人教版初中数学二次函数难题汇编及答案
一、选择题
1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 1
2
>
；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）
A ．1个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】 由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，
当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确， 当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0， 由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，
则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确，
∵12b a -
>-，a ＞0，得1
22b a >>，故③正确， 故选C ． 【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b
+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2
22ax bx +，
且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②⑤
D ．②③⑤
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】
解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-
2b
a
=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）
：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）
⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2
11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a
a a
-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．
考点：二次函数图像与系数的关系.
3．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．
【详解】
解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，
a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，
x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；
若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则
4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 【分析】
根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答． 【详解】
①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，
∴ab ＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上， ∴c ＞0，
∴abc ＜0，故①正确； ②∵﹣
＝1，
∴b ＝﹣2a ，
∴2a +b ＝0，故②正确．
③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ）， 而x ＝0时，y ＝c ＞0， ∴x ＝2时，y ＝c ＞0， ∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．
5．如图，抛物线2
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y x =
-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）
