勾股定理及逆定理
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勾股定理
【知识点梳理】
1、勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即: 222c b a =+。
2、勾股数
满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数。 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10; (4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 【考点解析】
考点一:勾股定理的直接应用
例1.一个直角三角形,有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是( ) A 、第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10
例2.如图,由Rt △ABC 的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm , 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm
例3. 放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家, 若小红和小颖行走的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖20分钟到家, 小红和小颖家的直线距离为( )。
A 、600米
B 、800米
C 、1000米
D 、不能确定
考点二:求第三条边的长
例1.若Rt ABC 中,90C ︒∠=且c=37,a=12,则b=( ) A 、50 B 、35 C 、34 D 、26
例2.若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =( )
A 、169
B 、119
C 、169或119
D 、13或25
考点三:与高、面积有关
例1.一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是( ) A .4 B .3
10 C.25 D .
5
12 例2.等腰三角形的底边为10cm ,周长为36cm ,则它的面积是2_____cm
【变式练习】
1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
2.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A 、a=1.5,b=2, c=3
B 、a=7,b=24,c=25
C 、a=6, b=8, c=10
D 、a=3,b=4,c=5
3.三角形的三边长为(a+b )2=c 2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形.
4.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm ,c=10cm ,则Rt △ABC 的面积是( )
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
5、直角三角形中,斜边长为5cm ,周长为12cm ,则它的面积为( )。 A .122
cm B .62
cm C .8 2
cm D .92
cm
6.等腰三角形底边上的高为6,周长为36,则三角形的面积为( ) A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
7.Rt △一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则Rt △的周长为( )
A 、121
B 、120
C 、90
D 、不能确定
8.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
勾股定理的逆定理
【知识点介绍】 1、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 2、如何判定一个三角形是直角三角形 (1)先确定最大边(如c )
(2)验证2c 与22b a +是否具有相等关系
(3)若2c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形; 若2c ≠22b a +, 则△ABC 不是直角三角形。
【例题精讲】
例1.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm ,宽为60cm ,对角线为100cm ,则这个桌面 。(填“合格”或“不合格” )
例2.试判断:三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角形?
【变式练习】
1.在△ABC 中,∠C=90°,AB=m+2,BC=m-2,AC=m ,求△ABC 三边的长。
2.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为362cm ,642cm ,则以斜边为边长的
正方形的面积为__________2
cm .
3. 在△ABC 中,∠C=90°,若AB =5,则2AB +2AC +2BC =__________.
4. 一个三角形的三边之比为3:4:5,这个三角形的形状是__________. 5.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。 6、直角三角形的三边长为连续偶数,则其这三个数分别为__________.
7. 一根旗杆在离地面9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有__________米.
8. 如果梯子的底端离建筑物9m ,那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是__________m.
勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有: (1)已知直角三角形的两边求第三边
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【例题精讲】
题型一:勾股定理的综合应用 例1、 如图1,︒=∠90ACB ,BC=8,
AB=10,CD 是斜边的高,求CD 的长? (面积法应用)