中央电大开放教育专科科必修课《微积分初步》期末综合练习一、填空题 1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x . 2．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--3．函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f4．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ． 答案：1=k5．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f6．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x 7．=∞→xx x 1sinlim ． 答案：1 8．若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 9．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 10．曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=11．已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=' )3(f '=27（)3ln 1+ 12．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- 13．若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x x x x f --+-=''e e 2)( ='')0(f 2-14．函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞15．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a16．若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f . 答案：x2 17．若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ．答案：x 2cos 218．若______________d os ⎰=x x c 答案：c x +sin 19．=⎰-2de x．答案：c x +-2e20．='⎰x x d )(sin．答案：c x +sin 21．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(．答案：c x F +-)32(2122．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ．答案：c x F +--)1(212 23．.______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x答案：32-24．=+⎰e12d )1ln(d d x x x . 答案：0 25．x x d e 02⎰∞-= ．答案：21 26．已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x1，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 . 答案：12+=x y27．由定积分的几何意义知，x x a ad 022⎰-= .答案：42a π28．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案：xy e =29．微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案：x c y 3e-=30．微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 ．答案：4 二、单项选择题1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B2．下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C3．函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D4．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C5．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D6．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B 7．函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 8．若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2答案：C9．设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B10．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-答案：D11．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos答案：C12．函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D13．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C14．下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ15．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2x D ．x -3答案：B16．下列等式成立的是（ ）．A ．)(d )(d x f x x f =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d dx f x x f x =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ 答案：C17．以下等式成立的是（ ）A ． )1d(d ln xx x = B ．)(cos d d sin x x x =C ．x xxd d = D ．3ln 3d d 3xxx =答案：D18．=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( 答案：A19．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ答案：A20．设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aax x f -d )(（ ）A ．0B ．⎰-d )(ax x f C ．⎰ax x f 0d )( D ．⎰0-d )(2ax x f答案：A21．下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ．⎰∞+-02d e x x答案：D22．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．22+=x y D ．12+=x y答案：A23．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2B ．xxy y y e 2=+'C ．yy x y e ='+'' D ．x y y x y xln e sin ='-''答案：D24．微分方程0='y 的通解为（ ）．A ．Cx y =B ．C x y += C ．C y =D ．0=y答案：C25．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y+=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 答案：B 三．计算题1．423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 2．329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x3．4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x4．计算极限xx x 11lim--→． 解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim0-=+--=→x x5．计算极限xx x 4sin 11lim--→解：x x x 4sin 11lim--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim)11(4sin lim00-=+--=+--=→→x x xx x x x x6．设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x7．设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s4-= 8．设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ 9．设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 10．设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x xy xy y d 22d --=11．设2e e cos y x yx=++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=12．x x d )12(10⎰-解：c x x x x x +-=--=-⎰⎰111010)12(221)1d(2)12(21d )12( 13．x x x d 1sin2⎰解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos 1d 1sin d 1sin214．x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰解：)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 022ln 0x x x x x ++=+⎰⎰=3152)64216(31)e 4(2ln 03=-=+x 15．x xxd ln 51e1⎰+ 解：27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 51121e1=-=+=++=+⎰⎰ee x x d x x x x16．x x x d e 10⎰解：1e e d e e d e 10111=-=-=⎰⎰xx x x x x x x17．⎰π20d sin x x x解：1sin d cos cos d sin 20202020==+-=ππππ⎰⎰xx x x x x x x18．求微分方程yx y +='e的通解解：将原方程分离变量x yx y d e ed = x y x y de d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e19．求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x 20．求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(ed 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰- 21．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y四、应用题（以几何应用为主）1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.2．用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3．。
