解析几何方法技巧—设而不求

解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。

一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。

“设而不求”，简化运算
作者：朱建平
来源：《新高考·数学基础》2018年第07期
“设而不求”是指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法.它的实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
解析几何问题中“设而不求”的解题策略的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法等等.
1.利用中点坐标公式设而不求
点评利用“设而不求”，不仅可以简化计算，而且使解法灵活生动.其核心思想就是整体思想，所得结果恰好满足题意.
2.利用代点相减法设而不求
点评此题利用“点差法”和中点公式求出直线的斜率公式，解题过程思路清晰，运算简洁明快，是解析几何常用方法.
3.利用韦达定理设而不求
分析此题解法多样，处理角度也很多，通过适当转化后可以利用根与系数的关系，“设而不求，整体思想”去解决.
点评此类问题主要是通过直线与圆联立方程组，通过韦达定理利用“设而不求”思想整体代人，逐步转化为关于参数的方程或不等式问题，避免了繁琐的求解運算，也降低了出错率，是解析几何运算中最有代表性的运算方法之一.
“设而不求”是用代数方法解决问题的一个好手段.所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值.它给解这一类题提供了较好的切人点和较少的运算量，此类方法是以“设”为基础，而“不求”是关键、是技巧，从而得到需要的结论，
采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果，。

“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2， 同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。

若思维得法，解题就会一气呵成。

“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。

“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。

解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。

分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。

解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。

分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。

圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF1+S△OPN S △OF 2N 为定值.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y1,Q x2,y2代入圆锥曲线方程作差,得到关于y1-y2x1-x2,x1+x2,y1+y2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A2,3；②该曲线的渐近线与圆x2-8x+y2+4=0相切；③点P在该双曲线上,F1、F2为该双曲线的焦点,当点P的纵坐标为32时,恰好PF1⊥PF2.(1)求双曲线E的标准方程；(2)过定点Q1,1能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1、Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点？若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22-x2=1的焦点重合，过点P4,0且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点.4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1经过点2,-3，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线C的方程.(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，是否存在x轴上的定点M m,0，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P到定直线x=4的距离，是它与定点F1,0的距离的两倍.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F点作两条互相垂直的直线l1，l2(直线l1不与x轴垂直).其中，直线l1交曲线C于A，B两点，直线l2交曲线C于E，N两点，直线l2与直线x=m m>2交于点M，若直线MB，MF，MA的斜率k MB，k MF，k MA构成等差数列，求m的值.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l:x=12，点M到l的距离为d，若点M满足|MF|=2d，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点F(2,0)且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设A(-1,0)，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为F1，F2，F1F2=2，面积为487的正方形ABCD的顶点都在M1上.(1)求M1的方程；(2)已知P为椭圆M2:x22a2+y22b2=1上一点，过点P作M1的两条切线l1和l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF2的周长为8.(1)若△ABF2的面积为1227，求直线AB的方程；(2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.10(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.11(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长是4,且过点B0,1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l：y=k x+2交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.14(2022届广东省佛山市高三上学期期末)已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x,且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证：直线AD过定点.15(2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A,虚轴长为2,两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点,已知AP⊥AQ,设点A到动直线l的距离为d,求d的最大值.16(2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测)如图,已知椭圆C1:x24+y23=1,椭圆C2:y29+x24=1,A-2,0、B2,0.P为椭圆C2上动点且在第一象限,直线PA、PB分别交椭圆C1于E、F两点,连接EF交x轴于Q点.过B点作BH交椭圆C1于G,且BH⎳PA.(1)证明：k BF⋅k BG为定值；(2)证明直线GF过定点,并求出该定点；(3)若记P、Q两点的横坐标分别为x P、x Q,证明：x P x Q为定值.17(2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考)已知圆O ：x 2+y 2=2,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >2 的离心率为22,P 是C 上的一点,A 是圆O 上的一点,PA 的最大值为6+2.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点,PM 与圆O 相切于点N ,证明：PO 2=PM ⋅PN .18已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为8,离心率e =54.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为A 8,3 ,求直线l 的方程.圆锥曲线中的“设而不求”考情分析研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.、解题秘籍(一)“设而不求”的实质及注意事项1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.1(2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，F 1，F 2为C 的左、右焦点，点P x 0,y 0 y 0≠0 在C 上运动，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12.连接PF 1，PF 2并延长分别交椭圆C 于M ，N 两点.(1)求C 的方程；(2)证明：S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N为定值.【解析】(1)由题意得a =2，设PF 1 ，PF 2 的长分别为m ，n ，m +n =2a =4则cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2-4c 22mn =m +n 2-4c 2-2mn 2mn =2b 2mn-1≥2b 2m +n 22-1=2b 2a2-1，当且仅当m=n 时取等号，从而2b 2a 2-1=12，得b 2a 2=34，∴b 2=3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由(1)得F 1-1,0 ，F 21,0 ，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线PM 的方程为x =x 0+1y 0y -1，直线PN 的方程为x =x 0-1y 0y +1，由x =x 0+1y 0y -1x 24+y 23=1，得3x 0+1 2y 02+4 y 2-6x 0+1 y 0y -9=0，则y 0y 1=-93x 0+1 2y 02+4=-9y 023x 0+1 2+4y 02=-9y 023x 02+4y 02+6x 0+3=-3y 022x 0+5，∴y 1=-3y 02x 0+5，同理可得y 2=-3y 05-2x 0，所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N =12OF 1 y 0 12OF 1 y 1 +12OF 2y 0 +y 2 12OF 2 y 2 =-y 0y 1+y 0y 2+1=-y 0-3y 02x 0+5+y 0-3y 05-2x 0+1=133.所以S △OPF 1S △OMF 1+S △OPN S △OF 2N 为定值133.2(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ，D 两点，当CD =322时，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AD 与直线BC 交于点Q ，当点P 异A ，B 两点时，试问OP ⋅OQ是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，由已知得b =1，c =1，所以a =2，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1⋅x 2=-1k 2+2，∴CD =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+22+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时，AC ⎳BD ，不符合题意，当l 与x 轴不垂直时，设l ：y =kx +t ，则P -tk ,0 ，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1 得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0，∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2，x 1x 2=t 2-22+k 2，又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1)，直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1)，由y =y2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1) 可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1)，即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1)，kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1)，kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ，k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ，k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2，4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k 2-k x 2-x 1 ，即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ，得x =-k t，∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ，∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1，所以OP ⋅OQ=1为定值.(二)设点的坐标在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.3(2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，过坐标原点O 的直线交椭圆E 于P ,A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，△PAC 的面积为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：∠APB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】(1)∵椭圆离心率e =c a =22，∴c 2=12a 2，则b 2=a 2-c 2=12a 2，当C 为椭圆右焦点时，PC =b 2a =12a ；∵S △PAC =2S △POC =2×12c ⋅12a =12ac =24a 2=2，解得：a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 22=1.(2)由题意可设直线AP :y =kx k >0 ，P x 0,kx 0 ，B x 1,y 1 ，则A -x 0,-kx 0 ，C x 0,0 ，∴k AC =kx 0x 0+x0=k2，∴直线AC :y =k2x -x 0 ；由y =k 2x -x 0x24+y22=1得：k 2+2 x 2-2k 2x 0x +k 2x 20-8=0，∴-x 0+x 1=2k 2x 0k 2+2，则x 1=2k 2x 0k 2+2+x 0，∴y 1=k 2x 1-x 0 =k 22k 2x 0k 2+2+x 0-x 0=k 3x 0k 2+2，∴B 2k 2x 0k 2+2+x 0,k 3x 0k 2+2；∴PB =2k 2x 0k 2+2,-2kx 0k 2+2，又PA =-2x 0,-2kx 0 ，∴PA ⋅PB =-2x 0⋅2k 2x 0k 2+2+-2kx 0 ⋅-2kx 0k 2+2=0，则PA ⊥PB ，∴∠APB 为定值90°.4(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中)作斜率为32的直线l 与椭圆C :x 24+y 29=1交于A ,B 两点，且P 2,322在直线l 的左上方.(1)当直线l 与椭圆C 有两个公共点时，证明直线l 与椭圆C 截得的线段AB 的中点在一条直线上；(2)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点坐标为x 0,y 0 ，AB :y =32x +m 所以有x 0=x 1+x 22y 0=y 1+y 22，联立x 24+y 29=1y =32x +m，得9x 2+6mx +2m 2-18=0，得Δ=6m 2-4×92m 2-18 >0，得m 2<18，由韦达定理可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以y 1+y 2=32x 1+m +32x 2+m =32x 1+x 2 +2m =m ，所以x 0=-m 3y 0=m 2，化简得：y 0=-32x 0，所以线段AB 的中点在直线y =-32x 上.(2)由题可知PA ，PB 的斜率分别为k PA =y 1-322x 1-2，k PB =y 2-322x 2-2，所以k PA +k PB =y 1-322x 1-2+y 2-322x 2-2=y 1-322 x 2-2 +y 2-322 x 1-2x 1x 2-2x 1+x 1 +2，因为y 1=32x 1+m ,y 2=32x 2+m 得k PA +k PB =3x 1x 2+m -32 x 1+x 1 -22m +6x 1x 2-2x 1+x 1 +2由(1)可知x 1+x 2=-2m 3，x 1x 2=2m 2-189，所以k PA +k PB =32m 2-189 +m -32 -23m -22m +62m 2-189-2-23m+2=0，又因为P 2,322在直线l 的左上方，所以∠APB 的角平分线与y 轴平行，所以△PAB 的内切圆的圆心在x =2这条直线上.(三)设参数在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.5(2022届湖南省益阳市高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1,F 2,其离心率为32,P 为椭圆C 上一动点,△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q ,使得QA ⋅QB为定值？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因离心率为32,则c a =32,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线F 1F 2的距离最大,则有S △F 1PF 2max =12⋅2c ⋅b =bc ,于是得bc =3,又a 2=b 2+c 2,联立解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)由(1)知,点F 23,0 ,当直线斜率存在时,不妨设l :y =k (x -3),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y =k (x -3)x 2+4y 2=4消去y 并整理得,(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,x 1+x 2=83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k2,假定在x 轴上存在定点Q 满足条件,设点Q (t ,0),则QA ⋅QB=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+k 2(x 1-3)(x 2-3)=(1+k 2)x 1x 2-(3k 2+t )(x 1+x 2)+t 2+3k 2=(1+k 2)⋅12k 2-41+4k 2-(3k 2+t )⋅83k 21+4k 2+t 2+3k2=(4t 2-83t +11)k 2+t 2-41+4k 2,当t 2-4=4t 2-83t +114,即t =938时,QA ⋅QB =t 2-4=-1364,当直线l 斜率不存在时,直线l ：x =-3与椭圆C 交于点A ,B ,由对称性不妨令A 3,12 ,B 3,-12,当点Q 坐标为938,0时,QA =-38,12 ,QB =-38,-12 ,QA ⋅QB =-38,12⋅-38,-12 =-1364,所以存在定点Q 938,0,使得QA ⋅QB 为定值-1364.(四)中点弦问题中的设而不求与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 代入圆锥曲线方程作差,得到关于y 1-y 2x 1-x 2,x 1+x 2,y 1+y 2的关系式,再结合题中条件求解.6中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±bax ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得ba=3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 23,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1 ,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.三、跟踪检测1(2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，离心率为12，上顶点为0,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，若MP =λPF ，MQ =μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．【解析】(1)由题意可得b =3e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得a =2b =3c =1，故椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)λ+μ为定值-83，理由如下：由(1)可得F 1,0 ，由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y =k x -1 ,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则M 0,-k ，联立方程y =k x -1x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，则Δ=-8k 2 2-44k 2+3 4k 2-12 =144k 2+1 >0,x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3，MP =x 1,y 1+k ,PF =1-x 1,-y 1 ,MQ =x 2,y 2+k ,QF=1-x 2,-y 2 ，∵MP =λPF ，MQ =μQF ，则x 1=λ1-x 1 x 2=μ1-x 2 ，可得λ=x11-x 1μ=x 21-x2，λ+μ=x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2 -2x 1x 21-x 1+x 2 +x 1x 2=8k 24k 2+3-24k 2-12 4k 2+31-8k 24k 2+3+4k 2-124k 2+3=-83(定值).2(2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考)如图，长轴长为4的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 与y 轴分别交于M ，N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23.(1)求椭圆C 的方程.(2)试问是否存在定点T ，使得∠MTN =90°恒成立？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可知2a =4,a =2，则椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 即x 24+y 2b 2=1，当直线PQ 的斜率为22时，PQ =23，故设P x 0,22x 0 ，∴x 20+22x 0 2=3，解得x 20=2，将P x 0,22x 0 代入x 24+y 2b 2=1得x 024+x 022b 2=1，即24+22b2=1，故b 2=2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P (x 0,y 0),x 0∈[-2,2]，则Q (-x 0,-y 0)，则x 204+y 202=1,∴x 20+2y 20=4，由椭圆方程x 24+y 22=1可得A (-2，0)，∴直线PA 方程为︰y =y 0x 0+2(x +2)，令x =0可得M 0,2y 0x 0+2，直线QA 方程为：y =y 0x 0-2(x +2)，令x =0得N 0,2y 0x 0-2，假设存在定点T ，使得∠MTN =90°，则定点T 必在以MN 为直径的圆上，以MN 为直径的圆为x 2+y -2x 0y 0x 02-42=16y 02x 20-42,即x 2+y 2-4x 0y 0x 20-4y +4y 20x 20-4=0，∵x 20+2y 20=4，即x 20-4=-2y 20,∴x 2+y 2+2x 0y 0y -2=0，令y =0，则x 2-2=0，解得x =±2，∴以MN 为直径的圆过定点(±2,0)，即存在定点T (±2,0)，使得∠MTN =90°．3(2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22-x 2=1的焦点重合，过点P 4,0 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点.【解析】(1)由双曲线y 22-x 2=1得焦点0,±3 ，得b =3，由题意可得b =3a 2=b 2+c 2e =c a =12 ，解得a =2，c =1，故椭圆C 的方程为；x 24+y 23=1.(2)设直线l :y =k x -4 ，点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则点E x 2,-y 2 .由y =k x -4x 24+y 23=1，得4k 2+3 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，Δ=32k 2 2-44k 2+3 64k 2-12 >0，解得-12<k <12，从而x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2-124k 2+3，直线AE 的方程为y -y 1=y 1+y 2x 1-x 2x -x 1 ，令y =0得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2，又∵y 1=k x 1-4 ，y 2=k x 2-4 ，则x =kx 1x 2-4 +kx 2x 1-4 k x 1-4 +k x 2-4 =2x 1x 2-4x 1+x 2x 1+x 2-8，即x =2⋅64k 2-124k 2+3-4⋅32k 24k 2+332k 24k 2+3-8=1，故直线AE 与x 轴交于定点1,0 .4(2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1经过点2,-3 ，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A ,B 两点.(1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点F 2，是否存在x 轴上的定点M m ,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率±b a =±3或±33，即b =3a 或b =33a ；当b =3a 时，由4a 2-9b 2=1得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1；当b =33a 时，方程4a 2-9b2=1无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：x 2-y 23=1.(2)由题意得：F 22,0 ，假设存在定点M m ,0 满足题意，则MA ⋅MB =0恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l :y =k x -2 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =k x -2x 2-y 23=1得：3-k 2x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，∴3-k 2≠0Δ=361+k 2 >0 ，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+k 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4 =1+k 2 x 1x 2-2k 2+m x 1+x 2 +4k 2=4k 2+3 1+k 2k 2-3-4k 22k 2+mk 2-3+m 2+4k 2=0，∴4k 2+3 1+k 2 -4k 22k 2+m +m 2+4k 2 k 2-3 =0，整理可得：k 2m 2-4m -5 +3-3m 2 =0，由m 2-4m -5=03-3m 2=0得：m =-1；∴当m =-1时，MA ⋅MB=0恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l :x =2，则A 2,3 ，B 2,-3 ，当M -1,0 时，MA =3,3 ，MB =3,-3 ，∴MA ⋅MB=0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，l :y =0，则A -1,0 ，B 1,0 ，∵M m ,0 ，∴MA =-1-m ,0 ，MB=1-m ,0 ，∴MA ⋅MB=m 2-1=0，解得：m =±1；②当直线l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由x =ty +2x 2-y 23=1得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，∴3t 2-1≠0Δ=123t 2+3 >0 ，∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1，∴MA ⋅MB=x 1-m x 2-m +y 1y 2=x 1x 2-m x 1+x 2 +m 2+y 1y 2=ty 1+2 ty 2+2 -m ty 1+2+ty 2+2+m 2+y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+2t -mt y 1+y 2 +4-4m +m 2=9t 2+1 3t 2-1-12t 2t -mt 3t 2-1+4-4m +m 2=12m -15 t2+93t 2-1+2-m 2=0；当12m -153=9-1，即m =-1时，MA ⋅MB =0成立；综上所述：存在M -1,0 ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.5(2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考)平面内一动点P 到定直线x =4的距离，是它与定点F 1,0 的距离的两倍.(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)过F 点作两条互相垂直的直线l 1，l 2(直线l 1不与x 轴垂直).其中，直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，直线l 2交曲线C 于E ，N 两点，直线l 2与直线x =m m >2 交于点M ，若直线MB ，MF ，MA 的斜率k MB ，k MF ，k MA 构成等差数列，求m 的值.【解析】(1)设点P x ,y ，由题，有PFx -4 =12，即x -1 2+y 2x -4=12，解得3x 2+4y 2=12，所以所求P 点轨迹方程为x 24+y 23=1(2)由题，直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为y =k x -1 ，与曲线C 联立方程组得y =k x -1x 24+y 23=1，解得4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则有x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2-124k 2+3依题意有直线l 2的斜率为-1k ，则直线l 2的方程为y =-1k x -1 ，令x =m ，则有M 点的坐标为m ,-m -1k，由题，k MF =m -1k 1-m =-1k ，k MA +k MB =y 1+m -1kx 1-m+y 2+m -1kx 2-m=y 1x 1-m +y 2x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k x 1-1 x 1-m +k x 2-1 x 2-m +1k m -1x 1-m+m -1x 2-m=k ×2x 1x 2-1+m x 1+x 2 +2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2+1k ×m -1 x 1+x 2-2m x 1x 2-x 1+x 2 m +m 2=k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2，因为2k MF =k MA +k MB ，所以k ×6m -244k 2+34k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2+1k×m -18k 24k 2+3-2m4k 2-124k 2+3-m ×8k 24k 2+3+m 2=-2k解得m -4 k 2+1 =0，则必有m -4=0，所以m =4.6(2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l :x =12，点M 到l 的距离为d ，若点M 满足|MF |=2d ，记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)过点F (2,0)且斜率不为0的直线与C 交于P ，Q 两点，设A (-1,0)，证明：以P ，Q 为直径的圆经过点A ．【解析】(1)设点M x ,y ，则d =x -12,MF =(x -2)2+y 2，由MF =2d ，得(x -2)2+y 2=2x -12，两边平方整理得3x 2-y 2=3，则所求曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)设直线m 的方程为x =ty +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程x =ty +2,3x 2-y 2=3，消去x 并整理得3t 2-1 y 2+12ty +9=0,，因为直线m 与C 交于两点，故t ≠±33，此时Δ=(12t )2-43t 2-1 ⋅9=36t 2+1 >0，所以y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，而x 1+x 2=t y 1+y 2 +4,x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4.又AP =x 1+1,y 1 ,AQ=x 2+1,y 2 ，所以AP ⋅AQ=x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=y 1y 2+x 1+x 2+x 1x 2+1=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+93t 2-1-36t 23t 2-1+9=9-3t 2+1 3t 2-1+9=0.所以AP ⊥AQ ，即以P ，Q 为直径的圆经过点A .7(2023届河南省安阳市高三上学期10月月考)已知椭圆M 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2 =2，面积为487的正方形ABCD 的顶点都在M 1上.(1)求M 1的方程；(2)已知P 为椭圆M 2:x 22a 2+y 22b 2=1上一点，过点P 作M 1的两条切线l 1和l 2，若l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值.【解析】(1)根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为A x ,x ，由x 2a 2+x 2b 2=1，得x 2=a 2b 2a 2+b 2，所以2a 2b 2a 2+b 2×2a 2b 2a 2+b2=487，整理得12a 2+b 2 =7a 2b 2.①又a 2-b 2=F 1F 222=1，②由①②解得a 2=4，b 2=3，故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)由已知及(1)可得M 2:x 28+y 26=1，设点P x 0,y 0 ，则y 20=61-x 208.设过点P 与M 1相切的直线l 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，与x 24+y 23=1联立消去y 整理可得4k 2+3 x 2+8k y 0-kx 0 x +4y 0-kx 0 2-3 =0，令Δ=8k y 0-kx 0 2-4×4k 2+3 ×4y 0-kx 0 2-3 =0，整理可得x 20-4 k 2-2kx 0y 0+y 20-3=0，③根据题意k 1和k 2为方程③的两个不等实根，所以k 1k 2=y 20-3x 20-4=61-x 28 -3x 20-4=-34x 20-4 x 20-4=-34，即k 1k 2为定值-34.8(2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试)已知F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(-1,0)且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，△ABF 2的周长为8.(1)若△ABF 2的面积为1227，求直线AB 的方程；(2)过A ,B 两点分别作直线x =-4的垂线，垂足分别是E ,F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.【解析】(1)因△ABF 2的周长为8，由椭圆定义得4a =8，即a =2，而半焦距c =1，又a 2=b 2+c 2，则b 2=3，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，依题意，设直线AB 的方程为x =my -1，由x =my -13x 2+4y 2=12消去x 并整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 3m 2+42+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，因此S △F 2AB =12F 1F 2 ⋅y 1-y 2 =12×2×12m 2+13m 2+4=1227，解得m =±1，所以直线AB 的方程为x -y +1=0或x +y +1=0.(2)由(1)知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则E -4,y 1 ，F -4,y 2 ，设直线EB 与AF 交点为M (x ,y )，则FA =(x 1+4,y 1-y 2),FM =(x +4,y -y 2)，EB =(x 2+4,y 2-y 1),EM =(x +4,y -y 1)，而FA ⎳FM ，EB ⎳EM ，则(x +4)(y 1-y 2)=(y -y 2)(x 1+4)，(x +4)(y 2-y 1)=(y -y 1)(x 2+4)，两式相加得：y (x 1+x 2+8)-y 2(my 1+3)-y 1(my 2+3)=0，而x 1+x 2+8>0，则y (x 1+x 2+8)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ⋅-93m 2+4+3⋅6m3m 2+4=0，因此y =0，两式相减得：2(x +4)(y 1-y 2)=-y 2(x 1+4)+y 1(x 2+4)=-y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)=3(y 1-y 2)，而y 1-y 2≠0，则x =-52，即M -52,0 ，所以直线EB 与AF 交于定点M -52,0 .9(2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考)已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点P 2,33(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为k 1,k 2的两直线l 1与l 2，直线l 1交双曲线Γ于A ,B 两点，直线l 2交双曲线Γ于C ,D 两点，设M ,N 分别为AB 与CD 的中点，若k 1⋅k 2=-1，试求△OMN 与△FMN 的面积之比.【解析】(1)由题意得2c =4，得c =2，所以a 2+b 2=4，因为点P 2,33在双曲线上，所以4a 2-13b 2=1，解得a 2=3,b 2=1，所以双曲线方程为x 23-y 2=1，(2)F (-2,0)，设直线l 1方程为y =k 1(x +2)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由y =k 1(x +2)x 23-y 2=1，得(1-3k 12)x 2-12k 12x -12k 12-3=0则x 1+x 2=12k 121-3k 12,x 1x 2=-12k 12-31-3k 12，所以x 1+x 22=6k 121-3k 12，所以AB 的中点M 6k 121-3k 12,2k 11-3k 12，因为k 1⋅k 2=-1，所以用-1k 1代换k 1，得N 6k 12-3,-2k 1k 12-3，当6k 121-3k 12=61-3k 12，即k 1=±1时，直线MN 的方程为x =-3，过点E (-3,0)，当k 1≠±1时，k MN =2k 11-3k 12--2k 1k 12-36k121-3k 12-6k 12-3=-2k 13(k 12-1)，直线MN 的方程为y -2k 11-3k 12=-2k 13(k 12-1)x -6k 121-3k 12，令y =0，得x =3(k 12-1)1-3k 12+6k 121-3k 12=-3，所以直线MN 也过定点E (-3,0)，所以S △OMN S △FMN =12y N-y M OE 12y M-y N FE =OE FE =310(2022届北京市海淀区高三上学期期末)已知点A 0,-1 在椭圆C ：x 23+y 2b 2=1上.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l ：y =k x -1 (其中k ≠1)与椭圆C 交于不同两点E ,F ,直线AE ,AF 分别交直线x =3于点M ,N .当△AMN 的面积为33时,求k 的值.【解析】(1)将点A 0,-1 代入x 23+y 2b 2=1,解得b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1又c 2=a 2-b 2=3-1=2,离心率e =c 2a 2=23=63(2)联立y =k x -1x 23+y 2=1,整理得(1+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-3=0设点E ,F 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)由韦达定理得：x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2-31+3k 2直线AE 的方程为y +1=y 1+1x 1x ,令x =3,得y =3y 1+3x 1-1,即M 3,3y 1+3x 1-1直线AF 的方程为y +1=y 2+1x 2x ,令x =3,得y =3y 2+3x 2-1,即N 3,3y 2+3x 2-1MN =3y 2+3x 2-1-3y 1+3x 1-1=3×x 1y 2-x 2y 1+x 1-x 2x 1x 2 =3×k -1 x 1-x2x 1x 2=3×k -1x 1+x 22-4x 1x 2x 1x 22=3×k -1 ×232k 2+1k 2-1 =23×2k 2+1k +1 所以△AMN 的面积S =12×MN ×3=32×MN =33×2k 2+1k +1 =33即2k 2+1k +1 =1⇒2k 2+1=k +1 ,解得k =0或k =2所以k 的值为0或211(2022届天津市第二中学高三上学期12月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的长轴长是4,且过点B 0,1 .(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l ：y =k x +2 交椭圆于P ,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意,得2a =4,b =1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =k (x +2)x 24+y 2=1,得x 2+4k 2(x +2)2-4=0,即(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-4=0,则x 1+x 2=-16k 21+4k 2,因为直线y =k x +2 恒过椭圆的左顶点(-2,0),所以x 1=-2,y 1=0,则x 2=-16k 21+4k 2+2=2-8k 21+4k 2,y 2=k (x 2+2)=4k1+4k 2,因为点B 始终在以PQ 为直径的圆内,所以π2<∠PBQ ≤π,即BP ·BQ <0,又BP =-2,-1 ,BQ=(x 2,y 2-1),则BP ·BQ=-2x 2-y 2+1<0,即4-16k 21+4k 2+4k 1+4k 2-1>0,即20k 2-4k -3<0,解得-310<k<12,所以实数k的取值范围为-310<k<12.12(2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为12,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为42.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程.(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=p2,则C2:y2=4ax,代入x=c,得y2=4ac,即y=±2ac,所以4ac=42,则有ac=2ca=12a2=b2+c2,所以a=2,b=3,所以椭圆C1的方程为x24+y23=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,由x=ty-43x2+4y2=12,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t<-2或t>2,且y1+y2=24t3t2+4,y1y2=363t2+4.根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).因为k NQ=k EQ,所以y2x2-m=-y1x1-m,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,即2t·363t2+4-(m+4)·24t3t2+4=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).13(2022届河北省高三上学期省级联测)已知椭圆P焦点分别是F1(0,-3)和F2(0,3),直线y= 3与椭圆P相交所得的弦长为1.(1)求椭圆P的标准方程；(2)将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为△ABC的重心,求△ABC的面积.。

设而不求“点差法”在解析几何中的应用作者：李义军来源：《中国科技博览》2019年第06期中图分类号：TP3-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0001-04直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重点内容，也是高考重点考查的内容之一，该类题型难度较大，相对具有一定的综合性，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变等特点。

直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，其运算过程复杂，解题效率低。

而解圆锥曲线的中点弦问题的巧妙方法是用“点差法”来进行求解，利用该方法可以达到“设而不求”的目的，使解题过程化繁为简，出奇制胜的效果，优化解题过程。

在直线和圆锥曲线的题目中，涉及弦的中点有关的问题时，常用“点差法”来处理，即设直线与圆锥曲线的交点（弦的两个端点）坐标为，，弦AB中点为，将这两点坐标代人圆锥曲线的方程，两式相减后分解因式，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称这种代点作差的方法为“点差法”，具体地：⑴与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，有，，又两点在椭圆上，则，，两式相减得，于是，所以，即；⑵与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，则有，即；⑶与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，则有，即。

下面主要从4个方面举例说明“点差法”的应用。

1. 求曲线方程例1.（2013课标Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点。

若AB的中点坐标为，求椭圆E的方程。

解：与直线l相交于，两点，则有，，①②①-②得，∴ = = = ，又 = = ，∴ = ，又9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为。

点评：本题利用“点差法”，建立直线AB的斜率与弦AB的中点坐标之间的关系，得出a、b的一个关系，再根据椭圆方程中的关系得出方程组从而求出a、b。