控制系统的信号流图和梅森公式
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是包含于,你理解的有点偏差,举个例子如果有三个互不接触的回路,取两个不接触的回路应有三项,取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样:
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数;n——是前向通道数;Ρκ——第k条前向通路的传递函数,由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道;△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和;L a L b
Li——所有单独回路的增益之和;
LjLk——所有互不接触的单独回路中,取其中两个不接触的回路增益乘积之和;LiLjLk——所有互不接触的单独回路中,取三个互不接触回路增益之和;
△κ——第k条前向通路特征式的余因子,即对于流图的特征式△,将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值,余下的即为△κ。
对于复杂的结构,理论上有很多项,但实际上△就取到前两三项。
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图,称为系统的信号流图,简称信号流图或流图。
例如,图6—29(a)所示的系统框图,可用图6-29(b)来表示,图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量,有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向,支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数.这样,根据图6—29(b),同样可写出系统各变量之间的关系,即图6—29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器:加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出:在信号流图中,节点“o”除代表变量外,它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用,如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统,它们两者之间可以相互转换,其规则是:(1) 在转换中,信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方,在信号流图中应画成一个“混合”节点,如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的,即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点"后是“和点”的地方,在信号流图中应在“分点”与“和点”之间,增加一条传输函数为1的支路,如图6—31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间,在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加,就会出现环路的接触,此时就必须增加),但有时则不需增加(若不增加,也不会出现环路的接触,此时即可以不增加。
见例6—17)。
(5) 在模拟图(或框图)中,若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时,在信号流图中,应在激励节点与此“和点"之间增加一条传输函数为1的支路(见例6—17).(6) 在模拟图(或框图)中,若响应节点上有反馈信号流出时,在信号流图中,可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加,见例6—17)。
、 梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式,称为梅森公式。
该公式如下:()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁,此处略去。
现从应用角度对此公式予以说明。
式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。
式中:i L 为第i 个环路的传输函数, i i L 为所有环路传输函数之和;n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积,n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和;r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积, ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和;k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积;k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。
求k ∆的公式仍然是式(6-35)。
例6-19 图6-34(a)所示系统。
求系统函数()()()s F s Y s H =。
解:1 求Δ(1) 求∑iiL:该图共有5个环路,其传输函数分别为2L 1=,8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=,()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组:()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路,故有 0LL L rrq,p,qp=∑;…。
故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P :该图共有3个前向通路,其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后,所剩子图如图6-34(b)所示。