第二章 线性方程组 2.4节 非齐次线性方程组解的结构

x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3

践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。

其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。

由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。

1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2； 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。

xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.

r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1