当前位置：文档之家 › 运筹学部分课后习题解答_1

运筹学部分课后习题解答_1

  • 格式：doc
  • 大小：923.50 KB
  • 文档页数：21

下载文档原格式

  / 21

合集下载

运筹学课后习题答案

运筹学课后习题答案

第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

运筹学习题答案(1)

运筹学习题答案(1)

第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。

2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。

二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。

答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。

答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。

解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。

具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。

第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。

2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。

二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。

答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。

运筹学习题答案(第一章)

运筹学习题答案(第一章)

无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
page 3 15 June 2013
page 6 15 June 2013
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
page 10 15 June 2013
0.5 0 0
2 1 11/5
0 1 0
5 5 43/5
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2

运筹学1至6章习题参考答案

运筹学1至6章习题参考答案
0
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]

运筹学课后习题解答-1.

运筹学课后习题解答-1.

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105B CB X b 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

第四版运筹学部分课后习题解答

第四版运筹学部分课后习题解答

第四版运筹学部分课后习题解答篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案运筹学基础及应用习题解答习题一P461.1(a)41的所有?x1,x2?，此时目标函数值2该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。

(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

1.2(a)约束方程组的系数矩阵?1236300A??81?4020??30000?1最优解x??0,10,0,7,0,0?T。

(b) 约束方程组的系数矩阵?1234?A2212?????211?最优解x??,0,,0?。

5??5T1.3(a)(1) 图解法最优解即为??3x1?4x2?935?3?的解x??1,?，最大值z?5x?2x?822??2?1(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x?4x2?x3?9s.t. ?1?5x1?2x2?x4?8则P3,P4组成一个基。

令x1?x2?0得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表?1??2。

??min?,89??53?8 5?2?0，??min??218?3,??142?2?335?1,?2?0，表明已找到问题最优解x1?1, x2?,x3?0 ,x4?0。

最大值z*?22(b)(1) 图解法6x1?2x2x1?x2?最优解即为??6x1?2x2?2417?73?的解x??,?，最大值z?2?22??x1?x2?5(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x5?5x2?x3?15?s.t. ?6x1?2x2?x4?24?x?x?x?5?125则P3，P4，P5组成一个基。

令x1?x2?0得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表?1??2。

??min??,??245?,??461?3?3?15,24,??2?2?5?2?0，??min?新的单纯形表为篇二：运筹学习题及答案运筹学习题答案第一章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题

解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题

项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2

运筹学第三版课后习题答案

运筹学第三版课后习题答案

运筹学第三版课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识，可以应用于各个领域，如物流管理、生产调度、供应链优化等。

而《运筹学》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和应用。

本文将针对该教材的课后习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握运筹学的知识。

第一章：线性规划1. 习题1.1：求解线性规划问题的常用方法有哪些？答：求解线性规划问题的常用方法包括单纯形法、对偶理论、整数规划等。

其中，单纯形法是最常用的方法，它通过迭代寻找目标函数值最小（或最大）的解。

2. 习题1.2：什么是线性规划的对偶问题？如何求解线性规划的对偶问题？答：线性规划的对偶问题是指通过原始问题的约束条件构造一个新的问题，该问题的目标是最大化（或最小化）原始问题的目标函数值。

求解线性规划的对偶问题可以使用对偶理论，通过将原始问题转化为对偶问题的等价形式，再利用对偶问题的特性进行求解。

第二章：整数规划1. 习题2.1：什么是整数规划问题？与线性规划问题有何不同？答：整数规划问题是指决策变量的取值必须为整数的线性规划问题。

与线性规划问题相比，整数规划问题的解空间更为有限，求解难度更大。

整数规划问题在实际应用中常常涉及到资源的离散分配、路径选择等问题。

2. 习题2.2：列举几个整数规划问题的应用场景。

答：整数规划问题的应用场景包括生产调度、物流路径优化、设备配置等。

例如，在生产调度中，需要确定每个生产批次的数量和时间，以最大化产能利用率和最小化生产成本。

第三章：动态规划1. 习题3.1：什么是动态规划？它的基本思想是什么？答：动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题的方法。

其基本思想是利用子问题的解构建全局最优解，从而避免重复计算和提高求解效率。

2. 习题3.2：动态规划在哪些问题中有应用？答：动态规划在最短路径问题、背包问题、序列比对等问题中有广泛的应用。

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

m ax Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 ( 2) st . 3 x1 4 x 2 12 x , x 0 1 2 该问题无可行解
2
( 3)
m axZ x1 x 2 6 x1 10x 2 120 st . 5 x1 10 5 x2 8
1
(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
m i nZ 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 (1) st . 3 x1 2 x 2 4 x ,x 0 1 2 无穷多最优解 (蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 优 最解 ） x1 6 1 , x2 , 是 其 中 一 个 最 优 解 5 5
唯一最优解， x1 10, x 2 6 Z 16
(4)
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
3
该问题有无界解
1.2
将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0

运筹学课后习题及答案

运筹学课后习题及答案

运筹学课后习题及答案在运筹学这门课程中，课后习题是帮助学生巩固理论知识和提高解决实际问题能力的重要环节。

以下是一些典型的运筹学课后习题及答案，供学生参考和练习。

习题1：线性规划问题问题描述：一个工厂需要生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器1和机器2。

产品A每单位需要机器1工作3小时，机器2工作2小时；产品B每单位需要机器1工作2小时，机器2工作4小时。

机器1每天最多工作24小时，机器2每天最多工作20小时。

如果产品A每单位的利润是500元，产品B每单位的利润是600元。

假设工厂希望最大化利润，问应该生产多少单位的产品A和B？解答：首先，设产品A的产量为x，产品B的产量为y。

根据题目条件，我们可以得到以下两个约束条件：\[ 3x + 2y \leq 24 \]\[ 2x + 4y \leq 20 \]目标函数是利润最大化，即：\[ \text{Maximize} \ P = 500x + 600y \]通过图解法或单纯形法，我们可以得到最优解为x=4，y=3。

此时，利润最大化为\( P = 500 \times 4 + 600 \times 3 = 3800 \)元。

习题2：网络流问题问题描述：一个供水系统由多个泵站和水库组成，需要确保每个水库都有足够的水量供应。

已知每个泵站的供水能力以及每个水库的需求量。

如何分配泵站的供水量，以满足所有水库的需求？解答：首先，需要构建一个网络流图，其中节点代表泵站和水库，边代表供水路径。

每条边的容量表示泵站的供水能力，每条边的流量表示实际供水量。

目标是找到满足以下条件的网络流：- 每个泵站的总流出量等于其供水能力。

- 每个水库的总流入量等于其需求量。

- 网络中没有负流量。

使用最大流算法，如Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法，可以找到满足上述条件的最大网络流。

习题3：整数规划问题问题描述：一个公司需要决定是否投资于三个不同的项目，每个项目都需要一定的资金和人力资源。

运筹学习题答案(第一章)

运筹学习题答案(第一章)

School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
page 6 9 April 2011
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
page 12 9 April 2011
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
page 4 9 April 2011
School of Management
运筹学教程

《运筹学》课后答案

《运筹学》课后答案

1.1 （1）无界解；（2）无解；（3）唯一最优解（15，8）；（4）无界解1.2 （1）令z z -='，444x x x ''-'=，则该问题的标准形式为 65443210055243max x x x x x x x z ++''+'-+-=' ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'''=-''+'-++-=+''-'+-+=''-'+-+-0,,,,,,2321422224654432164432154432144321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）令z z -='，11x x -='，333x x x ''-'=，则该问题的标准形式为 4332103322max x x x x x z +''+'-+'=' ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=+''+'-+'=''-'++'0,,,,62443321433213321x x x x x x x x x x x x x x 1.4 （1）顶点：O （0，0）；A （0，2.25）；B （1，1.5）；C （1.6，0）有唯一最优解（1，1.5），此时z=17.5；（2）顶点：A （0，0）；B （0，3）；C （3.75，0.75）；D （4，0） 有唯一最优解（3.75，0.75），此时z=8.251.51.6 由L 和分别解出其下界和上界214max :x x z L +=' 2163max :x x z L +='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1065853212121x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+-0,1442122212121x x x x x x 由L '解出下界5/32___*=z ，由L ''解出上界21___*=z1.7 （1）有无界解；（2）有唯一最优解T x )0,0,3,0,2(*=；（3）有唯一最优解T x )0,1,5/9,5/2(*=；（4）1.8 0,2/3,5,5,0,1,3,2,2,4,2,3=-=======-====l k j i h g f e d c b a 1.9 证明：设)2()1()1(X X X αα-+=为)1(X和)2(X连线上任一点由已知，)2()2()1()1(CX z z CX===则])1([)2()1(X X C CX αα-+=)1()2()2()2()2()1(z z CX CX CX CX ===-+=αα1.10 证明：*0CX CX≥ ，0)(0*≤-∴X X C （1）又0***X C X C ≥，有0)(0**≥-X X C （2）)1()2(-得0))((0**≥--X X C C1.11 （1）先列出两个新的约束β99333)(431+=-+'x x x i β3333)(32+-=+-'x x ii以1x ，2x 为基列出初始单纯形表如下：（2）0=β时，43≤≤α时，最优基不变（3）3=α时，11≤≤-β时，最优基不变1.12 （1）*X 仍为最优解（2）除C 为常数向量外，一般*X 不再是问题的最优解 （3）最优解变为*X λ，目标函数值不变1.13 设选择五种饲料的公斤数分别为54321,,,,x x x x x ，则543218.03.04.07.02.0min x x x x x z ++++= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥++++≥++++0,,,,1008.022.00.15.0305.022.05.07001862354325432154321543211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1.14 设654321,,,,,x x x x x x 分别代表于早上6：00，10：00，…，早上2：00开始上班的护士数，则654321min x x x x x x z +++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+0,,30205060706061655443322116x x x x x x x x x x x x x x 1.15 用i =1，2，3分别代表商品A ，B ，C ，j =1，2，3分别代表前、中、后舱，ij x 为装于j 舱位的i 种商品的数量，目标函数为总运费收入最大，约束条件需分别考虑舱位载重限制，舱位容量限制，商品数量限制及各舱位载重的平衡限制。

最新清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

最新清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

目标函数最优值的上界为：21
18
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
m axZ x1 4 x 2 3 x1 5 x 2 8 st .5 x1 6 x 2 10 x ,x 0 1 2
目标函数最优值（下界）为：6.4
19
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—类 解。
0
0 0 1 0
0
1/3 -4/3 -1/3
-7M/3+4/3
-4 -M 0
x1
0
1 0 0
x6
x4
cj zj
cj
m axW 2 x11 2 x2 3 x31 3 x32 x11 x2 x31 x32 4 st 2 x11 x2 x31 x32 x4 6 x11 , x2 , x31 , x32 , x4 0
6
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 0
0
-1/7
2/7
A2点
cj zj

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯=P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105B CB X b 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

运筹学习题习题解答

运筹学习题习题解答

第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答：1、将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

解：1）在约束条件(1)式两边同时乘以-1，得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4，且x'4，x"4≥0。

在(4)式中加入人工变量x5，在(2)式中加入松弛变量x6，在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8；把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4）-M x5+0x6+0x7-M x8。

则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表（其中M为充分大的正数）：2）在上述问题2）的约束条件中加入人工变量x1，x2，…，x n得：初始单纯形表如下表所示：2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解：解：（1）大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4，x5，再分别加上人工变量x6，x7得：列出单纯形表如下表所示：由上表知：线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。

（2）两阶段法第一阶段数学模型为：第一阶段单纯形表间下表所示：上述线性规划问题最优解，且标函数的最优值为0。

第二阶段单纯形表为下表所示：由上表知：原线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。

3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。

表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数。

试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。

解：（1）上表中解为唯一最优解时，必有d>0，c1<0，c2<0。

（2）上表中解为最优解，但存在无穷多最优解，必有d>0，c1<0，c2=0或d>0，c1=0，c2<0。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →105B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/7 2/7 j j C Z --5/14-25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：1234124123434131234min8669223411,,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪≥⎪⎩（2）由原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，根据互补松弛性得：12412343422341y y y y y y y y y ++=⎧⎪+++=⎨⎪+=⎩把)0,4,2,2(*=X 代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号，即4224890y ++=<⇒=从而有12123322341y y y y y y +=⎧⎪++=⎨⎪=⎩得123443,,1,055y y y y ====所以对偶问题的最优解为*43(,,1,0)55T y =，最优值为min 16w =P79 2.7 考虑如下线性规划问题：123123123123123min 6040803224342223,,0z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩（1）写出其对偶问题；（2）用对偶单纯形法求解原问题； 解：（1）该线性规划问题的对偶问题为：123123123123123max 2433426022403280,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩（2）在原问题加入三个松弛变量456,,x x x 把该线性规划问题化为标准型：123123412351236max 60408032243422230,1,,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x j =------+=-⎧⎪---+=-⎪⎨---+=-⎪⎪≥=⎩L*max(,,0),604080063633T x z ==⨯+⨯+⨯=P81 2.12 某厂生产A 、B 、C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表。

要求：（a ）确定获利最大的产品生产计划；（b ）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（c ）如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？ （d ） 如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4 元。

问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。

解：由已知可得，设j x 表示第j 种产品，从而模型为：123123123123max 3463545..34530,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩a) 用单纯形法求解上述模型为：得到最优解为*(5,0,3)T x =；最优值为max 354327z =⨯+⨯=b ）设产品A 的利润为3λ+，则上述模型中目标函数1x 的系数用3λ+替代并求解得：要最优计划不变，要求有如下的不等式方程组成立20310533053λλλ⎧-+≤⎪⎪⎪--≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩解得：3955λ-≤≤ 从而产品A 的利润变化范围为：393,355⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,即242,455⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ）设产品D 用6x 表示，从已知可得16661/5B c c B P σ-=-='1661128334122555P B P -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦把6x 加入上述模型中求解得：从而得最优解*(0,0,5,0,0,5/2)T x =；最优值为max 45327.5272z =⨯+⨯=> 所以产品D 值得生产。

d ）P101 3.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示，用表上作业法求各题的最优解及最小运费。

表3-35B1B2B3B4产量A1A2A31012227142091611201815255销量5151510解：由已知和最小元素法可得初始方案为B1B2B3B4产量A1A2A35150151015255销量5151510检验：B1B2B3B4产量A1A2A35150151015255销量5151510检验：产地销地产地销地产地销地B1B2B3B4产量A1A2A35510151015255销量5151510检验：从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案最小运费为：min25257109151110180335z=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=表3-36B1B2B3B4产量A1A2A386549314427372526销量10102015解：因为34115855i ji ja b===>=∑∑，即产大于销，所以需添加一个假想的销地，销量为3，构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0。

产地销地产地销地A1A2A386549314427372526销量101020153由上表和最小元素法可得初始方案为B1B2B3B4B5产量A1A2A3911071315372526销量101020153检验：从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案最小运费为：min69513101741331503193z=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=表3-37B1B2B3B4B5产量A1A2A38566M3389746578203030销量2525201020解：因为351180100i ji ja b===<=∑∑，即销大于产，所以需添加一个假想的产地，产量为20，构成产销平衡问题，其对应各销地的单位运费都为0。

产地产地销地产地销地A1A2 A3 A4 8 5 6 0 6 M 3 0 3 8 9 0 7 4 6 0 5 7 8 0 20 30 30 20 销量2525201020由上表和最小元素法可得初始方案为 B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1A2 A3 A4 5 20 25 20 0 10 15 5 20 30 30 20 销量2525201020检验：由于有两个检验数小于零，所以需调整，调整一：B1 B2 B3 B4 B5 产量 A1 A2 A3 A420 5 25 20 0 10 5 15 20 30 30 20 销量 25 25201020产地 产地 销地产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3A42052520102020303020销量2525201020从上表可以看出所有的检验数都大于零，即为最优方案最小运费为：min320520410653258002000305 z=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= P127 4.8 用割平面法求解整数规划问题。

a）12121212max7936735,0,z x xx xx xx x=+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数解：该问题的松弛问题为：产地销地12121212max 7936735,0z x x x x x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩割平面1为：234(31/2)(07/22)(01/22)x x x +=++++3421713022222x x x ⇒--=-≤34571122222x x x ⇒+-=割平面2为：145(44/7)(01/7)(16/7)x x x +=+++-+451541640x x x x ⇒--=--≤456164x x x ⇒+-=()*4,3Tx =，最优值为max 749355z =⨯+⨯=P144 5.3 用图解分析法求目标规划模型c ）解:由下图可知，满足目标函数的满意解为图中的A 点。

x 1 + x 2 + d 1- - d 1+= 40x 1 + x 2 + d 2- - d 2+= 40+10=50 x 1 + d 3- - d 3+= 24 x 2 + d 4- - d 4+= 30min Z = P 1 d 1-+ P 2 d 2++ P 3（2d 3- +1d 4-）s.t.x 1 、x 2 、d 1+、d 1-、d 2+、d 2- 、d 3+、d 3- 、d 4+、d 4- ≥ 0P170 6.4 求下图中的最小树解：避圈法为：得到最小树为：P171 6.7 用标号法求下图中点1v到各点的最短路。

解：如下图所示：P 173 6.14 用Ford-Fulkerson 的标号算法求下图中所示各容量网络中从sv 到tv 的最大流，并标出其最小割集。

图中各弧旁数字为容量ij c ，括弧中为流量ij f .B)解：对上有向图进行2F 标号得到由于所有点都被标号了，即可以找到增广链，所以流量还可以调整，调整量为1，得由图可知，标号中断，所以已经是最大流了，最大流量等于最小割的容量，最小割为与直线KK 相交的弧的集合，即为{}3451223(,),(,),(,),(,),(,),(,)s s s t t v v v v v v v v v v v v所以从s v 到t v 的最大流为：*12532114stf =+++++=C)解：对上有向图进行2F 标号得到由于所有点都被标号了，即可以找到增广链，所以流量还可以调整，调整量为1，得由图可知，标号中断，所以已经是最大流了，最大流量等于最小割的容量，最小割为与直线KK 相交的弧的集合，即为{}1325(,),(,),(,)s s v v v v v v ，所以从s v 到t v 的最大流为：*53513st f =++=P193 7.1 根据下表给定的条件，绘制PERT网络图。