2007数字信号处理B卷 江太辉
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问答题（每小题5分，共30分） 1.分别说明有限长序列、右边序列、左边序和双边序列的z 变换收敛域。
1.答：（1）有限长序列z 变换的收敛域为∞<<z 0； （2）右边序列z 变换的收敛域为->x R z ； （3）左边序列z 变换的收敛域为+<X R z ； （4）双边序列z 变换的收敛域为+-<<x x R z R
2.设序列x （n ）为实序列，其傅里叶变换()
ωj e X 的模()ωj e x 和幅角()[]ωj e x arg 各具有什么特点？ .答：x （n ）为实序列时，其傅里叶变换的模()ωj e X 在0-2π区间内为偶对称函数。
()[]ωj e x arg 为奇对称函数，对称中心为π。
3.基2 FFT 有哪两种基本算法？其对应的计算流图具有什么特点？
答：基2FFT 算法主要有时间抽选和频率抽选两种算法。
时间抽选基2 FFT 算法流图的主要特点有：
（1）输入为码位序倒置排列，输出为自然序排列；
（2）基本计算单元为蝶形单元；
（3）具有同址（原位）计算功能。
频率抽选的流图的特点：
（1）输入为自然序列排列，输出为码倒置序排列，对输出要变址；
（2）基本计算为蝶计算；
（3）具有同址（原位）计算功能；
4.为使因果的线性非移变系统稳定，其系统函的极点在z 平面应如何分布？设某系统有三个极点：
4
1z ,8121-==z ，23=z ，若知道其对应的单位取样响应h （n ）为双边序列，请确定其可能选择的系统函数的收敛域，并指出其对应的系统是否稳定。
所有极点都应在单位圆内。
4
181-<<z ；不稳定
5.使用窗函数设计FIR 滤波器时，一般对窗函数的频谱有什么要求？这些要求能同时得到满足吗？为什么？
答：要求窗函数频谱的主瓣尽可能高和窄，旁瓣尽可能短和小。
但是这是不能同时得到的。
因为经分析，主瓣增高时，旁瓣也要增高，所以只能采用折衷的方法。
6.数字滤波器分为哪几种类型？用差分方程来描述时有什么不同？它们各有什么特性？
答：数字滤波器有无限冲激响应（IIR ）和有限冲激响应（FIR ）两大类。
用差分方程描述时，IIR DF 具有反馈支路，FIR DF 无反馈支路。
IIR 的主要特性有：①冲激响应无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数一般为一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
FIR DF 的其主要特性有：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只有零点；④具有线性相位。
说明下列序列是否是周期序列，若是，请求出其最小周期。
（6
分）
()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=353c o s ππn n x ∴3105322==ππωπ ，为有理数。
∴ x （n ）为周期序列，其最小周期N=10。
求下列序列的z 变换及其收敛域。
（10分） 1.)1-⋅=n u a n x n
2.()()1--⋅-=n u b n x n
1.()()1110
1111111---∞=--∞=-=--=-==∑∑az
az az az z a z X n n n n n
，a z > 2.()()1111111111--∞=----∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-=
∑∑bz
z b z b z b z X n n n n n ，b z <
1.(),25232
11
---+--=z z z z X 2>z 2.(),231121--+-=
z z z X 21<<z
.()()12111112
11211
215.01215.015.12
51232523)(------------+-=---=+--=+--=z A z A z z z z z z z z z z X 1215.15.0111=--==--Z z z A ，1215.121
1
2-=--==--z z z A ∴X （z ）=1
12115.011-----z z ∴()()n u n x n n ⋅-=25.0)(
2.()()()
121112112111-----+-=--=z A z A z z z X 极点：2z ,121==z ,1211111-=-==-z z A 21121
2=-==-z z A ∴X （z ）=1121211---+--z
z ， 由收敛域可知，x （n ）为双边序列，
∴()()122)(--⋅--=n u n u n x n
某系统的输入x （n ）和系统的单位取样响应h （n ）如下所示。
（21分） ()),(4n R n x = )3(4)2(3)1(2)()(-+-+-+=n n n n n h δδδδ 1. 求系统对x （n ）的响应1y （n ）；
2. 求()n x n y =)(2④)(n h ；
3.若用FFT 来计算系统对x （n ）的响应，如何处理，请写出处理步骤。
1.()()(){}6n 0 4,7,9,10,6,3,141≤≤=*=n h n R n y
2.()()n x n y =2④(){} 3n 0 , 10,10,10,10≤≤=n h
(){}7n 0 , 0,0,0,0,1,1,1,1≤≤=n x
{}7n 0 , 0,0,0,0,4,3,2,1)(≤≤=n h
②计算延长的x （n ）和h （n ）的8点FFT ，即
()[]()()[]n h FFT n x FFT K X ==K H ,)(；
③计算()()()K H K X K Y ⋅=；
④计算()()()[]K H K X IFFT n y ⋅=。
某系统的系统函数如下所示，其中a 和b 都为实数，且0<a <b ，()()()()111112-----+-=bz az z b a z H 。
（21分） 1.求出系统的零点和极点； 2.已知系统是因果且稳定的，请确定系统函数的收敛域和b 的范围，并求出系统的单位取样响应h （n ）；
3.如果要得到一个逆因果的稳定系统，请确定系统函数的收敛域和a 的范围，并求出其h （n ）。
()()()()
()()()()b z a z b a z z bz az z b a z H --+-=--+-=---2112111 1. 极点：, ,21b z a z ==零点：()b a z z +=
=21 ,021 2. 因为系统是稳定的且是因果的，所以
1b 0 ,<<∞≤<z b
()()()n u b a n h n n +=
3.,0a z <≤ ∞<<a 1
()()
()1--⋅+-=n u b a n h n n。
