2019届湖北省十堰市高三四月调研考试数学(理)试题(解析版)

2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i2．（5分）设集合A＝{x|0＜x2≤4}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}B．A∪B＝{x|x≥﹣2）C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜0）D．A∪B＝{x|x＞﹣1）3．（5分）若夹角为θ的向量与满足||＝|﹣|＝1，且向量为非零向量，则||＝（）A．﹣2cos θB．2cosθC．﹣cosθD．cosθ4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．25．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则使a n＜7成立的n的最大值为（）A．3B．4C．24D．256．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5787．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在[﹣7，7]上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f （x）＞0的解集为（）A．（2，7]B．（﹣2，0）∪（2，7]C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．[﹣7，﹣2）∪（2，7]9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，]D．（﹣1，）10．（5分）若点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则f（x）的零点为（）A．1B．C．2D．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A．B．C．D．12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为（）A．219﹣211B．218﹣211C．219﹣209D．218﹣209二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是．14．（5分）的展开式中的常数项为．15．（5分）若直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，则m＝．16．（5分）过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为﹣2的直线l1，l2，其中l1交M 于A．C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|+|BD|的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠P AC＝30°．（1）若M为AC的中点，证明：BM⊥平面P AC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．19．（12分）某大型工厂有5台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（1）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（i）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M（0，2），直线MF的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|．求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（1）当a＞0时，讨论函数F（x）＝x2﹣（6+a）x+2af（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝，若斜率为k的直线与函数y＝g′（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，证明：x1＜＜x2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝||+|x+2a|．（1）若a＝1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合A＝{x|0＜x2≤4}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}B．A∪B＝{x|x≥﹣2）C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜0）D．A∪B＝{x|x＞﹣1）【分析】根据题意，求出集合A，进而计算A∩B与A∪B，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，A＝{x|0＜x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤2且x≠0}A∪B＝{x|x≥2}，则A、C、D都错误，B正确；故选：B．【点评】本题考查集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题．3．（5分）若夹角为θ的向量与满足||＝|﹣|＝1，且向量为非零向量，则||＝（）A．﹣2cos θB．2cosθC．﹣cosθD．cosθ【分析】可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【解答】解：∵||＝|﹣|＝1；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选：B．【点评】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．4．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则使a n＜7成立的n的最大值为（）A．3B．4C．24D．25【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出结果．【解答】解：正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．故：，则：，由于：a n＜7成立，故：，解得：n＜25，故：n的最大值为24．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6．（5分）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．578【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．【点评】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；结合图中数据求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；画出图形如图所示；∴该几何体的体积为V＝V圆柱+V半圆锥＝π×12×2+××π×12×1＝．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．8．（5分）定义在[﹣7，7]上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f （x）＞0的解集为（）A．（2，7]B．（﹣2，0）∪（2，7]C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．[﹣7，﹣2）∪（2，7]【分析】根据题意即可判断f（x）在（0，7]上单调递增，并且f（2）＝0，从而得出2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；再根据f（x）在[﹣7，7]上是奇函数即可得出﹣2＜x＜0时f（x）＞0，从而得出原不等式的解集．【解答】解：∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7]上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在[﹣7，7]上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7]．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数和一次函数的单调性，增函数的定义．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，]D．（﹣1，）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：由目标函数z＝ax+y可得y ＝﹣ax+z，由解得C（3，3），可得﹣a，即a．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，数形结合，考查计算能力．10．（5分）若点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则f（x）的零点为（）A．1B．C．2D．【分析】根据题意，将点的坐标代入函数的解析式，分析可得k的值，即可得f（x）的解析式，由函数零点的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则log1456＝k×log147+3，变形可得：k＝﹣2，则f（x）＝﹣2x+3，若f（x）＝0，则x＝，即f（x）的零点为，故选：D．【点评】本题考查函数零点的判定，涉及对数的计算，关键是求出函数的解析式．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1G与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为6，∵E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，∴B1（6，6，6），G（0，0，1），＝（﹣6，﹣6，﹣5），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设B1G与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝，∴tanθ＝，∴B1G与平面ABCD所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为（）A．219﹣211B．218﹣211C．219﹣209D．218﹣209【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理可得解．【解答】解：去除所有为1的项后，由图可知前n行共有个数，当n＝17时，＝153，即前17行共有153个数，另第（n﹣1）行的和为+…+＝2n﹣2，所以前17行的和为（22﹣2）+（23﹣2）+…+（218﹣2）＝219﹣38，第17项的最后的两个数为，，故此数列前153项和为219﹣38﹣153﹣18＝219﹣209，故选：C．【点评】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是π．【分析】先由图象的变化得到g（x）的解析式，再由正弦函数的周期性即可求出函数的最小正周期．【解答】解：将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝sin（2x﹣）的图象，则g（x）的最小正周期是＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型．14．（5分）的展开式中的常数项为14．【分析】由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为（﹣1）5的展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为：3×（﹣1）4+（﹣1）5＝14，得解．【解答】解：因为（﹣1）5的展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为：3×（﹣1）4+（﹣1）5＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．15．（5分）若直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，则m＝﹣18或14．【分析】求得y＝x3﹣2的导数，设切点为（s，t），可得切线的斜率，由切线方程可得s，m的方程组，解方程可得m的值．【解答】解：y＝x3﹣2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，设切点为（s，t），可得3s2＝12，12s+m＝s3﹣2，即有s＝2，m＝﹣18；s＝﹣2，m＝14．故答案为：14或﹣18．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为﹣2的直线l1，l2，其中l1交M 于A．C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|+|BD|的最小值为24．【分析】依题意可设l1：y＝k（x﹣2），代入y2＝8x，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，根据韦达定理、抛物线的定义以及基本不等式可得．【解答】解：依题意可设l1：y＝k（x﹣2），代入y2＝8x，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，x A+x C＝，所以|AC|＝x A+x C+p＝8+，以﹣代k，得|BD|＝8+＝8+2k2，所以|AC|+|BD|＝16+2k2+≥16+2＝24，故答案为：24．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C＝的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a＝2b，结合b﹣a＝1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C ＝，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵，∴cos2C＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠P AC＝30°．（1）若M为AC的中点，证明：BM⊥平面P AC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出P A⊥PC，AB⊥BC，MP⊥MB，BM⊥AC，由此能证明BM⊥平面P AC．（2）法一：取MC的中点O，连结PO，取BC中点E，连结EO，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：取P A的中点H，连结HM，HB，推导出HM∥PC，HM⊥P A，BM⊥平面P AC，则BH⊥P A，从而∠BHM为二面角B﹣P A﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣P A﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）∵P A⊥PC，AB⊥BC，∴MP＝MB＝AC＝1，∵MP2+MB2＝BP2，∴MP⊥MB，∵AB＝BC，M为AC的中点，∴BM⊥AC，又AC∩MP＝M，∴BM⊥平面P AC．解：（2）解法一：取MC的中点O，连结PO，取BC中点E，连结EO，∵P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴MP＝MC＝PC＝1，又O为MC的中点，∴PO⊥AC，由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意知A（，0，0），B（），P（0，0，），＝（﹣），＝（1，﹣1，0），设平面APB的法向量＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），平面P AC的法向量＝（0，1，0），cos＜＞＝，由图知二面角B﹣P A﹣C为锐角，∴二面角的余弦值为．解法二：取P A的中点H，连结HM，HB，∵M为AC的中点，∴HM∥PC，又P A⊥PC，∴HM⊥P A，由（1）知BM⊥平面P AC，则BH⊥P A，∴∠BHM为二面角B﹣P A﹣C的平面角，∵AC＝2，P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴HM＝，又BM＝1，则tan∠BHM＝＝2，∴cos，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．【点评】本题是有线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）某大型工厂有5台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（1）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（i）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可；（2）（i）求出X的可能取值及其对应的概率，得出X的分布列和数学期望；（ii）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论．【解答】解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：（）5+••（）4+•（）2•（）3＝．（2）（i）X的可能取值有31，44，P（X＝31）＝（）5＝，P（X＝44）＝1﹣＝．∴X的分布列为：∴EX＝31×+44×＝．（ii）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为5×10﹣1.5×5＝42.5万元，因为＞42.5，∴该厂是不应再招聘1名维修工人．【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M（0，2），直线MF的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|．求l的方程．【分析】（1）由题意，可得，解得，则b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．（2）联立直线与椭圆，根据韦达定理和弦长公式可得．【解答】解：（1）由题意，可得，解得，则b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．（2）当l的斜率不存在时，|AB|＝4，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝（16k）2﹣32（1+4k2）＝128k2﹣32＞0，即k2＞，设N（x0，y0），则x0＝＝﹣，∵|AB|＝|MN|，∴|x1﹣x2|＝|x0﹣0|，则＝|x0|，即||＝，整理得k2＝＞．故k＝±，l的方程为y＝±x+2．【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（1）当a＞0时，讨论函数F（x）＝x2﹣（6+a）x+2af（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝，若斜率为k的直线与函数y＝g′（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，证明：x1＜＜x2．【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数与单调性的关系即可求解（2）先根据已知求出k＝，x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1＜，令t＝，（t＞1），要证明x1＜＜x2，只要证1，结合导数进行证明【解答】解：（1）∵F（x）＝x2﹣（6+a）x+2alnx，∴F′（x）＝3x﹣（6+a）+＝，（x＞0）令F′（x）＝0可得，x＝2或x＝①当即a＞6时，当x∪（0，2）时，F′（x）＞0，函数在（0，2），（）上单调递增当时，F′（x）＜0，函数在（2，）上单调递减②当a＝6时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增③当0即0＜a＜6时，x∈（2，+∞）∪（0，）时，F′（x）＞0，函数在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，（2）g（x）＝＝xlnx，则y′＝1+lnx故k＝x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1＜令t＝，（t＞1）要证明x1＜＜x2，只要证1由t＞1可知lnt＞0，故只要证明lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）①设h（t）＝t﹣1﹣lnt，t＞1，则h′（t）＝1﹣＞0，故h（t）在（1，+∞）上单调递增∴h（t）＞h（1）＝0即lnt＜t﹣1②设m（t）＝tlnt﹣（t﹣1），（t＞1），则m′（t）＝lnt＞0，故m（t）在（1，+∞）上单调递增∴m（t）＞m（1）＝0即t﹣1＜tlnt综上可得，x1＜＜x2．【点评】本题主要考查了导数知识的综合应用，体现了分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．【分析】（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．【解答】解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|＝2，|OC|＝＝，∴|AM＝＝，|ON|＝＝＝2，∴＝＝2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝||+|x+2a|．（1）若a＝1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．【分析】（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．【解答】解：（1）证明：若a＝1，则，f（|x|）＝+1+|x|+2＝+|x|+3≥2+3＝5，当且仅当x＝±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，﹣3a﹣2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤﹣1；当﹣1＜a＜﹣时，﹣a＜5a2，则﹣1＜a＜﹣；当a≥﹣时，3a+2＜5a2，则﹣≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。

第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湖北省十堰市2019年高三理数四月调研考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 在正方体中， 为棱上一点，且， 为棱的中点，且平面与交于点 ，则与平面所成角的正切值为（ ）A .B .C .D .2. 设i 为虚数单位，则复数 的共扼复数 （ ）A .B .C .D .3. 设集合 ， ，则（ ）A .B .C .D .4. 若夹角为 的向量 与 满足 ，且向量 为非零向量，则（ ）A .B .C .D .5. 若双曲线 的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .6. 已知正项数列满足：，，则使成立的 的最大值为（ ）A . 3B . 4C . 24D . 257. 某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为从中抽取个样本，如下提供随机数表的第 行到第 行：若从表中第 行第 列开始向右依次读取 个数据，则得到的第 个样本编号（ ） A . B . C . D .8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A .B .C .D .9. 定义在 上的奇函数 ，当 时，，则不等式 的解集为（ ） A . B .C .D .10. 已知 ， 满足约束条件 ，若目标函数可在点 处取得最大值，则 的取第3页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………值范围为（ ） A . B .C .D .11. 若点在函数 的图象上，则 的零点为（ ）A . 1B .C . 2D .12. 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（ ）是在 年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为 的项．依次构成数列，则此数列前项和为（ ）A .B .C .D .第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人 得分一、填空题（共4题)1. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，则 的最小正周期是 2. 的展开式中的常数项为 .3. 若直线 与曲线相切，则．4. 过抛物线 ：的焦点 作两条斜率之积为的直线 ， ，其中 交于 、 两点，交 于 ， 两点，则 的最小值为 ．评卷人得分 二、解答题（共7题)答案第4页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知函数 ．（1）若 ，证明：；（2）若 ，求 的取值范围．6. 在中， .（1）求 cos2C ；（2）若，求 的周长. 7. 如图，在三棱锥中，，，，，，．（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值．8. 某大型工厂有 台大型机器在 个月中， 台机器至多出现 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需 名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为 ．已知 名工人每月只有维修 台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得 万元的利润，否则将亏损 万元．该工厂每月需支付给每名维修工人 万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；第5页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）已知该厂现有 名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为 万元，求 的分布列与数学期望；（ⅰ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应该再招聘 名维修工人？9. 已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的一个焦点．点 ，直线的斜率为 ．（1）求椭圆 的方程；（2）若过点的直线 与椭圆 交于两点，线段的中点为 ，且．求 的方程．10. 已知函数 f （x ）=lnx ． （1）当 时，讨论函数的单调性；（2）设函数 ，若斜率为 的直线与函数 的图象交于 ，两点，证明： ．11. 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为，（ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标为 ．（1）求曲线 的极坐标方程；（2）过 作曲线 的切线，切点为 ，过 作曲线的 切线，切点为 ，求 ．答案第6页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案1.【答案】：【解释】：第7页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.【答案】：【解释】：3.【答案】：答案第8页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：4.【答案】：【解释】：5.【答案】：【解释】：第9页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6.【答案】：【解释】： 7.【答案】：【解释】：答案第10页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8.【答案】：【解释】：9.【答案】：【解释】：10.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11.【答案】：【解释】： 12.【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】： 【解释】： 【答案】： 【解释】： （1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】： （1）【答案】：（2）【答案】： 【解释】： （1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：。

2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i2．设集合A＝{x|0＜x2≤4}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}B．A∪B＝{x|x≥﹣2）C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜0）D．A∪B＝{x|x＞﹣1）3．若夹角为θ的向量与满足||＝|﹣|＝1，且向量为非零向量，则||＝（）A．﹣2cos θB．2cosθC．﹣cosθD．cosθ4．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．25．已知正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则使a n＜7成立的n的最大值为（）A．3B．4C．24D．256．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5787．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．定义在[﹣7，7]上的奇函数f（x），当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（2，7]B．（﹣2，0）∪（2，7]C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．[﹣7，﹣2）∪（2，7]9．已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+y可在点（3，3）处取得最大值，则a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣1，]D．（﹣1，）10．若点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则f（x）的零点为（）A．1B．C．2D．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为（）A．B．C．D．12．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为（）A．219﹣211B．218﹣211C．219﹣209D．218﹣209二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是．14．的展开式中的常数项为．15．若直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，则m＝．16．过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为﹣2的直线l1，l2，其中l1交M于A．C 两点，l2交M于B，D两点，则|AC|+|BD|的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，3sin A＝2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC﹣BC＝1，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠P AC＝30°．（1）若M为AC的中点，证明：BM⊥平面P AC；（2）求二面角B﹣P A﹣C的余弦值．19．（12分）某大型工厂有5台大型机器在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的．出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修．就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（1）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（i）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M（0，2），直线MF的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|．求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（1）当a＞0时，讨论函数F（x）＝x2﹣（6+a）x+2af（x）的单调性；（2）设函数g（x）＝，若斜率为k的直线与函数y＝g′（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，证明：x1＜＜x2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过A作曲线C的切线，切点为M，过O作曲线C的切线，切点为N，求．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝||+|x+2a|．（1）若a＝1，证明：f（|x|）≥5；（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵z＝＝，∴．故选：A．2．【解答】解：根据题意，A＝{x|0＜x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2且x≠0}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤2且x≠0}A∪B＝{x|x≥2}，则A、C、D都错误，B正确；故选：B．3．【解答】解：∵||＝|﹣|＝1；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选：B．4．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．5．【解答】解：正项数列{a n}满足a1＝1，a n+12﹣a n2＝2，则：数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．故：，则：，由于：a n＜7成立，故：，解得：n＜25，故：n的最大值为24．故选：C．6．【解答】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．7．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是圆柱、上部是半个圆锥的组合体；画出图形如图所示；∴该几何体的体积为V＝V圆柱+V半圆锥＝π×12×2+××π×12×1＝．故选：C．8．【解答】解：∵当0＜x≤7时，f（x）＝2x+x﹣6；∴f（x）在（0，7]上单调递增，且f（2）＝0；∴2＜x≤7时，f（x）＞0；0＜x＜2时，f（x）＜0；∵f（x）是定义在[﹣7，7]上的奇函数；∴x∈（﹣2，0）时，f（x）＞0；∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣2，0）∪（2，7]．故选：B．9．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：由目标函数z＝ax+y可得y＝﹣ax+z，由解得C（3，3），可得﹣a，即a．故选：A．10．【解答】解：根据题意，点（log147，log1456）在函数f（x）＝kx+3的图象上，则log1456＝k×log147+3，变形可得：k＝﹣2，则f（x）＝﹣2x+3，若f（x）＝0，则x＝，即f（x）的零点为，故选：D．11．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为6，∵E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，∴B1（6，6，6），G（0，0，1），＝（﹣6，﹣6，﹣5），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设B1G与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝，∴tanθ＝，∴B1G与平面ABCD所成角的正切值为．故选：C．12．【解答】解：去除所有为1的项后，由图可知前n行共有个数，当n＝17时，＝153，即前17行共有153个数，另第（n﹣1）行的和为+…+＝2n﹣2，所以前17行的和为（22﹣2）+（23﹣2）+…+（218﹣2）＝219﹣38，第17项的最后的两个数为，，故此数列前153项和为219﹣38﹣153﹣18＝219﹣209，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：将函数f（x）＝sin（4x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝sin（2x﹣）的图象，则g（x）的最小正周期是＝π，故答案为：π．14．【解答】解：因为（﹣1）5的展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r x r﹣5，则的展开式中的常数项为：3×（﹣1）4+（﹣1）5＝14，故答案为：14．15．【解答】解：y＝x3﹣2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3﹣2相切，设切点为（s，t），可得3s2＝12，12s+m＝s3﹣2，即有s＝2，m＝﹣18；s＝﹣2，m＝14．故答案为：14或﹣18．16．【解答】解：依题意可设l1：y＝k（x﹣2），代入y2＝8x，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，x A+x C＝，所以|AC|＝x A+x C+p＝8+，以﹣代k，得|BD|＝8+＝8+2k2，所以|AC|+|BD|＝16+2k2+≥16+2＝24，故答案为：24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵，∴cos2C＝＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝﹣．（2）∵3sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：3a＝2b，又∵AC﹣BC＝1，即：b﹣a＝1，∴解得：a＝2，b＝3，∵由（1）可得：cos C＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．【解答】证明：（1）∵P A⊥PC，AB⊥BC，∴MP＝MB＝AC＝1，∵MP2+MB2＝BP2，∴MP⊥MB，∵AB＝BC，M为AC的中点，∴BM⊥AC，又AC∩MP＝M，∴BM⊥平面P AC．解：（2）解法一：取MC的中点O，连结PO，取BC中点E，连结EO，∵P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴MP＝MC＝PC＝1，又O为MC的中点，∴PO⊥AC，由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意知A（，0，0），B（），P（0，0，），＝（﹣），＝（1，﹣1，0），设平面APB的法向量＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，1，），平面P AC的法向量＝（0，1，0），cos＜＞＝，由图知二面角B﹣P A﹣C为锐角，∴二面角的余弦值为．解法二：取P A的中点H，连结HM，HB，∵M为AC的中点，∴HM∥PC，又P A⊥PC，∴HM⊥P A，由（1）知BM⊥平面P AC，则BH⊥P A，∴∠BHM为二面角B﹣P A﹣C的平面角，∵AC＝2，P A⊥PC，∠P AC＝30°，∴HM＝，又BM＝1，则tan∠BHM＝＝2，∴cos，即二面角B﹣P A﹣C的余弦值为．19．【解答】解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：（）5+••（）4+•（）2•（）3＝．（2）（i）X的可能取值有31，44，P（X＝31）＝（）5＝，P（X＝44）＝1﹣＝．∴X的分布列为：∴EX＝31×+44×＝．（ii）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为5×10﹣1.5×5＝42.5万元，因为＞42.5，∴该厂是不应再招聘1名维修工人．20．【解答】解：（1）由题意，可得，解得，则b2＝a2﹣c2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．（2）当l的斜率不存在时，|AB|＝4，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝（16k）2﹣32（1+4k2）＝128k2﹣32＞0，即k2＞，设N（x0，y0），则x0＝＝﹣，∵|AB|＝|MN|，∴|x1﹣x2|＝|x0﹣0|，则＝|x0|，即||＝，整理得k2＝＞．故k＝±，l的方程为y＝±x+2．21．【解答】解：（1）∵F（x）＝x2﹣（6+a）x+2alnx，∴F′（x）＝3x﹣（6+a）+＝，（x＞0）令F′（x）＝0可得，x＝2或x＝①当即a＞6时，当x∪（0，2）时，F′（x）＞0，函数在（0，2），（）上单调递增当时，F′（x）＜0，函数在（2，）上单调递减②当a＝6时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增③当0即0＜a＜6时，x∈（2，+∞）∪（0，）时，F′（x）＞0，函数在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，（2）g（x）＝＝xlnx，则y′＝1+lnx故k＝x1＜＜x2⇔x1＜＜x2⇔1＜令t＝，（t＞1）要证明x1＜＜x2，只要证1由t＞1可知lnt＞0，故只要证明lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）①设h（t）＝t﹣1﹣lnt，t＞1，则h′（t）＝1﹣＞0，故h（t）在（1，+∞）上单调递增∴h（t）＞h（1）＝0即lnt＜t﹣1②设m（t）＝tlnt﹣（t﹣1），（t＞1），则m′（t）＝lnt＞0，故m（t）在（1，+∞）上单调递增∴m（t）＞m（1）＝0即t﹣1＜tlnt综上可得，x1＜＜x2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|＝2，|OC|＝＝，∴|AM＝＝，|ON|＝＝＝2，∴＝＝2．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）证明：若a＝1，则，f（|x|）＝+1+|x|+2＝+|x|+3≥2+3＝5，当且仅当x＝±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，﹣3a﹣2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤﹣1；当﹣1＜a＜﹣时，﹣a＜5a2，则﹣1＜a＜﹣；当a≥﹣时，3a+2＜5a2，则﹣≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）。

湖北省十堰市2019届高三数学四月调研考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{123}A =，，，{124}B =，，，则A B 等于（ ）A. {124}，，B. {234}，， C. {12}，D.{1234}，，，【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】因为集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，4}，所以A∩B={1，2}. 故答案为：C【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及运算，比较基础.2.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A. 3455i + B. 3455i -C. 3455i -+D. 3455i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)-，得出34i 55z =-，再利用共轭复数的定义即可得出。

【详解】解：22i (2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-，3455z i ∴=+ 故选：A ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。

若1a z bi =+，2z c di =+，12a +c d a b d z z bi i c +=+++（）（）=（）+(+)i ， 12ac-+ad )z z bd bc i =+（）（，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。

3.若一个实心球对半分成两半后表面积增加了24cm π，则原来实心球的表面积为（ ） A. 24cm π B. 28cm πC. 212cm πD. 216cm π【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，实心球对半分增加的面积是两个半径等于球半径的圆，从而求出球的半径，即可得球的表面积。

【详解】解：设原球的半径为R ，由题意可得，2224R cm ππ＝，解得R∴原来实心球的表面积为2224=8R cm π⨯π⨯π＝4．故选：B ．【点睛】本题考查了球的截取后表面积增加的面积的情况、球的表面积计算。

理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·台州期末]设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2019·合肥一模]集合{}220x A x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =（ ） A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<3．[2019·通州期末]设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ，则与+a b 垂直的向量的坐标可以是（ ）A ．()3,2B ．()3,2-C ．()4,6D ．()4,6-4．[2019·黄山一模]直线230x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．[2019·铜仁一中]某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．[2019·长沙一模]我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．4π83-B ．8π-C ．2π83-D ．π42- 7．[2019·恒台一中]将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()g x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()g x 图像关于直线7π12x =对称 C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 8．[2019·长沙一模]下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9．[2019·厦门质检]已知锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1225 B ．1225± C ．2425 D ．2425± 10．[2019·跃华中学]如图，圆M 、圆N 、圆P 彼此相外切，且内切于正三角形ABC 中，在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是（ ）A 31-B 31-C 23-D 23- 11．[2019·恒台一中]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若123PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A 5B ．3C ．2D 7 12．[2019·荆门检测]设函数()()e 1e x g x x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<．若存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．e ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．)e,+∞C ．)e,+∞D ．e ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在ABC △中，3a =，26b =2B A =，则cos A =______．14．[2019·东台中学]已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题：①若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβ∥，m α∥，n β∥，则m n ∥；③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥．其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．15．[2019·永春二中]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．16．[2019·郑州一模]如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[]2,3上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()20π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·广东期末]已知数列{}n a 是递增的等差数列，37a =，且4a 是1a 与27的等比中项．（1）求n a ；（2）若1n n n b a a +=+{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）[2019·南通调研]某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B 、C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．19．（12分）[2019·株洲统测]如图（1），等腰梯形ABCD，2AB=，6AD=，E、FCD=，22分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图（2）．（1）求证：平面PEF⊥平面ABEF；（2）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20．（12分）[2019·合肥一模]设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2019·潍坊期末]已知()()sin f x a x a =∈R ，()e x g x =．（1）若01a <≤，证明函数()()ln G x f x x =-+在()0,1单调递增；（2）设()()()f x g x F x a ⋅=，0a ≠，对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·武汉六中]已知直线l ：33x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·厦门期末]函数()2f x ax =+，其中a ∈R ，若()f x a ≤的解集为[]2,0-．（1）求a 的值；（2）求证：对任意x ∈R ，存在1m >，使得不等式()()1221f x f x m m -+≥+-成立．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】2i12i iz +==-，该复数对应的点为()1,2-，它在第四象限中．故选D ． 2．【答案】C【解析】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =<， ∴{}2A B x x =≤，故选C ． 3．【答案】C【解析】()3,2+=-a b ；可看出()()4,63,20⋅-=；∴()()4,6⊥+a b ．故选C ． 4．【答案】A【解析】令0x =代入230x y -=可得()0,3P -，圆心坐标为()1,0-， 则P 132+=，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2． 故选A ． 5．【答案】B【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有， 则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科，2名护士，则有1233C C 339=⨯=，其余的分到乙村， 若甲村有2外科，1名护士，则有2133C C 339=⨯=，其余的分到乙村，则总共的分配方案为()29921836⨯+=⨯=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】结合三视图，还原直观图，故3212π128π2V =-⋅⋅⋅=-，故选B ．7．【答案】C【解析】由题意，将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，可得()2πsin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A 中，由ππ122x ≤≤，则π2ππ2233x -≤-≤， 则函数()g x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增是正确的；对于B 中，令7π12x =，则7π7π2ππsin 2sin 1121232g ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()g x 图像关于直线7π12x =对称是正确的； 对于C 中，ππ63x -≤≤，则2ππ203x -≤-≤， 则函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先减后增，∴不正确；对于D 中，令π3x =，则ππ2πsin 20333g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称是正确的，故选C ．8．【答案】D【解析】∵要求1000A >时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”内不能输入“1000A >”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，∴“”中n 依次加2可保证其为偶数，∴D 选项满足要求，故选D ． 9．【答案】C【解析】∵锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π6α+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得2ππ4sin 1cos 665αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．10．【答案】C 【解析】如图，设一个内切圆的半径为r ，则3AH BG r ==， 则2MN GH r ==，)231AB AH BG GH r =++=，正三角形MNP 与正三角形ABC 相似，则在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是： ()2223231MNP ABCS MN P S AB r ⎛⎫-⎛⎫==== ⎪⎝⎭+△△．故选C ．11．【答案】D【解析】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO MO =，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，设2PF a =， 结合260MF N ∠=︒，故1260F MF ∠=︒，对三角形12F MF 运用余弦定理，得到222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠，而结合123PF PF =，可得1MF a =，23MF a =，122F F c =，代入上式子中， 得到2222943a a c a +-=， 结合离心率满足ce a=，即可得出7c e a ==，故选D ．12．【答案】D【解析】构造函数()()212T x f x x =-，∵()()2f x f x x -+=，∴()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，∴()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，∴()T x 在(],0-∞上单调递减， ∴()T x 在R 上单调递减．∵存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，∴()()000112f x f x x +≥-+，∴()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，∴001x x ≤-，即012x ≤， 令()()1e e 2x h x g x x x a x ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，∵0x 为函数()y g x x =-的一个零点，∴()h x 在12x ≤时有一个零点， ∵当12x ≤时，()12'e e e e 0x h x ==，∴函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102e<<， 又∵eee e 0e e h ea -⎛=--=> ⎝，∴要使()h x 在12x ≤时有一个零点， 只需使11e e 022h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得e a ≥，∴a 的取值范围为e ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．6【解析】∵3a =，26b =2B A =，∴由正弦定理可得sin sin 2sin cos a b bA B A A==， ∴266cos 2b A a ===6 14．【答案】③④【解析】对于①，若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ∥或α，β相交， ∴该命题是假命题；对于②，若αβ∥，m α∥，n β∥，则m ，n 可能平行、相交、异面， ∴该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 15．【答案】乙【解析】先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，（1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的， 丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请．（2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意． 故答案为乙． 16．【答案】①②⑤【解析】当21x -≤≤-，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当11x -≤≤时，P 的轨迹是以B 214圆， 当12x ≤≤时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当34x ≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4． 因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确； ②，由图象即分析可知函数的周期是4．即()()4f x f x +=，即()()22f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[]2,3上单调递增，故③错误；④，由图象可得()f x 的值域为⎡⎣，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知()22201111πd π11π182422f x x =⋅+⨯⨯+⨯=+⎰， 故⑤正确． 故答案为①②⑤．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =+；（2233n +-【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d >，据题意则有3241727a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，即()()32337272a a d a d =⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∵0d >，解得2d =，∴()3321n a a n d n =+-=+． （2）11232122123n n n b n n a a n n +===++++++，前n 项和1537522123212n n n n n T =++-++12332n =+．18．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，()136E X =． 【解析】（1）记“该游客游览i 个景点”为事件i A ，0i =，1， 则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3211321211511C 13232224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴该游客至多游览一座山的概率为()()0115124244P A P A +=+=， （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4， ()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()22123321121132C 11C 13223228P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()323332112173C 11C 3223224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321143212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴X 的概率分布为：X 0 1 2 3 4 P12452438724112故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（27． 【解析】（1）E 、F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF ⊥， 又BE PE ⊥，且PE EF E =，∴BF ⊥面PEF又面ABEF ，∴平面PEF ⊥平面ABEF ．（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(3P ，∴()2,0,0AF =-，(3FP =，()0,2,0AB =，()2,1,3PA =-， 设平面PAF 的法向量为()1111,,x y z =n ，则1100AF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴1112030x y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩，()10,3,1=-n ，设平面PAB 的法向量为()2222,,x y z =n ， 则2200AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴222220230y x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，)22,3,0=n ，1212cos θ⋅==⋅n n n n ．∴平面PAE 与平面PAB． 20．【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析．【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c 2知，b c =，2a b ， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=．易求得)2,0A，∴点2,2在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=． （2）当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x = 由（1）知，(2,2M ，2,2N-，(2,2OM =，(2,2ON =，0OM ON ⋅=，∴OM ON ⊥．当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，2=()2221m k =+．联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m kmx x k m x x k ∆⎧⎪=-+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩． ∵()11,OM x y =，()22,ON x y =，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++， ∴OM ON ⊥．综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥． 在Rt OMN △中，由OMP △与NOP △相似得，22OP PM PN =⋅=为定值． 21．【答案】（1）见解析；（2）1k ≤．【解析】（1）()()()ln sin ln sin ln G x f x x a x x a x x =-+=-+=-+，()11'cos cos G x a x a x x x =-+=-， 由于()0,1x ∈，∴11x>， 又(]0,1a ∈，[]cos 1,1x ∈-，因此cos 1a x ≤，∴1cos 0a x x->， 即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增． （2）()()()e sin xf xg x F x x a ⋅==，由题意：对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，e sin 0x x kx -≥恒成立，设()e sin x h x x kx =-，()'e sin e cos x x h x x x k =+-， 又设()e sin e cos x x m x x x k =+-，则()e sin e cos e cos e sin 2e cos 0x x x x x m x x x x x x '=++-=≥， 因此()m x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()()01m x m k ≥=-，1当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意． 2当1k >时，()010m k =-<，π2πe 2m k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若π2e 0k -<，则取0π2x =，()000,x x ∈时，()0m x <， 若π2e 0k -≥，则在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <，总之，存在0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，∴()h x 单调递减，()()00h x h <=，故1k >时，存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，1k ≤为所求．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1AB =；（2236-【解析】（I ）直线l 的普通方程为)1y x -，1C 的普通方程221x y +=．联立方程组)2211y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A，1,2B ⎛ ⎝⎭，则1AB =． （2）曲线2C 的参数方程为1cos 23x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标为13cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 从而点P 到直线l 的距离是33cos sin 3223π224d θθθ--⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由此当πsin 14θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d 236-23．【答案】（1）2a =；（2）见证明．【解析】（1）由题意知0a ≤不满足题意，当0a >时，由2ax a +≤得2a ax a -≤+≤， ∴2211x a a --≤≤-，则212210aa⎧--=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则2a =．（2）设()()()222242g x f x f x x x =-+=-++，对于任意实数x ，存在1m >，使得不等式()()1221f x f x m m -+≥+-， 只需()min min 11g x m m ⎛⎫≥+ ⎪-⎝⎭，∵()6,1124,1216,2x x g x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，当12x =-时，()min 3g x =，由1111311m m m m +=-++≥--，仅当2m =取等号． ∴原命题成立．。

2019年湖北省十堰市文武学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足z=1﹣（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．0 B．1 C．D．2参考答案：C【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=1﹣=1﹣=1+i，则|z|=．故选：C．2. 函数的定义域是 ( )A. B. C. D.参考答案：C略3. 已知函数，则（）A. y=f(x)的周期为2，其图象关于直线对称B. y=f(x)的周期为2，其图象关于直线对称C. y=f(x)的周期为1，其图象关于直线对称D. y=f(x)的周期为2，其图象关于直线对称参考答案：A，∴，令，解得：当时，得到图象的一条对称轴为.故选：A4. 以下判断正确的是（）.函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件.．命题“”的否定是“”..命题“在中，若”的逆命题为假命题.. “”是“函数是偶函数”的充要条件.参考答案：D5. 直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D6. 双曲线C：（，）的两条渐近线互相垂直，F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线的距离为，若，则双曲线的标准方程为（）A． B． C.D．以上答案都不对参考答案：A法一：依题：，设，两式相加得：参考解法二：直线恰好是双曲线的左准线，由第二定义:【命题意图】此题考查了等轴双曲线，方程思想求双曲线的标准方程，双曲线的第一定义，暗藏背景第二定义，(圆锥曲线第二定义教材上的例子有2个。

小字部分专门有介绍)7. 设全集U＝R，，，则A． B. C. D.参考答案：D8. 设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．则椭圆C的离心率为( )A．B．C． D．参考答案：A略9. 某人向平面区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．先根据区域|x|+|y|≤图象特征，求出其面积，最后利用面积比即可得点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．【解答】解：区域|x|+|y|≤表示以（±，0）和（0，±）为顶点的正方形，单位圆x2+y2=1内所有的点均在正方形区域内，正方形的面积S1=4，单位圆面积S2=π，由几何概型的概率公式得：P==，故选：A．10. 设集合A={x|2x﹣1≤3}，集合B{x|y=}则A∩B等于( )A．（1，2）B．C．（1，2] D．，参考答案：CA={x|2x﹣1≤3}={x|x≤1},由B中y=，得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，满足，|，且（λ＞0），则λ=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求出的值，而由可得到，两边平方即可得到关于λ的方程，解出λ即可．【解答】解：；由得，；∴；∴4=λ2，且λ＞0；∴λ=2．故答案为：2．12. 设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割，,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)的调和分割点为A(0，0)，B(1，0)。

绝密★启用前 湖北省十堰市2019届高三模拟试题理科数学学科（带解析) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．集合 ， ，则 = ( ). A ． B ． C ． D ． 3．设向量 ， ，则与 垂直的向量的坐标可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．直线 与 轴的交点为 ,点 把圆 的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．18种 6．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）…○…………装…………○………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…○…………装…………○………………线…………○……A ．B ．C ．D ．7．将函数 的图象向右平移个单位长度得到 图像，则下列判断错误的是（ ）A ．函数 在区间 上单调递增B ． 图像关于直线对称C ．函数 在区间 上单调递减D ． 图像关于点对称8．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9．已知锐角 满足 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，圆M 、圆N 、圆P 彼此相外切，且内切于正三角形ABC 中，在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是…………○………………○…… A ． B ． C ． D ． 11．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ， 分别交双曲线C 的左，右支于另一点 若 ，且 ，则双曲线的离心率为( ) A ． B ．3 C ．2 D ． 12．设函数 （ ，e 为自然对数的底数）.定义在R 上的函数 满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函数 的一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ． B ． C ． D ．○…………装…※※请※※不※※要○…………装…第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在△ABC中，a=3，，B=2A，则cos A=______．14．已知平面α，β，直线.给出下列命题：① 若，，则；② 若，，则；③ 若，则；④ 若，，则.其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．15．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．16．如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数的值域是；⑤.其中判断正确的序号是__________．三、解答题17．已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．（1）求；（2）若，求数列的前项和．18．某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览…………线………………线……（1）求该游客至多游览一个景点的概率； （2）用随机变量 表示该游客游览的景点的个数，求 的概率分布和数学期望 . 19．如图（1），等腰梯形 ， ， ， ， 、 分别是 的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使得点 和点 重合，记为点 ，如图（2）.（Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 20．设椭圆 ( )的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为 ． (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ， ，试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 21．已知 ， . （1）若 ，证明函数 在 单调递增； （2）设 ，对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.22．已知直线 ： （ 为参数），曲线 （ 为参数）． （1）设 与 相交于 ， 两点，求 ； （2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 距离的最小值． 23．函数 ，其中 ，若 的解集为 ． （1）求 的值； （2）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立．参考答案1．D【解析】【分析】利用复数的除法计算出后可得其对应的点所处的象限.【详解】，该复数对应的点为，它在第四象限中.故选D.【点睛】如果复数，那么它对应的复平面上的点为，复平面上的点与复数之间是一一对应的.2．C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。

理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·台州期末]设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2019·合肥一模]集合{}220x A x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1x x <B ．{}11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<3．[2019·通州期末]设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ，则与+a b 垂直的向量的坐标可以是（ ） A ．()3,2B ．()3,2-C ．()4,6D ．()4,6-4．[2019·黄山一模]直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．[2019·铜仁一中]某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．[2019·长沙一模]我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．4π83-B ．8π-C ．2π83-D ．π42-7．[2019·恒台一中]将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()g x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 图像关于直线7π12x =对称 C ．函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称8．[2019·长沙一模]下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9．[2019·厦门质检]已知锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±10．[2019·跃华中学]如图，圆M 、圆N 、圆P 彼此相外切，且内切于正三角形ABC 中，在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是（ ）A B C D 11．[2019·恒台一中]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，若123PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D12．[2019·荆门检测]设函数()(e 1x g x x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x-+=，且当0x ≤时，()f x x '<．若存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．()e,+∞C ．)e,⎡+∞⎣D ．e ⎫+∞⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·西城期末]在ABC △中，3a =，b =2B A =，则cos A =______． 14．[2019·东台中学]已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题：①若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβ∥，m α∥，n β∥，则m n ∥； ③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．15．[2019·永春二中]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．16．[2019·郑州一模]如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[]2,3上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·广东期末]已知数列{}n a 是递增的等差数列，37a =，且4a 是1a 与27的等比中项． （1）求n a ； （2）若n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）[2019·南通调研]某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B 、C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立． （1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．19．（12分）[2019·株洲统测]如图（1），等腰梯形ABCD，2AB=，6CD=，AD=E、F分别是CD 的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图（2）．（1）求证：平面PEF⊥平面ABEF；（2）求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20．（12分）[2019·合肥一模]设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2019·潍坊期末]已知()()sin f x a x a =∈R ，()e x g x =． （1）若01a <≤，证明函数()()ln G x f x x =-+在()0,1单调递增； （2）设()()()f x g x F x a⋅=，0a ≠，对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()F x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·武汉六中]已知直线l ：x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·厦门期末]函数()2f x ax =+，其中a ∈R ，若()f x a ≤的解集为[]2,0-． （1）求a 的值；（2）求证：对任意x ∈R ，存在1m >，使得不等式()()1221f x f x m m -+≥+-成立．答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】2i12i iz +==-，该复数对应的点为()1,2-，它在第四象限中．故选D ． 2．【答案】C【解析】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =<， ∴{}2AB x x =≤，故选C ．3．【答案】C【解析】()3,2+=-a b ；可看出()()4,63,20⋅-=；∴()()4,6⊥+a b ．故选C ． 4．【答案】A【解析】令0x =代入230x y --=可得(0,3P -，圆心坐标为()1,0-， 则P 132+=，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2． 故选A ． 5．【答案】B【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有， 则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科，2名护士，则有1233C C 339=⨯=，其余的分到乙村， 若甲村有2外科，1名护士，则有2133C C 339=⨯=，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为()29921836⨯+=⨯=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】结合三视图，还原直观图，故3212π128π2V =-⋅⋅⋅=-，故选B ．7．【答案】C【解析】由题意，将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，可得()2πsin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A 中，由ππ122x ≤≤，则π2ππ2233x -≤-≤， 则函数()g x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增是正确的；对于B 中，令7π12x =，则7π7π2ππsin 2sin 1121232g ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()g x 图像关于直线7π12x =对称是正确的； 对于C 中，ππ63x -≤≤，则2ππ203x -≤-≤， 则函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先减后增，∴不正确；对于D 中，令π3x =，则ππ2πsin 20333g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称是正确的，故选C ．8．【答案】D【解析】∵要求1000A >时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”内不能输入“1000A >”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，∴“”中n 依次加2可保证其为偶数，∴D 选项满足要求，故选D ． 9．【答案】C【解析】∵锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π6α+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得π4sin 65α⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则πππ24sin 22sin cos 36625ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．10．【答案】C 【解析】如图，设一个内切圆的半径为r，则AH BG ==， 则2MN GH r ==，)21AB AH BG GH r =++=，正三角形MNP 与正三角形ABC 相似，则在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是：22MNP ABCS MN P S AB ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭△△．故选C ．11．【答案】D【解析】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO MO =，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，设2PF a =， 结合260MF N ∠=︒，故1260F MF ∠=︒，对三角形12F MF 运用余弦定理，得到222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠， 而结合123PF PF =，可得1MF a =，23MF a =，122F F c =，代入上式子中， 得到2222943a a c a +-=， 结合离心率满足ce a=，即可得出c e a ==，故选D ．12．【答案】D【解析】构造函数()()212T x f x x =-，∵()()2f x f x x -+=，∴()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，∴()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，∴()T x 在(],0-∞上单调递减， ∴()T x 在R 上单调递减．∵存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，∴()()000112f x f x x +≥-+，∴()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，∴001x x ≤-，即012x ≤， 令()()1e 2x h x g x x a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，∵0x 为函数()y g x x =-的一个零点，∴()h x 在12x ≤时有一个零点， ∵当12x ≤时，()12'e e 0x h x =，∴函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102-<<， 又∵eee e 0e e h ea ⎛=-=> ⎝，∴要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，解得a ，∴a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【解析】∵3a =，b =2B A =，∴由正弦定理可得sin sin 2sin cos a b bA B A A==，∴cos 2b A a ==． 14．【答案】③④【解析】对于①，若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ∥或α，β相交， ∴该命题是假命题；对于②，若αβ∥，m α∥，n β∥，则m ，n 可能平行、相交、异面， ∴该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 15．【答案】乙【解析】先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，（1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的， 丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请．（2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意． 故答案为乙． 16．【答案】①②⑤【解析】当21x -≤≤-，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当11x -≤≤时，P 的轨迹是以B14圆， 当12x ≤≤时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当34x ≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4． 因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数，故①正确； ②，由图象即分析可知函数的周期是4．即()()4f x f x +=，即()()22f x f x +=-，故②正确； ③，函数()y f x =在区间[]2,3上单调递增，故③错误； ④，由图象可得()f x的值域为⎡⎣，故④错误； ⑤，根据积分的几何意义可知()22201111πd π11π182422f x x =⋅+⨯⨯+⨯=+⎰， 故⑤正确． 故答案为①②⑤．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =+；（2【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d >，据题意则有3241727a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，即()()32337272a a d a d =⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∵0d >，解得2d =，∴()3321n a a n d n =+-=+． （2）12n b ===，前n项和122n nT =++12=．18．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，()136E X =． 【解析】（1）记“该游客游览i 个景点”为事件i A ，0i =，1， 则()0211111111322224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3211321211511C 13232224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴该游客至多游览一座山的概率为()()0115124244P A P A +=+=， （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4， ()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()22123321121132C 11C 13223228P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()323332112173C 11C 3223224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()321143212P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴X 的概率分布为：故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）E 、F 是CD 的两个三等分点，易知，ABEF 是正方形，故BE EF⊥， 又BE PE ⊥，且PE EF E =，∴BF ⊥面PEF又面ABEF ，∴平面PEF ⊥平面ABEF ．（2）过P 作PO EF ⊥于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ， 又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0F -，(3P ，∴()2,0,0AF =-，(FP =，()0,2,0AB =，(2,1,PA =-， 设平面PAF 的法向量为()1111,,x y z =n ，则1100AF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴111200x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，()10,=n ，设平面PAB 的法向量为()2222,,x y z =n ， 则2200AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∴22222020y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，)22,=n ，1212cosθ⋅===⋅n n n n． ∴平面PAE 与平面PAB ． 20．【答案】（1）22163x y +=；（2）见解析． 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为c 知，b c =，a =，∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b+=．易求得)A，∴点在椭圆上，∴222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x 由（1）知，M，N，(2,OM =，(2,ON =，0OM ON ⋅=，∴OM ON ⊥．当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，∴=()2221m k =+．联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m kmx x k m x x k ∆⎧⎪=-+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩． ∵()11,OM x y =，()22,ON x y =，∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km kx xkm x x m kkm m k k --=++++=+⋅+⋅+++ ()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k mk k k k +--+++----====+++，∴OM ON ⊥．综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥． 在Rt OMN △中，由OMP △与NOP △相似得，22OP PM PN =⋅=为定值． 21．【答案】（1）见解析；（2）1k ≤．【解析】（1）()()()ln sin ln sin ln G x f x x a x x a x x =-+=-+=-+， ()11'cos cos G x a x a x x x =-+=-， 由于()0,1x ∈，∴11x>， 又(]0,1a ∈，[]cos 1,1x ∈-，因此cos 1a x ≤，∴1cos 0a x x->，即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增． （2）()()()e sin xf xg x F x x a ⋅==，由题意：对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，e sin 0x x kx -≥恒成立，设()e sin x h x x kx =-，()'e sin e cos x x h x x x k =+-， 又设()e sin e cos x x m x x x k =+-，则()e sin e cos e cos e sin 2e cos 0x x x x x m x x x x x x '=++-=≥， 因此()m x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()()01m x m k ≥=-，1当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意． 2当1k >时，()010m k =-<，π2πe 2m k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若π2e 0k -<，则取0π2x =，()000,x x ∈时，()0m x <， 若π2e 0k -≥，则在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <，总之，存在0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，∴()h x 单调递减，()()00h x h <=，故1k >时，存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，1k ≤为所求．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1AB =；（2【解析】（I ）直线l的普通方程为)1y x =-，1C 的普通方程221x y +=．联立方程组)2211y x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，解得l 与1C 的交点为()1,0A，1,2B ⎛ ⎝⎭，则1AB =． （2）曲线2C的参数方程为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标为1cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而点P 到直线l的距离是π24d θ⎤⎛⎫==-+ ⎪⎥⎝⎭⎦， 由此当πsin 14θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d23．【答案】（1）2a =；（2）见证明．【解析】（1）由题意知0a ≤不满足题意，当0a >时，由2ax a +≤得2a ax a -≤+≤， ∴2211x a a --≤≤-，则212210aa⎧--=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则2a =．（2）设()()()222242g x f x f x x x =-+=-++，对于任意实数x ，存在1m >，使得不等式()()1221f x f x m m -+≥+-， 只需()min min11g x m m ⎛⎫≥+ ⎪-⎝⎭，∵()6,1124,1216,2x x g x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，当12x =-时，()min 3g x =，由1111311m m m m +=-++≥--，仅当2m =取等号． ∴原命题成立．。