，∴a＝－1，b＝2，c＝－d；②由①知，a＝－1，b＝2，c＝－d，∴二次函数y＝－x2＋2x－d和y＝x2＋d，∴这两个函数的对称轴为直线x＝1和x＝0.∵点P(－3,1)，点Q(2,1)，当d＜0时，如答图1，当抛物线C2：y＝x2＋d恰好过点P(－3,1)时，即9＋d＝1，d＝－8，当抛物线C1：y＝－x2＋2x－d恰好过点Q(2,1)时，即－4＋4－d＝1，∴d＝－1，y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为－8≤d＜－1，如答图2，当0≤d＜1时，抛物线C2与线段PQ有两个交点，而抛物线C1与线段PQ没有交点，∴y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围为0≤d＜1，即：y＝ax2＋bx＋c和y＝x2＋d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d 的取值范围为－8≤d＜－1或0≤d＜1.2.解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞-1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=-9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=-x+3，∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．【解析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞-1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=-x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=-x+3即可得到结果．3.解：(1)抛物线C1：y1＝tx2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线C2：y2＝－4(x－h)2＋1的顶点坐标是(h,1)．(2)∵AM∥BN，∴当AM＝BN时，A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．∵当x＝h时，y2＝1，y1＝tx2－1＝th2－1，∴BN＝|1－(th2－1)|＝|2－th2|.①当点B在点N的下方时，4h2－2＝th2－2，∵h2≠0，∴t＝4；②当点B在点N的上方时，4h2－2＝2－th2，整理，得t＋4＝4h2，∵当t＞0时，t＋4＞4；当h≥1时，4h2≤4，∴这样的t值不存在，∴当点B在点N的下方时，t＝4；当点B在点N的上方时t值不存在．(3)能，理由如下：由(2)可知，两个函数二次项系数互为相反数，∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称．∵点A和点B的纵坐标的绝对值相同，∴两抛物线的对称中心落在x轴上．∵四边形AEBF是平行四边形，∴当∠EAF＝90°时，四边形AFBE是矩形．∵抛物线C1与x轴左交点坐标是(－12，0)，∴OE＝12.∵抛物线C2与x轴右交点坐标是(h＋12，0)且h≥1，∴OF＝h＋12.∵∠FAO＋∠EAO＝90°，∠EAO＋∠AEO＝90°，∴∠FAO＝∠AEO.又∵∠FOA＝∠EOA＝90°，∴△AEO∽△FAO，AOOE＝OFAO，∴OA2＝OE·OF，即12(h＋12)＝1，解得h＝32＞1，∴当h＝32时，四边形AEBF为矩形.4.解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得a=−，故y与x的关系式为y=-（x-6）2+2.6；（2）当x=9时，y=−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去），故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时二次函数解析式为y=−（x-6）2+，此时球若不出边界h≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时球要过网h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥．5.解：(1)在y ＝－x －2中，令y ＝0，则x ＝－2. ∴A (－2,0)．由2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，∴二次函数y ＝ax 2＋bx －4的对称轴为直线x ＝－12.∴⎩⎨⎧4a －2b －4＝0，－b 2a ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝2x 2＋2x －4. (2)∵S △ADB ＝12BD ·OA ＝2，∴S △ACB ＝3S △ADB ＝6. ∵点C 在x 轴上，∴S △ACB ＝12AC ·OB ＝12×2AC ＝6，∴AC ＝6.∵点A 的坐标为(－2,0)，∴当S △ACB ＝3S △ADB 时，点C 的坐标为(4,0)或(－8，0)． (3)存在．令x＝0，∵一次函数与y轴的交点为点B(0，－2)，∴AB＝22＋22＝22，∠OAB＝∠OBA＝45°.∵在△ABD中，∠BAD，∠ADB都不等于45°，∠ABD＝180°－45°＝135°，∴点C在点A的左边，如答图．①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴ACBD＝ABAB＝1，∴AC＝BD＝2，∴OC＝OA＋AC＝2＋2＝4，∴点C的坐标为(－4,0)．②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA.∴ACAB＝ABBD＝222，∴AC＝2AB＝2×22＝4，∴OC＝OA＋AC＝2＋4＝6，∴点C的坐标为(－6,0)．综上所述，在x轴上存在点C，点C的坐标为(－4,0)或(－6,0)．使得以点A，B，C组成的三角形与△ADB相似．6.解：（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=-t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【解析】（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5），（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为y=-t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．7.解：(1)根据抛物线经过三点的坐标特征，可设其解析式为y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)，再代入点A(0,4)，解得a＝－1，故二次函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－2)＝－x2＋4(a≠0)．(2)经过点A(0,4)，D(－4,0)两点的直线DA，其解析式为y＝x＋4.①抛物线沿着DA方向平移后，设向右平移了m个单位，则顶点E为(m，m＋4)，此时抛物线的解析式可设为y＝－(x－m)2＋(m＋4)，将点B(2,0)代入，得0＝－(2－m)2＋m＋4，解得m1＝0(舍去)，m2＝5；顶点E为(5,9)，②如答图1，根据抛物线的轴对称性与平移的性质，A，B之间的曲线部分所扫过的面积显然等于平行四边形ABFE的面积，也等于2个△ABE的面积．解法一：如答图2，过点E作EK⊥y轴于点K，S△ABE ＝S梯形OBEK－S△AOB－S△AKE＝12(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15，图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2S△ABE＝30.解法二：如答图2，过点E作EK⊥y轴于点K，过点B作BM⊥x轴交KM于点M，过点A作AN⊥y轴交BM于点N(将△ABE的面积水平与铅直分割——一种面积的常规分割法则)．直线BM的解析式是x＝2，与DA直线y＝x＋4相交得到点G为(2,6)，所以线段BG＝6，S△ABE＝S△AGB－S△EGB＝12×6×2＋12×6×3＝15，所以图象A，B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为2S△ABE＝30.8.解：（1）当a≠0时，y=ax2+bx+c是二次函数；（2）当a=0，b≠0，c≠0时，y=ax2+bx+c是一次函数；（3）当a=0，b≠0，c=0时，y=ax2+bx+c是正比例函数．【解析】（1）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（2）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项不等于零是一次函数，可得答案；（3）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项等于零是正比例函数，可得答案．9.解：(1)B1(1,1)，B2(3,2)，B3(7,4)．(2)抛物线L2，L3的解析式分别为y2＝－(x－2)2＋3，y3＝－12(x－5)2＋6.抛物线L2的解析式的求解过程：对于直线y＝x＋1，设x＝0，可得y＝1，∴A1(0,1)．∵四边形A1B1C1O是正方形，∴C1(1,0)．又∵点A2在直线y＝x＋1上，∴可得点A2(1,2)，又∵B2的坐标为(3,2)，∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，∴抛物线L2的顶点坐标为(2,3)，设抛物线L2的解析式为y＝a(x－2)2＋3，∵L2过点B2(3,2)，∴当x＝3时，y＝2，∴2＝a×(3－2)2＋3，解得a＝－1，∴抛物线L2的解析式为y＝－(x－2)2＋3.抛物线L 3的解析式的求解过程：∵B 3的坐标为(7,4)，同上可求得点A 3的坐标为(3,4), ∴抛物线L 3的对称轴为直线x ＝5， ∴抛物线L 3的顶点为(5,6)．设抛物线L 3的解析式为y ＝a (x －5)2＋6， ∵L 3过点B 3(7,4)，∴当x ＝7时，y ＝4, ∴4＝a ×(7－5)2＋6，解得a ＝－12，∴抛物线L 3的解析式为y ＝－12(x －5)2＋6.猜想抛物线L n 的顶点坐标为(3×2n －2－1,3×2n －2)． 猜想过程：方法1：可由抛物线L 1，L 2，L 3，…的解析式为y 1＝－2(x －12)2＋32，y 2＝－(x －2)2＋3，y 3＝－12(x －5)2＋6，…，归纳总结．方法2：可由正方形A n B n C n C n －1顶点A n ，B n 的坐标规律A n (2n －1－1,2n －1)与B n (2n－1,2n －1)，再利用对称性可得抛物线L n 的对称轴为直线x ＝2n －1＋2n －1－12，即x＝2n －21＋2－22＝3×2n －2－1.又∵顶点在直线y ＝x ＋1上，∴可得抛物线L n 的顶点坐标为(3×2n －2－1,3×2n －2)； (3)①k 1与k 2的数量关系为k 1＝k 2.理由如下：同(2)可求得L 2的解析式为y ＝－(x －2)2＋3，当y ＝1时，1＝－(x －2)2＋3，解得x 1＝2－2，x 2＝2＋2，∴A 1D 1＝2－2＝2(2－1)，∴D 1B 1＝1－(2－2)＝2－1， ∴A 1D 1＝2·D 1B 1，即k 1＝ 2.同理可求得A 2D 2＝4－22＝22(2－1)，D 2B 2＝2－(4－22)＝22－2＝2(2－1)， ∴A 2D 2＝2·D 2B 2，即k 2＝2，∴k 1＝k 2. ②∵由①知，k 1＝k 2，∴点D 1，D 2，…，D n 在一条直线上； ∵抛物线L 2的解析式为y ＝－(x －2)2＋3， ∴当y ＝1时，x ＝2－2，∴D 1(2－2，1)； 同理，D 2(5－22，2)，∴设直线D 1D 2的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－2k ＋b ＝1，5－22k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3＋27，b ＝3＋27，∴直线D 1D 2的解析式为y ＝3＋27x ＋3＋27，∴⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝3＋27x ＋3＋27，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0.这条直线与直线y ＝x ＋1的交点坐标为(－1,0)．10.解：∵将抛物线y =mx 2+n 向下平移6个单位长度，得到y =mx 2+n -6，∴m =-1，n -6=3，∴n =9，∴原抛物线y =-x 2+9，∴顶点P （0，9），令y =0，则0=-x 2+9，解得x =±3，∴A （-3，0），B （3，0），∴AB =6，∴S △PAB =AB •OP =×6×9=27．【解析】根据平移的性质得出y =mx 2+n -6，根据题意求得m =-1，n =9，从而求得原抛物线的解析式，得出顶点坐标和与x 轴的交点坐标，进而根据三角形面积求得即可．11.解：(1)对于抛物线y ＝－12x 2－x ＋4，令x ＝0，得到y ＝4，∴B (0,4)，令y ＝0，得到－12x 2－x ＋4＝0，解得x ＝－4或2，∴A (2,0)，C (－4,0)．∵y ＝ax ＋b 的图象过点A ，B ， ∴⎩⎨⎧b ＝4，2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.(2)如答图所示，连接OG ，OH .∵点G ，H 为斜边中点，∴OG ＝12AB ，OH ＝12CD .∵l 1：y ＝mx ＋1，∴l 1的“姊线”l 2为y ＝－1m(x ＋1)，∴B (0,1)，A (－1m ，0)，D (－1,0)，C (0，－1m)，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD ，∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴OG＝OH.∵OG＝GB，OH＝HC，∴∠GOB＝∠ABO，∠HOC＝∠OCD.∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠ABO＋∠OCD＝90°，∴∠GOB＋∠HOC＝90°，∴∠HOG＝90°，∴OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG＝2OM＝106，∴AB＝2OG＝103，∴OA＝1032－12＝13，∴A(13，0)，∴C(0，13)，D(－1,0)．∴l1的“姊线”l2的函数解析式为y＝13x＋13，“母线”C的函数的解析式为y＝－3x2－2x＋1.(3)l1：y＝－3x＋3的“姊线”的解析式为y＝13x＋1，“母线”C的解析式为y＝－x2－2x＋3，∴直线l3：y＝kx＋1，∵当0≤x≤1时，|y1－y2|≤3，不妨设x＝1，则y1＝0，y2＝k＋1，由题意k＋1＝±3，解得k＝2或－4，∴满足条件的k是取值范围为－4≤k≤2.12．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函数表达式得 ⎩⎨⎧a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y ＝－3， 即D(－2，－3)．设AD 的表达式为y ＝kx ＋b ，将A(1，0)，D(－2，－3)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝x －1.(2)设P 点坐标为(m ，m －1)，Q(m ，m 2＋2m －3)， l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)， 化简得l ＝－m 2－m ＋2， 配方得l ＝－(m ＋12)2＋94，∴当m ＝－12时，l 最大＝94.(3)由(2)可知，0＜PQ ≤94.当PQ 为边时，DR ∥PQ 且DR ＝PQ.∵R 是整点，D(－2，－3)，∴PQ 是正整数， ∴PQ ＝1或PQ ＝2. 当PQ ＝1时，DR ＝1， 此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或(－2，－4)．当PQ＝2时，DR＝2，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或(－2，－5)．当PQ为对角线时，PD∥QR，且PD＝QR.设点R的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－n)2.又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不符合题意，舍去)或n＝2m＋2，∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R是整点，－2＜m＜1，∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．13.解：(1)∵抛物线C1：y1＝ax2＋2ax＝a(x＋1)2－a，∴对称轴是直线x＝－1，顶点P坐标为(－1，－a)．(2)①由旋转知，MA＝MB，当y1＝0时，x1＝－2，x2＝0，∴A(－2,0)，∴AO ＝2.∵M (1,0)，∴AM ＝3，∴AB ＝2MA ＝2×3＝6； ②存在．∵A (－2,0)，AB ＝6，∴B (4,0)． ∵A (－2,0)，P (－1，－a )， ∴AP ＝12a2＝1＋a 2，BP ＝25＋a 2.当AB ＝AP 时，1＋a 2＝62，解得a ＝35(负值已舍去)； 当AB ＝BP 时，25＋a 2＝62，解得a ＝11(负值已舍去)； 当AP ＝BP 时，1＋a 2＝25＋a 2，不成立， 即当a 取35或11时，△ABP 为等腰三角形． ③如答图，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，∵点A 与点B ，点P 与点Q 均关于M 点成中心对称，故四边形APBQ 为平行四边形，当∠APB ＝90°时，四边形APBQ 为矩形，此时△APH ∽△PBH ，∴AH HP ＝HPBH，即1a ＝a2m ＋3， ∴a 2＝2m ＋3，∴m ＝12a 2－32.当a ＝3时，m ＝12×32－32＝3，∴S ＝(2m ＋4)a ＝(2×3＋4)×3＝30.14．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－34，b ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D(a ，－34a 2＋94a ＋3)，(0<a<4)．如图，过点D 作DM ⊥x 轴，交BC 于点M ， ∴M(a ，－34a ＋3)，∴DM ＝(－34a 2＋94a ＋3)－(－34a ＋3)＝－34a 2＋3a.∵∠DME ＝∠OCB ，∠DEM ＝∠COB ， ∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE DM ＝OBBC. ∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35a 2＋125a ＝－35(a －2)2＋125，∴当a ＝2时，DE 取最大值，最大值是125.(3)假设存在这样的点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等． ∵F 为AB 的中点，∴OF ＝32，tan ∠CFO ＝OCOF＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H.①若∠DCE ＝∠CFO ，∴tan ∠DCE ＝GBBC＝2，∴BG ＝10. ∵△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GB BC， ∴GH ＝8，BH ＝6， ∴G(10，8)．设直线CG 的表达式为y ＝kx ＋b ， ∴⎩⎨⎧b ＝3，10k ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝3， ∴y ＝12x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3，y ＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍)．②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G(112，2)． 同理可得直线CG 的表达式为y ＝－211x ＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－211x ＋3，y ＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍)．综上所述，存在D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，其横坐标是73或10733.15.解：(1)①n ＝1时，抛物线解析式为y ＝－12x 2＋2，当y ＝0时，－12x 2＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2，∴点A 1的坐标为(－2,0)，点B 1的坐标为(2,0)； ②当n ＝2时，抛物线解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4，当y ＝0时，－12x 2＋x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，∴点A 2的坐标为(－2,0)，点B 2的坐标为(4,0)．(2)y n＝－12x2＋(n－1)x＋2n＝－12(x＋2)(x－2n)，当x＝－2时，y＝0，所以抛物线C n经过定点(－2,0)．(3)①n＝2，抛物线解析式为y＝－12x2＋x＋4，当x＝0时，y＝4，则D2(0,4)，∵n＝4时，抛物线解析式为y＝－12x2＋3x＋8，当y＝0时，－12x2＋3x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴点B4的坐标为(8,0)．∵A2D22＝22＋42＝20，B4D22＝82＋42＝80，B4A22＝102＝100，∴A2D22＋B4D22＝B4A22，∴△A2D2B4的形状为直角三角形，∠A2D2B4＝90°；②∠A n D n B n2＝90°.理由如下：当y＝0时，y n＝－12(x＋2)(x－2n)＝0，解得x1＝－2，x2＝2n，∴点A n的坐标(－2,0)，点B n的坐标为(2n,0)；∴点B n2的坐标为(2n2,0)，而D n(0,2n)，∵A n D2n＝(2n)2＋22＝4n2＋4，B n2D2n＝(2n2)2＋4n2＝4n4＋4n2，B n2A2n＝(2n2＋2)2＝4n4＋8n2＋4，∴A n D2n＋B n2D2n＝B n2A2n，∴△A n D n B n2为直角三角形，∠A n D n B n2＝90°.16.解：（1）当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3）；（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1，设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），∵点P与点Q关于直线=﹣1对称，∴点Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x，∴矩形PMNQ的周长=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）=﹣2x2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10，当x=﹣2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（﹣2，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3，当x=﹣2时，y=x+3=1，∴E（﹣2，1），∴△AEM的面积= ×（﹣2+3）×1= ；（3）解：当x=﹣2时，Q（0，3），即点C与点Q重合，当x=﹣1时，y=﹣x2﹣2x+3=4，则D（﹣1，4），∴DQ= = ，∴FG=2 DQ=2 × =4，设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1，∴F点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．17.解：(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1,4)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，把C(3,0)代入抛物线的解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1.故抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4.(2)依题意有OC ＝3，OE ＝4，∴CE ＝OC 2＋OE 2＝32＋42＝5，当∠QPC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝PC CQ ＝OC CE ，∴3－t2t ＝35，解得t ＝1511；当∠PQC ＝90°时，∵cos ∠QCP ＝CQ PC ＝OC CE ，∴2t3－t ＝35，解得t ＝913.∴当t ＝1511或t ＝913时，△PCQ 为直角三角形．(3)∵A (1,4)，C (3,0)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎨⎧ k ＋b ＝4，3k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝6，故直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6.∵P (1,4－t )，将y ＝4－t 代入y ＝－2x ＋6中，得x ＝1＋t 2，∴Q 点的横坐标为1＋t 2，将x ＝1＋t 2代入y ＝－(x －1)2＋4中，得y ＝4－t 24.∴Q点的纵坐标为4－t2 4，∴QF＝(4－t24)－(4－t)＝t－t24，∴S△ACQ＝S△AFQ＋S△CFQ＝12FQ·AG＋12FQ·DG＝12FQ(AG＋DG)＝12FQ·AD＝12×2×(t－t24)＝－t24＋t＝－14(t－2)2＋1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1.。

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河
南中考
该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题，但是无论什么样的情况，我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。

解这两类存在性问题，一般分三个步骤，一是寻找分类标准，而是列方程，三是解方程并验根。

（突出利用两点间距离公式的思路）。

探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面，题目中未指定哪条边是腰或底边时，需分类讨论哪两条边是腰的情况.当有两个点是定点，一个是动点时，即"两定一动"型，有两种解决方法：①"两圆一线"法；②分类讨论法.
对于直角三角形的存在性问题，应充分利用图形的几何关系，需要常常和相似三角形，锐角三角形函数提供的三角比解决，但无论是哪种方法，分类标准是共通的，而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或者三角比列方程，有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。

2019年全国中考数学真题分类汇编：二次函数的实际应用一、选择题1. （2019年湖北省襄阳市）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．【考点】二次函数的实际应用【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．二、填空题1. （2019年四川省广安市）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．【考点】二次函数的应用、自变量与函数的实际意义【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝2（舍去），x＝10．故答案为：10．三、解答题1. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。

某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。

（1）某天这种芒果售价为28元/千克。

求当天该芒果的销售量（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式。

如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y kx b =+则25352238k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：160k b =-⎧⎨=⎩ ∴60y x =-+（1540x ≤≤）∴当28x =时，32y =∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克（2）由题易知(10)m y x =-(60)(10)x x =-+- 270600x x =-+- 当400m =时，则270600400x x -+-=整理得：27010000x x -+= 解得：120x =，250x =∵1540x ≤≤ ∴20x =所以这天芒果的售价为20元2. （2019年山东省青岛市）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品 每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法【解答】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +160；（2）由题意得：w ＝（x ﹣30）（﹣2x +160）＝﹣2（x ﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w由最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．3. （2019年湖北省十堰市）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．【考点】待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质【解答】解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得∴y与x的关系式为：y＝x+55（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m∴整理得，当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝∵＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．4. （2019年甘肃省天水市）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】待定系数法、二次函数的应用、二次函数的性质【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400＝﹣（x﹣25）2+225，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5. （2019年湖北省鄂州市）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得y＝﹣5x+500；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当x＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：x1＝66，x2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．6. （2019年湖北省随州市）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量x+8，从市场反馈的信息发现，该p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p=12半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）由表格的数据，设q 与x 的函数关系式为：q=kx+b根据表格的数据得，解得故q与x的函数关系式为：q=-x+14，其中2≤x≤10（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q即x+8≤-x+14，解得x≤4又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4②由①可知，当2≤x≤4时，y=（x-2）p=（x-2）（x+8）=x2+7x-16当4＜x≤10时，y=（x-2）q-2（p-q）=（x-2）（-x+14）-2[x+8-（-x+14）]=-x2+13x-16即有y=（3）当2≤x≤4时，y=x2+7x-16的对称轴为x===-7∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大∴x=4时有最大值，y==20当4＜x≤10时y=-x2+13x-16=-（x-）2+，∵-1＜0，＞4∴x=时取最大值即此时y有最大利润要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合故y=-（x-）2+≥24，解得x≤5故当x=5时，能保证不低于24百元故答案为：，57. （2019年辽宁省本溪市）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用、一次函数的应用【解答】解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50；当x＞60且x为整数时，y＝20；（2）设所获利润w（元），当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w＝（40﹣16）×20＝480元，当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴当20＜x≤60且x为整数时，y＝﹣x+50，∴w＝（y﹣16）x＝（﹣x+50﹣16）x，∴w＝﹣x2+34x，∴w＝﹣（x﹣34）2+578，∵﹣＜0，∴当x＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．8. （2019年内蒙古包头市）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？【考点】二次函数的应用、分式方程的应用【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，根据题意得，，解得：x＝20，经检验：x＝20是分式方程的根，∴1500÷（20﹣10）＝150（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，∵﹣＜0，∴当a＝100时，W有最大值，答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．9. （2019年内蒙古通辽市）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．【考点】二次函数的应用【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，则当x＝35+a时，w取得最大值，∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10x（35+a）+500]＝1960∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），∴a＝2．。

第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线。

4。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2。

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时,开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

②平行于y 轴(或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

7.顶点决定抛物线的位置。

几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是），（a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=.(2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.(3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳单选题1、定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A (0,2)，点C (2,0)，则互异二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A ．4，-1B ．5−√172，-1C ．4，0D ．5+√172，-1 答案：D分析：分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可． 解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数y =(x −m )2−m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当m ≤0时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有{m ≤0m 2−m ≤2， 解得：−1≤m <0；当0<m ≤1时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{0<m ≤1(2−m )2−m ≥0， 解得：0<m ≤1；当1<m ≤2时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{1<m ≤2m 2−m >0， 解得：1<m ≤2；当m >2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有{m >2m 2−m ≥0(2−m )2−m ≤2 ，解得：2<m≤5+√17；2，−1．综上可得：m的最大值和最小值分别是5+√172故选：D．小提示：本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−2< x1<−1，则下列四个结论：①3<x2<4，②3a+2b>0，③b2>a+c+4ac，④a>c>b．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确，∵−b= 1，2a∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2 -4ac > a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B小提示：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．3、抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )A．0≤x1＜x2B．x2＜x1≤0C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D．以上都不对答案：D分析：根据二次函数图象及性质，即可判定．∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2＞0，x1≤0且x2+x1＞0，或x2＜0，x1＞0且x2+x1＜0，故选：D．小提示：本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．4、如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BC，AB上，记PM=x，PN=y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．反比例函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系答案：D分析：先求出AM=PM，利用矩形的性质得出y=﹣x+m，最后利用S=S△ABC－S矩形PMBN得出结论．设AB=m（m为常数）．在△AMP中，∠A=45°，AM⊥PM，∴△AMP为等腰直角三角形，∴AM=PM，又∵在矩形PMBN中，PN=BM，∴x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m，即y=﹣x+m，∴y与x成一次函数关系，∴S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +12m 2， ∴S 与x 成二次函数关系．故选D ．小提示：本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式．5、二次函数y =x 的图象经过的象限是（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案：A分析：由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．∵y =x 2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故选：A ．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．6、关于x 的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2，若x 2=2x 1，则4b −9ac 的最大值是（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：D分析：根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．解：由方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1、x 2可得，a ≠0，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ∵x 2=2x 1，可得3x 1=−b a ，2x 12=c a ，即2(−b 3a )2=c a 化简得9ac =2b 2 则4b −9ac =−2b 2+4b =−2(b 2−2b)=−2(b −1)2+2故4b −9ac 最大值为2故选D小提示：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．7、已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．−5或2B．−5C．2D．−2答案：B分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0解得：k=−5或k=2∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧∴x=−k＞02∴k＜0∴k=−5故选：B．小提示：此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y＝ax＋b的图象不可能是( )A．B．C．D．答案：D分析：根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合；当a>0，b<0时，y=ax2+bx的开口向上，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、三、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，故选项A正确，不符合题意题意；当a<0，b>0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的正半轴，y=ax+b经过第一、二、四象限，且两函数图象交于x的正半轴，C选项正确，不符合题意；当a<0，b<0时，y=ax2+bx的开口向下，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第二、三、四象限，B选项正确，不符合题意；只有选项D的两图象的交点不经过x轴，故选D.小提示：本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．9、已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m<0B．m≥1C．m≤−1或m>0D．m≤−1答案：A分析：先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，∵点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤−3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m答案：C分析：根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为y=ax2，由题意可知A(−0.8,−2)，代入求解函数解析式，进而问题可求解．解：建立如图所示的坐标系：设函数关系式为y=ax2，由题意得：A(−0.8,−2)，∴−2=0.8×0.8×a，，解得：a=−258∴y=−25x2，8x2，当y=-0.5时，则有−0.5=−258解得：x=±0.4，∴水面的宽度为0.8m；故选C．小提示：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．填空题11、已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式−3m2+3m+2022的值为______．答案：2019分析：先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．所以答案是：2019．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2mx+m−2（m为常数，且m>0）与直线y＝2交于A、B两点．若AB＝2，则m的值为______．答案：√21−12分析：设A（x1，2），B（x2，2），抛物线y=−x2+2mx+m−2中，令y=2，得x2−2mx−m+4=0，利用根与系数关系求得AB，可建立关于m的方程并解出即可．解：设A（x1，2），B（x2，2），抛物线y=−x2+2mx+m−2中，令y=2，得：−x2+2mx+m−2=2，即：x2−2mx−m+4=0∴x1+x2=2m,x1x2=−m+4，∴AB=|x2−x1|=√(x2+x1)2−4x1x2=√(2m)2−4(−m+4)=2，∴m2+m−5=0，解得：m1=√21−12,m2=−√21−12(舍去)，所以答案是：√21−12．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．13、平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数y=x2+2x+c（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为(1,2)，则新抛物线的函数表达式为_______．答案：y=(x−3)2−2分析：将（1，2）代入y=x2+2x+c，解得c=-1，设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，解得c=-1．设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．整理，得2-m=±2．解得m1=0（舍去），m2=4．故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．故答案是：y=(x−3)2−2．小提示：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“关联点”的含义．14、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？答案：1.125分析：以抛物线的顶点为原点建立坐标系，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线的交点坐标，利用待定系数法求解抛物线的解析式，再利用点的坐标特点即可求解．解：如图，建立如下的坐标系：水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2），(2,−2)，设函数的解析式是y=ax2，则4a=-2，解得a=−12，则函数的解析式是y=−12x2．当水面宽为5米时，把x=52代入抛物线的解析式可得：y=12×(52)2=258=3.125,∴3.125−2=1.125（米），所以答案是：1.125．小提示：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，建立合适的平面直角坐标系，求得水面与抛物线的交点是解题的关键．15、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．答案：2分析：将函数关系式转化为顶点式即可求解．根据题意，有ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，当t=2时，ℎ有最大值．所以答案是：2．小提示：本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．解答题16、某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m>0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．答案：（1）y=−3x+300；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）m=5分析：（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得W=(−3x+300)(x−a)，再由表格数据求出a=20，得到W=(−3x+300)(x−20)=−3(x−60)2+4800，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55)，由于对称轴是直线x=60+m2>60，根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）设y=kx+b，由题意有{40k+b=180 70k+b=90，解得{k=−3b=300，所以y关于x的函数解析式为y=−3x+300；（2）由（1）W=(−3x+300)(x−a)，又由表可得：3600=(−3×40+300)(40−a)，∴a=20，∴W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800．所以售价x=60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；（3）由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x⩽55)，其对称轴x=60+m2>60，∴0<x⩽55时上述函数单调递增，所以只有x=55时周销售利润最大，∴4050=−3(55−100)(55−20−m)．∴m=5．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．17、“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+ c，部分对应值如表：221．③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=1 4t2−32t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a，c的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．答案：(1)a=−15,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元分析：（1）运用待定系数法求解即可；（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价−x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．（1）把{x=3,y=7.2，{x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得{9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②②-①，得7a=−1.4，解得a=−15，把a=−15代入①，得c=9，∴a=−15,c=9．（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，有w=x售价−x成本=12t+2−(14t2−32t+3)，化简，得w=−14t2+2t−1=−14(t−4)2+3，∵−14<0,t=4在1≤t≤7的范围内，∴当t=4时，w有最大值．答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．（3）由y供给=y需求，得x−1=−15x2+9，化简，得x2+5x−50=0，解得x1=5,x2=−10（舍去），∴售价为5元/千克．此时，y供给=y需求=x−1=4（吨）=4000（千克），把x=5代入x售价=12t+2，得t=6，把t=6代入w=−14t2+2t−1，得w=−14×36+2×6−1=2，∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．小提示：此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．18、一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽CD是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？ 答案：（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14分析：（1）根据题意和函数图象，可以设出抛物线的解析式，然后根据抛物线过点F 和点M 即可求得该抛物线的解析式；（2）先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度，便可判断该车辆能安全通过．（3）射出H 的坐标，用n 表示出L ，利用二次函数的性质求解即可．解：（1）由题意得M （0，4），F （4，0）可设抛物线的解析式为y=ax 2+4，将F （4，0）代入y=ax 2+4中，得a=-14， ∴抛物线的解析式为y=-14x 2+4； （2）当x=3，y=74， 74+2-12=3.25>3.2，∴能安全通过； （3）由GH=n ，可设H （n 2，−n 216+4），∴GH+GA+BH=n+（−n 216+4）×2+2×2=−18n 2+n +12，∴L=−18n 2+n +12，∵a ＜0，抛物线开口向下，∴当n=-b=4时，L有最大值，最大值为14．2a小提示：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义．。

二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （1，3）的抛物线的解析式是 ．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，a 的值不变，口诀为：左加右减，上加下减．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）4．已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

初中数学必考知识点：二次函数解题技巧，吃透=白捡分！收
藏！
作为初中数学函数学习的最后一个函数，也是最难得一个，当属二次函数了，考试中也经常遇到。

特别是在中考的最后一道大题，算作是数学大题中的压轴题，而对学生来说，抛物线学不好，函数就无从下手，抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等充斥大脑，会让很多同学望而却步。

话虽如此，但是学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌!
大部分的孩子都只知道“学”，而不知道如何有技巧的去学，课堂上老师也很少教学习方法。

知识点是零乱的，不利于记忆和掌握。

只有把它们串起来，形成一个体系，才有助于快速高效掌握知识。

如果你的孩子很刻苦学习，成绩却提不上去很勤奋背诵单词，却总是记不住......建议你带着孩子来听我们的免费公开课，我们的免费公开课将会教孩子如何快速记忆，而且记牢，并且帮助孩子建立起一套高效的学习方法。

●文末附有电子版资料下载方式。

P若A(m,n)，则C(-n,m)OA=OC1x 2019重庆中考26题二次函数综合问题探索举例二次函数综合问题，是重庆历届中考必考题，在解答此类问题时，除二次函数、一次函数等必备的知识外，还涉及到如下一些知识：1.两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短 （新人教版七上基础知识）2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. （新人教版七下基础知识）3.两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)的距离公式：P 1P 2 =212212)y y ()x x (-+- （新人教版八下拓展知识）特别：当P 1P 2∥y 轴时，P 1P 2 =12y y -. 当P 1P 2∥x 轴时，P 1P 2 =12x x -.4.两直线y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2平行的条件：k 1=k 2，且b 1≠b 2. （新人教版八下拓展知识）5.两直线y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2垂直的条件：k 1k 2=-1. （新人教版八下拓展知识）如图，直线y=k 1x ，y=k 2x 垂直的条件是：k 1k 2=-1.6.常见图形的计算、性质、判定等.答图1图1典例探索例1.（2019重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线y=32x 23x 432++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q.（1）如图1，连接AC ，BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK.当△PEF 的周长最大时，求PH+HK+23KG 的最小值及点H 的坐标. （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D /，N 为直线DQ 上一点，连接点D /，C ，N ，△D /CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由.思路：点坐标→PH+HK+23KG 的最小值→H 的坐标. （2）由条件→新抛物线→设出N 的坐标求得D /N ，D /C ，CN →建立方程求出N 的坐标.提示：（1）易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0,32)，D(1,439)，△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 23+- 设P(x, 32x 23x 432++-)，则E(x, 32x 23+-) ∴PE=32x 23x 432++--(32x 23+-)=x 3x 432+- ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 32)，此时，如图将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ，过点P 作PM ⊥l 于点M ，过点K 作KM /⊥l 于M /.则PH+HK+23KG= PH+HK+KM /≥PM ，易知∠POB=60°.POM 在一直线上.易得PM=10，H(1,3)（2）易得直线AC 的解析式为y=32x 3+，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y=435x 3+，所以可设D /(m, 435m 3+)，平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432++--.将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5,4325). 设N(1,n)，又C(0,32)，D /(5,4325). 所以NC 2=1+(n-32)2，D /C 2=22)324325(5-+=161267，D /N 2=22)n 4325()15-+-（. 分NC 2= D /C 2；D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1,4139338+)，N 2(1, 4139338-)，N 3(1,41011325+)，N 4(1, 41011325-)，N 5(1,1363641). 例2.（2019重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2-2x-3与x 轴交于点A ，B（点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E. （1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF+FP+31PC 的最小值； （2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF+FP+31PC 取得最小值时，把点P 向上平移22个单位得到点Q ，连接AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A /OQ /，其中边A /Q /交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得∠Q /=∠Q /OG ？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q /的坐标；若不存在，请说明理由.思路：（1）MN 取得最大值→FN 最大→点F 坐标及HF 的值→HF+FP+31PC 的最小值. （2）由P 的坐标→Q 点坐标→注意∠Q /=∠AQO 构成直角三角形，求出Q /的坐标.提示：（1）易得A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，D(1,-4)，E(1,0).直线BD 的解析式为y=2x-6. 易得△MNF ∽△EBD ，所以要MN 取最大值，只要FN 设N(x, x 2-2x-3)，F(x,2x-6). 则FN=-x 2+4x-3，∴当x=2时，FN 最大，此时MN 最大，F(2,-2)，HF=2. ∴当FP+31PC 最小时，HF+FP+31PC 最小. 如图，以PC 为斜边，31PC 的长为直角边，作Rt △CRP ，其中PR=31PC 因此，当点F ，P ，R 在一条 直线上时，FP+31PC 最小.此时，过F 作y 为S ，则△CPR ∽△FPS.又易得FS=2. S(0,-2) SP=22，FP=223，PC=CS-PS=222-，所以PR=31PC=622-.答案3247+（2）由（1）知SP=22，将P 向上平移22个单位得到的Q 点即为S 点，所以OQ=2. 如图，过Q /作Q /T ⊥x 轴于T.在Rt △OQ /T 中，易得∠Q /OT 的正切为一定值.结合勾股定理及方程思想求出两直角边.552)，(552,554-).例3.（2019重庆中考考试说明题型示例）在平面直角坐标系中，抛物线y=22x 23x 422-+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.（1）如图甲所示，点D 是抛物线第二象限上一点，且满足22x x A D =-，过点D 作AC 的平行线，分别与x 轴、射线CB 交于点F 、E ，点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交线段AC 于点Q ，当四边形PQEF 面积最大时，在y 轴上找一点M ，x 轴上找一点N ，使得PM+MN-53NB 取得最小值； （2）如图乙所示，将△BOC 沿直线AC 平移得到△B /O /C /，再将△B /O /C /沿B /C /翻折得到△B /O //C /，连接C /B ，O //B ，则△C /BO //能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点O //的坐标；若不能，请说明理由.思路：（1）四边形PQEF 面积最大→△PDF 的面积最大→P 点坐标→PM+MN-53NB 最小值. （2）由条件表达出C /，B ，O //的坐标→求得C /B ，O //B ，O //C /→建立方程求出O //的坐标. 提示：（1）易得A(24-,0)，B(2,0)，C(0,22-)，又点D 是抛物线第二象限上一点，且满足22x x A D =-，∴D(26-,27).易得直线AC 的解析式y=22x 21--，∴直线DF 的解析式为y=24x 21+-，易得直线CB 的解析式为y=22x 2-. ∴易得F(28,0)，E(2512,2514). ∵四边形PQEF 面积=△PDF 的面积－△DQE 的面积.而平行线得，△DQE 的面积=△DAE 的面积.而△DAE 的面积为定值，∴当△PDF 的面积最大时，四边形PQEF 面积最大. 过P 作PT ⊥x 轴，交DF 于点T ，则当PT 最大时，△PDF 的面积最大. 设P(x, 22x 23x 422-+)，则T(x, 24x 21+-).PT=24x 21+--(22x 23x 422-+)=26x 2x 422+--， ∴当x=22-时，PT 最大，此时P(22-,23-). △PDF 的面积最大，四边形PQEF 面积最大.如图，作点P 关于y 轴的对称点P /(22,23-).过点B 作直线l : y=243x 43-(针对53NB) 过P /作直线l ////PM+MN-53NB 5即为所求的最小值.易求直线l /的解析式为y=32x 34--，∴W(52,523-)，∴P /W=23.答案23.（2）易得直线AC 的解析式为y=22x 21--，直线OO /的解析式为y=x 21-，直线BB /解析式为y=22x 21+-.直线BC 的解析式为y=22x 2- . AC ⊥BC.设O /(t, t 21-)，则C /(t, 22t 21--)，B /(2t +,t 21-)， 则直线B /C /的解析式为y=22t 25x 2--， 所以O /O //与B /C /的交点坐标为(524t (+,522t 21--)，所以O //(528t +,524t 21--). ∴C /B 2=22)22t 21()2t (++-=10t 452+. O //C / 2=O /C / 2=OC 2=8. O //B 2=22)524t 21()2528t (++-+=2t 22t 452++.若C /B=O //C /.则10t 452+=8，此无解，舍去.若C /B=O //B.则10t 452+=2t 22t 452++，解得t=22.∴O //(5281,529-). 若O //B= O //C /.则2t 22t 452++=8，解得t 1=538224+-，t 2=538224--∴O //(538224+,53822+-)，O //(538224-,53822--). 答案O //(5281,529-)或O //(538224+,53822+-)或O //(538224-,53822--).图1图2答图如下 例 4.（2019重庆中考考试说明参考试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x 332x 332--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E(4,n)在抛物线上.（1）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE.当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM+MN+NK 的最小值；（2）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y=3x 332x 332--沿x 轴正方向平移得到新抛物线y /，y /经过点D ，y /的顶点为点F. 在新抛物线y /的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.思路：（1）△PCE 的面积最大→P 点坐标→KM+MN+NK 的最小值.（2）由条件→新抛物线→设Q 点坐标→求出FG ，GQ ，FQ →建立方程求出Q 点的坐标. 提示：（1）易得A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3-)，D(1,0)，E(4,335).则易得直线CE 的解析式为y=3x 332-.过P 作x 轴的垂线交直线CE 于T ，则当PT 最大时，△PCE 的面积最大. 设P(x, 3x 332x 332--)， T(x, 3x 332-).PT=3x 332--(3x 332x 332--)=x 334x 332+-. ∴当x=2时，PT 最大，△PCE 的面积最大，此时P(2, 3-). 由OC=3，OB=3，易得∠OCB=60°.又易得DB=DC=2.CP ∥x 轴，K 关于CD 对称的点就是点O. 设K 关于CP 对称的点K /.连接OK /交CP 于M ，交DC 于N.则此时的M 、N 使得KM+MN+NK 最小.答案KM+MN+NK 最小值是3. （2）易得F(3,334-)，G(2,33)，设Q(3,t).则FG 2=328. GQ 2=2)33t (1-+=34t 332t 2+-. QF 2=2)334t (+=316t 338t 2++. 若GQ=FG ，则34t 332t 2+-=328，解得t=32或t=334-(此时Q 与F 重合，舍). 若GQ=QF ，则34t 332t 2+-=316t 338t 2++，解得t=532-. 若QF=FG ，则316t 338t 2++=328，解得t=321234+-或t=. 答案Q(3, 32)或(3, 532-)或(3, 321234+-)或(3, 321234--).例5.（2019重庆巴蜀三诊）如图1，抛物线x 63y 2+-=A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点C ，对称轴与x 轴相交于点H ，与AC 相交于点T. （1）点P 是线段AC 上方抛物线上一点，过点PQ ∥AC 交抛物线的对称轴于点Q ，当△AQH 面积最大时，点M 、N 在y 轴上（点M 在点N 的上方），MN=3，点G 在直线AC 上，求PM+NG+21GA 的最小值. （2）点E 为BC 中点，EF ⊥x 轴于F ，连接EH ，将△EFH 沿EH 翻折得△EF /H ，如图2所示，再将△EF /H 沿直线BC 平移，记平移中的△EF /H 为△E /F //H /，在平移过程中，直线E /H /与x 轴交于点R ，则是否存在这样的点R ，使得△RF /H /为等腰三角形，若存在，求出R 点坐标.思路：（1）△AQH 面积最大→△APT 面积最大→P 的坐标→PM+NG+21GA 的最小值. （2）由条件表达出F /，H /，R 的坐标→求出F /H /，F /R ，H /R →建立方程求出R 的坐标.提示：（1）由题意得B(-2,0)，A(6,0)，C(0,32)，设AC 与对称轴交于T ，连接AQ ，PT ，PA.如图.∵S △AQH =S △ATH + S △AQT 而S △ATH 为定值338. ∴△AQH 的面积最大，即△AQT 的面积最大. 又PQ ∥AC ，∴S △AQT =S △APT . 过点P 作PR ∥y 轴交AC 于R. 易求得AC 的解析式为y=32x 33+-设P(m, 32m 332m 632++-)，则R(m, 32m 33+-)S △APT =4)m 3m 63(212⨯+-⨯=m 32m 332+-.∴当m=3时面积最大，此时P(3,235). 过点G 作GE ⊥x 轴交x 轴于E ，作x 轴关于直线AC 的对称直线l ，E 的对称点为E /，将PM 沿y 轴 向下平移3个单位至P /N ，作点P /关于y 轴的对称 点P //，作P //S ⊥l 于点S.如图所示，则有PM+NG+21GA=P //N+NG+GE //≥P //S.易求P //S=4315 （2）易得△ABC ，△BOC ，△EFH 均为含30E(-1,3)，F(-1,0)，H(2,0)，F /(21,233). 易得直线BC 的解析式为y=32x 3+， 直线HH /的解析式为y=32x 3-， 直线EH 的解析式为y=332x 33+-. 将△EF /H 沿直线BC 平移，设在水平方向上记平移|t|个单位.则平移后的△E /F //H /中易得E /(t-1,3t 3+)，H /(t+2,t 3)， 易得直线E /H /的解析式为y=332t 334x 33++-. ∴R(4t+2,0). ∴(F /H /)2=22)233t 3()212t (-+-+=4t 2-6t+9.(H /R)2=22)t 30()]2t ()2t 4[(-++-+=12t 2. (F /R)2=22)2330()212t 4(-+-+=16t 2+12t+9.图1若F /H /= H /R ，4t 2-6t+9=12t 2.解得t=43或t=23-， 此时R(5,0)（此时F /、H /、R 共线，舍）或R(-4,0). 若F /H /= F /R ，4t 2-6t+9=16t 2+12t+9，解得t=0或t=23-， 此时R(2,0)（此时H /、R 重合，舍）或R(-4,0). 若H /R= F /R ，12t 2=16t 2+12t+9.解得t 1=t 2=23-，此时R(-4,0).答案R(-4,0). 例6.（2019重庆南开测试四）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3x 49x 43y 2++-=与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ；连接BC.点P 为线段BC 上方抛物线上的一动点，连接OP 交BC 于点Q.（1）如图1，当OQ PQ值最大时，点E 为线段AB 上一点，在线段BC 上有两动点M ，N （M在N 上方），且MN=1，求PM+MN+NE-53BE 的最小值； （2）如图2，连接AC ，将△AOC 沿射线CB 方向平移，点A ，C ，O 平移后的对应点分别记作A 1，C 1，O 1，当C 1B=O 1B 时，连接A 1B ，O 1B ，将△A 1O 1B 绕点O 1沿顺时针方向旋转90°后得△A 2O 1B 1，在直线x=21上是否存在点K ，使得△A 2B 1K 为等腰三角形？若存在，直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由.思路：（1）OQ PQ值最大→P 点坐标→PM+MN+NE-53BE 的最小值.（2）由条件表达出A 2，B 1，K 的坐标→求出A 2B 1，B 1K ，A 2K →建立方程求出K 的坐标. 提示：（1）易得A(-1,0)，B(4,0)，C(0,3).直线BC 的解析式为y=3x 43+-. 过点P 作PH ∥y 轴交BC 于H.令P(a,3a 49a 432++-)，则H(a, 3a 43+-)，∴PH=a 3a 432+-.易得△PQH ∽△OQC ，∴OQ PQ =O CPH=3a3a 432+-=a a 412+-∴当a=2时，OQPQ最大，此时P(2,29)将P 沿MN 方向平移1个单位（即向右平移54，向下平移53）得P /(514,1093).过点A 作AJ ∥CB.过点E 作EK ⊥AJ 于K ，过点P /作P /K /⊥AJ 于K /.则 PM+MN+NE-53BE= PM+MN+NE-53(AB-AE)= PM+MN+NE+53AE-53AB =P /N+NE+EK-2≥P /K /-2=2527-=517. 注：MN=1，EK=53AE ，53AB=3，易得直线AJ 的解析式为y=43x 43--，直线P /K /的解析式为y=61x 34+，∴K /(2511-,5021-），P /K /=527. 答案最小值为517. （2）易得直线AA 1的解析式为y=43x 43--，直线OO 1的解析式为y=x 43-，又直线BC 的解析式为y=3x 43+-.设A 1(t-1,t 43-)，则C 1(t,3t 43+-)，O 1(t, t 43-).又B(4,0)， ∴当C 1B=O 1B 时，22)3t 43()4t (+-+-=22)t 43()4t (-+-，解得：t=2. ∴A 1(1,23-)，O 1(2, 23-)，∴A 2(2,21-)，B 1(27,27-) 设K(21,y)，则A 2K 2=22)y 21()212(--+-=25y y 2++，A 2B 12=45， B 1K 2=22)y 27()2127(--+-=485y 7y 2++. 若A 2K= A 2B 1，25y y 2++=445，解得y=25或y=27-. 若A 2B 1=B 1K ，445=485y 7y 2++，解得y=-2或y=-5. 若A 2K= B 1K ，25y y 2++=485y 7y 2++，解得y=825- 答案K 1(21,25)(此时K 1、A 2、B 1在一直线上，舍去)， K 2(21,27-)，K 3(21,-2)，K 4(21,-5)，K 5(21,825-). 反思：重庆中考二次函数的综合题，一般设计两个问：第（1）问，通常是线段（均可转化为线段）取最值时，求几条线段和差的最值. 第（2）问，通常是在图形变换下，出现特殊情况时，直接写出坐标.看视较难，其实还是有一定的解题思路:（1）把动点产生的最值问题，转化为动线段的最值，确定其动点取最值时的坐标，再把几条线段和差转化为几何图形的有关最值，或把几条线段和差转化为代数问题求最值.（2）在经历图形变换后，需要求出相关线段的长度，利用方程思想求出其中未知数的值，写出坐标.车到山前必有路，船到桥头自然直，山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村.只要不断向前做，定会发现新思路.。