动点问题和折叠问题

２ 尽
于是
得
由余 弦定理可求得 ＡＣ＝ ５ ｚ
Ｃ
Ａ ＋ Ｄ ＝ Ｄ ， Ｂ Ｂ ２ Ａ
Ａ Ｂ上Ｂ Ｄ．
又平面 Ｅ Ｄ上平面 Ａ Ｄ， 面 Ｅ Ｄ ｎ平 面 Ａ Ｄ＝ Ｂ Ｂ 平 Ｂ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ，Ｂｃ平 面 Ａ Ｄ， Ａ Ｂ 得 Ｂ上平 面 Ｅ Ｄ 由 Ｄ Ｂ． Ｅｃ平
Ｂ＝ ０ ， ６ 。得
例 １ 一 张正 方形 的 纸 Ａ Ｃ Ｂ 是对 角线 ， Ｂ Ｄ， Ｄ 过 Ａ Ｃ 的中点 Ｅ， Ｂ，Ｄ Ｆ的线段交 Ｂ Ｄ于点 ０， Ｅ 以 Ｆ
・
３ ・ ０
中 学教 研 （ 学 ） 数
／ ＿Ａ１ ＝ １ ５。， Ｃ１ Ｃ ３
ＢＤ＝ 、Ａ ＋Ａ ／Ｂ Ｄ 一２ Ｂ ・ Ｄｃ ｓ＿Ｄ Ｂ ＝ Ａ Ａ ｏ／ Ａ
性 和交 汇性． 立体 几何 中 的轨迹 问题将立体几何 与 解析几何 有机地结合 起来 ， 解决 此类问题 的关 键是
把空 间问题转化 为平 面问题 ， 然后 再根据 曲线 的定
√ 芎 ／ 。 ２ ＋ ａ ． ｎ
又在 ＡＢ Ｄ中 ， Ｏ 由余 弦定 理可得
ｃ ｓ ＢＯＤ ＝ ｏ ２ ２ ２ ２ ６
问题 ， 常把几何体 的侧面 展开转化 为平面 图形 中 通 的两点距离 问题．
在 Ｒ △ ｔ 培Ｅ中 ， 由
解析 几何 与立体几何 的知识交 汇处设 计图形 ， 仅 不
能考查 立体几何点 、 、 线 面之 间的位置关系 ， 而且 能
△Ｃ Ｄ沿 Ｂ Ｂ Ｄ折起 到 △船 Ｄ
Ｃ
巧妙地考 查求轨迹 的基本 方 法． 由于知 识点 多 ， 数 学思想 和方法 考查 充分 ， 因此 笔 者预 计 ２ １ 高 ００年

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题（含答案）1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD 上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．第1题图3或11 32.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤43.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－224.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图5 11或5135.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC 于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．第5题图355 11或539 136.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．第6题图24 7或8 37.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．第7题图2或58.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．第8题图2或53或6559.如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE 与△BMF的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶810.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EP A′，若△EP A′与△ABC的另一个交点为F，当EF＝14AB时，则BP的长为________．第10题图2或2311.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________； ②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．第1题图1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°， ∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ， ∴AB ＝AC ； (2)解：①32； 如解图，连接BD ，第1题解图∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2， 在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2， ∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝32. ∵60°.如解图，连接OD 、OE ，∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°， ∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝12∵BOD ＝60°.12 .如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝5，延长AD 到点E ，连接EC ，过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形； ②当GFGD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．第2题图13. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC . ∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；(2)解：①1;∵四边形BCEF 是正方形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°， ∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3. ∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1. ∵45. ∵四边形BCEF 是菱形， ∵BF ＝BC ＝AD ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ， ∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.14.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .(1)求证：BC ∥OP ；(2)若半圆O 的半径等于2，填空：①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．第3题图解：(1)证明：连接OC ，AC ，如解图所示， ∵AB 是直径，AM ⊥AB ， ∴BC ⊥AC ，AP 是半⊙O 的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，∴BC∥OP；(2)① 2；② 2 3.∵若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，又∵∵OAP＝90°，OA＝2，∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，∵AP＝22222-OAOP＝2 3.=4-第3题解图15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EF A≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图(1)证明：如解图，第4题解图∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EF A和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.(2)解：① 30；②45.∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，∵AF∵AB，∵CE∵AB，∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．16.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，ADDE的值为________．第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝12AC.理由：连接OD，如解图，第5题解图∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；∵OA＝OB，∴EC＝EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝12AC.(2)①45；②3.∵要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∵ODE＝∵ABC＝90°,只需∵DOB ＝90°，∵∵A＝45°；∵过O作OH∵AD于H,∵∵A＝30°，OA＝OD,∵∵3＝∵A＝30°，∵OD，∵∵ODE＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵OD，∵ADDE＝3.17.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．第6题图(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图∵理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，∵AB＝1，∵AC＝2，∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，∵四边形ABC1D1是菱形；∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，第6题解图∵则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．。

技法点拨互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互互近期，我在中考复习的教学中遇到下面这道填空题，它是一道有关动点和折叠问题的多解题。

动点问题、折叠问题以及多解题本身就是学生的弱点，如果再加上图形较复杂，步骤较多，计算量过大时，很多学生将无所适从。

下面我借助该题的具体教学过程，给出一些解决此类题型的方法和建议。

如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =2，点D 是AC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，A ′D 与AB交于点F ，连接A ′B 。

若△A ′BF 为直角三角形，则BE 的长为。

第一步，首先要认真审题，确定这是一道动点加折叠的多解题。

第二步，确定分类对象。

若△A ′BF 为直角三角形，直角顶点的可能情况。

经过分析，△A ′BF 的直角顶点只可能为点F 或点A ′。

第三步，按讨论情况重新画图，而且尽可能地准确画图。

我认为这步非常重要，也是解决这类题型的有效步骤之一。

因为通过重新画图，学生可以熟悉题目中的条件；当学生把几种情况分类画出时，图形的直观明了也会启发他们的思维。

比如，第一种情况：当直角顶点在点F 时，即∠A ′FB =90°。

我让学生先思考如何才能准确画图，是否能按题目中的描述先画E 点呢？同学们经过试画，答案显然是否定的。

因为点E 是动点，无法确定它的位置，所以应当先作DF ⊥AB ，垂足为F ，延长DF 至点A ′，使得DA=DA ′，再作∠A ′DA 的平分线，交AB 于点E 。

这样学生既能够准确作图，也能再次熟悉题目条件（AE=A ′E 、∠A=∠A ′=30°等），进而可发现图中常用的解题模型。

图形折叠及动点问题的相关计算考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特殊位置的探究．1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为21221 或1．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，∴BM=B′M ，∴CM=BM ，∵BC=+1，∴CM +BM=BM +BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1，故答案为：+或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2.（2016年）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3.点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________223或553________.解：由翻折的性质可得：AB=AB’BE=B’E①当MB’=2，B’N=1时，设EN=x 得B’E=12+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3122+=x x解得2x =54BE=B’E=154+=553②当MB’=1，B’N=2时，设EN=x 得B’E=222+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3412+=x x解得2x =21BE=B’E=421+=223故答案为：223或5533.（2015年）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为16或45.4．（2014年）如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为53或52.5．（2013年）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为___32或3_______．对应练习1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 是射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AEF ，延长AF 交CD 的延长线于点G ，当BE=3EC 时，DG=25或8.如图①，当E 点在边BC 上时，BE=3EC ，BE=4.5，EC=1.5设AH=HE=x ，FH=4.5-x在Rt △AHF 中：222)5.4(3x x =-+解得：x=3.25FH=4.5-3.25=1.25∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG25.163=解得DG=2.5=25如图②，当E 点在BC 延长线上时，BE=3EC ，BC=6，EC=3设AH=HE=x ，FH=9-x在Rt △AHF 中：222)9(3x x =-+解得：x=5FH=9-5=4∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG463=解得DG=82．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB 。