【教学设计】勾股定理精品教案
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究
证
明
初
步
应
用
，
巩
固
新
知
四、
归
纳
总
结
，
课
堂
延
伸
布
置
作
业
，
巩
固
提
高
一、引入定理
一位牧民在草原上修了一个三角形的围栏，并分别在三边之外各开垦了一块正方形菜地如图.他要把较长边外的一块作为一份，另两块作为一份，分给两个儿子每人一份.他怎样修三角形的围栏才能使两个儿子分得的菜地大小相同？你根据小学就知道的什么知识得到此结论？
教学目标
1.知识与技能：理解勾股定理，能初步运用它解决有关直角三角形边长计算的一些简单问题；
2.过程与方法：引导学生经历“验证－证明”的数学学习过程，体会数形结合及从特殊到一般的数学思想，培养学生观察、比较、分析、推理的能力；
3.情感态度价值观：了解勾股定理的历史背景，感受数学文化，通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，培养民族自豪感，激发学习热情；在探索过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神；欣赏勾股定理，体会数学的美．
二、实践验证、探究证明
1.实践验证
利用网格图，分别以直角三角形的三条边为边向外画正方形并求出三个正方形的面积.
（1）顶点在格点上，直角边为1,3的直角三角形．
（2）顶点在格点上，直角边为2,3的直角三角形．
（3）顶点在格点上，直角边为3,4的直角三角形．
2.探究证明
字母表示数具有一般性，而且、也不一定是整数，怎么证明这个定理呢？
图二就是有名的赵爽弦图，它是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它体现了我国古人对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲，它也被选为20**年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
三、初步应用
1．求直角三角形中未知边的长度．
2．求直角三角形中未知边的长度．
如果a：ｂ＝3:4，求a、b的长．
3．已知下图各正方形内的数字表示其面积，求下列图中表示正方形边的长度的未知数x、y的值．
课题名称
勾股定理
教师姓名
单位
北京市第二十中学
学科
数学
任教年级
初二
教材
人教版义务教育教科书八年级下第十七章第一节
教学背景
(一)指导思想与理论依据
张奠宙先生在《数学学科德育》中提出数学德育的一个基点：热爱数学；三个维度：人文精神，科学素养，道德品质.
这就意味着数学教育不仅使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，还应使学生会用数学的思维方式进行思考，崇尚科学的理性精神，同时具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，体会数学美的美学意义.
教学重点和难点
教学重点：证明勾股定理
教学难点：用面积法证明勾股定理
教学资源、教学手段和主要教学方法
多媒体课件、网格图，直尺、四个全等直角三角形纸片
多媒体、教具辅助教学
采用以教师为主导、学生为主体的引导探索法.
教学设计思路
教学过程（设计）
教学环节
问题与情景
师生活动
设计意图
引
入
定
理
，
明
确
课
题
实
践
验
证
，
探
因此，本节课充分挖掘勾股定理的德育教育价值，让学生感受数学家的探索精神和对人类文明发展的贡献，培养民族自豪感，激发学习热情，进行爱科学教育，同时在学习过程中鼓励学生自主探索、合作交流，感受数学的美，切实落实情感领域的教学目标，在学科教学中渗透德育.
建构主义者认为，学生是知识建构的主体，教师的作用是促进学生知识建构．本节课通过设计现实情境和问题，创造建构性的教学环境，让学生经历定理证明的探索过程，教师通过点评协助学生自我建构，使学生对知识的建构趋于完善，达到较好的学习效果．
拼图二能否证明 吗？请同学口述．
3.回顾历史，欣赏文化
“我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，从古书记载的周公与商高的对话可以确定在公元前1100年左右的西周时期，由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此这个定理就称为勾股定理．大家所熟悉的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例．在西方，相传2500年前，古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家毕达哥拉斯发现了这个定理，所以叫做毕达哥拉斯定理.这样算来，中国比西方早了五百多年．
（二）对课标的理解与把握
《数学课程标准》指出，“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生学会知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯．”本节课从学生已有知识出发，创设情境，让学生经历“验证－证明－应用”的学习过程．在学习中，鼓励学生自主探索、合作交流，引导学生不断总结活动经验，从而对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．
教师引导学生探究证明思路：
（1），，的几何意义是什么？
（2）动手拼一拼：,,的几何意义是表示边长是,,的正方形的面积，那么能不能把,,（数）转化为正方形（形），然后利用图形的割补拼接来解决这个问题呢?
学生用准备好的4个全等的两直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼图．
拼图一能否证明 吗？请同学口述．
勾股定理是人类科学十大发现之一，它的探索过程蕴涵着丰富的数学思想和文化内涵；它是中国古代史上一个比较有代表意义的定理，是对学生进行爱国主义教育的良好素材.
（四）学生情况分析
在知识上，学生已经学习了三角形、全等三角形的知识，了解了直角三角形的一些性质；在学习“整式的乘除”时初步接触面积方法．在能力上，学生初步建立了几何思维，能进行推理论证．但分析问题解决问题的能力还比较薄弱，对面积法缺少系统的认识．
勾股树
四、归纳总结，课堂延伸
1.归纳总结
（1）勾股定理的形式和作用
通过拼图，利用面积法证明了直角三角形三边的等量关系即勾股定理，进一步完善了直角三角形的性质体系．
（2）数形结合、转化的数学思想及面积法的应用，从特殊到一般的认识方法.
（3）民族自豪感、理性精神、合作意识、探究精神．
2.课堂延伸
勾股定理的名字不止一个；
（三）教学内容分析
勾股定理是初等几何中的一个基本定理．它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足平方关系），堪称数形结合的典范．勾股定理完善了直角三角形的知识体系，是后续学习“解直角三角形”的基础．同时，勾股定理在生产、生活中也有很大的用途．
证
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一、引入定理
一位牧民在草原上修了一个三角形的围栏，并分别在三边之外各开垦了一块正方形菜地如图.他要把较长边外的一块作为一份，另两块作为一份，分给两个儿子每人一份.他怎样修三角形的围栏才能使两个儿子分得的菜地大小相同？你根据小学就知道的什么知识得到此结论？
教学目标
1.知识与技能：理解勾股定理，能初步运用它解决有关直角三角形边长计算的一些简单问题；
2.过程与方法：引导学生经历“验证－证明”的数学学习过程，体会数形结合及从特殊到一般的数学思想，培养学生观察、比较、分析、推理的能力；
3.情感态度价值观：了解勾股定理的历史背景，感受数学文化，通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，培养民族自豪感，激发学习热情；在探索过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神；欣赏勾股定理，体会数学的美．
二、实践验证、探究证明
1.实践验证
利用网格图，分别以直角三角形的三条边为边向外画正方形并求出三个正方形的面积.
（1）顶点在格点上，直角边为1,3的直角三角形．
（2）顶点在格点上，直角边为2,3的直角三角形．
（3）顶点在格点上，直角边为3,4的直角三角形．
2.探究证明
字母表示数具有一般性，而且、也不一定是整数，怎么证明这个定理呢？
图二就是有名的赵爽弦图，它是3世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它体现了我国古人对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲，它也被选为20**年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
三、初步应用
1．求直角三角形中未知边的长度．
2．求直角三角形中未知边的长度．
如果a：ｂ＝3:4，求a、b的长．
3．已知下图各正方形内的数字表示其面积，求下列图中表示正方形边的长度的未知数x、y的值．
课题名称
勾股定理
教师姓名
单位
北京市第二十中学
学科
数学
任教年级
初二
教材
人教版义务教育教科书八年级下第十七章第一节
教学背景
(一)指导思想与理论依据
张奠宙先生在《数学学科德育》中提出数学德育的一个基点：热爱数学；三个维度：人文精神，科学素养，道德品质.
这就意味着数学教育不仅使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，还应使学生会用数学的思维方式进行思考，崇尚科学的理性精神，同时具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，体会数学美的美学意义.
教学重点和难点
教学重点：证明勾股定理
教学难点：用面积法证明勾股定理
教学资源、教学手段和主要教学方法
多媒体课件、网格图，直尺、四个全等直角三角形纸片
多媒体、教具辅助教学
采用以教师为主导、学生为主体的引导探索法.
教学设计思路
教学过程（设计）
教学环节
问题与情景
师生活动
设计意图
引
入
定
理
，
明
确
课
题
实
践
验
证
，
探
因此，本节课充分挖掘勾股定理的德育教育价值，让学生感受数学家的探索精神和对人类文明发展的贡献，培养民族自豪感，激发学习热情，进行爱科学教育，同时在学习过程中鼓励学生自主探索、合作交流，感受数学的美，切实落实情感领域的教学目标，在学科教学中渗透德育.
建构主义者认为，学生是知识建构的主体，教师的作用是促进学生知识建构．本节课通过设计现实情境和问题，创造建构性的教学环境，让学生经历定理证明的探索过程，教师通过点评协助学生自我建构，使学生对知识的建构趋于完善，达到较好的学习效果．
拼图二能否证明 吗？请同学口述．
3.回顾历史，欣赏文化
“我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，从古书记载的周公与商高的对话可以确定在公元前1100年左右的西周时期，由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此这个定理就称为勾股定理．大家所熟悉的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例．在西方，相传2500年前，古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家毕达哥拉斯发现了这个定理，所以叫做毕达哥拉斯定理.这样算来，中国比西方早了五百多年．
（二）对课标的理解与把握
《数学课程标准》指出，“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生学会知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯．”本节课从学生已有知识出发，创设情境，让学生经历“验证－证明－应用”的学习过程．在学习中，鼓励学生自主探索、合作交流，引导学生不断总结活动经验，从而对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．
教师引导学生探究证明思路：
（1），，的几何意义是什么？
（2）动手拼一拼：,,的几何意义是表示边长是,,的正方形的面积，那么能不能把,,（数）转化为正方形（形），然后利用图形的割补拼接来解决这个问题呢?
学生用准备好的4个全等的两直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼图．
拼图一能否证明 吗？请同学口述．
勾股定理是人类科学十大发现之一，它的探索过程蕴涵着丰富的数学思想和文化内涵；它是中国古代史上一个比较有代表意义的定理，是对学生进行爱国主义教育的良好素材.
（四）学生情况分析
在知识上，学生已经学习了三角形、全等三角形的知识，了解了直角三角形的一些性质；在学习“整式的乘除”时初步接触面积方法．在能力上，学生初步建立了几何思维，能进行推理论证．但分析问题解决问题的能力还比较薄弱，对面积法缺少系统的认识．
勾股树
四、归纳总结，课堂延伸
1.归纳总结
（1）勾股定理的形式和作用
通过拼图，利用面积法证明了直角三角形三边的等量关系即勾股定理，进一步完善了直角三角形的性质体系．
（2）数形结合、转化的数学思想及面积法的应用，从特殊到一般的认识方法.
（3）民族自豪感、理性精神、合作意识、探究精神．
2.课堂延伸
勾股定理的名字不止一个；
（三）教学内容分析
勾股定理是初等几何中的一个基本定理．它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足平方关系），堪称数形结合的典范．勾股定理完善了直角三角形的知识体系，是后续学习“解直角三角形”的基础．同时，勾股定理在生产、生活中也有很大的用途．
