八年级数学下册17勾股定理本章小结学案新版新人教版8

17

学习目标

1.会运用勾股定理解决简单问题.

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3.会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题.

一、知识网络

二、知识梳理

1.如图,∠ACB=90°a2+b2=c2

(1)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边长为c,那么 .

几何语言描述:∵

∴ ( )

(2)勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足

,那么

几何语言描述:∵

∴ ( )

2.原命题与逆命题.

3.勾股定理的几种常见证明方法.(P24,P30)

4.勾股数

三、基础练习

1.三角形的三边为a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )

A.a∶b∶c=8∶16∶17 B.a2-b2=c2

C.a2=(b+c)(b-c) D.a∶b∶c=13∶5∶12

2.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为 .

3.已知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=4,则AC= ,BC∶AC∶AB= .

4.已知△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,BC=5,则AB= ,BC∶AC∶AB= .

5.在平面直角坐标系中,已知点P的坐标是(1,2),则OP的长为 .

6.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是

.

7.求下图中字母所代表的正方形的面积.

A面积是( ) B面积是( )

四、典例分析

【例1】

(2017绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )

A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米

C 解析:在Rt△ACB中,

∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,

∴AB2=0.72+2.42=6.25.

在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2=AB2,

∴BD2+22=6.25,

∴BD2=2.25,

∵BD>0,

∴BD=1.5米,

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.

故选C.

【例2】

(2016年湖南省长沙市麓山国际学校中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C,使得点A'恰好落在AB上,A'B'与BC交于点D,则△A'CD的面积为( )

A.1 B. 3 C. 3 D.2 3

B 解析:在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=2,∠ABC=30°,

∴AB=2AC=4,BC= - 4 - =2 3,

∵∠A=90°-∠B=60°,CA=CA',

∴△ACA'是等边三角形,

∴AA'=AC=A'C=2,

∴A'C=A'B=2,

∴∠A'CB=∠B=30°,

∵∠CA'B'=60°,

∴∠CDA'=180°-∠A'CD-∠CA'D=90°,

∴A'D=1 A'C=1,CD= - 3,

∴S△A'CD=1 ×1× 3 3 .

故选B.

【例3】(2017年贵州省安顺市中考)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的高线长等于 .

2.4 解析:∵32+42=25=52,

∴该三角形是直角三角形,

∵根据直角三角形面积等于斜边与斜边上的高乘积一半,也等于两直角边乘积的一半.

∴斜边上的高线长=3×4÷5=2.4.

故答案为:2.4.

【例4】如图,AB⊥CB于B,AD=24,AB=20,BC=15,CD=7,求四边形ABCD的面积.

解:∵AB⊥CB,∴AC= 0 15 =25,

故有AD2+CD2=242+72=252=AC2,

∴∠D=90°,

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

=1 ×20×15+1 ×7×24=150+84=234.

五、达标检测

1.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( )

A.12 B.7+

C.12或7+ D.以上都不对

2.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,A,B都是格点,则线段AB的长度为( )

A.5 B.6

C.7 D.25

3.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )

A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,3

4.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为( )

A. 5米 B. 3米 C.( 5+1)米 D.3米

5.如果梯子的底端离建筑物5 m,那么长为13 m梯子可以达到该建筑物的高度是( )

A.12 m B.14 m C.15 m D.13 m

6.已知△ABC的三边长a,b,c满足 - +|b-2|+(c-2 )2=0,则△ABC一定是 三角形.

7.如图,有一长方形的仓库,一边长为5 m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分,其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大于卫生间的面积,若改建后卫生间的面积为6 m2,则长方形仓库另一边的长是 .

8.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P是以CD为直径半圆上的一个动点,连接BP,则BP最大值是 .

9.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?

10.如图,等边△ABC,其边长为1,D是BC中点,点E,F分别位于AB,AC边上,且∠EDF=1 0°.

(1)直接写出DE与DF的数量关系;

(2)若BE,DE,CF能围成一个三角形,求出这个三角形最大内角的度数;(要求:写出思路,画出图形,直接给出结果即可)

(3)思考:AE+AF的长是否为定值?如果是,请求出该值,如果不是,请说明理由.

备用图

参考答案

二、知识梳理

略

三、基础练习

1.A 2.13或 119 3.4 3;1∶ 3∶2

4.5 ;1∶1∶

5. 5 6. 5 7.625;144

四、典例分析

略

五、达标检测

1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.等腰直角 7.8 m 8. 13+2

9.解:作AB⊥MN,垂足为B.

在Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160 m,

∴AB=

=80 m.(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)

∵点A到直线MN的距离小于100 m,∴这所中学会受到噪声的影响. 假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得BC2=1002-802=3 600,∴BC=60 m.

同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m).

拖拉机行驶的速度为18 km/h=5 m/s,t=120÷5=24 s.

答:拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24

s.

10.(1)结论:DE=DF.证明:如图1中,连接AD,作DN⊥AB,DM⊥AC,垂足分别为N,M.

∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵BD=DC,∴∠BAD=∠CAD,∴DN=DM,

∵∠EDF=1 0°,∴∠EDF+∠BAC=180°,∠AED+∠AFD=180°,

∵∠AED+∠DEN=180°,∴∠DFM=∠DEN,

在△DNE和△DMF中, ∠ ∠ ,∠ ∠ , ,

∴△DNE≌△DMF,∴DE=DF.

(2)能围成三角形,最大内角为1 0°.证明:如图2中,延长FD到M使得DF=DM,连接BM,EM.

在△DFC和△DMB中, ,∠ ∠ , ,,∴△DFC≌△DMB,∴∠MBD=∠C=60°,BM=CF,

∵DE=DF=DM,∠EDM=180°-∠EDF=60°,∴△EDM是等边三角形,∴EM=DE,

∴EB,ED,CF能围成△EBM,最大内角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=1 0°.

(3)如图1中,在△ADN和△ADM中, , ,∴△ADN≌△ADM,∴AN=AM,

∴AE+AF=AN-EN+AM+MF,由(1)可知EN=MF.∴AE+AF=2AN,

∵BD=DC=1 ,在Rt△BDN中,∵∠B=60°,∴∠BDN=30°,∴BN=1 BD=14,∴AN=AB-BN=34,∴AE+AF=3 .

图1

图2