2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

第1页，共15页 2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知命题p：∀𝑥∈𝑅，都有2𝑥≥0且𝑥2−2𝑥≥0，则￢𝑝为( )

A. ∀𝑥∈𝑅，都有2𝑥≤0或𝑥2−2𝑥≤0

B. ∃𝑥0∈𝑅，使得2𝑥0≥0或𝑥02−2𝑥0≥0

C. ∃𝑥0∈𝑅，使得2𝑥0≤0且𝑥02−2𝑥0≤0

D. ∃𝑥0∈𝑅，使得2𝑥0<0或𝑥02−2𝑥0<0

2. 复数𝑧=2+𝑖1−2𝑖的虚部为(

)

A.

−53 B. −53𝑖 C. 1 D. i

3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )

A. 𝑦=±√2𝑥 B. 𝑦=±2𝑥

C. 𝑦=±√22𝑥或𝑦=±√2𝑥 D. 𝑦=±12𝑥

4. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥 ，若𝑥1,𝑥2∈[−𝜋2,𝜋2],且𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>0，则下列不等式中正确的是( )

A. 𝑥1>𝑥2

B. 𝑥1<𝑥2 C. 𝑥1+𝑥2>0 D. 𝑥1+𝑥2<0

5. 设函数则 )

A. 27 B. 17 C. 26 D. 16

6. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎2=102，𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=4𝑛，(𝑛∈𝑁∗)，则数列{𝑎𝑛𝑛}的最小值是( )

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

7. 已知实数x，y满足不等式组{𝑥−2𝑦+1≥ 0𝑥≤ 3𝑥+𝑦−1≥0，则𝑧=𝑥−𝑦+3的取值范围是( )

A. [83,8) B. [83,8] C. [4,8] D. [43,4]

8. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若𝑎=2𝑐，𝑏𝑠𝑖𝑛 𝐵−𝑎𝑠𝑖𝑛 𝐴=2𝑎𝑠𝑖𝑛 𝐶，则sin 𝐵为( )

A. √74 B. 34 C. √73 D. 13

9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为( ) 第2页，共15页 A. 8(1+2√2+√3)

B.

8(1+√2+2√3)

C. 323 D. 329

10. 已知定义在R上的偶函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓(4−𝑥)，且𝑓(−3)=2，则𝑓(2019)=( )

A. −2 B. 0 C. 2 D. 4

二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）

11. 已知双曲线的方程为𝑦29−𝑥225=1，则其渐近线方程为______．

12. 袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球(大小、形状、质量完全相同)，某人从袋子中一次性取出2个小球，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为______．

13. 若tan𝛽=2tan𝛼，且cos𝛼sin𝛽=23，则sin(𝛼−𝛽)=_______。

14. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知(𝑎−𝑏)2=𝑐2−𝑎𝑏，则∠𝐶=______．

15. 下面的程序框图输出的结果为______．

16. 已知焦距为2√2的椭圆𝑥2𝑎+𝑦2=1(𝑎>1)的两个焦点分别为𝐹1，𝐹2，点P在该椭圆上，若|𝑃𝐹1|=2，则|𝑃𝐹2|=______．

17. 数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=𝑛2+(−1)𝑛，则𝑎101−𝑎1=______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

18. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝐶=12𝐴． 第3页，共15页 (1)若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，求𝑐𝑎的取值范围；

(2)若cos𝐴=18，𝑎+𝑐=20，求b的值．

19. 已知数列{𝑎𝑛}，𝑎1=3，且𝑛𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑛𝑎𝑛．

(Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;

(Ⅱ)记Sn为数列{𝑎𝑛}的前n项和，求数列{1𝑆𝑛}的前n项和𝑇𝑛．

20. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为平行四边形，𝑃𝐴⊥底面ABCD，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，𝐴𝐵=√3，𝐴𝐷=2√3，𝐴𝑃=3．

(1)求证：平面平面PCD；

(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45∘，求二面角𝐸−𝐴𝐵−𝐷的余弦值． 第4页，共15页

21. 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为12，过点𝑃(0,1)的动直线l与椭圆交于A，B两点，当𝑙//𝑥轴时，|𝐴𝐵|=4√63

(Ⅰ)求椭圆的方程

(Ⅱ)当|𝐴𝑃|=2|𝑃𝐵|，求直线l的方程．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥(𝑎∈𝑅)．

(1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

(2)当𝑎 >0时，求函数𝑓(𝑥)在[1,2]上最小值．

第5页，共15页 -------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题p：∀𝑥∈𝑅，都有2𝑥≥0且𝑥2−2𝑥≥0，则￢𝑝为：∃𝑥0∈𝑅，使得2𝑥0<0或𝑥02−2𝑥0<0．

故选：D．

直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

2.答案：C

解析：

【分析】

利用复数的除法的运算法则化简求解得到𝑎+𝑏𝑖即可．

本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念，是基础题．

【解答】

解：复数𝑧=2+𝑖1−2𝑖=(2+𝑖)(1+2𝑖)(1−2𝑖)(1+2𝑖)=2+5𝑖−25=𝑖．

复数z的虚部为：1．

故选：C．

3.答案：C

解析：解：双曲线的虚轴长为2，焦距为2√3，

可得𝑏=1，𝑐=√3，则𝑎=√2，

双曲线方程为：𝑥22−𝑦2=1或𝑦22−𝑥21=1，

可得双曲线的渐近线方程为：𝑦=±√22𝑥或𝑦=±√2𝑥．

故选：C．

利用双曲线的虚轴长以及焦距求出a，然后求解双曲线的渐近线方程．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

4.答案：C

解析：

【分析】 第6页，共15页 本题主要考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性．

依题意，𝑓′(𝑥)=1−𝑐𝑜𝑠𝑥≥0，所以𝑓(𝑥)是增函数，又𝑓(𝑥)为奇函数，𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>0⇒𝑓(𝑥1)>𝑓(−𝑥2)，

由增函数知𝑥1>−𝑥2，即𝑥1+𝑥2>0.即可求得结果．

【解答】

解：𝑓′(𝑥)=1−𝑐𝑜𝑠𝑥≥0，所以𝑓(𝑥)是增函数;

又𝑓(−𝑥)=−𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥=−(𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥)=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数;

𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>0⇒𝑓(𝑥1)>𝑓(−𝑥2)∴

由增函数知𝑥1>−𝑥2，即𝑥1+𝑥2>0．

故选C．

5.答案：A

解析：

【分析】

本题考查分段函数求函数值，属于基础题．

注意x的范围．

【解答】

解：因为，

故选A．

6.答案：B

解析：

【分析】

本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．

利用累加法可求得𝑎𝑛，表示出𝑎𝑛𝑛后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证𝑛=1的情形．

【解答】

解：由𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=4𝑛得， 第7页，共15页 𝑎3−𝑎2=8，𝑎4−𝑎3=12，𝑎5−𝑎4=16，…，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=4(𝑛−1)，

以上各式相加得，𝑎𝑛−𝑎2=(𝑛−2)[8+4(𝑛−1)]2，所以𝑎𝑛=102+(𝑛−2)(2𝑛+2)(𝑛≥2)，

而𝑎2−𝑎1=4，所以𝑎1=𝑎2−4=98，适合上式，

故𝑎𝑛=102+(𝑛−2)(2𝑛+2)(𝑛∈𝑁∗)，

𝑎𝑛𝑛=102+(𝑛−2)(2𝑛+2)𝑛=98𝑛+2𝑛−2≥2√98𝑛⋅2𝑛−2=26，

当且仅当98𝑛=2𝑛即𝑛=7时取等号，

所以数列{𝑎𝑛𝑛}的最小值是26．

故选B．

7.答案：B

解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：

联立{𝑥=3𝑥+𝑦−1=0解得𝐴(3,−2).联立{𝑥−2𝑦+1=0𝑥+𝑦−1=0解得𝐵(13,23)，

𝑧=𝑥−𝑦+3，平移经过A时取得最大值：8；经过B时取得最小值：83，

则𝑧=𝑥−𝑦+3的取值范围是：[83,8]

故选：B．

作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数，推出最优解，得到最值即可．

本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用z的几何意义，是解决本题的关键．

8.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理，及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，属于基础题．

由正弦定理化简已知可得𝑏2−𝑎2=2𝑎𝑐=𝑎2，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的基本关系即可得解．

【解答】

解：因为，

由正弦定理可得：𝑏2−𝑎2=2𝑎𝑐，

又𝑎=2𝑐，

则𝑏2=𝑎2+2𝑎𝑐=2𝑎2，

所以，且角B为三角形的内角，